2021年广东省广州市高考数学综合测试试卷（二）（二模）

这是一份2021年广东省广州市高考数学综合测试试卷（二）（二模），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年广东省广州市高考数学综合测试试卷（二）（二模）
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的）
1．（5分）已知集合P＝{x|x＜3}，Q＝{x|﹣2＜x＜2}，则（　　）
A．P⊆Q B．Q⊆P C．P∩Q＝P D．P∪Q＝Q
2．（5分）某中学甲、乙、丙、丁四名学生去A、B、C、D四个社区展开“厉行节约，反对餐饮浪费”宣传活动，每名学生只去一个社区，每个社区一名学生．甲说：我不去A社区；乙说：我不去A社区也不去D社区；丙说：我不去B社区．若甲、乙、丙三人中只有甲和乙说了真话，则去D社区的是（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
3．（5分）已知z1，z2都是复数，z2的共轭复数为，下列命题中，真命题的是（　　）
A．若|z1|＝|z2|，则z1＝z2
B．若z1＞z2，则|z1|＞|z2|
C．若z1＝z2，则
D．若，则z1+z2为实数
4．（5分）已知第二象限角θ的终边上有两点A（﹣1，a），B（b，2），且cosθ+3sinθ＝0，则3a﹣b＝（　　）
A．﹣7 B．﹣5 C．5 D．7
5．（5分）展开式的常数项是（　　）
A．160 B．100 C．﹣100 D．﹣160
6．（5分）已知函数，且f（1+a）+f（﹣a2+a+2）＞0，则a的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞） B．（﹣1，3）
C．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞） D．（﹣3，1）
7．（5分）学生到工厂参加实践劳动，用薄铁皮制作一个圆柱体，圆柱体的全面积为8π，则该圆柱体的外接球的表面积的最小值是（　　）
A． B． C． D．
8．（5分）如图，有一种变压器，铁芯的截面是正十字形（阴影部分，其中矩形ABCD绕其对称中心，按顺时针方向旋转90度后与矩形EFGH重合），已知AB＝2，正十字形有一个外接圆，从外接圆内部随机取一点，此点取自正十字形的概率为，则tan∠ACD＝（　　）

A．﹣1 B．2﹣2 C． D．
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有一项或多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.）
（多选）9．（5分）2020年，中国经济在疫情阻击战的基础上实现了正增长，国内生产总值首次突破百万亿大关．根据中国统计局官方提供的数据，2010年～2020年中国国内生产总值（单位：亿元）的条形图和国内生产总值年增长率（YoY）的折线图如图，根据该图，下列结论正确的是（　　）

A．2017年国内生产总值的年增长率最大
B．2011年国内生产总值的年增长率最大
C．这11年国内生产总值的年增长率不断减小
D．这11年国内生产总值逐年增长
（多选）10．（5分）过双曲线的左焦点F作直线l交C于A、B两点，则（　　）
A．若|AB|＝1，则直线l只有1条
B．若|AB|＝2，则直线l有2条
C．若|AB|＝3，则直线l有3条
D．若|AB|＝4，则直线l有3条
（多选）11．（5分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面为矩形，PD⊥底面ABCD，AD＝1，PD＝AB＝2，点E是PB的中点，过A，D，E三点的平面α与平面PBC的交线为l，则（　　）

A．l∥平面PAD
B．AE∥平面PCD
C．直线PA与l所成角的余弦值为
D．平面α截P﹣ABCD四棱锥所得的上、下两部分几何体的体积之比为
12．（5分）对于函数f（x）＝，则下列结论正确的是（　　）
A．任取x1，x2∈[﹣，+∞），都有|f（x1）﹣f（x2）|＜2恒成立
B．f（0）+f（2）+f（4）+f（6）+⋯+f（2020）＝2﹣
C．对任意x＞0，不等式f（x）≤恒成立，则实数k的取值范围是[1，+∞）
D．函数y＝f（x）﹣ln（x﹣）有且仅有2个零点
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）
13．（5分）已知等差数列{an}满足a3＝2，a4+a5＝10，则log2a6＝　 　．
14．（5分）在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝，AC＝3，点D在AC上，且AD＝2DC，则＝　 　．
15．（5分）若直线y＝﹣2x+与曲线y＝﹣ax相切，则a＝　 　．
16．（5分）已知椭圆C：＝1的两个焦点为F1（﹣2，0）和F2（2，0）．直线l过点F1，点F2关于直线l对称点A在C上，且（+2）＝8，则C的方程为 　 　．
四、解答题（本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（10分）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn+1+2Sn﹣1＝3Sn（n≥2）．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）令，求数列{bn}的前n项和Tn．
18．（12分）如图，在四边形ABCD中，△BCD是等腰直角三角形，∠BCD＝90°，∠ADB＝90°，sin∠ABD＝，BD＝2，AC与BD交于点E．
（1）求sin∠ACD；
（2）求△ABE的面积．

