2021年河南省郑州市高考数学第一次质量预测试卷（理科）（一模）

这是一份2021年河南省郑州市高考数学第一次质量预测试卷（理科）（一模），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021年河南省郑州市高考数学第一次质量预测试卷（理科）（一模）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．（5分）已知集合A＝{x||x|＜2}，B＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，则A∩B＝（　　）
A．{﹣1，0} B．{0，1}
C．{﹣1，0，1} D．{﹣2，﹣1，0，1，2}
2．（5分）设复数z满足＝i，则|z|＝（　　）
A．1 B． C． D．2
3．（5分）已知P为抛物线C：y2＝2px（p＞0）上一点，点P到C的焦点的距离为9，到y轴的距离为6，则p＝（　　）
A．3 B．6 C．9 D．12
4．（5分）设，为单位向量，且|﹣|＝1，则|+2|＝（　　）
A．3 B． C．7 D．
5．（5分）调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图，则下列所有正确结论的编号是（　　）
注：90后指1990年及以后出生，80后指1980﹣1989年之间出生，80前指1979年及以前出生．

①互联网行业从业人员中从事技术和运营岗位的人数占总人数的三成以上
②互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%
③互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多
④互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
6．（5分）《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长度依次成等差数列，冬至、立春、春分这三个节气的日影长度之和为31.5尺，前九个节气日影长度之和为85.5尺，则谷雨这一天的日影长度（　　）
A．5.5尺 B．4.5尺 C．3.5尺 D．2.5尺
7．（5分）函数y＝的图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
8．（5分）式子（x﹣）（x+y）5的展开式中，x3y3的系数为（　　）
A．3 B．5 C．15 D．20
9．（5分）若直线l与曲线y＝﹣和圆x2+y2＝都相切，则l的方程为（　　）
A．x﹣2y+2＝0 B．x+2y+2＝0 C．x﹣2y﹣2＝0 D．x+2y﹣2＝0
10．（5分）已知a＞0，b＞0，且a+b＝1，则下列选项错误的是（　　）
A．a2+b2≥ B．2a﹣b＞
C．log2a+log2b≥﹣2 D．+≤
11．（5分）对于函数y＝f（x）与y＝g（x），若存在x0，使f（x0）＝g（﹣x0），则称M（x0，f（x0）），N（﹣x0，g（﹣x0））是函数f（x）与g（x）图象的一对“隐对称点”．已知函数f（x）＝m（x+1），，函数f（x）与g（x）的图象恰好存在两对“隐对称点”，则实数m的取值范围为（　　）
A．（﹣1，0） B．（﹣∞，﹣1）
C．（0，1）∪（1，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）
12．（5分）设点A，B分别为双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点M，N分别在双曲线C的左、右支上，若＝5，2＝•，且||＜||，则双曲线C的离心率为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z＝x+2y的最小值为　 　．
14．（5分）已知f（x）＝（x2+2x+a）ex，若f（x）存在极小值，则a的取值范围是　 　．
15．（5分）数列{an}中，a1＝2，am+n＝am•an，若ak+2+ak+3+…+ak+11＝215﹣25，则k＝　 　．
16．（5分）已知A﹣BCD是球O的内接三棱锥，AB＝AC＝BC＝BD＝CD＝6，AD＝9，则球O的表面积为 　 　．
三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝，∠B＝45°．
（1）求边BC的长；
（2）在边BC上取一点D，使得cos∠ADB＝，求sin∠DAC的值．

18．（12分）如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD＝∠CBD，AB＝BD．
（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；
（2）若＝2，求二面角D﹣AE﹣C的余弦值．

