河北省张家口市2023届高三一模数学试题

2023年普通高等学校招生全国统一模拟考试

数学

2023.2

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号等填写在试卷和答题卡指定位置上．

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知集合，，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

2. 已知复数，，若，则实数（    ）

A. 1 B. 2 C. 3 D.

3. 是成立的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

4. 已知正方体，则下列选项不正确的是（    ）

A. 直线与所成的角为 B.

C. 平面 D.

5. 宽和长的比为的矩形称为黄金矩形，它在公元前六世纪就被古希腊学者发现并研究．下图为一个黄金矩形，即．对黄金矩形依次舍去以矩形的宽为边长的正方形，可得到不断缩小的黄金矩形序列，在下面图形的每个正方形中画上四分之一圆弧，得到一条接近于对数螺线的曲线，该曲线与每一个正方形的边围成下图中的阴影部分．若设，当无限增大时，，已知圆周率为，此时阴影部分的面积为（    ）

A.  B.  C.  D.

6. 已知，分别是双曲线的左、右焦点，为双曲线上的动点，，，点到双曲线的两条渐近线的距离分别为，，则（    ）

A.  B.  C.  D. 2

7. 已知向量，，都是单位向量，若，则的最大值为（    ）

A.  B. 2 C.  D.

8. 已知实数a，b，c满足，，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. 小明在一次面试活动中，10位评委给他的打分分别为：70，85，86，88，90，90，92，94，95，100．则下列说法正确的有（    ）

A. 用简单随机抽样的方法从10个分数中随机去掉2个分数，则每个分数被去掉的概率都是

B. 这10个分数的第60百分位数为91

C. 这10个分数的平均数大于中位数

D. 去掉一个最低分和一个最高分后，平均数会变大，而分数的方差会变小

10. 已知O为坐标原点，过点的直线l与圆交于A，B两点，M为A，B的中点，下列选项正确的有（    ）

A. 直线l的斜率k的取值范围是

B. 点M轨迹为圆的一部分

C. 为定值

D. 定值

11. 已知函数，则下列结论正确的有（    ）

A. 为偶函数

B. 的最小值为

C. 在区间上单调递增

D. 方程在区间内的所有根的和为

12. 已知圆锥PE的顶点为P，E为底面圆的圆心，圆锥PE的内切球球心为，半径为r；外接球球心为，半径为R．以下选项正确的有（    ）

A. 当与重合时，

B. 当与重合时，

C. 若，则圆锥PE的体积的最小值为

D. 若，则圆锥PE的体积的最大值为

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 已知是奇函数，则实数__________．

14. 已知点为椭圆的右焦点，过点F的直线交椭圆于A，B两点．若AB的中点坐标为，则C的离心率为__________．

15. 小李在2005年10月18日出生，他在设置手机的数字密码时，打算将自己出生日期的后6个数字0，5，1，0，1，8进行某种排列，从而得到密码．如果排列时要求两个1不相邻，两个0也不相邻，那么小李可以设置的不同密码有__________个（用数字作答）．

16. 已知函数及其导函数的定义域均为，且为奇函数，，，则__________．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17 已知数列满足，．

（1）证明：数列为等比数列；

（2）求数列的前项和．

18. 在中，．

（1）求；

（2）如图，为平面上外一点，且，，若，求四边形ABDC面积最大值．

19. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，其中，，，为棱的中点，是棱上一点，且．

（1）证明：平面；

（2）若，直线与平面所成的角为，求平面与平面夹角的余弦值．

20. 某医疗用品生产商用新旧两台设备生产防护口罩，产品成箱包装，每箱500个．

（1）若从新旧两台设备生产的产品中分别随机抽取100箱作为样本，其中新设备生产的100箱样本中有10箱存在不合格品，旧设备生产的100箱样本中有25箱存在不合格品，由样本数据，填写完成列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为“有不合格品”与“设备"有关联？

单位：箱

（2）若每箱口罩在出厂前都要做检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱口罩中任取20个做检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有口罩做检验．设每个口罩为不合格品的概率都为，且各口罩是否为不合格品相互独立．记20个口罩中恰有3件不合格品的概率为，求最大时的值．

（3）现对一箱产品检验了20个，结果恰有3个不合格品，以（2）中确定的作为的值．已知每个口罩的检验费用为0.2元，若有不合格品进入用户手中，则生产商要为每个不合格品支付5元的赔偿费用．以检验费用与赔偿费用之和的期望为决策依据，是否要对这箱产品余下的480个口罩做检验？

附表：

附：，其中．

21. 如图，抛物线与圆交于A，B，C，D四点，直线AC与直线BD交于点E．

（1）请证明E为定点， 并求点E的坐标；

（2）当的面积最大时，求抛物线M的方程．

22. 已知函数在区间上有两个极值点，．

（1）求实数a取值范围；

（2）证明：．

2023年普通高等学校招生全国统一模拟考试

数学

2023.2

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号等填写在试卷和答题卡指定位置上．

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

【1题答案】

【答案】B

【2题答案】

【答案】C

【3题答案】

【答案】A

【4题答案】

【答案】D

【5题答案】

【答案】A

【6题答案】

【答案】B

【7题答案】

【答案】C

【8题答案】

【答案】D

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

【9题答案】

【答案】BD

【10题答案】

【答案】ABD

【11题答案】

【答案】ACD

【12题答案】

【答案】BC

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

【13题答案】

【答案】2

【14题答案】

【答案】

【15题答案】

【答案】84

【16题答案】

【答案】51

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

【17题答案】

【答案】（1）证明见解析   

（2）

【18题答案】

【答案】（1）   

（2）

【19题答案】

【答案】（1）证明见解析   

（2）

【20题答案】

【答案】（1）填表见解析；认为箱中有不合格品与新旧设备有关联   

（2）   

（3）应该对余下的480个口罩进行检验

【21题答案】

【答案】（1）证明见解析，   

（2）

【22题答案】

【答案】（1）   

（2）证明见解析