19．（12分）习近平总书记指出：在扶贫的道路上，不能落下任何一个贫困家庭，丢下一个贫困群众．根据相关统计，2010年以后中国贫困人口规模呈逐年下降趋势，2011年～2019年，全国农村贫困发生率的散点图如图：

注：年份代码1～9分别对应年份2011年～2019年．
（1）求y关于t的回归直线方程（系数精确到0.01）；
（2）已知某贫困地区的农民人均年纯收入X（单位：万元）满足正态分布N（1.6，0.36），若该地区约有97.72%的农民人均年纯收入高于该地区最低人均年纯收入标准，则该地区最低人均年纯收入标准大约为多少万元？．
参考数据与公式：，．
回归方程＝t+中斜率和截距的最小二乘估计分别为＝，＝﹣．若随机变量X服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）＝0.9544，P（μ﹣3σ＜X＜μ+3σ）＝0.9974．
20．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧面BB1C1C是菱形，∠ABB1＝∠ABC．
（1）求证：B1C⊥平面ABC1；
（2）若BB1＝B1C＝2，AB＝AC1，且二面角B1﹣AB﹣C为直二面角，求三棱锥C1﹣ABB1的体积．

21．（12分）已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）上的点到点A（0，p）的距离的最小值为2．
（1）求C的方程；
（2）若点F是C的焦点，过F作两条相互垂直的直线l1，l2，l1与C交于M，N两点，l2与C交于P，Q两点，线段MN，PQ的中点分别是S，T，是否存在定圆使得直线ST截该圆所得的线段长恒为定值？若存在，写出一个定圆的方程；若不存在，请说明理由．
22．（12分）已知函数f（x）＝ln（x+1）+a（x﹣1）2（a＞0）．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）证明：对任意n∈N*，都有．

