2021年北京市石景山区高考数学一模试卷

这是一份2021年北京市石景山区高考数学一模试卷，共24页。

2021年北京市石景山区高考数学一模试卷
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．（4分）已知集合A＝{1，3，5}，B＝{x|x2﹣16＜0}，则A∩B＝（　　）
A．{1，3} B．{3，5} C．{1，3，5} D．（0，4）
2．（4分）下列函数中，是奇函数且最小正周期T＝π的是（　　）
A． B．f（x）＝x3
C．f（x）＝2sinxcosx D．f（x）＝sinx
3．（4分）复数在复平面上对应的点位于第一象限，则实数a的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，﹣1） B．（﹣∞，0） C．（0，+∞） D．（1，+∞）
4．（4分）一几何体的直观图和主视图如图所示，下列给出的四个俯视图中正确的是（　　）

A． B．
C． D．
5．（4分）“直线l垂直于平面α内无数条直线”是“直线l垂直于平面α”的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
6．（4分）已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC＝60°，则＝（　　）
A．﹣a2 B．﹣a2 C．a2 D．a2
7．（4分）过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交抛物线于A、B两点，若F是线段AB的中点，则|AB|＝（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．（4分）“回文数”是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数．如22，121，3443等．那么在四位数中，回文数共有（　　）
A．81个 B．90个 C．100个 D．900个
9．（4分）已知，若|f（x）|≥ax在x∈[﹣1，1]上恒成立，则实数a的取值范围是（　　）
A．（﹣∞﹣1]∪[0，+∞） B．[﹣1，0]
C．[0，1] D．[﹣1，0）
10．（4分）瑞士著名数学家欧拉在1765年证明了定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．在平面直角坐标系中作△ABC，AB＝AC＝4，点B（﹣1，3），点C（4，﹣2），且其“欧拉线”与圆M：（x﹣a）2+（y﹣a+3）2＝r2相切．则圆M上的点到直线x﹣y+3＝0的距离的最小值为（　　）
A． B． C． D．6
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．
11．（5分）双曲线的离心率为　 　．
12．（5分）已知函数f（x）＝|lnx|，若，，c＝f（2），则a，b，c从小到大排序为　 　．
13．（5分）如图，如果每个横行上两数字之和相等，每个竖列上两个数字之和相等，请写出一组满足要求的不全相等的a11，a12，a21，a22的值．a11＝　 　，a12＝　 　，a21＝　 　，a22＝　 　．

14．（5分）在锐角△ABC中，a＝3，c＝5，a＝2bsinA，则B＝　 　，b＝　 　．
15．（5分）海水受日月的引力，会发生潮汐现象．在通常情况下，船在涨潮时驶入航道，进入港口，落潮时返回海洋．某兴趣小组通过AI技术模拟在一次潮汐现象下货船出入港口的实验：首先，设定水深y（单位：米）随时间x（单位：小时）的变化规律为y＝0.8sinωx+2（ω∈R），其中0≤x≤；然后，假设某虚拟货船空载时吃水深度（船底与水面的距离）为0.5米，满载时吃水深度为2米，卸货过程中，随着货物卸载，吃水深度以每小时0.4米的速度减小；并制定了安全条例，规定船底与海底之间至少要有0.4米的安全间隙．
在此次模拟实验中，若货船满载进入港口，那么以下结论正确的是　 　．
①若，货船在港口全程不卸货，则该船在港口至多能停留4个小时；
②若，该货船进入港口后，立即进行货物卸载，则该船在港口至多能停留4个小时；