19．（12分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，且过点A（2，1）．
（1）求C的方程；
（2）点M，N在C上，且AM⊥AN，证明：直线MN过定点．
20．（12分）已知函数f（x）＝x•ex﹣alnx﹣ax．
（1）若a＝e，讨论f（x）的单调性；
（2）若对任意x＞0恒有不等式f（x）≥1成立，求实数a的值．
21．（12分）教育是阻断贫困代际传递的根本之策．补齐贫困地区义务教育发展的短板，让贫困家庭子女都能接受公平面有质量的教育，是夯实脱贫攻坚根基之所在．治贫先治愚，扶贫先扶智．为了解决某贫困地区教师资源匮乏的问题，郑州市教育局拟从5名优秀教师中抽选人员分批次参与支教活动．支教活动共分3批次进行，每次支教需要同时派送2名教师，且每次派送人员均从5人中随机抽选．已知这5名优秀教师中，2人有支教经验，3人没有支教经验．
（1）求5名优秀教师中的“甲”，在这3批次活动中有且只有一次被抽选到的概率；
（2）求第二次抽选时，选到没有支教经验的教师的人数最有可能是几人？请说明理由；
（3）现在需要2名支教教师完成某项特殊教学任务，每次只能派一个人，且每个人只派一次，如果前一位教师一定时间内不能完成教学任务，则再派另一位教师．若有A、B两个教师可派，他们各自完成任务的概率分别为p1，p2，假设1＞p1＞p2，且假定各人能否完成任务的事件相互独立．若按某种指定顺序派人，这两个人各自能完成任务的概率依次为q1，q2，其中q1，q2是p1、p2的一个排列，试分析以怎样的顺序派出教师，可使所需派出教师的人员数目的数学期望达到最小．
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为（θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin（θ+）＝．
（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；
（2）射线OP的极坐标方程为θ＝，若射线OP与曲线C的交点为A（异于点O），与直线l的交点为B，求线段AB的长．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知a＞b＞0，函数f（x）＝|x+|．
（1）若a＝1，b＝，求不等式f（x）＞2的解集；
（2）求证：f（x）+|x﹣a2|≥4．

2021年河南省郑州市高考数学第一次质量预测试卷（理科）（一模）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．（5分）已知集合A＝{x||x|＜2}，B＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，则A∩B＝（　　）
A．{﹣1，0} B．{0，1}
C．{﹣1，0，1} D．{﹣2，﹣1，0，1，2}
【分析】可求出集合A，然后进行交集的运算即可．
【解答】解：∵A＝{x|﹣2＜x＜2}，B＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，
∴A∩B＝{﹣1，0，1}．
故选：C．
【点评】本题考查了描述法和列举法的定义，绝对值不等式的解法，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．
2．（5分）设复数z满足＝i，则|z|＝（　　）
A．1 B． C． D．2
【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．
【解答】解：∵复数z满足＝i，
∴z＝＝﹣＝﹣i
则|z|＝1．
故选：A．
【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
3．（5分）已知P为抛物线C：y2＝2px（p＞0）上一点，点P到C的焦点的距离为9，到y轴的距离为6，则p＝（　　）
A．3 B．6 C．9 D．12
【分析】直接利用抛物线的性质解题即可．
【解答】解：A为抛物线C：y2＝2px（p＞0）上一点，点A到C的焦点的距离为9，到y轴的距离为6，
因为抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离相等，
故有：6+＝9⇒p＝6；
故选：B．
【点评】本题主要考查抛物线性质的应用，属于基础题．
4．（5分）设，为单位向量，且|﹣|＝1，则|+2|＝（　　）
A．3 B． C．7 D．
【分析】通过向量的模，求出向量的数量积，然后转化求解即可．
【解答】解：为单位向量，且|＝1，
所以＝1，所以＝，
所以|+2|＝＝＝．
故选：D．
【点评】本题考查平面向量的数量积的求法与应用，是基本知识的考查．
5．（5分）调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图，则下列所有正确结论的编号是（　　）
注：90后指1990年及以后出生，80后指1980﹣1989年之间出生，80前指1979年及以前出生．