2021年广东省广州市高考数学综合测试试卷（二）（二模）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的）
1．（5分）已知集合P＝{x|x＜3}，Q＝{x|﹣2＜x＜2}，则（　　）
A．P⊆Q B．Q⊆P C．P∩Q＝P D．P∪Q＝Q
【分析】根据子集的定义即可判断选项B正确，A错误，进行交集和并集的运算即可得出选项C，D都错误．
【解答】解：∵P＝{x|x＜3}，Q＝{x|﹣2＜x＜2}，
∴Q⊆P，P∩Q＝Q，P∪Q＝P．
故选：B．
【点评】本题考查了集合的描述法的定义，子集的定义，交集和并集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．
2．（5分）某中学甲、乙、丙、丁四名学生去A、B、C、D四个社区展开“厉行节约，反对餐饮浪费”宣传活动，每名学生只去一个社区，每个社区一名学生．甲说：我不去A社区；乙说：我不去A社区也不去D社区；丙说：我不去B社区．若甲、乙、丙三人中只有甲和乙说了真话，则去D社区的是（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【分析】根据甲、乙、丙三人中只有甲和乙说了真话，可推测出丙去B，乙去C，甲去D．
【解答】解：因为甲和乙说了真话，所以甲不去A，乙不去A，D，乙去B或C中的一个，
因为丙说了假话，所以丙去B，
所以乙去C，
又因为甲不去A，所以甲去D，
故选：A．
【点评】本题主要考查了简单的合情推理，是基础题．
3．（5分）已知z1，z2都是复数，z2的共轭复数为，下列命题中，真命题的是（　　）
A．若|z1|＝|z2|，则z1＝z2
B．若z1＞z2，则|z1|＞|z2|
C．若z1＝z2，则
D．若，则z1+z2为实数
【分析】直接利用复数的共轭，复数的模及复数的运算判断A、B、C、D的结论．
【解答】解：已知z1，z2都是复数，z2的共轭复数为，
对于A：当z1＝z2时，则|z1|＝|z2|，反之不成立，故A错误；
对于B：若z1＞z2，则|z1|＞|z2|说明z1和z2为实数，但是，若复数z1，z2的实部都为负数时，则不成立，故B错误；
对于C：设z1＝a+bi，z2＝c+di，且z1＝z2，
故a＝c，b＝d，则，故C错误；
对于D：z1＝a+bi，z2＝c+di，，
由于，
所以a＝c，b＝﹣d，
所以z1+z2＝a+c+（b+d）i＝a+c∈R，故D正确；
故选：D．
【点评】本题考查的知识要点：复数的运算，复数的共轭，复数的模，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
4．（5分）已知第二象限角θ的终边上有两点A（﹣1，a），B（b，2），且cosθ+3sinθ＝0，则3a﹣b＝（　　）
A．﹣7 B．﹣5 C．5 D．7
【分析】由已知结合同角基本关系求出tanθ，然后结合三角函数定义及直线的倾斜角与斜率关系可求．
【解答】解：由题意得cosθ＞0，sinθ＜0，
因为cosθ+3sinθ＝0，即tanθ＝﹣，
所以＝﹣，
所以3a﹣b＝7，
故选：D．
【点评】本题主要考查了三角函数的定义，属于基础题．
5．（5分）展开式的常数项是（　　）
A．160 B．100 C．﹣100 D．﹣160
【分析】（2x﹣）6的展开式的通项为Tr+1＝•（﹣1）r•26﹣r•x6﹣2r，（r＝0，1，2，…，6），分别令6﹣2r＝0和6﹣2r＝﹣2，由此能求出展开式的常数项．
【解答】解：由题意得（2x﹣）6的展开式的通项为Tr+1＝•（﹣1）r•26﹣r•x6﹣2r，（r＝0，1，2，…，6），
令6﹣2r＝0，则 r＝3⇒（﹣1）3•23•＝﹣160，
令6﹣2r＝﹣2，则 r＝4⇒（﹣1）4•22•＝60，
∴展开式的常数项为：﹣160+60＝﹣100．
故选：C．
【点评】本题考查展开式的常数项的求法，考查二项式定理等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
6．（5分）已知函数，且f（1+a）+f（﹣a2+a+2）＞0，则a的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞） B．（﹣1，3）
C．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞） D．（﹣3，1）
【分析】先判断函数的奇偶性，然后判断函数的单调性，并利用函数的奇偶性将不等式转化为关于a的不等式进行求解．
【解答】解：根据题意，函数的定义域为R，且有＝﹣f（x），
即得函数f（x）为奇函数，
又因为＝，
当x≥0时，令g（x）＝（x+1）e2x+1﹣x，则有g'（x）＝e2x+2（x+1）e2x﹣1＝（2x+3）e2x﹣1，
因为x≥0，所以g'（x）＞0，即得g（x）在[0，+∞）上单调递增，故有g（x）min＝g（0）＝2＞0，
因此可得f'（x）＞0⇒f（x）在[0，+∞）上单调递增，
又因为函数f（x）为R上的奇函数，
所以f（x）在R上单调递增，
所以f（1+a）+f（﹣a2+a+2）＞0⇔f（1+a）＞﹣f（﹣a2+a+2）＝f（a2﹣a﹣2），
故有1+a＞a2﹣a﹣2⇒a2﹣2a﹣3＜0⇒﹣1＜a＜3，即得a∈（﹣1，3）．
故选：B．
【点评】本题考查函数性质的使用，同时考查函数导数综合使用和等价转化，属于中档题．
7．（5分）学生到工厂参加实践劳动，用薄铁皮制作一个圆柱体，圆柱体的全面积为8π，则该圆柱体的外接球的表面积的最小值是（　　）
A． B． C． D．
【分析】设圆柱体的底面半径为r，高为h，由全面积列式可得h与r的关系式，求出圆柱外接球的半径，写出表面积，再由基本不等式求最值．
【解答】解：设圆柱体的底面半径为r，高为h，则2πr2+2πrh＝8π，
∴h＝（0＜r＜2），
圆柱体外接球的半径R满足，
∴该圆柱体外接球的表面积为S＝4πR2＝π（h2+4r2）
＝π•[]＝π•（）
＝π•（）≥π•（）＝．
当且仅当，即时等号成立．
故选：B．
【点评】本题考查圆柱外接球表面积最值的求法，训练了利用基本不等式求最值，考查运算求解能力，是中档题．
8．（5分）如图，有一种变压器，铁芯的截面是正十字形（阴影部分，其中矩形ABCD绕其对称中心，按顺时针方向旋转90度后与矩形EFGH重合），已知AB＝2，正十字形有一个外接圆，从外接圆内部随机取一点，此点取自正十字形的概率为，则tan∠ACD＝（　　）