③若ω＝1，货船于x＝1时进入港口后，立即进行货物卸载，则时，船底离海底的距离最大；
④若ω＝1，货船于x＝1时进入港口后，立即进行货物卸载，则时，船底离海底的距离最大．
三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16．（13分）如图，在五面体ABCDEF中，面ABCD为正方形，面ABFE∩面CDEF＝EF，AD⊥ED，CD⊥EA．
（Ⅰ）求证：CD∥平面ABFE；
（Ⅱ）若EF＝ED，CD＝2EF＝2，求平面ADE与平面BCF所成的锐二面角的大小．

17．（13分）已知有限数列{an}共有30项{an}（n∈N*，n≤30），其中前20项成公差为d的等差数列，后11项成公比为q的等比数列，记数列的前n项和为Sn．从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求：
（Ⅰ）d，q的值；
（Ⅱ）数列中的最大项．
条件①：a2＝4，S5＝30，a21＝20；
条件②：S3＝0，a20＝﹣36，a22＝﹣9；
条件③：S1＝48，a21＝20，a24＝160．
18．（14分）某大型连锁超市的市场部为了比较线下、线上这两种模式的销售情况，从某地区众多门店中随机抽取8家门店，对其线下和线上这两种销售模式下的日营业额（单位：万元）进行调查．调查结果如下：

门店1
门店2
门店3
门店4
门店5
门店6
门店7
门店8
线下
日营业额
9
6.5
19
9.5
14.5
16.5
20.5
12.5
线上
日营业额
11.5
9
12
17
19
23
21.5
15
若某门店一种销售模式下的日营业额不低于15万元，则称该门店在这种销售模式下的日营业额达标；否则就称该门店在此种销售模式下的日营业额不达标．
若某门店的日营业总额（线上和线下两种销售模式下的日营业额之和）不低于30万元，则称该门店的日营业总额达标；否则就称该门店的日营业总额不达标．
（各门店的营业额之间互不影响）
（Ⅰ）从8个样本门店中随机抽取3个，求抽取的3个门店的线下日营业额均达标的概率；
（Ⅱ）若从该地区众多门店中随机抽取3个门店，记随机变量X表示抽到的日营业总额达标的门店个数．以样本门店的日营业总额达标的频率作为一个门店的日营业总额达标的概率，求X的分布列和数学期望；
（Ⅲ）线下日营业额和线上日营业额的样本平均数分别记为μ1和μ2，线下日营业额和线上日营业额的样本方差分别记为S12和S22．试判断μ1和μ2的大小，以及S12和S22的大小．（结论不要求证明）
19．（15分）已知椭圆的右焦点为F（1，0），且经过点A（﹣2，0）和点B（2，0）．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）M和N是椭圆C上两个不同的点，四边形AMBN是平行四边形，直线AM、AN分别交y轴于点P和点Q，求四边形APFQ面积的最小值．
20．（15分）已知函数．
（Ⅰ）当a＝﹣1时，求f（x）在x＝0处的切线方程；
（Ⅱ）已知f（x）≤1对任意x∈R恒成立，求a的值．
21．（15分）由m个正整数构成的有限集M＝{a1，a2，a3，…，am}（其中a1＜a2＜a3＜…＜am），记P（M）＝a1+a2+…+am，特别规定P（∅）＝0，若集合M满足：对任意的正整数k≤P（M），都存在集合M的两个子集A，B，使得k＝P（A）﹣P（B）成立，则称集合M为“满集”．
（Ⅰ）分别判断集合M1＝{1，2}与M2＝{2，3}是否为“满集”，请说明理由；
（Ⅱ）若集合M为“满集”，求a1的值；
（Ⅲ）若a1，a2，a3，…，am是首项为1公比为2的等比数列，判断集合M是否为“满集”，并说明理由．

2021年北京市石景山区高考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．（4分）已知集合A＝{1，3，5}，B＝{x|x2﹣16＜0}，则A∩B＝（　　）
A．{1，3} B．{3，5} C．{1，3，5} D．（0，4）
【分析】先求出集合B，然后由集合交集的定义求解即可．
【解答】解：因为B＝{x|x2﹣16＜0}＝{x|﹣4＜x＜4}，
又集合A＝{1，3，5}，
