2021年广东省深圳市福田区红岭中学高考数学二模试卷

这是一份2021年广东省深圳市福田区红岭中学高考数学二模试卷，共27页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021年广东省深圳市福田区红岭中学高考数学二模试卷
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)
1．（5分）设i是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（5分）已知全集为R，集合A＝{x|2x≥1}，B＝{x|x2﹣3x+2＜0}，则A∩∁RB＝（　　）
A．{x|0≤x≤1} B．{x|0≤x≤1或x≥2}
C．{x|1＜x＜2} D．{x|0≤x＜1或x＞2}
3．（5分）已知函数f（x）满足：①对任意x1，x2∈（0，+∞）且x1≠x2，都有；②对定义域内任意x，都有f（x）＝f（﹣x），则符合上述条件的函数是（　　）
A．f（x）＝x2+|x|+1 B．
C．f（x）＝ln|x+1| D．f（x）＝cosx
4．（5分）函数f（x）＝x+的大致图象为（　　）
A．
B．
C．
D．
5．（5分）已知数列{an}是公差为d（d≠0）的等差数列，且a1，a3，a6成等比数列，则＝（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
6．（5分）已知θ∈（0，），且sinθ﹣cosθ＝﹣，则等于（　　）
A． B． C． D．
7．（5分）在△ABC中，AC⊥AB，AB＝3，AC＝1，点P是△ABC所在平面内一点，＝+，且满足||＝2，若，则3x+y的最小值是（　　）
A． B． C．1 D．
8．（5分）三棱锥P﹣ABC中，平面PAC⊥平面ABC，AB⊥AC，PA＝PC＝AC＝2，AB＝4，则三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为（　　）
A．23π B． C． D．64π
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
（多选）9．（5分）下列叙述中正确的是（　　）
A．若a，b，c∈R，则“ab2＞cb2”的充要条件是“a＞c”
B．“a＜1”是“方程x2+x+a＝0有一个正根和一个负根”的必要不充分条件
C．若a，b，c∈R，则“ax2+bx+c≥0对x∈R恒成立”的充要条件是“b2﹣4ac≤0”
D．“a＞1”是“＜1”的充分不必要条件
（多选）10．（5分）将函数f（x）＝sin2x的图象向右平移个单位后得到函数g（x）的图象，则函数g（x）具有性质（　　）
A．在上单调递增，为偶函数
B．最大值为1，图象关于直线对称
C．在上单调递增，为奇函数
D．周期为π，图象关于点对称
（多选）11．（5分）已知数列{an}，{bn}均为递增数列，{an}的前n项和为Sn，{bn}的前n项和为Tn．且满足an+an+1＝2n，bn•bn+1＝2n（n∈N*），则下列说法正确的有（　　）
A．0＜a1＜1 B．1＜b1＜ C．S2n＜T2n D．S2n≥T2n
（多选）12．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1棱长为2，如图，M为CC1上的动点，AM⊥平面α．下面说法正确的是（　　）

A．直线AB与平面α所成角的正弦值范围为
B．点M与点C1重合时，平面α截正方体所得的截面，其面积越大，周长就越大
C．点M为CC1的中点时，若平面α经过点B，则平面α截正方体所得截面图形是等腰梯形
D．已知N为DD1中点，当AM+MN的和最小时，M为CC1的中点
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．（5分）已知函数f（x）＝2x2﹣mx+3在（﹣2，+∞）上单调递增，在（﹣∞，﹣2]上单调递减，则f（1）＝　 　．
14．（5分）设m∈R，向量＝（m+1，3），＝（2，﹣m），且⊥，则|2﹣|＝　 　．
15．（5分）若a＞0，b＞0，且，则a+2b的最小值为　 　．
16．（5分）已知函数f（x）＝2lnx，g（x）＝ax2﹣x﹣（a＞0），若总存在直线与函数y＝f（x），y＝g（x）图象均相切，则a的取值范围是　 　．
四、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．在△ABC中，．
（Ⅰ）求B；
（Ⅱ）若c＝5，____，求a．
从①b＝7，②这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．
18．已知等差数列{an}的公差d＞0，其前n项和为Sn，若S3＝12，且2a1，a2，1+a3成等比数列．
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）记，求数列{bn}的前n项和Tn．
19．在多面体ABCDEF中，底面ABCD是梯形，四边形ADEF是正方形，AB∥DC，AB＝AD＝1，CD＝2，AC＝EC＝．
（1）求证：平面EBC⊥平面EBD；
（2）设M为线段EC上一点，3＝，求二面角M﹣BD﹣E的平面角的余弦值．