①互联网行业从业人员中从事技术和运营岗位的人数占总人数的三成以上
②互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%
③互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多
④互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【分析】利用整个互联网行业从业者年龄分布饼状图和90后从事互联网行业者岗位分布图直接求解即可．
【解答】解：由整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图得到：
56%×（39.6%+17%）＝31.696%＞30%，
互联网行业从业人员中从事技术和运营岗位的人数占总人数的三成以上，故①正确；
由整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图得到：
56%×39.6%＝22.176%＞20%，
互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%，故②正确；
由整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图得到：
17%×56%＝9.52%＞3%，
互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多，故③正确；
由整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图得到：
56%×39.6%＝22.176%＜41%，
互联网行业中从事技术岗位的人数90后不一定比80后多，故④错误．
故正确结论的编号是①②③．
故选：A．
【点评】本题考查考查饼状图、条形图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
6．（5分）《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长度依次成等差数列，冬至、立春、春分这三个节气的日影长度之和为31.5尺，前九个节气日影长度之和为85.5尺，则谷雨这一天的日影长度（　　）
A．5.5尺 B．4.5尺 C．3.5尺 D．2.5尺
【分析】根据题意，设这个等差数列为{an}，且该数列的公差为d；结合题意可得a1+a4+a7＝3a1+9d＝31.5，且a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8+a9＝9a1+36d＝85.5；解可得a1与d的值，由等差数列通项公式计算可得答案．
【解答】解：根据题意，设这个等差数列为{an}，且该数列的公差为d；
则有a1+a4+a7＝3a1+9d＝31.5，且a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8+a9＝9a1+36d＝85.5；
解可得：d＝﹣1，a1＝13.5；
则谷雨这一天的日影长a9＝13.5+8d＝5.5；
故选：A．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
7．（5分）函数y＝的图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
【分析】先判断函数为奇函数，再求出f（4）的值，即可判断．
【解答】解：y＝＝，函数的定义域为R，
设y＝f（x），则f（﹣x）＝﹣＝﹣f（x），
即函数y＝f（x）为奇函数，其图象关于原点对称，故排除C，
∵f（1）＝＞0，故排除D，
f（4）＝＝＝≈8，结合图象可排除A，
故选：B．
【点评】本题考查了函数图象的识别，关键掌握函数的奇偶性和函数值的特点，属于基础题．
8．（5分）式子（x﹣）（x+y）5的展开式中，x3y3的系数为（　　）
A．3 B．5 C．15 D．20
【分析】由题意利用二项展开式的通项公式，求得展开式中x3y3的系数．
【解答】解：对于式子（x+y）5，它的通项公式为Tr+1＝•x5﹣r•yr，
∵（x+y）5的展开式中，令r＝3，可得x2y3的系数为，
（x+y）5的展开式中，令r＝1，可得x4y的系数为，
用x乘以x2y3的项，可得x3y3的项；用﹣ 乘以x4y的项，也能得x3y3的项，
故式子（x﹣）（x+y）5的展开式中，x3y3的项系数为 ﹣＝10﹣5＝5，
故选：B．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于中档题．
9．（5分）若直线l与曲线y＝﹣和圆x2+y2＝都相切，则l的方程为（　　）
A．x﹣2y+2＝0 B．x+2y+2＝0 C．x﹣2y﹣2＝0 D．x+2y﹣2＝0
【分析】通过画出曲线y＝﹣和圆x2+y2＝，由图象可得切线的斜率小于0，纵截距小于0，可以通过排除选择，也可以切线的方程为y＝kx+b，由直线和圆相切的条件，以及直线和y＝﹣相切等价为二次方程的判别式为0，解方程可得所求切线的方程．
【解答】解：分别作出曲线y＝﹣和圆x2+y2＝
由图象可得切线的斜率小于0，纵截距小于0，
由排除法可得只有选项B的直线方程满足要求；
另外可设切线的方程为y＝kx+b，
圆x2+y2＝的圆心（0，0），半径r＝，
由直线l与圆相切，可得＝，①
由y＝kx+b与y＝﹣联立可得，k2x2+（2kb﹣1）x+b2＝0，
由Δ＝（2kb﹣1）2﹣4k2b2＝0，
化为4kb＝1，②
解得k＝﹣，b＝﹣，
则切线的方程为y＝﹣（x+2），即为x+2y+2＝0，
故选：B．