所以A∩B＝{1，3}．
故选：A．
【点评】本题考查了集合交集的求解，同时考查了一元二次不等式的解法，属于基础题．
2．（4分）下列函数中，是奇函数且最小正周期T＝π的是（　　）
A． B．f（x）＝x3
C．f（x）＝2sinxcosx D．f（x）＝sinx
【分析】由题意利用函数的奇偶性和周期性，三角函数的性质，得出结论．
【解答】解：由于函数f（x）＝不是周期函数，故排除A；
由于f（x）＝x3不是周期函数，故排除B；
由于f（x）＝2sinxcosx＝sin2x为奇函数，且是周期函数，周期为＝π，故C满足条件；
由于f（x）＝sinx是奇函数，且周期为2π，故D错误，
故选：C．
【点评】本题主要考查函数的奇偶性和周期性，三角函数的性质，属于中档题．
3．（4分）复数在复平面上对应的点位于第一象限，则实数a的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，﹣1） B．（﹣∞，0） C．（0，+∞） D．（1，+∞）
【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．
【解答】解：复数＝＝a+i在复平面上对应的点（a，1）位于第一象限，
则实数a的取值范围是（　0，+∞），
故选：C．
【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
4．（4分）一几何体的直观图和主视图如图所示，下列给出的四个俯视图中正确的是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】通过几何体结合三视图的画图方法，判断选项即可．
【解答】解：几何体的俯视图，轮廓是矩形，几何体的上部的棱都是可见线段，所以C、D不正确；
几何体的上部的棱与正视图方向垂直，所以A不正确．
故选：B．
【点评】本题考查三视图的画法，几何体的结构特征，属于基础题．
5．（4分）“直线l垂直于平面α内无数条直线”是“直线l垂直于平面α”的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】根据线面垂直的定义以及充分条件和必要条件的关系进行判断即可．
【解答】解：若直线l垂直于平面α，则直线l垂直于平面α内无数条直线成立，即必要性成立，
反之若直线l垂直于平面α内无数条直线，则无法判断直线l垂直于平面α，即充分性不成立，
即“直线l垂直于平面α内无数条直线”是“直线l垂直于平面α”的必要不充分条件，
故选：B．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用线面垂直的定义是解决本题的关键，是基础题．
6．（4分）已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC＝60°，则＝（　　）
A．﹣a2 B．﹣a2 C．a2 D．a2
【分析】由已知可求，，根据＝（）•＝代入可求
【解答】解：∵菱形ABCD的边长为a，∠ABC＝60°，
∴＝a2，＝a×a×cos60°＝，
则＝（）•＝＝
故选：D．
【点评】本题主要考查了平面向量数量积的定义的简单运算，属于基础试题
7．（4分）过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交抛物线于A、B两点，若F是线段AB的中点，则|AB|＝（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】利用抛物线的性质求解即可．
【解答】解：F是线段AB的中点，由抛物线的对称性，可知，AB⊥x轴，
抛物线y2＝4x，可得p＝2，
所以|AB|＝2p＝4．
故选：D．
【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，是基础题．
8．（4分）“回文数”是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数．如22，121，3443等．那么在四位数中，回文数共有（　　）
A．81个 B．90个 C．100个 D．900个