20．设函数f（x）＝2sin2（+）+sin（ωx+）﹣1．
（1）当0＜ω＜1时，若函数f（x）的最大值为f（），求函数f（x）的最小正周期；
（2）若函数f（x）在区间（π，2π）内不存在零点，求正实数ω的取值范围．
21．已知数列{an}中，a1＝1，an+1＝．
（1）求证：为等比数列，并求{an}的通项公式；
（2）数列{bn}满足bn＝（3n﹣1）•，数列{bn}的前n项和为Tn，若不等式（﹣1）n•λ＜Tn+对一切n∈N*恒成立，求λ的取值范围．
22．已知函数在x＝2处取到极值为．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若不等式x2f（x）≥kx+lnx+1在x∈（0，+∞）上恒成立，求实数k的取值范围．

2021年广东省深圳市福田区红岭中学高考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)
1．（5分）设i是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数，求出复数在复平面内所对应的点的坐标，则答案可求．
【解答】解：由＝，
则复数在复平面内所对应的点的坐标为：（1，1），位于第一象限．
故选：A．
【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
2．（5分）已知全集为R，集合A＝{x|2x≥1}，B＝{x|x2﹣3x+2＜0}，则A∩∁RB＝（　　）
A．{x|0≤x≤1} B．{x|0≤x≤1或x≥2}
C．{x|1＜x＜2} D．{x|0≤x＜1或x＞2}
【分析】求出集合A，B的等价条件，结合集合的基本运算进行求解即可．
【解答】解：A＝{x|2x≥1}＝{x|x≥0}，B＝{x|x2﹣3x+2＜0}＝{x|（x﹣1）（x﹣2）＜0}＝{x|1＜x＜2}，
则∁RB＝{x|x≥2或x≤1}，
则A∩∁RB＝{x|0≤x≤1或x≥2}，
故选：B．
【点评】本题主要考查集合的基本运算，求出集合的等价条件是解决本题的关键．
3．（5分）已知函数f（x）满足：①对任意x1，x2∈（0，+∞）且x1≠x2，都有；②对定义域内任意x，都有f（x）＝f（﹣x），则符合上述条件的函数是（　　）
A．f（x）＝x2+|x|+1 B．
C．f（x）＝ln|x+1| D．f（x）＝cosx
【分析】根据函数的单调性以及函数的奇偶性判断即可．
【解答】解：由题意得：f（x）是偶函数，在（0，+∞）递增，
对于A，f（﹣x）＝f（x），是偶函数，且x＞0时，f（x）＝x2+x+1，f′（x）＝2x+1＞0，
故f（x）在（0，+∞）递增，符合题意；
对于B，函数f（x）是奇函数，不合题意；
对于C，由x+1＝0，解得：x≠﹣1，定义域不关于原点对称，
故函数f（x）不是偶函数，不合题意；
对于D，函数f（x）在（0，+∞）无单调性，不合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了函数的单调性和奇偶性问题，是一道基础题．
4．（5分）函数f（x）＝x+的大致图象为（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】先判断函数的奇偶性，可排除选项B，再计算f（1）和f（2）的值，并与0比较大小，即可作出选择．
【解答】解：∵f（﹣x）＝﹣x+＝﹣x﹣＝﹣f（x），
∴f（x）为奇函数，排除选项B，
∵f（1）＝1+0＝1＞0，f（2）＝2+＞0，排除选项C，D，
故选：A．
【点评】本题考查函数的图象与性质，一般可从函数的单调性、奇偶性或特殊点处的函数值等方面着手思考，考查学生的逻辑推理能力和运算求解能力，属于基础题．
