四川省雅安市部分校2022-2023学年高三下学期4月联考数学（文科）试题

2023届高三考试数学试题（文科）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．的共轭复数为（    ）．

A．    B．    C．    D．

2．已知集合，且，则集合B可以为（    ）．

A．{偶数}   B．   C．{质数}   D．

3．2022年11月，国内猪肉、鸡蛋、鲜果、禽肉、粮食、食用油、鲜菜价格同比（与去年同期相比）的变化情况如图所示，则下列说法正确的是（    ）．

猪肉、鸡蛋、鲜果、禽肉、粮食、食用油、鲜菜价格同比变化情况

A．猪肉、鸡蛋、鲜果、禽肉、粮食、食用油这6种食品中，食用油价格同比涨幅最小

B．猪肉价格同比涨幅超过禽肉价格同比涨幅的5倍

C．去年11月鲜菜价格要比今年11月低

D．这7种食品价格同比涨幅的平均值超过7％

4．若抛物线C的焦点到准线的距离为3，且C的开口朝左，则C的标准方程为（    ）．

A．   B．   C．   D．

5．已知扇形AOB（O为圆心）的圆心角为直角，半径为2，在这个扇形区域内任取一点P，则的概率为（    ）．

A．    B．   C．   D．

6．如图，网格纸小正方形的边长为1，粗实线绘制的是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（    ）．

A．   B．   C．   D．

7．小方计划从4月1日开始存储零钱，4月1日到4月4日每天都存储1元，从4月5日开始，每天存储的零钱比昨天多1元，则小方存钱203天（4月1日为第1天）的储蓄总额为（    ）．

A．19903元   B．19913元   C．20103元   D．20113元

8．若过M作PQ的垂线，垂足为N，则称向量在上的投影向量为．如图，已知四边形ABCD，BCFE均为正方形，现有下列四个结论：

①在上的投影向量为；

②在上的投影向量为；

③在上的投影向量为；

④在上的投影向量为．

其中正确的是（    ）．

A．①③    B．①④    C．②③    D．②④

9．执行如图所示的程序框图，若输入的，则（    ）．

A．输出的S的最小值为，最大值为5   B．输出的S的最小值为，最大值为4

C．输出的S的最小值为0，最大值为5   D．输出的S的最小值为0，最大值为4

10．住房的许多建材都会释放甲醛．甲醛是一种无色、有着刺激性气味的气体，对人体健康有着极大的危害．新房入住时，空气中的甲醛浓度不能超过，否则，该新房达不到安全入住的标准．若某套住房自装修完成后，通风周与室内甲醛浓度y（单位：）之间近似满足函数关系式，其中，且，，则该住房装修完成后要达到安全入住的标准，至少需要通风（    ）．

A．17周    B．24周    C．26周    D．28周

11．已知四棱锥的每个顶点都在球O的球面上，球O的表面积为，平面ABCD，底面ABCD是等腰梯形，，，，，则（    ）．

A．4    B．    C．   D．5

12．已知函数有两个极值点，，且，，则（    ）．

A．    A．    C．    D．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．

13．写出曲线的一条对称轴的方程：______．

14．若P为双曲线C右支上一点，，分别为左、右焦点，且，，，则C的离心率为______．

15．在，，，这4个数中，最小的是______，最大的是______．（本题第一空2分，第二空3分）

16．已知数列和满足，，，，则______．

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明．证明过程或演算步骤．17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．

（一）必考题：共60分．

17．（12分）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，．

（1）求A；

（2）若，且，求面积的取值范围．

18．（12分）某视频UP主采购了8台不同价位的航拍无人机进行测评，并从重量、体积、画质、图传、续航、避障等多方面进行综合评分．以下是价格和对应的评分数据：

（1）根据以上数据，求y关于x的线性回归方程（系数精确到0.01）．

（2）某网友下周将购买一台X（为整数）元的航拍无人机，根据（1）中的回归方程，对即将购买的航拍无人机进行预测评分．设预测评分为Y，若Y精确到整数的值为92，求X的最大值．