【分析】由题意只需排列前两位即可，第一位有9种排法，第二位有10种排法，由此即可求解．
【解答】解：4位回文数只需排列前两位数字，后面数字即可确定，
又因为第一位不能为0，因此第一位有9种排法，第二位有10种排法，
所以共有9×10＝90种排法，
故选：B．
【点评】本题考查了排列组合的简单计数问题，涉及到回文数的定义，考查了学生的运算能力，属于基础题．
9．（4分）已知，若|f（x）|≥ax在x∈[﹣1，1]上恒成立，则实数a的取值范围是（　　）
A．（﹣∞﹣1]∪[0，+∞） B．[﹣1，0]
C．[0，1] D．[﹣1，0）
【分析】先画出函数和|f（x）|的图象；利用图象再结合答案即可解决本题．
【解答】解：函数的图象如图：
|f（x）|的图象如图：
因为|f（x）|≥ax在x∈[﹣1，1]上恒成立，
所以y＝ax的图象应在y＝|f（x）|的图象的下方，
故须斜率为负，或为0．
当斜率为负时，排除答案A，C；
当a＝0，y＝0满足要求，排除D．
故选：B．
【点评】本题主要考查函数的图象．其中涉及到二次函数，一次函数，分段函数以及带绝对值的函数的图象，是对函数的大汇总，在画整体带绝对值的函数图象时，注意起翻折原则是x轴上方的保持不变，x轴下方的沿x轴对折．
10．（4分）瑞士著名数学家欧拉在1765年证明了定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．在平面直角坐标系中作△ABC，AB＝AC＝4，点B（﹣1，3），点C（4，﹣2），且其“欧拉线”与圆M：（x﹣a）2+（y﹣a+3）2＝r2相切．则圆M上的点到直线x﹣y+3＝0的距离的最小值为（　　）
A． B． C． D．6
【分析】由题意知，△ABC的“欧拉线”是BC的垂直平分线，由B，C两点的坐标，写出BC中垂线的方程，再利用平行线间的距离公式求得“欧拉线”与直线x﹣y+3＝0的距离，即可得解．
【解答】解：∵AB＝AC＝4，
∴BC边上的高线、垂直平分线和中线合一，
即△ABC的“欧拉线”是BC的垂直平分线，
∵B（﹣1，3），C（4，﹣2），
∴kBC＝＝﹣1，中点为（，），
∴BC垂直平分线所在的直线方程为y﹣＝1×（x﹣），即x﹣y﹣1＝0，
∴“欧拉线”与直线x﹣y+3＝0平行，
∴圆M上的点到直线x﹣y+3＝0的距离的最小值为此平行线间的距离d＝＝2．
故选：A．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，两条直线的垂直关系，平行线间的距离公式等，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．
11．（5分）双曲线的离心率为　　．
【分析】通过双曲线方程求出a，b，c的值然后求出离心率即可．
【解答】解：因为双曲线，所以a＝4，b＝3，所以c＝，
所以双曲线的离心率为：e＝．
故答案为：．
【点评】本题考查双曲线的基本性质的应用，离心率的求法，考查计算能力．
12．（5分）已知函数f（x）＝|lnx|，若，，c＝f（2），则a，b，c从小到大排序为　c＜b＜a　．
【分析】根据条件可得出a＝ln8，b＝ln4，c＝ln2，然后根据对数函数的单调性即可得出a，b，c的大小关系．
【解答】解：，c＝|ln2|＝ln2，
∵ln2＜ln4＜ln8，
∴c＜b＜a．
故答案为：c＜b＜a．
【点评】本题考查了对数的运算性质，对数函数的单调性，考查了计算能力，属于基础题．
13．（5分）如图，如果每个横行上两数字之和相等，每个竖列上两个数字之和相等，请写出一组满足要求的不全相等的a11，a12，a21，a22的值．a11＝　1　，a12＝　2　，a21＝　2　，a22＝　1（答案不唯一）　．

【分析】根据条件建立方程关系，进行作差即可得到结论．
【解答】解：由题意知a11+a12＝a21+a22，a11+a21＝a12+a22，
则两式相减得a12﹣a21＝a21﹣a12，
即a12＝a21，a11＝a22，
则不妨取a12＝a21＝2，a11＝a22＝1，
故答案为：1，2，2，1．答案不唯一
【点评】本题主要考查归纳推理的应用，根据条件建立方程关系是解决本题的关键，是基础题．