5．（5分）已知数列{an}是公差为d（d≠0）的等差数列，且a1，a3，a6成等比数列，则＝（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】运用等差数列的通项公式和等比数列的中项性质，化简方程可得所求值．
【解答】解：由数列{an}是公差为d（d≠0）的等差数列，
且a1，a3，a6成等比数列得，
即．化为4d2＝a1d，
又d≠0，解得．
故选：A．
【点评】本题考查等差数列的通项公式和等比数列的中项性质，考查方程思想和化简运算能力，属于基础题．
6．（5分）已知θ∈（0，），且sinθ﹣cosθ＝﹣，则等于（　　）
A． B． C． D．
【分析】法1：由已知的等式记作①，利用同角三角函数间的基本关系列出关系式，记作②，再根据θ为锐角，联立①②求出sinθ和cosθ的值，进而利用二倍角的余弦函数公式及两角和与差的正弦函数公式分别求出所求式子的分子与分母，代入即可求出所求式子的值．
法2：利用两角和与差的三角函数化简已知条件以及所求表达式，通过同角三角函数基本关系式求解即可．
【解答】解：法1：由sinθ﹣cosθ＝﹣，①，
又sin2θ+cos2θ＝1②，且θ∈（0，），联立①②解得：sinθ＝，cosθ＝，
∴＝（sinθ+cosθ）＝＝．
故选：D．
法2：θ∈（0，），且sinθ﹣cosθ＝﹣，可得cos（）＝，即：cos（）＝，
∈（），
则＝＝＝2sin（）＝2＝．
故选：D．
【点评】此题考查了二倍角的余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键．
7．（5分）在△ABC中，AC⊥AB，AB＝3，AC＝1，点P是△ABC所在平面内一点，＝+，且满足||＝2，若，则3x+y的最小值是（　　）
A． B． C．1 D．
【分析】首先根据题意，建立平面直角坐标系，进一步利用向量的坐标运算的应用和三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．
【解答】解：△ABC中，AC⊥AB，AB＝3，AC＝1，点P是△ABC所在平面内一点，以点A为原点，以AB为x轴，以AC为y轴，建立平面直角坐标系．
如图所示：

所以，，
所以＝+＝（1，2），
由于满足||＝2，
所以设M（m，n）满足（m﹣1）2+（n﹣2）2＝4，整理得：，
故＝（3x，y），
所以3x＝1+2cosθ，y＝2+2sinθ，
所以3x+y＝3+2cosθ+2sinθ＝3+．
当sin（θ+α）＝﹣1时，3x+y的最小值是3﹣2．
故选：D．
【点评】本题考查的知识要点：平面直角坐标系的应用，向量的坐标运算的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
8．（5分）三棱锥P﹣ABC中，平面PAC⊥平面ABC，AB⊥AC，PA＝PC＝AC＝2，AB＝4，则三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为（　　）
A．23π B． C． D．64π
【分析】首先确定球心的位置，进一步确定球的半径，最后确定球的表面积．
【解答】解：根据题意，得到三棱锥P﹣ABC的外接球的球心在等边三角形PAC的中线高线和过直角三角形ABC斜边BC的中点的高的交点位置，
如图所示：

三棱锥P﹣ABC中，平面PAC⊥平面ABC，AB⊥AC，PA＝PC＝AC＝2，AB＝4，
所以PF＝，，
在直角三角形ABC中，BC2＝AB2+AC2，
解得：BC＝2，
所以CD＝，
三棱锥的外接球半径r＝＝，
则S＝4，
故选：C．