A．﹣1 B．2﹣2 C． D．
【分析】设AD＝x，求出圆的半径，分别求出阴影部分及圆的面积，由测度比的面积比列式求得x，则答案可求．
【解答】解：设AD＝x，则R＝＝，
正十字型的面积为S1＝2×2+2×（x﹣2）×2＝4x﹣4，
圆的面积为，
由题意，，解得x＝，
∴tan∠ACD＝．
故选：C．
【点评】本题考查几何概型及其概率的求法，考查运算求解能力，是基础题．
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有一项或多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.）
（多选）9．（5分）2020年，中国经济在疫情阻击战的基础上实现了正增长，国内生产总值首次突破百万亿大关．根据中国统计局官方提供的数据，2010年～2020年中国国内生产总值（单位：亿元）的条形图和国内生产总值年增长率（YoY）的折线图如图，根据该图，下列结论正确的是（　　）

A．2017年国内生产总值的年增长率最大
B．2011年国内生产总值的年增长率最大
C．这11年国内生产总值的年增长率不断减小
D．这11年国内生产总值逐年增长
【分析】利用条形图和折线图中的数据信息，对四个选项进行逐一分析判断，即可得到答案．
【解答】解：对于A，B，由图可知，2011年的国内生产总值的年增长率最大，故选项A错误，选项B正确；
对于C，这11年，从2011到2014年，YoY不断减小，2015年到2017年，YoY不断增大，从2018年到2020年，YoY不断减小，故选项C错误；
对于D，由条形图可得，这11年国内生产总值逐年增大，故选项D正确．
故选：BD．
【点评】本题考查了条形图和折线图的应用，读懂统计图并能从统计图得到必要的信息是解决问题的关键，属于基础题．
（多选）10．（5分）过双曲线的左焦点F作直线l交C于A、B两点，则（　　）
A．若|AB|＝1，则直线l只有1条
B．若|AB|＝2，则直线l有2条
C．若|AB|＝3，则直线l有3条
D．若|AB|＝4，则直线l有3条
【分析】当A、B都在左支上时，通径最短，当A、B在双曲线两支时，最短弦长为实轴长，结合以上两点逐一分析四个选项得答案．
【解答】解：双曲线的左焦点F（，0），
若|AB|＝1，则当直线l垂直于x轴时，通径长最短为，直线只有1条，故A正确；
若|AB|＝2∈（1，4），则A、B都在双曲线左支，直线有两条，关于x轴对称，故B正确；
若|AB|＝3∈（1，4），则A、B都在双曲线左支，直线有两条，关于x轴对称，故C错误；
若|AB|＝4，则当A、B都在双曲线左支时，直线有两条，关于x轴对称，当A在左支，B在右支时，
A、B分别为双曲线的左右顶点，直线为x轴，故直线l有3条，D正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查双曲线的对称性和直线与双曲线的关系，考查推理论证能力与分类讨论思想的运用，是中档题．
（多选）11．（5分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面为矩形，PD⊥底面ABCD，AD＝1，PD＝AB＝2，点E是PB的中点，过A，D，E三点的平面α与平面PBC的交线为l，则（　　）