14．（5分）在锐角△ABC中，a＝3，c＝5，a＝2bsinA，则B＝　　，b＝　　．
【分析】由正弦定理化简已知等式，结合sinA≠0，可求sinB＝，结合B为锐角，可求B＝，进而根据余弦定理可求b的值．
【解答】解：因为a＝2bsinA，
所以由正弦定理可得sinA＝2sinBsinA，
因为sinA≠0，
所以sinB＝，
因为B为锐角，
所以B＝，
因为a＝3，c＝5，
由余弦定理b2＝a2+c2﹣2accosB＝27+25﹣2×＝7，
所以b＝．
故答案为：，．
【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
15．（5分）海水受日月的引力，会发生潮汐现象．在通常情况下，船在涨潮时驶入航道，进入港口，落潮时返回海洋．某兴趣小组通过AI技术模拟在一次潮汐现象下货船出入港口的实验：首先，设定水深y（单位：米）随时间x（单位：小时）的变化规律为y＝0.8sinωx+2（ω∈R），其中0≤x≤；然后，假设某虚拟货船空载时吃水深度（船底与水面的距离）为0.5米，满载时吃水深度为2米，卸货过程中，随着货物卸载，吃水深度以每小时0.4米的速度减小；并制定了安全条例，规定船底与海底之间至少要有0.4米的安全间隙．
在此次模拟实验中，若货船满载进入港口，那么以下结论正确的是　①④　．
①若，货船在港口全程不卸货，则该船在港口至多能停留4个小时；
②若，该货船进入港口后，立即进行货物卸载，则该船在港口至多能停留4个小时；
③若ω＝1，货船于x＝1时进入港口后，立即进行货物卸载，则时，船底离海底的距离最大；
④若ω＝1，货船于x＝1时进入港口后，立即进行货物卸载，则时，船底离海底的距离最大．
【分析】分析船底离海底的距离为y﹣2＝0.8sinωx＝f1（x）≥0.4，求解即可判断选项①；由船底离海底的距离，利用导数研究函数的单调性，即可判断选项②；船底离海底的距离f3（x）＝0.8sinx+0.4（x﹣1），利用导数求解函数的最值，即可判断选项③④．
【解答】解：对于①，货船在港口全程不卸货，则吃水恒为2米，
所以船离海底为y﹣2＝0.8sinωx＝f1（x），
当f1（x）≥0.4时，，则，解得1≤x≤5，
所以最多停留时间为5﹣1＝4小时，故选项①正确；
对于②，货船进入港口后，立即进行货物卸载，
则吃水深度为h2＝2﹣0.4x且2﹣0.4x≥0.5，解得，
此时船离海底，
所以，
所以f2（x）在上单调递增，且当x＝1时，f2（1）＝0.8＞0.4，
由，，
此段时间都可以停靠，
又f2（1）＝0.8＞0.4，所以6﹣1＝5＞4，故选项②错误；
对于③和④，货船于x＝1时进入港口后，立即进行货物卸载，
则吃水深度h3＝2﹣0.4（x﹣1），1≤x≤π，
所以f3（x）＝0.8sinx+0.4（x﹣1），则f3′（x）＝0.8cosx+0.4＝0，解得，
当时，f3′（x）＞0，则f3（x）单调递增，
当时，f3′（x）＜0，则f3（x）单调递减，
所以当时，f3（x）取得最大值，
所以船底离海底的距离最大，故选项③错误，选项④正确．
故答案为：①④．
【点评】本题考查了三角函数的实际应用问题，涉及了导数研究函数性质的应用，解题的关键是正确理解题意，得到船底离海底的距离的关系式，考查了逻辑推理能力与化简运算能力．
三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16．（13分）如图，在五面体ABCDEF中，面ABCD为正方形，面ABFE∩面CDEF＝EF，AD⊥ED，CD⊥EA．
（Ⅰ）求证：CD∥平面ABFE；
（Ⅱ）若EF＝ED，CD＝2EF＝2，求平面ADE与平面BCF所成的锐二面角的大小．

【分析】（Ⅰ）证明CD∥AB，然后证明CD∥平面ABFE．
（Ⅱ）以点D为坐标原点，DA，DC，DE分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系．求出平面ADE的法向量，平面BCF的法向量，利用空间向量的数量积求解平面ADE与平面BCF所成锐二面角的大小即可．
【解答】（Ⅰ）证明：在五面体ABCDEF中，
因为面ABCD是正方形，
所以CD∥AB．
又因为AB⊂平面ABFE，CD⊄平面ABFE，