【点评】本题考查直线与圆的位置关系，以及直线和曲线的位置关系，注意运用判别式法，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
10．（5分）已知a＞0，b＞0，且a+b＝1，则下列选项错误的是（　　）
A．a2+b2≥ B．2a﹣b＞
C．log2a+log2b≥﹣2 D．+≤
【分析】利用基本不等式即可判断选项A，C，D，利用指数函数的性质即可判断选项B，从而得解．
【解答】解：对于A，因为a＞0，b＞0，且a+b＝1，
所以ab≤＝，当且仅当a＝b＝时等号成立，
所以a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝1﹣2ab≥1﹣2×＝，当且仅当a＝b＝时等号成立，故A正确；
对于B，由a＞0，b＞0，且a+b＝1，得a＝1﹣b＞0，则0＜b＜1，则﹣1＜1﹣2b＜1
所以2a﹣b＝21﹣2b∈（，2），故B正确；
对于C，log2a+log2b＝log2ab≤log2＝﹣2，当且仅当a＝b＝时等号成立，故C错误；
对于D，因为a+b＝1≥2，当且仅当a＝b时等号成立，
所以a+b+2＝（+）2≤2，所以+≤，故D正确．
故选：C．
【点评】本题主要考查基本不等式的应用，属于中档题．
11．（5分）对于函数y＝f（x）与y＝g（x），若存在x0，使f（x0）＝g（﹣x0），则称M（x0，f（x0）），N（﹣x0，g（﹣x0））是函数f（x）与g（x）图象的一对“隐对称点”．已知函数f（x）＝m（x+1），，函数f（x）与g（x）的图象恰好存在两对“隐对称点”，则实数m的取值范围为（　　）
A．（﹣1，0） B．（﹣∞，﹣1）
C．（0，1）∪（1，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）
【分析】由题意可得，y＝﹣m（x﹣1）与g（x）＝有2个交点，利用导数研究函数g（x）的单调性，画出图象，数形结合得答案．
【解答】解：∵f（x）＝m（x+1）恒过定点（﹣1，0），f（x）关于y轴对称的图象的函数解析式为y＝﹣m（x﹣1）
依题意可得，y＝﹣m（x﹣1）与g（x）＝有2个交点，
由，得g′（x）＝，
当0＜x＜e时，h′（x）＞0，函数g（x）单调递增，当x＞e时，
g′（x）＜0，函数g（x）单调递减，
而y＝﹣m（x﹣1）恒过定点（1，0），
作出函数g（x）＝的图象如图，
当直线y＝﹣m（x﹣1）与切于（1，0）时，
由导数的几何意义可得，﹣m＝，
则要使y＝﹣m（x﹣1）与g（x）＝有2个交点，则﹣m＞0且﹣m≠1，
∴实数m的取值范围为（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）．
故选：D．

【点评】本题考查函数的对称性及导数的几何意义，考查数形结合的思想与数学转化思想，属于中档题．
12．（5分）设点A，B分别为双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点M，N分别在双曲线C的左、右支上，若＝5，2＝•，且||＜||，则双曲线C的离心率为（　　）
A． B． C． D．
【分析】由题意画出图形，设，则（m＞0），再由2＝•，得BN⊥MB，求得m＝a，可得|AN|，|BN|，cos∠MNB，在△ABN中，由余弦定理列式，即可求得双曲线C的离心率．
【解答】解：设，则（m＞0），
∵2＝•＝（）•＝，
∴，即BN⊥MB，
则，即（2a+m）2+（6m﹣2a）2＝（5m）2，
解得m＝a或m＝．
①若m＝时，||＝，||＝2a，不满足||＜||（舍去），
②若m＝a时，||＝3a，||＝4a，满足||＜||，则m＝a．
∵cos∠MNB＝，
在△ANB中，|AB|2＝|AN|2+|BN|2﹣2|AN||BN|•cos∠MNB，
即，
整理得，即，得e＝．
故选：B．