A．l∥平面PAD
B．AE∥平面PCD
C．直线PA与l所成角的余弦值为
D．平面α截P﹣ABCD四棱锥所得的上、下两部分几何体的体积之比为
【分析】对于A，取PC中点F，连接DF、EF，推导出l与EF重合，从而l∥AD，进而l∥平面PAD；对于B，由EF∥AD，且EF＝，得AE与平面PCD相交；对于C，由A知l∥AD，∠PAD是直线PA与l所成角（或所成角的补角），由此能求出直线PA与l所成角的余弦值；对于D，截面α就是平面AEFD，先分别求出VP﹣ABCD，VABE﹣DCF，由此能求出平面α截P﹣ABCD四棱锥所得的上、下两部分几何体的体积之比．
【解答】解：对于A，取PC中点F，连接DF、EF，
∵点E是PB的中点，∴EF∥AD，
∵过A，D，E三点的平面α与平面PBC的交线为l，
∴l与EF重合，∴l∥AD，
∵AD⊂平面PAD，l⊄平面PAD，∴l∥平面PAD，故A正确；
对于B，由A知EF∥AD，且EF＝，
∴AE与DF相交，∴AE与平面PCD相交，故B错误；
对于C，由A知l∥AD，∴∠PAD是直线PA与l所成角（或所成角的补角），
∵四棱锥P﹣ABCD的底面为矩形，PD⊥底面ABCD，AD＝1，PD＝AB＝2，
∴PA＝＝，
∴直线PA与l所成角的余弦值为：cos∠PAD＝＝，故C正确；
对于D，由A知截面α就是平面AEFD，下半部分分为四棱锥E﹣ABCD和三棱锥E﹣DFC．
所以下部分体积为：，所以上部分＝﹣＝，上下之比就是3：5．故D正确．
故选：ACD．

【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力等数学核心素养，是中档题．
12．（5分）对于函数f（x）＝，则下列结论正确的是（　　）
A．任取x1，x2∈[﹣，+∞），都有|f（x1）﹣f（x2）|＜2恒成立
B．f（0）+f（2）+f（4）+f（6）+⋯+f（2020）＝2﹣
C．对任意x＞0，不等式f（x）≤恒成立，则实数k的取值范围是[1，+∞）
D．函数y＝f（x）﹣ln（x﹣）有且仅有2个零点
【分析】先在坐标系中画出y＝f（x）的图象，再画出y＝ln（x﹣）与y＝图象，由数形结合思想，选出答案．
【解答】解：对于A：f（x）max＝1，f（x）min＝﹣1，
所以任取x1，x2∈（﹣，+∞），都有|f（x1）﹣f（x2）|≤2，故A错误；
对于B：an＝f（2n﹣2），f（0）＝1，f（2）＝f（0）＝，
f（4）＝f（2）＝，
f（2n）＝f（2n﹣2），
所以an+1＝an，
所以{an}为等比数列，an＝（）n﹣1，
所以它前1011项和为f（0）+f（2）+...+f（2020）＝＝2﹣，故B正确；
对于C：∵任意x＞0，不等式f（x）≤恒成立，
∴k≥xf（x），
当x＝2.1时，xf（x）＝2.1×f（2.1）＝2.1×＝＝2.1×0.498＝1.0458＞1，
故C错误，
对于D：由图可知y＝f（x）与y＝ln（x﹣）有3个交点，
所以函数y＝f（x）﹣ln（x﹣）有且仅有3个零点，故D错误．
故选：B．

【点评】本题考查分段函数的周期性及数形结合法在处理函数问题中的应用，属于中档题．
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）
13．（5分）已知等差数列{an}满足a3＝2，a4+a5＝10，则log2a6＝　3　．
【分析】利用等差数列的通项公式即可得出．
【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，∵a3＝2，a4+a5＝10，
∴a1+2d＝2，2a1+7d＝10，
解得a1＝﹣2，d＝2，
∴a6＝﹣2+5×2＝8，
则log2a6＝＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
14．（5分）在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝，AC＝3，点D在AC上，且AD＝2DC，则＝　3　．
【分析】建立平面直角坐标系，求出A，C，D的坐标，然后求解向量的数量积即可．
【解答】解由题意建立如图所示的坐标系，
∠ABC＝90°，AB＝，AC＝3，点D在AC上，且AD＝2DC，
则A（，0），C（0，），D（，），
则＝（，）•（，）＝﹣1+4＝3．
故答案为：3．