所以CD∥平面ABFE．
（Ⅱ）解：因为面ABCD是正方形，所以CD⊥AD．
又因为CD⊥AE．
又AD∩AE＝A，
所以CD⊥平面ADE
又因为DE⊂平面ADE，
所以CD⊥DE．
因为面ABCD是正方形，
所以CD⊥AD．
又因为AD⊥DE，
所以以点D为坐标原点，DA，DC，DE分别为x，y，z轴，
如图建立空间直角坐标系．
因为CD＝2EF＝2，EF＝ED，D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），E（0，0，1）．
由（Ⅰ）CD∥平面ABFE，CD⊂平面CDEF，
平面CDEF∩平面ABFE＝EF，
所以CD∥EF．
所以．
可得F（0，1，1）．
由题意知平面ADE的法向量为
设平面BCF的法向量为．
由得
令y＝1，得z＝1，x＝0，所以
设平面ADE与平面BCF所成锐二面角为θ．cosθ＝．
所以平面ADE与平面BCF所成锐二面角为

【点评】本题考查直线与平面平行的判断定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力，是中档题．
17．（13分）已知有限数列{an}共有30项{an}（n∈N*，n≤30），其中前20项成公差为d的等差数列，后11项成公比为q的等比数列，记数列的前n项和为Sn．从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求：
（Ⅰ）d，q的值；
（Ⅱ）数列中的最大项．
条件①：a2＝4，S5＝30，a21＝20；
条件②：S3＝0，a20＝﹣36，a22＝﹣9；
条件③：S1＝48，a21＝20，a24＝160．
【分析】（Ⅰ）由所选条件列出q与d的方程组，即可求解出d，q的值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）分别求出前20项中的最大项与后11项中的最大项，即可求得数列中的最大项．
【解答】当选择条件①时：
解：（Ⅰ）因为{an}的前20项成等差数列，a2＝4，S5＝30，
所以
解得．
所以a20＝2+19×2＝40．
因为数列{an}后11项成公比为q的等比数列，
所以．
综上，．
（Ⅱ）{an}的前20项成等差数列，d＞0．
所以前20项为递增数列．
即：前20项的最大项为a20＝40．
数列{an}的后11项成等比数列，，
所以后11项是递减数列．
即：后11项的最大项为a20＝40
综上，数列{an}的最大项为第20项，其值为40．
当选择条件②时：
解：（Ⅰ）因为{an}的前20项成等差数列，S3＝0，a20＝﹣36，
所以
所以
因为数列{an}后11项成公比为q的等比数列，a20＝﹣36，又因为a22＝﹣9，
所以．
综上，．
（Ⅱ）{an}的前20项成等差数列，d＜0．
所以前20项为递减数列．
前20项的最大项为a1＝2．
因为．
i．当时，，
所以当20≤n≤30时，an＜0．
此时，数列{an}的最大项为第1项，其值为2；
ⅱ．当时，，
后11项的最大项为a21＝18．
此时，数列{an}的最大项为第21项，其值为18．
综上，当时，数列{an}的最大项为第1项，其值为2；
当时，数列{an}的最大项为第21项，其值为18．
当选择条件③时：
解：（Ⅰ）因为数列{an}后11项成公比为q的等比数列，a21＝20，a24＝160，
所以，
解得q＝2．
所以．
又因为{an}的前20项成等差数列，S1＝a1＝48，
所以．
综上，d＝﹣2，q＝2．
（Ⅱ）{an}的前20项成等差数列，d＜0．
所以前20项为递减数列．
前20项的最大项为a1＝48．{an}的后11项成等比数列，而a20＝10，q＝2，，
所以后11项为递增数列．
后11项的最大项为a30＝10240，
综上，数列{an}的最大项为第30项，其值为10240．
【点评】本题主要考查等差、等比数列基本量的计算，属于中档题．
18．（14分）某大型连锁超市的市场部为了比较线下、线上这两种模式的销售情况，从某地区众多门店中随机抽取8家门店，对其线下和线上这两种销售模式下的日营业额（单位：万元）进行调查．调查结果如下：

门店1
门店2
门店3