【点评】本题考查的知识要点：三棱锥的外接球的球心的确定，球的表面积公式的应用．
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
（多选）9．（5分）下列叙述中正确的是（　　）
A．若a，b，c∈R，则“ab2＞cb2”的充要条件是“a＞c”
B．“a＜1”是“方程x2+x+a＝0有一个正根和一个负根”的必要不充分条件
C．若a，b，c∈R，则“ax2+bx+c≥0对x∈R恒成立”的充要条件是“b2﹣4ac≤0”
D．“a＞1”是“＜1”的充分不必要条件
【分析】直接利用不等式的性质，一元二次不等式的解法，一元二次方程根和系数的关系，四个条件中充分条件和必要条件的应用判定A、B、C、D的结论．
【解答】解：对于A：若a，b，c∈R，则“ab2＞cb2”是“a＞c”的充分不必要条件，故A错误；
对于B：“方程x2+x+a＝0有一个正根和一个负根”则，整理得a＜0，
则“a＜1”是“a＜0”的必要不充分条件，故B正确；
对于C：若a，b，c∈R，则对于一元二次不等式，
当a＞0时，“ax2+bx+c≥0对x∈R恒成立”的充要条件是“b2﹣4ac≤0”故C错误；
对于D：当“a＞1”时“＜1”成立，
当“＜1”时，“a＞1或a＜0”，故“a＞1”是“＜1”的充分不必要条件，故D正确．
故选：BD．
【点评】本题考查的知识要点：不等式的性质，一元二次不等式的解法，一元二次方程根和系数的关系，四个条件中充分条件和必要条件，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
（多选）10．（5分）将函数f（x）＝sin2x的图象向右平移个单位后得到函数g（x）的图象，则函数g（x）具有性质（　　）
A．在上单调递增，为偶函数
B．最大值为1，图象关于直线对称
C．在上单调递增，为奇函数
D．周期为π，图象关于点对称
【分析】根据函数图象变换求出函数g（x）的解析式，结合三角函数的性质分别进行判断即可．
【解答】解：将函数f（x）＝sin2x的图象向右平移个单位后得到函数g（x）的图象，
则g（x）＝sin2（x﹣）＝sin（2x﹣）＝﹣cos2x，
则函数g（x）为偶函数，当0＜x＜时，0＜2x＜，此时g（x）为增函数，故A正确，
函数的最大值为1，当时，g（x）＝﹣cos（﹣3π）＝﹣cosπ＝1，为最大值，则函数图象关于直线对称，故B正确，
函数为偶函数，故C错误，
函数的周期T＝，g（）＝﹣cos（×2）＝﹣cos＝0，即图象关于点对称，故D正确
故正确的是ABD，
故选：ABD．
【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，求出函数的解析式以及利用三角函数的性质是解决本题的关键．难度中等．
（多选）11．（5分）已知数列{an}，{bn}均为递增数列，{an}的前n项和为Sn，{bn}的前n项和为Tn．且满足an+an+1＝2n，bn•bn+1＝2n（n∈N*），则下列说法正确的有（　　）
A．0＜a1＜1 B．1＜b1＜ C．S2n＜T2n D．S2n≥T2n
【分析】利用代入法求出前几项的关系即可判断出a1，b1的取值范围，在求出其前2n项和的表达式即可判断大小；
【解答】解：∵数列{an}为递增数列；
∴a1＜a2＜a3；
∵an+an+1＝2n，
∴；
∴
∴0＜a1＜1；故A正确．
∴S2n＝（a1+a2）+（a3+a4）+…+（a2n﹣1+a2n）＝2+6+10+…+2（2n﹣1）＝2n2；
∵数列{bn}为递增数列；
∴b1＜b2＜b3；
∵bn•bn+1＝2n
∴；
∴；
∴1＜b1＜，故B正确．
∵T2n＝b1+b2+…+b2n
＝（b1+b3+b5+…+b2n﹣1）+（b2+b4+…+b2n）
＝
；
∴对于任意的n∈N*，S2n＜T2n；故C正确，D错误．
故选：ABC．
【点评】本题考查了数列的综合运用，考查学生的分析能力与计算能力．属于中档题．
（多选）12．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1棱长为2，如图，M为CC1上的动点，AM⊥平面α．下面说法正确的是（　　）

