山西省太原市2023届高三下学期模拟（一）数学试题

太原市2023年高三年级模拟考试（一）

数学试卷

（考试时间：下午3:00-5:00）

注意事项：

1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至4页，第Ⅱ卷5至8页。

2．回答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、考试编号填写在答题卡上。

3．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效。

4．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡相应位置上，写在本试卷上无效。

5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，，则（    ）

A．        B．            C．          D．

2．设复数z满足（i为虚数单位），则（    ）

A．        B．         C．或           D．或

3．已知等比数列的前2项和为24，，则（    ）

A．1       B．          C．             D．

4．的展开式中的系数为（    ）

A．9         B．10           C．24         D．25

5．在中，，，D为垂足，若，则（    ）

A．       B．          C．      D．

6．算盘是中国传统的计算工具，其形长方，周为木框，内贯直柱，俗称“档”，档中横以梁，梁上两珠，每珠作数五，梁下五珠，每珠作数一．算珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠．例如，在百位档拨一颗下珠，十位档拨一颗上珠和两颗下珠，则表示数字170．若在个、十、百、千位档中，先随机选择一档拨一颗上珠，再随机选择两个档位各拨一颗下珠，则所拨数字大于200的概率为（    ）

A．         B．            C．          D．

7．已知函数若函数恰有5个零点，则实数m的取值范围为（    ）

A．        B．        C．         D．

8．已知，分别为定义在上的函数和的导函数，且，，若是奇函数，则下列结论不正确的是（    ）

A．函数的图象关于点对称     B．函数的图象关于直线对称

C．                           D．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．

9．已知函数，则下列结论正确的是（    ）

A．的最小正周期为           B．的值域为

C．的图象是轴对称图形       D．的图象是中心对称图形

10．已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线与双曲线C的右支交于A，B两点，且，则下列结论正确的是（    ）

A．双曲线C的渐近线方程为

B．若P是双曲线C上的动点，则满足的点P共有两个

C．

D．内切圆的半径为

11．已知正方体的棱长为4，E为侧面的中心，F为棱的中点，P为线段上的动点，Q为上底面内的动点，则下列结论正确的是（    ）

A．三棱锥的体积为定值

B．若平面，则

C．若恒成立，则线段FQ的最大值为

D．当DQ与的所成角为时，点Q的轨迹为双曲线的一部分

12．已知函数，，若直线与曲线和分别相交于点，且，则下列结论正确的是（    ）

A．               B．

C．        D．

第Ⅱ卷（非选择题  共90分）

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．已知，，，则与的夹角为_______．

14．已知，，，则的最小值为_______．

15．已知抛物线的焦点为F，过点F的直线交C于A，B两个不同点，若，，则直线AB的斜率为_______．

16．已知函数有唯一的零点，则实数a的最大值为_______．

四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分10分）

已知等差数列中，，为的前n项和，且也是等差数列．

（1）求；

2）设，求数列的前n项和．

18．（本小题满分12分）

在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，点D在BC上，，．

（1）从下面条件①、②中选择一个条件作为已知，求A；

（2）在（1）的条件下，求面积的最大值．

条件①：；

条件②：．

注：若条件①和条件②分别解答，则按第一个解答计分．

19．（本小题满分12分）

如图，四棱锥中，，，且，，，直线PA与平面ABCD的所成角为，E，F分别是BC和PD的中点．

（1）证明：平面PAB；

（2）求平面PAB与平面PAD夹角的余弦值．

20．（本小题满分12分）

某制药公司研发一种新药，需要研究某种药物成份的含量x（单位：）与药效指标值y（单位：m）之间的关系，该公司研发部门进行了20次试验，统计得到一组数据，其中分别表示第i次试验中这种药物成份的含量和相应的药效指标值，且．

（1）已知该组数据中y与x之间具有线性相关关系，求y关于x的经验回归方程；

（2）据临床经验，当药效指标值y在内时，药品对人体是安全的，求该新药中此药物成份含量x的取值范围；

（3）该公司要用A与B两套设备同时生产该种新药，已知设备A的生产效率是设备B的2倍，设备A生产药品的不合格率为0.009，设备B生产药品的不合格率为0.006，且设备A与B生产的药品是否合格相互独立．