【点评】本题考查双曲线的性质，考查数形结合思想和运算求解能力，是中档题．
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z＝x+2y的最小值为　4　．
【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．
【解答】解：作出不等式组表示的平面区域如图，

A（0，2），化目标函数z＝x+2y为y＝﹣，
由图可知，当直线y＝﹣过A时，直线在y轴上的截距最小，
z取最小值为4．
故答案为：4．

【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想，是中档题．
14．（5分）已知f（x）＝（x2+2x+a）ex，若f（x）存在极小值，则a的取值范围是　（﹣∞，2）　．
【分析】求出函数的导数，根据题意可得f（x）有极小值点，即二次方程有两个不等的实数根，由Δ＞0即可求得a的取值范围．
【解答】解：f′（x）＝（2x+2）ex+（x2+2x+a）ex＝ex（x2+4x+a+2），
因为函数f（x）的定义域为R，
所以若f（x）存在极小值，则f（x）有最小值点，
所以x2+4x+a+2＝0有两个不相等的实数根，
Δ＝16﹣4（a+2）＞0，解得a＜2，
故答案为：（﹣∞，2）．
【点评】本题考查导数的极值点求参数的取值范围，属于中档题．
15．（5分）数列{an}中，a1＝2，am+n＝am•an，若ak+2+ak+3+…+ak+11＝215﹣25，则k＝　3　．
【分析】先由题设推导出：an+1＝2an，从而说明数列{an}是首项、公比均为2的等比数列，进而求得Sn，再利用前n项和公式求得满足题意的k即可．
【解答】解：由题设可得：当m＝1时，有an+1＝a1an，
又a1＝2，∴an+1＝2an，
∴数列{an}是首项、公比均为2的等比数列，
∴Sn＝＝2n+1﹣2，
又∵ak+2+ak+3+…+ak+11＝215﹣25＝Sk+11﹣Sk+1＝﹣＝2k+12﹣2k+2，
∴k＝3，
故答案为：3．
【点评】本题主要考查等比数列的定义、前n项和公式的应用，属于基础题．
16．（5分）已知A﹣BCD是球O的内接三棱锥，AB＝AC＝BC＝BD＝CD＝6，AD＝9，则球O的表面积为 　84π　．
【分析】先画出图形，然后取BC的中点E，连接AE，DE，取AD的中点F，连接EF，利用已知的长度关系得出AE⊥BC，DE⊥BC，且三角形ABC和三角形BCD都是正三角形，即可求出三角形BCD的外接圆半径，再利用面面垂直的性质找到球心的位置，利用圆心定理求出球心O到平面BCD的距离，从而利用勾股定理即可求出外接球的半径，进而可以求解．
【解答】解：如图所示：
取BC的中点E，连接AE，DE，取AD的中点F，连接EF，
因为AB＝AC＝BC＝BD＝CD＝6，
所以AE⊥BC，DE⊥BC，且三角形ABC和三角形BCD都是正三角形，
所以AE＝DE＝3，即三角形ADE为等腰三角形，所以EF⊥AD，且EF平分∠AED，
不妨设三角形BCD的外接圆圆心为O′，且O′在DE上，
所以EO′＝ED＝，
设外接球的球心为O，半径为R，则OA＝OD＝R，
利用面面垂直可证得平面AED⊥平面BCD，
又平面AED∩平面BCD＝ED，则球心O必在三角形AED中，
又OA＝OD＝R，所以O在∠AED的角平分线EF上，连接OO′，
则OO′⊥平面BCD，即OO′⊥ED，
在三角形AED中，由余弦定理可得：
cos，
所以∠AED＝120°，所以，
在RT△EOO′中，tan＝，
所以OO′＝3，
在RT△OO′D中，OD＝R，O′D＝2，
所以R2＝OO′2+O′D2＝21，
所以球O的表面积为S＝4πR2＝84π，
故答案为：84π．