A．直线AB与平面α所成角的正弦值范围为
B．点M与点C1重合时，平面α截正方体所得的截面，其面积越大，周长就越大
C．点M为CC1的中点时，若平面α经过点B，则平面α截正方体所得截面图形是等腰梯形
D．已知N为DD1中点，当AM+MN的和最小时，M为CC1的中点
【分析】对于选项A、C，利用空间向量的坐标运算求解判断即可；对于B，画出图形，利用直线与平面垂直，结合面积求解判断即可；对于D，利用展开图，计算距离的最小值，判断即可．
【解答】解：对于A选项，以点D为坐标原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系D﹣xyz，
则点A（2，0，0）、B（2，2，0），
设点M（0，2，a）（0≤a≤2），∵AM⊥平面α，则为平面α的一个法向量，
且，，，
所以，直线AB与平面α所成角的正弦值范围为，A选项正确；

对于B选项，当M与CC1重合时，连接A1D、BD、A1B、AC，
在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，CC1⊥平面ABCD，

∵BD⊂平面ABCD，∴BD⊥CC1，∵四边形ABCD是正方形，则BD⊥AC，∵CC1∩AC＝C，∴BD⊥平面ACC1，
∵AC1⊂平面ACC1，∴AC1⊥BD，同理可证AC1⊥A1D，
∵A1D∩BD＝D，∴AC1⊥平面A1BD，
易知△A1BD是边长为的等边三角形，
其面积为，周长为．
设E、F、Q、N、G、H分别为棱A1D1、A1B1、BB1、BC、CD、DD1的中点，
易知六边形EFQNGH是边长为的正六边形，且平面EFQNGH∥平面A1BD，
正六边形EFQNGH的周长为，面积为，
则△A1BD的面积小于正六边形EFQNGH的面积，它们的周长相等，B选项错误；
对于C选项，设平面α交棱A1D1于点E（b，0，2），点M（0，2，1），，

∵AM⊥平面α，DE⊂平面α，∴AM⊥DE，即，得b＝1，∴E（1，0，2），
所以，点E为棱A1D1的中点，同理可知，点F为棱A1B1的中点，
则F（2，1，2），，而，∴，∴EF∥DB且EF≠DB，
由空间中两点间的距离公式可得，，
∴DE＝BF，
所以，四边形BDEF为等腰梯形，C选项正确；
对于D选项，将矩形ACC1A1与矩形CC1D1D延展为一个平面，如下图所示：
若AM+MN最短，则A、M、N三点共线，∵CC1∥DD1，∴，
∵，
所以，点M不是棱CC1的中点，D选项错误．