（i）从该公司生产的新药中随机抽取一件，求所抽药品为不合格品的概率；

（ii）在该新药产品检验中发现有三件不合格品，求其中至少有两件是设备A生产的概率．

参考公式：，．

21．（本小题满分12分）

已知椭圆的右顶点为A，上顶点为B，其离心率，直线AB与圆相切．

（1）求椭圆C的方程；

（2）过点的直线与椭圆C相交于P，Q两个不同点，过点P作x轴的垂线分别与AB，AQ相交于点D和N，证明：D是PN中点．

22．（本小题满分12分）

已知函数．

（1）若恰有三个不同的极值点，求实数a的取值范围；

（2）在（1）的条件下，证明：①；②．

太原市2023年高三年级模拟考试（一）

数学试题参考答案及评分标准

一、选择题：A C D B A C D C

二、选择题：9．BC       10．ACD       11．AC      12．AD

三、填空题：

13．          14．1          15．          16．

四、解答题：17．解：（1）设的公差为d，∵是等差数列，∴，

∴，∴，∴；          5分

（2）由（1）得，

∴，     8分

∴．    10分

18．解：（1）选择条件①：，

由题意可得，

由正弦定理得，         3分

由余弦定理可得，∴，

∵，∴；                6分

选择条件②：，

由题意可得，

即，由正弦定理得，        3分

由余弦定理得，

∵，∴；            6分

（2）由（1）得，∵，∴，

∴

，      9分

∴，∴，

∴，

当且仅当，时，的面积取最大值．        12分

19解：（1）取AD的中点G，连接EG，FG，

∵F是PD的中点，∴，

∵平面PAB，平面PAB，

∴平面PAB，

同理可得平面PAB，                3分

∵，平面GEF，平面GEF，

∴平面平面PAB，∴平面PAB；                  6分

（2）以点A为原点，AB，AD所在的直线分别为x轴，y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，由题意可得，

∵，直线PA与平面ABCD的所成角为，∴点P的竖坐标，

又∵，∴点P的横坐标，纵坐标，∴，         8分

设是平面PAB的一个法向量，则

∴令，则，∴，

设是平面PAD的一个法，则

∴令，则，∴，              10分

∴，

∴平面PAB与平面PAD夹角的余弦值为．         12分

20．解:（1）∵，∴，

∴，∴，

∴y关于x的线性经验回归方程为；              3分

（2）由（1）得，∵，∴，

∴该新药中此药物成份含量x的取值范围为；            5分

（3）（i）设“随机抽取一件新药，是设备A生产的”，则“随机抽取一件新药，是设备B生产的”，“随机抽取一件新药为不合格品”，

由题意得，，，，

∴；    8分

（ii）设“抽到一件不合格的新药，它是设备A生产的”，

则，        10分

设X表示三件不合格新药来自设备A生产的件数，则，

所求事件的概率为．     12分

21．解：（1）由题意可得直线AB的方程为，即，

∵直线AB与圆相切，∴，∴，

∵，，∴，由可得

∴椭圆C的方程为；              4分

（2）由题意可设，

由（1）得，，则直线AB的方程为，∴，

直线AQ的方程为，∴，

设直线PQ的方程为，，

由得，

∴，，           8分

∴，

∵

，

∴，∴D是PN中点．           12分

22．解：（1）由题意得，，∴，

①当时，，∴在上递增，

当时，，∴在上递减，

当时，，∴在上递增，

∴只有一个极值点，此时不符合题意；                  2分

②当时，令，即，

则和是方程的两个实数解，且，

∴在和上递增，在上递减，且，        3分

∵，，

∴，，∴在上存在唯一零点，

∵，，

∴，，∴在上存在唯一零点，         5分

∴在和上递减，在和上递增，记，

∴是的三个不同的极值点，且，

综上，实数a的取值范围为；             6分

（2）由（1）得当时，有三个不同的极值点，且，

①要证，只需证，

∵，

∴，∵，∴，∴．          8分

②要证，只需证，

∵，∴，

只需证，        10分

令，，则，

令，，则，

∴，∴，∴，

∴，即．        12分

注：以上各题其它解法请酌情赋分．