【点评】本题考查向量的数量积的求法与应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
15．（5分）若直线y＝﹣2x+与曲线y＝﹣ax相切，则a＝　3　．
【分析】设切点为（m，n），求得曲线y＝﹣ax的导数，可得切线的斜率，由已知切线的方程，可得m，a的方程组，解方程可得a的值．
【解答】解：设切点为（m，n），
y＝﹣ax的导数为y′＝x2﹣a，
可得切线的斜率为m2﹣a，
由切线的方程y＝﹣2x+，
可得m2﹣a＝﹣2，﹣2m+＝m3﹣am，
解得a＝3，m＝﹣1，
故答案为：3．
【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程，以及直线方程的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
16．（5分）已知椭圆C：＝1的两个焦点为F1（﹣2，0）和F2（2，0）．直线l过点F1，点F2关于直线l对称点A在C上，且（+2）＝8，则C的方程为 　　．
【分析】由题意画出图形，由椭圆定义、点关于直线的对称性及已知向量等式求解a值，进一步求得b，则椭圆方程可求．
【解答】解：∵点A与F2关于直线l对称，∴l为AF2的垂直平分线，
∴|AF1|＝|F1F2|＝4，|AF2|＝2a﹣4，
又∵（+2）＝8，∴，
即，
∴，
又，∴，则，
即，∴，
而，
∴，即（2a﹣4）2＝16，可得2a﹣4＝4，a＝4．
∴b2＝a2﹣c2＝12．
故椭圆方程为．
故答案为：．

【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查化归与转化思想、数形结合思想，考查数量积的几何意义，考查运算求解能力，是中档题．
四、解答题（本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（10分）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn+1+2Sn﹣1＝3Sn（n≥2）．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）令，求数列{bn}的前n项和Tn．
【分析】（1）先设等比数列{an}的公比为q，然后分q＝1和q≠1两种情况分别讨论，当q＝1时代入表达式判断出q＝1不符合题意，当q≠1时根据等比数列的求和公式代入表达式，化简整理得到关于q的方程，解出q的值，即可得到数列{an}的通项公式；
（2）先根据第（1）题的结果计算出数列{bn}的通项公式，然后运用裂项相消法计算出前n项和Tn．
【解答】解：（1）由题意，设等比数列{an}的公比为q，
则当q＝1时，Sn+1+2Sn﹣1＝（n+1）a1+2（n﹣1）a1＝3n﹣1，
3Sn＝3na1＝3n，
∴Sn+1+2Sn﹣1≠3Sn，
显然q＝1不符合题意，故q≠1，
当q≠1时，Sn＝＝，
Sn+1＝，Sn﹣1＝，
∵Sn+1+2Sn﹣1＝3Sn，
∴+2＝3，
即1﹣qn+1+2（1﹣qn﹣1）＝3（1﹣qn），
化简，得qn﹣1（q﹣2）（q﹣1）＝0，
∵q≠1且q≠0，∴q＝2，
∴an＝1•2n﹣1＝2n﹣1，n∈N*．
（2）由（1）知，Sn＝，Sn+1＝，
则＝＝＝﹣，
∴Tn＝b1+b2+…+bn
＝﹣+﹣+…+﹣
＝1﹣．
【点评】本题主要考查等比数列的计算，以及数列求通项公式和求和问题．考查了转化与化归思想，方程思想，分类讨论，裂项相消法，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．
18．（12分）如图，在四边形ABCD中，△BCD是等腰直角三角形，∠BCD＝90°，∠ADB＝90°，sin∠ABD＝，BD＝2，AC与BD交于点E．
（1）求sin∠ACD；
（2）求△ABE的面积．

【分析】（1）利用三角函数关系式的变换和余弦定理的应用和三角函数的诱导公式的应用求出结果；
（2）利用正弦定理和勾股定理及三角形的面积公式的应用求出结果．
【解答】解：（1）如图所示：

设∠ABD＝θ，则sinθ＝，cosθ＝＝，tanθ＝，
所以AD＝BDtanθ＝1，所以AB＝，
所以AD＝，
BC＝CD＝，
所以∠ADC＝∠ADB+∠BDC＝90°+45°＝135°．
由余弦定理：cos∠ADC＝，
所以，
解得AC＝，
作AT⊥BC，所以AB＝AC＝，
BT＝CT＝，
sin∠ACD＝sin（90°﹣∠ACB）＝cos∠ACB＝，
（2）设DE＝x，在△CED中，由正弦定理得：，
所以CE＝，
所以AE＝，
在Rt△ADE中，有5（1﹣x）2＝1+x2，
即2x2﹣5x+2＝0，
解得x＝2或．
由于x＝DE，
故x＝．
所以BE＝2﹣，
则．