故选：AC．

【点评】本题考查线面角正弦值的取值范围，同时也考查了平面截正方体的截面问题以及折线段长的最小值问题，考查空间想象能力与计算能力，属于难题．
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．（5分）已知函数f（x）＝2x2﹣mx+3在（﹣2，+∞）上单调递增，在（﹣∞，﹣2]上单调递减，则f（1）＝　13　．
【分析】利用二次函数的对称轴方程，即可求出实数m的值；利用二次函数的解析式求出函数f（1）的值；
【解答】解：∵f（x）在（﹣2，+∞）上单调递增，在（﹣∞，﹣2]上单调递减，
∴函数f（x）＝2x2﹣mx+3对称轴为x＝＝﹣2，
∴m＝﹣8，
∴f（x）＝2x2+8x+3．
∴f（1）＝13，
故答案为：13．
【点评】本题考查二次函数的基本性质，函数的对称轴方程以及函数的值，考查计算能力．
14．（5分）设m∈R，向量＝（m+1，3），＝（2，﹣m），且⊥，则|2﹣|＝　4　．
【分析】由⊥，求出m＝2，从而﹣＝（6，6）﹣（2，﹣2）＝（4，8），由此能求出|2﹣|．
【解答】解：∵m∈R，向量＝（m+1，3），＝（2，﹣m），且⊥，
∴＝2m+2﹣3m＝0，
解得m＝2，
∴﹣＝（6，6）﹣（2，﹣2）＝（4，8），
∴|2﹣|＝＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查向量的模的求法，考查平面向量坐标运算法则、向量垂直的性质等基础知识，考查函数与方程思想，考查运算求解能力，是基础题．
15．（5分）若a＞0，b＞0，且，则a+2b的最小值为　　．
【分析】把a+2b变形为a+2b＝，再利用已知可得a+2b＝，利用基本不等式即可得出．
【解答】解：∵a＞0，b＞0，且，
∴a+2b＝＝
＝﹣
＝＝．
当且仅当，a＞0，b＞0，且，即，a＝时取等号．
∴a+2b的最小值为．
故答案为．
【点评】恰当变形利用基本不等式是解题的关键．
16．（5分）已知函数f（x）＝2lnx，g（x）＝ax2﹣x﹣（a＞0），若总存在直线与函数y＝f（x），y＝g（x）图象均相切，则a的取值范围是　[，+∞）　．
【分析】设y＝f（x）与y＝g（x）的图象在交点处存在切线y＝kx+b，且切点为（n，2lnn），分别求得f（x），g（x）的导数，可得切线的斜率，得到n，k，t的方程，化简变形可得4lnn+n＝1，设h（n）＝4lnn+n，求得导数和单调性，解方程可得n＝1，进而得到a的值，结合抛物线的开口与a的关系，可得所求范围．
【解答】解：设y＝f（x）与y＝g（x）的图象在交点处存在切线y＝kx+t，且切点为（n，2lnn），
由f′（x）＝，g′（x）＝2ax﹣1，
可得＝k＝2an﹣1，2lnn＝kn+t＝an2﹣n﹣，
化为kn＝2，an2＝，则2lnn＝，
即4lnn+n＝1，
设h（n）＝4lnn+n，h′（n）＝+1＞0，可得h（n）在（0，+∞）递增，
由h（1）＝1，可得4lnn+n＝1的解为n＝1，
则a＝，由y＝ax2﹣x﹣（a＞0）的图象可得，当a越大时，抛物线的开口越小，
可得此时y＝f（x）和y＝g（x）的图象相离，总存在直线与它们的图象都相切，
则a的范围是[，+∞）．
故答案为：[，+∞）．