门店4
门店5
门店6
门店7
门店8
线下
日营业额
9
6.5
19
9.5
14.5
16.5
20.5
12.5
线上
日营业额
11.5
9
12
17
19
23
21.5
15
若某门店一种销售模式下的日营业额不低于15万元，则称该门店在这种销售模式下的日营业额达标；否则就称该门店在此种销售模式下的日营业额不达标．
若某门店的日营业总额（线上和线下两种销售模式下的日营业额之和）不低于30万元，则称该门店的日营业总额达标；否则就称该门店的日营业总额不达标．
（各门店的营业额之间互不影响）
（Ⅰ）从8个样本门店中随机抽取3个，求抽取的3个门店的线下日营业额均达标的概率；
（Ⅱ）若从该地区众多门店中随机抽取3个门店，记随机变量X表示抽到的日营业总额达标的门店个数．以样本门店的日营业总额达标的频率作为一个门店的日营业总额达标的概率，求X的分布列和数学期望；
（Ⅲ）线下日营业额和线上日营业额的样本平均数分别记为μ1和μ2，线下日营业额和线上日营业额的样本方差分别记为S12和S22．试判断μ1和μ2的大小，以及S12和S22的大小．（结论不要求证明）
【分析】（Ⅰ）设“抽取的3个门店的线下日营业额均达标”为事件A，利用古典概型的概率公式求解即可．
（Ⅱ）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3．求解概率，得到分布列，然后求解期望即可．
（Ⅲ）利用表格数据，判断．
【解答】解：（Ⅰ）设“抽取的3个门店的线下日营业额均达标”为事件A，
由题意知，8个样本门店中线下日营业额达标的有3家，
所以．
所以抽取的3个门店的线下日营业额均达标的概率为．
（Ⅱ）由题意，8个样本门店中线下日营业总额达标的有4家，
所以从该地区众多门店中任选1个门店，日营业总额达标的概率为．
依题意，随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3.； ；； ．
所以随机变量X的分布列为：
X
0
1
2
3
P




其数学期望．
（Ⅲ）．
【点评】本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
19．（15分）已知椭圆的右焦点为F（1，0），且经过点A（﹣2，0）和点B（2，0）．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）M和N是椭圆C上两个不同的点，四边形AMBN是平行四边形，直线AM、AN分别交y轴于点P和点Q，求四边形APFQ面积的最小值．
【分析】（Ⅰ）由右焦点为F（1，0），且经过点A（﹣2，0）和点B（2，0），列方程组，解得a，b，进而可得答案．
（Ⅱ）因为四边形AMBN是平行四边形，推出AB与MN的中点重合，所以M、N关于原点对称．设M（x1，y1），则N（﹣x1，﹣y1），写出直线AM的方程，进而可得P点坐标，同理写出直线AN的方程，得Q点的坐标，再计算四边形APFQ面积的最小值，即可得出答案．
【解答】解：（Ⅰ）由已知a＝2，c＝1，
所以b2＝a2﹣c2＝3．
所以椭圆C的方程为．
（Ⅱ）因为四边形AMBN是平行四边形，
所以AB与MN的中点重合，所以M、N关于原点对称．
设M（x1，y1），则N（﹣x1，﹣y1）．（x1≠±2且y1≠0），
直线AM的方程为，
令x＝0，得，即，
又，
直线AN的方程为，
令x＝0，得，即．
四边形APFQ面积为，
，
因为点M在椭圆上，
所以，．
所以．
所以．
所以当时，．
所以四边形APFQ面积的最小值为．
【点评】本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．
20．（15分）已知函数．
（Ⅰ）当a＝﹣1时，求f（x）在x＝0处的切线方程；
（Ⅱ）已知f（x）≤1对任意x∈R恒成立，求a的值．
【分析】（Ⅰ）求出导函数，求出切线的斜率，切点坐标，然后求解切线方程．
（Ⅱ）利用导数判断f（x）在R内单调递减，求出零点，当a＜0时，判断函数的单调性以及函数的极值，
当a＞0时，判断函数的单调性，然后求解最值，然后推出a的值即可．
【解答】解：（Ⅰ）当a＝﹣1时，，，
所以f（0）＝1，f'（0）＝﹣2