附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为，．

参考数据：，．

19．（12分）已知函数．

（1）求曲线在点处的切线方程；

（2）讨论在上零点的个数．

20．（12分）如图，在四棱锥中，底面ABCD为矩形，，，E为棱AB上任意一点（不包括端点），F为棱PD上任意一点（不包括端点），且．

（1）证明：异面直线CE与AP所成角为定值．

（2）已知，，当三棱锥的体积取得最大值时，平面CEF与PA交于点N，求EN的长．

21．（12分）设椭圆方程为，，分别是椭圆的左、右顶点，动直线l过点，当直线l经过点时，直线l与椭圆相切．

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线l与椭圆交于P，Q（异于A，B）两点，且直线AP与BQ的斜率之和为，求直线l的方程．

（二）选考题：共10分．请考生从第22，23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一个题目计分．

22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

在直角坐标系xOy中，曲线M的参数方程为（t为参数），曲线N的参数方程为（t为参数），曲线N与y轴的交点为B，C（C在B的上方）．

（1）若曲线M与x轴的交点为A，求的面积；

（2）设P为曲线M上任意一点，求线段PC中点的轨迹方程（用直角坐标方程表示）．

23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）

已知函数．

（1）当时，求不等式的解集；

（2）当时，若，求m的取值范围．

2023届高三考试数学试题参考答案（文科）

1．A 【解析】本题考查复数的运算与共轭复数，考查数学运算的核心素养．

的共轭复数为．

2．C 【解析】本题考查集合的交集，考查数学运算的核心素养．

若B＝{偶数}，则；若，则；

若B＝{质数}，则；若，则．

3．D 【解析】本题考查统计，考查应用意识．

由图可知，猪肉、鸡蛋、鲜果、禽肉、粮食、食用油这6种食品中，粮食价格同比涨幅最小，所以A错误．

34.4％＜5×8.5％，所以B错误．

去年11月鲜菜价格要比今年11月高，所以C错误．

因为（－21.2％＋7.6％＋3％＋8.5％＋9.6％＋10.4％＋34.4％）（－22％＋7％＋3％＋8％＋9％＋10％＋34％）％＝7％，所以D正确．

4．A 【解析】本题考查抛物线的标准方程与性质，考查数学运算、逻辑推理的核心素养．

依题意可设C的标准方程为，

因为C的焦点到准线的距离为3，所以，所以C的标准方程为．

5．C 【解析】本题考查几何概型，考查直观想象的核心素养．

因为满足的点P位于圆心角为直角，半径为1的小扇形区域内，

所以由间接法可得所求概率为．

6．B 【解析】本题考查简单几何体的体积与三视图，考查空间想象能力与运算求解能力．

由三视图可知，该几何体由一个棱长为2的正方体和底面半径为，高为2的圆柱拼接而成，

故该几何体的体积为．

7．C 【解析】本题考查等差数列的实际应用，考查应用意识与数学建模的核心素养．

设小方第n天存钱元，则数列从第4项起成等差数列，且该等差数列的首项为1，公差为1，

所以小方存钱203天的储蓄总额为元．

8．A 【解析】本题考查向量的新概念与向量的加法，考查直观想象的核心素养．

过C作于H．

设，则，，

所以，则，

所以在上的投影向量为．连接BF，

根据向量加法的平行四边形法则，得，

所以在上的投影向量为．

9．A 【解析】本题考查程序框图与线性规划，考查逻辑推理与直观想象的核心素养．

作出不等式组，表示的可行域（图略），

由图可知，当直线过点时，z取得最大值4，

当直线过点时，z取得最小值．

因为，且，所以输出的S的最小值为，最大值为5．

10．C 【解析】本题考查函数的实际应用，考查应用意识与数学运算的核心素养．

，

由，，得，，

两式相减得，则，所以，．