【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程和单调性，考查方程思想和化简运算能力、推理能力，属于难题．
四、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．在△ABC中，．
（Ⅰ）求B；
（Ⅱ）若c＝5，____，求a．
从①b＝7，②这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．
【分析】（Ⅰ）由正弦定理得bsinA＝asinB，与bsinA＝acos（B﹣）．由此能求出B．
（Ⅱ）若选①b＝7，由余弦定理可得a2﹣5a﹣24＝0，即可解得a的值；若选②，利用两角和的正弦函数公式可求sinA的值，由正弦定理即可解得a的值．
【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理得，得bsinA＝asinB，
又bsinA＝acos（B﹣）．
∴asinB＝acos（B﹣），即sinB＝cos（B﹣）＝cosBcos+sinBsin＝cosB+sinB，
∴tanB＝，
又B∈（0，π），
∴B＝．
（Ⅱ）若选①b＝7，则在△ABC中，由余弦定理b2＝a2+c2﹣2accosB，可得a2﹣5a﹣24＝0，解得a＝8，或a＝﹣3（舍去），可得a＝8．
若选②，则sinA＝sin（B+C）＝sincos+cossin＝，
由正弦定理，可得＝，解得a＝．
【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，两角和的正弦函数公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
18．已知等差数列{an}的公差d＞0，其前n项和为Sn，若S3＝12，且2a1，a2，1+a3成等比数列．
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）记，求数列{bn}的前n项和Tn．
【分析】（I）直接由S3＝12以及2a1，a2，1+a3成等比数列，列出关于首项和公差的等式，解方程即可求{an}的通项公式；
（II）先把数列{bn}的通项裂开，再求和即可．
【解答】解：（I）由题得：
即，得d2+d﹣12＝0．
∵d＞0，∴d＝3，a1＝1．
∴{an}的通项公式an＝1+3（n﹣1）＝3n﹣2（n∈N*）．
（II）∵bn＝＝（﹣）．
∴Tn＝b1+b2+b3+…+bn
＝[（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）]
＝（1﹣）
＝．
【点评】本题考查等差数列与等比数列的基础知识以及裂项求和的应用．第一问考查方程思想在解决数列问题中的应用．在等差数列、等比数列问题中基本量是解题的关键，一般是根据已知条件把基本量求出来，然后在解决问题．
19．在多面体ABCDEF中，底面ABCD是梯形，四边形ADEF是正方形，AB∥DC，AB＝AD＝1，CD＝2，AC＝EC＝．
（1）求证：平面EBC⊥平面EBD；
（2）设M为线段EC上一点，3＝，求二面角M﹣BD﹣E的平面角的余弦值．

【分析】（1）推导出AD⊥DC，ED⊥DC，AD⊥DE，DA⊥AB．从而四边形ABHD是正方形，BC⊥BD．再由ED⊥AD，ED⊥DC，得ED⊥平面ABCD，从而ED⊥BC，进而BC⊥平面EBD，由此能证明平面EBC⊥平面EBD．
（2）以D为原点，DA，DC，DE所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角M﹣BD﹣E的平面角的余弦值．
【解答】证明：（1）∵AD＝1，CD＝2，AC＝，∴AD2+CD2＝AC2，
∴△ADC为直角三角形，且AD⊥DC，
同理∵ED＝1，CD＝2，EC＝，∴ED2+CD2＝EC2，
∴△EDC为直角三角形，且ED⊥DC，
又四边形ADEF是正方形，∴AD⊥DE，
又∵AB∥DC，∴DA⊥AB．
在梯形ABCD中，过点作B作BH⊥CD于H，
∴四边形ABHD是正方形，∴∠ADB＝45°．
在△BCH中，BH＝CH＝1，∴∠BCH＝45°．BC＝，
∴∠BDC＝45°，∴∠DBC＝90°，∴BC⊥BD．
∵ED⊥AD，ED⊥DC，AD∩DC＝D．AD⊂平面ABCD，DC⊂平面ABCD．
∴ED⊥平面ABCD，
又∵BC⊂平面ABCD，∴ED⊥BC，
因为BD∩ED＝D，BD⊂平面EBD，ED⊂平面EBD．
∴BC⊥平面EBD，BC⊂平面EBC，∴平面EBC⊥平面EBD．
解：（2）以D为原点，DA，DC，DE所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图，
D（0，0，0），E（0，0，1），B（1，1，0），C（0，2，0）．令M（0，y0，z0），
则＝（0，y0，z0﹣1），＝（0，2，﹣1），
∵3＝，∴（0，3y0，3z0﹣3a）＝（0，2，﹣1），
∴M（0，，）．＝（1，1，0），＝（0，），
∵BC⊥平面EBD，∴＝（﹣1，1，0）是平面EBD的一个法向量．
设平面MBD的法向量为＝（x，y，z）．
则．令y＝1，得＝（﹣1，1，1），
∴cos＜＞＝＝＝，
∴二面角M﹣BD﹣E的平面角的余弦值为．