【点评】本题考查了三棱锥的外接球的表面积问题，涉及到正三角形的性质以及余弦定理的应用，考查了面面垂直的性质以及学生的运算推理能力，属于中档题．
三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝，∠B＝45°．
（1）求边BC的长；
（2）在边BC上取一点D，使得cos∠ADB＝，求sin∠DAC的值．

【分析】（1）在△ABC中，由余弦定理可列得关于a的方程，解之即可；
（2）在△ABC中，由正弦定理求得sinC的值，再结合cos∠ADB＝与三角形的内角和定理可判断出C为锐角，并根据同角三角函数的平方关系求出cosC和sin∠ADC的值，最后由正弦的两角和公式，可得解．
【解答】解：（1）在△ABC中，因为，
由余弦定理知，b2＝a2+c2﹣2accosB，
所以，即a2﹣2a﹣3＝0，
解得a＝3或a＝﹣1（舍），
所以BC＝3．
（2）在△ABC中，由正弦定理知，，
所以，解得，
因为cos∠ADB＝，
所以，即∠ADC为钝角，且sin∠ADC＝，
又∠ADC+∠C+∠CAD＝180°，
所以∠C为锐角，
所以，
所以sin∠DAC＝sin（180°﹣∠ADC﹣∠C）＝sin（∠ADC+∠C）
＝sin∠ADCcos∠C+cos∠ADCsin∠C
＝．
【点评】本题考查解三角形在平面几何中的应用，熟练运用正弦定理、余弦定理与正弦的两角和公式是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算求解能力，属于中档题．
18．（12分）如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD＝∠CBD，AB＝BD．
（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；
（2）若＝2，求二面角D﹣AE﹣C的余弦值．

【分析】（1）取AC的中点O连接BO，OD．OB⊥AC，OB⊥OD，从而OB⊥平面ACD，由此能证明平面ACD⊥平面ABC．
（2）点E是BD的三等分点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角D﹣AE﹣C的余弦值．
【解答】（1）证明：如图所示，取AC的中点O连接BO，OD．
∵△ABC是等边三角形，∴OB⊥AC，
△ABD与△CBD中，AB＝BD＝BC，∠ABD＝∠CBD，
∴△ABD≌△CBD，∴AD＝CD，
∵△ACD是直角三角形，∴AC是斜边，∴∠ADC＝90°，
∵DO＝，∴DO2+BO2＝AB2＝BD2，∴∠BOD＝90°，∴OB⊥OD，
又DO∩AC＝O，∴OB⊥平面ACD．
又OB⊂平面ABC，∴平面ACD⊥平面ABC．
（2）解：由题知，点E是BD的三等分点，建立如图所示的空间直角坐标系．
不妨取AB＝2，则O（0，0，0），A（1，0，0），C（﹣1，0，0），D（0，0，1），B（0，，0），E（0，，）．
＝（﹣1，0，1），＝（﹣1，，），＝（﹣2，0，0），
设平面ADE的法向量为＝（x，y，z），
则，取x＝3，得＝（3，，3）．
同理可得：平面ACE的法向量为＝（0，1，﹣）．
∴cos＜＞＝＝﹣，
∴二面角D﹣AE﹣C的余弦值为．