【点评】本题考查的知识要点：正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用，勾股定理的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
19．（12分）习近平总书记指出：在扶贫的道路上，不能落下任何一个贫困家庭，丢下一个贫困群众．根据相关统计，2010年以后中国贫困人口规模呈逐年下降趋势，2011年～2019年，全国农村贫困发生率的散点图如图：

注：年份代码1～9分别对应年份2011年～2019年．
（1）求y关于t的回归直线方程（系数精确到0.01）；
（2）已知某贫困地区的农民人均年纯收入X（单位：万元）满足正态分布N（1.6，0.36），若该地区约有97.72%的农民人均年纯收入高于该地区最低人均年纯收入标准，则该地区最低人均年纯收入标准大约为多少万元？．
参考数据与公式：，．
回归方程＝t+中斜率和截距的最小二乘估计分别为＝，＝﹣．若随机变量X服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）＝0.9544，P（μ﹣3σ＜X＜μ+3σ）＝0.9974．
【分析】（1）由已知数据求得与的值，则线性回归方程可求；
（2）由已知结合2σ原则求解该地区最低人均年纯收入标准的值．
【解答】解：（1），，
＝42+32+22+12+0+12+22+32+42＝60，
∴＝﹣1.46，．
∴y关于t的回归直线方程为；
（2）由P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）＝0.9544，得P（X＞μ﹣2σ）＝0.9544+，
∵某贫困地区的农民人均年纯收入X满足正态分布N（1.6，0.36），即μ＝1.6，σ＝0.6，
∴P（X＞1.6﹣2×0.6）＝P（X＞0.4）＝0.9972．
故若该地区约有97.72%的农民人均年纯收入高于该地区最低人均年纯收入标准，
则该地区最低人均年纯收入标准大约为0.4万元．
【点评】本题考查线性回归方程的求法，考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查运算求解能力，是中档题．
20．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧面BB1C1C是菱形，∠ABB1＝∠ABC．
（1）求证：B1C⊥平面ABC1；
（2）若BB1＝B1C＝2，AB＝AC1，且二面角B1﹣AB﹣C为直二面角，求三棱锥C1﹣ABB1的体积．

【分析】（1）只需证明以B1C垂直平面ABC1内相交二直线BC1和AO即可；（2）作二面角B1﹣AB﹣C的平面角∠B1PC，求出高OA，进而求解．
【解答】（1）证明：设B1C与BC1交于O，连接OA，
因为BB1C1C是菱形，所以O为B1C中点，BC＝BB1，
又因为∠ABB1＝∠ABC，AB＝AB，所以△ABC≌△ABB1，
所以AC＝AB1，所以B1C⊥OA，
又因为B1C⊥BC1，BC1∩OA＝O，所以B1C⊥平面ABC1．
（2）解：过O作OP⊥AB于P，连接PC、PB1，
由（1）知，B1C⊥平面ABC1，因为AB⊂平面ABC1，
所以B1C⊥AB，又因为OP∩B1C＝O，
所以AB⊥平面PB1C，又因为PC、PB1⊂平面PB1C，
所以AB⊥PC、AB⊥PB1，
所以∠B1PC为二面角B1﹣AB﹣C的平面角，
因为二面角B1﹣AB﹣C为直二面角，所以∠B1PC＝90°，
因为∠ABB1＝∠ABC，AB＝AB，BC＝BB1，所以PC＝PB1，
所以∠CPO＝∠B1PO＝45°，又因为BB1＝B1C＝2，
所以OP＝OC＝1，PB1＝，PB＝＝，
因为AB＝AC1，所以AO⊥BC1，又因为AO⊥B1C，
所以AO⊥平面BB1C1C，AO＝OB•tan∠ABO＝OB•＝＝，
所以＝＝＝．
故三棱锥C1﹣ABB1的体积为．