【点评】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
20．设函数f（x）＝2sin2（+）+sin（ωx+）﹣1．
（1）当0＜ω＜1时，若函数f（x）的最大值为f（），求函数f（x）的最小正周期；
（2）若函数f（x）在区间（π，2π）内不存在零点，求正实数ω的取值范围．
【分析】（1）直接利用三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数性质的应用求出函数的关系式，进一步求出函数的最小正周期．
（2）利用函数的单调性的应用求出结果．
【解答】解：（1）函数f（x）＝2sin2（+）+sin（ωx+）﹣1＝＝＝2sin（ωx+）．
由于函数f（x）的最大值为f（），
所以，当0＜ω＜1时，
故．
所以f（x）＝，故函数的最小正周期为．
（2）由于函数f（x）＝2sin（ωx+）
函数f（x）在区间（π，2π）内不存在零点，
则：（ωπ+，2ωπ+）⊆（kπ，kπ+π），
即：，
则：（k∈Z）．
由于（k∈Z），
所以k，
即k＝0，1．
所以正实数ω的取值范围为（0，]．
【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．
21．已知数列{an}中，a1＝1，an+1＝．
（1）求证：为等比数列，并求{an}的通项公式；
（2）数列{bn}满足bn＝（3n﹣1）•，数列{bn}的前n项和为Tn，若不等式（﹣1）n•λ＜Tn+对一切n∈N*恒成立，求λ的取值范围．
【分析】（1）an+1＝，＝1+，化简得：＝3（），数列以为首项，3为公比的等比数列，
（2）{bn}的通项公式，前n项和为Tn，采用错位相减法，求得Tn＝4﹣，当n为偶数时，λ＜3，当n为奇数时，λ＞﹣2，从而求出λ的范围．
【解答】证明：（1）由＜0，得＝1+，
∴＝3（），＝，
∴数列以为首项，3为公比的等比数列，
＝3n﹣1＝，
∴（n∈N*），
（2），
所以

两式相减得 ，
所以 ，所以 ．
令 ，易知 f（n） 单调递增，
若 n 为偶数，则 ，所以 λ＜3；
若 n 为奇数，则 ，所以﹣λ＜2，所以 λ＞﹣2．
所以﹣2＜λ＜3．
【点评】本题考查求等比数列的通项公式，采用乘以公比错位相减法，求前n项和，属于中档题．
22．已知函数在x＝2处取到极值为．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若不等式x2f（x）≥kx+lnx+1在x∈（0，+∞）上恒成立，求实数k的取值范围．
【分析】（1）求出函数的导数，结合题意得到关于a，b的方程，求出a，b的值，求出函数的单调区间即可；
（2）问题等价于在x∈（0，+∞）上恒成立，令，则只需k≤[g（x）]min即可，根据函数的单调性判断即可．
【解答】解：（1）由已知定义域为{x∈R|x≠0}，
，
由，又a≠0，得，
，所以a＝1，……（2分）
从而又x≠0．
由f'（x）＞0得：x＞2；由f'（x）＜0得：x＜0或0＜x＜2．
故f（x）的单调递减区间是：（﹣∞，0）和（0，2）；单调递增区间是：（2，+∞）……（4分）
（2）等价于在x∈（0，+∞）上恒成立，
令，则只需k≤[g（x）]min即可．……（5分）
，令，
则．
所以h（x）在x∈（0，+∞）上单调递增，
又，，……（7分）
所以有唯一的零点，h（x）在上单调递减，在x∈（x0，1）上单调递增．……（8分）
因为，两边同时取自然对数，则有，
即．……（10分）
构造函数m（x）＝x+lnx（x＞0），则，
所以函数m（x）在x∈（0，+∞）上单调递增，
又，所以，即．……（11分）
所以，即，
于是实数k的取值范围是．……（12分）
【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．
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