该住房装修完成后要达到安全入住的标准，则，

则，即，解得，故至少需要通风26周．

11．D 【解析】本题考查四棱锥的外接球，考查空间想象能力与运算求解能力．

如图，取BC的中点E，过E作，使得，连接AE，DE，AM，PM．

在等腰梯形ABCD中，由，，可得为正三角形．

因为底面ABCD是等腰梯形，所以为正三角形，

所以，所以E为梯形ABCD外接圆的圆心．

由平面ABCD，得平面ABCD．

又，所以M到A，B，C，D，P的距离相等，则M为球O的球心．

在中，，

所以球O的表面积为，解得．

l2．A 【解析】本题考查导数的应用与导数的几何意义，考查逻辑推理与数学运算的核心素养．

由，得，，，可得．

因为，，

所以两式作差得，

则，

所以，解得．

l3．（答案不唯一，只要对称轴方程满足即可）

【解析】本题考查三角函数图象的对称性，考查数学运算的核心素养．

令，得．

14． 【解析】本题考查双曲线的定义与离心率，考查直观想象与数学运算的核心素养．

因为，，，

所以，，

故．

15．； 【解析】本题考查三角函数值与指数大小的比较，考查逻辑推理的核心素养．

因为，，，

所以最小的是，最大的是．

16．（或）

【解析】本题考查数列的综合，考查数学抽象、逻辑推理、数学运算的核心素养．

因为，，所以，

整理得．

因为，所以，

所以是首项为，公比为的等比数列，

所以．

17．解：（1）因为，所以．

在中，，所以，则．

因为，所以．

（2）由及正弦定理，得，所以．

由余弦定理得，所以，

当且仅当时，等号成立，所以．

因为的面积为，所以面积的取值范围是．

18．解：（1），

，

，

，

所以y关于x的线性回归方程为．

（2），得．

因为为整数，所以的最大值为25，即X的最大值为2500．

【注】第（1）问中要求精确到0.01的估计值，不能将精确到0.01的估计值1.87代入求得，如果这样写“，”，不扣分．

19．解：（1）因为，所以，

所以曲线在点处的切线方程为，

即（或）．

（2）令，得．

设函数，

则．

当时，；当时，．

所以．

，

，．

当时，方程无解，则在上零点的个数为0；

当或时，方程只有一解，则在上零点的个数为1；

当时，方程有两解，则在上零点的个数为2．

20．（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，∴．

∵，，∴平面PAB，∴．

∵，，∴平面ABCD，

∴，∴异面直线CE与AP所成角为定值，且该定值为90°．

（2）解：如图，在AD上取点G，使得．

由，设，，其中．

由，，平面ABCD，

可得，，，．

∵，平面ABCD，∴平面ABCD．

在中，有，可得，可得．

的面积为．

，

可得当时，三棱锥体积的最大值为．

当三棱锥的体积取得最大值时，E为AB的中点，F为DP的中点．

延长CE交DA于点M，连接MF，交PA于点N．

∵，∴，∴．

∵，∴，

∴．

又，∴．

21．解：（1）依题意可得．

当直线l经过点时，l的方程为，

代入，整理得，

，

解得，所以椭圆的方程为．

（2）依题意可得直线l的斜率不为0，可设，，．

由，得，

则，

则

．

因为，所以．

又因为，所以，

则直线BQ的方程为，与联立得，

所以l的方程为，即．

22．解：（1）对于曲线M的参数方程，令，得，

则，所以．

对于曲线N的参数方程，令，得或1，

则或2，所以，．

故的面积．

（2）对于曲线M的参数方程，由，得，

代入，得，则曲线M的普通方程为．

设线段PC的中点为，，则，解得．

因为在曲线M上，所以，

所以，

整理得，所以线段PC中点的轨迹方程为．

23．解：（1）当时，可化为，

不等式两边平方，得，整理得，

解得．故当时，不等式的解集为．

（2）（解法一）当时，

由绝对值不等式得．

由，得的最小值为4．

因为，所以，解得．

故m的取值范围为．

（解法二）当时，．

当时，；当时，；

当时，；当时，．

故的最小值为4．

因为，所以，解得．

故m的取值范围为．