【点评】本题考查了直线与平面的位置关系，考查了二面角的平面角问题，考查了三棱锥体积计算问题，属于中档题．
21．（12分）已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）上的点到点A（0，p）的距离的最小值为2．
（1）求C的方程；
（2）若点F是C的焦点，过F作两条相互垂直的直线l1，l2，l1与C交于M，N两点，l2与C交于P，Q两点，线段MN，PQ的中点分别是S，T，是否存在定圆使得直线ST截该圆所得的线段长恒为定值？若存在，写出一个定圆的方程；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据抛物线的定义和性质，结合最小值得出p的值，即得抛物线的方程；（2）设出直线l1，l2的方程，并分别联立抛物线的方程，使用设而不求的方法，利用韦达定理，求解即可．
【解答】解：（1）根据题意，设抛物线：x2＝2py（p＞0）上任意一点坐标为P（），
则|PA|＝，由此可得，当x0＝0时，|PA|取得最小值为2，
此时p＝2，
即得抛物线方程为：x2＝4y．
（2）由（1）可得，抛物线焦点为F（0，1），
根据题意设直线l1：y＝kx+1，则直线，分别联立抛物线方程可得：
⇒x2﹣4kx﹣4＝0⇒xM+xN＝4k，xM•xN＝﹣4，故可得S（），即得S（2k，2k2+1）；
⇒⇒，xP•xQ＝﹣4，故可得T（），即得；
由此可得，直线ST的方程为：，
假设存在一个以点（a，b）为圆心，R为半径的圆满足题意，
则圆心到直线ST的距离即为：，
当d为定值时，则弦长也为定值，
故可得当a＝0，b＝3时，d为定值，此时R可取任意正数，
故可得其中一圆的方程为：x2+（y﹣3）2＝1．
【点评】本题考查圆锥曲线的定义和性质，同时考查圆的垂径定理和学生的计算能力，属于中档题．
22．（12分）已知函数f（x）＝ln（x+1）+a（x﹣1）2（a＞0）．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）证明：对任意n∈N*，都有．
【分析】（1）求出f（x）的定义域，求出f'（x），然后分1﹣2a≥0和1﹣2a＜0，分别判断f'（x）的正负，即可得到函数f（x）的单调性；
（2）利用（1）中的结论可知，f（x）在（0，+∞）上单调递增，令（k＝1，2，3，…，•n），则，利用迭加法，得到＝2ln（n+1），再构造函数h（t）＝2tlnt﹣t2+1（t＞1），利用导数研究函数的单调性，求出函数的值域，从而证明对任意的n∈N*，ln（n+1）＜，即可证明所要证明的不等式成立．
【解答】（1）解：函数f（x）＝ln（x+1）+a（x﹣1）2（a＞0），定义域为（﹣1，+∞），
f'（x）＝+2a（x﹣1）＝，
①当1﹣2a≥0，即时，f'（x）≥0对x∈（﹣1，+∞）恒成立，
所以f（x）在（﹣1，+∞）上单调递增；
②若1﹣2a＜0，即时，方程2ax2+1﹣2a＝0的两个根为，
当时，f'（x）＞0，当＜x＜时，f'（x）＜0，当x＞时，f'（x）＞0，
所以f（x）在（﹣1，）和（，+∞）上单调递增，在（，）上单调递减，
综上所述，当时，f（x）在（﹣1，+∞）上单调递增；
当时，f（x）在（﹣1，）和（，+∞）上单调递增，在（，）上单调递减；
（2）证明：当a＝时，f（x）＝ln（x+1）+，
由（1）可知，f（x）在（0，+∞）上单调递增，即对任意的x∈（0，+∞），都有f（x）＞f（0）＝，
故2ln（x+1）+（x﹣1）2＞1，整理可得2x﹣x2＜2ln（x+1），
令（k＝1，2，3，…，•n），则，
迭加可得，＝2ln（n+1），
下面证明：对任意的n∈N*，ln（n+1）＜，
令函数h（t）＝2tlnt﹣t2+1（t＞1），
则h'（t）＝2（lnt﹣t+1），h''（t）＝2（），
当t＞1时，h''（t）＜0，则函数h'（t）在区间（1，+∞）上单调递减，
所以h'（t）＜h'（1）＝0，
故函数h（t）在区间（1，+∞）上单调递减，
所以h（t）＜h（1）＝0，故对于t＞1，则有2tlnt＜t2﹣1，
令，
则有，
所以ln（n+1）＜，
故对任意n∈N*，都有．
【点评】本题考查了函数与不等式的综合应用，利用导数研究函数的单调性问题，考查学生逻辑思维能力与转化化归能力，属于难题．
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