切线l的斜率为k＝f'（0）＝﹣2．
所以f（x）在x＝0处的切线方程为y＝﹣2x+1．
（Ⅱ）依题意，f（x）≤1对任意x∈R恒成立，，
当a＝0时，，由于ex＞0，则f'（x）＜0恒成立，
所以f（x）在R内单调递减，
因为f（0）＝1，
故当x＜0时，f（x）＞1，不符合题意．
当a≠0时，令f'（x）＝0，得
当a＜0时，，因为f（0）＝1，那么x，f'（x），f（x）的变化情况如下表：
x



f'（x）
﹣
0
+
f（x）
单调递减
极小值
单调递增
所以结合f（x）的单调性知：当x＜0时，f（x）＞1，不符合题意．
当a＞0时，x，f'（x），f（x）的变化情况如下表：
x



f'（x）
+
0
﹣
f（x）
单调递增
极大值
单调递减
当0＜a＜1时，，因为f（0）＝1，
所以结合f（x）的单调性知当时，f（x）＞1，不符合题意．
当a＞1时，，因为f（0）＝1，
所以结合f（x）的单调性知当时，f（x）＞1，不符合题意．
当a＝1时，．由f（x）的单调性可知，f（x）max＝f（0）＝1，所以符合题意．
综上，a＝1．
【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及切线方程的求法，考查转化思想以及计算能力，分类讨论思想的应用，是难题．
21．（15分）由m个正整数构成的有限集M＝{a1，a2，a3，…，am}（其中a1＜a2＜a3＜…＜am），记P（M）＝a1+a2+…+am，特别规定P（∅）＝0，若集合M满足：对任意的正整数k≤P（M），都存在集合M的两个子集A，B，使得k＝P（A）﹣P（B）成立，则称集合M为“满集”．
（Ⅰ）分别判断集合M1＝{1，2}与M2＝{2，3}是否为“满集”，请说明理由；
（Ⅱ）若集合M为“满集”，求a1的值；
（Ⅲ）若a1，a2，a3，…，am是首项为1公比为2的等比数列，判断集合M是否为“满集”，并说明理由．
【分析】（Ⅰ）P（M1）＝3，且M1的子集为∅，{1}，{2}，{1，2}k＝1，k＝P（{1}）﹣P（∅），由此能推导出M1是满集；P（M2）＝5，且M2的子集为∅，{2}，{3}，{2，3}，k＝4时，不存在集合M的两个子集A、B，使得4＝P（A）﹣P（B）成立，从而M2不是满集．
（Ⅱ）设k0＝P（M），由集合M为“满集”对任意的正整数k≤P（M），都存在集合M的两个子集A、B，使得k＝P（A）﹣P（B）成立．得到P（A）＝k0或P（A）＝k0﹣1．由此能求出结果．
（Ⅲ）由题意知集合M＝{1，2，4，…，2m﹣1}，，对任意的正整数k≤2m﹣1，根据二进制可知，k＝（0≤is＜…＜i1＜m），由此能推导出集合M为“满集”．
【解答】解：（Ⅰ）M1是满集，M2不是满集．
P（M1）＝3，且M1的子集为∅，{1}，{2}，{1，2}k＝1，k＝P（{1}）﹣P（∅），
k＝2，k＝P（{2}）﹣P（∅），k＝3，k＝P（{1，2}）﹣P（∅）
所以M1是满集；
P（M2）＝5，且M2的子集为∅，{2}，{3}，{2，3}，
k＝4时，不存在集合M的两个子集A、B，使得4＝P（A）﹣P（B）成立，
所以M2不是满集．
（Ⅱ）设k0＝P（M），因为集合M为“满集”对任意的正整数k≤P（M），
都存在集合M的两个子集A、B，使得k＝P（A）﹣P（B）成立．
则k0﹣1＝P（A）﹣P（B），且P（B）≥0，所以P（A）＝k0或P（A）＝k0﹣1．
当P（A）＝k0时，P（B）＝1，此时a1＝1；
当P（A）＝k0﹣1时，P（B）＝0，因为a1＜a2＜a3＜…＜am，
所以a2+a3+…+am为最大k0﹣1，此时a1＝1．
综上a1＝1．
（Ⅲ）集合M是满集．
由题意知集合M＝{1，2，4，…，2m﹣1}，，
对任意的正整数k≤2m﹣1，根据二进制可知，
k＝（0≤is＜…＜i1＜m）．
取A＝{}，B＝∅．
即k＝P（A）﹣P（B），所以集合M为“满集”．
【点评】本题考查满集的运算，考查新定义、二进制、等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
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