【点评】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．
19．（12分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，且过点A（2，1）．
（1）求C的方程；
（2）点M，N在C上，且AM⊥AN，证明：直线MN过定点．
【分析】（1）由题意可知＝，+＝1，a2＝b2+c2，解得a2，b2，进而可得椭圆方程．
（2）设点M（x1，ya），N（x2，y2），由推出AM⊥AN，y1y2﹣（y1+y2）+1＝﹣x1x2+2（x1+x2）﹣4①，设MN：y＝kx+m，联立直线MN与椭圆的方程，得关于x的一元二次方程，结合韦达定理可得x1+x2，x1x2，y1+y2，y1y2，代入①式化简可得m，进而可得直线过定点．
【解答】解：（1）由题意可知＝，+＝1，a2＝b2+c2，
解得a2＝6，b2＝3，
所以椭圆方程为+＝1．
（2）证明：设点M（x1，ya），N（x2，y2），
因为AM⊥AN，
所以•＝﹣1，
所以y1y2﹣（y1+y2）+1＝﹣x1x2+2（x1+x2）﹣4①，
当k存在的情况下，设MN：y＝kx+m，
联立，
得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣6＝0，
由Δ＞0，得6k2﹣m2+3＞0，
由根与系数的关系得x1+x2＝﹣，x1x2＝，
所以y1+y2＝k（x1+x2）+2m＝，y1y2＝k2（x1x2）+km（x1+x2）+m2＝，
代入①式化简可得4k2+8km+（m﹣1）（3m+1）＝0，
即（2k+m﹣1）（2k+3m+1）＝0，
所以m＝1﹣2k或m＝﹣，
所以直线方程为y＝kx+1﹣2k或y＝kx﹣，
所以直线过定点（2，1）或（，﹣），
又因为（2，1）和A点重合，故舍去
所以直线过定点E（，﹣）．
当k不存在的情况下，x1＝x2，y1＝﹣y2，
①式化为x12﹣4x1+5﹣y12＝0，
又因为+＝1，
联立以上两式，解得x1＝，x2＝2（舍去，此时MN过点A，不合题意），
所以直线MN的方程为x＝仍过定点（，﹣），
综上所述，直线MN过定点（，﹣）．
【点评】本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的运算能力，属于中档题．
20．（12分）已知函数f（x）＝x•ex﹣alnx﹣ax．
（1）若a＝e，讨论f（x）的单调性；
（2）若对任意x＞0恒有不等式f（x）≥1成立，求实数a的值．
【分析】（1）求出f′（x），利用导数的正负即可求得f（x）的单调性；
（2）讨论a的情况，求出f（x）min的值，令t＝，再设出h（t），得出h（x）max，最后得出t＝1，即可求得a的值．
【解答】解：（1）f（x）＝x•ex﹣alnx﹣ax，x＞0，
则f′（x）＝（x+1）ex﹣a（+1）＝（x+1）（ex﹣），
当a＝e时，令f′（x）＜0，得0＜x＜1；
令f′（x）＞0，得x＞1；
综上，当x∈（0，1）时，f（x）单调递减；
当x∈（1，+∞）时，f（x）单调递增．
（2）当a＜0时，f（x）单调递增，f（x）的值域为R，不符合题意；
当a＝0时，则f（）＝＜1，也不符合题意．
当a＞0时，易知f′（x）为增函数，当x→0时，f′（x）→﹣∞，当x→+∞，f′（x）→+∞，
所以f′（x）＝0有唯一解x0，此时x0＝a，
因此f（x）min＝f（x0）＝x0﹣alnx0﹣ax0＝a﹣alna﹣ax0＝a﹣alna，
故只需a﹣alna≥1．
令t＝，上式即转化为lnt≥t﹣1，
设h（t）＝lnt﹣t+1，
则h′（x）＝，
因此h（t）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
从而h（x）max＝h（1）＝0，
所以lnt≤t﹣1．
因此，lnt＝t﹣1，所以t＝1，
从而有＝t＝1，可得a＝1．
故满足条件的实数为a＝1．
【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查分类讨论思想与转化思想的应用，属于难题．
21．（12分）教育是阻断贫困代际传递的根本之策．补齐贫困地区义务教育发展的短板，让贫困家庭子女都能接受公平面有质量的教育，是夯实脱贫攻坚根基之所在．治贫先治愚，扶贫先扶智．为了解决某贫困地区教师资源匮乏的问题，郑州市教育局拟从5名优秀教师中抽选人员分批次参与支教活动．支教活动共分3批次进行，每次支教需要同时派送2名教师，且每次派送人员均从5人中随机抽选．已知这5名优秀教师中，2人有支教经验，3人没有支教经验．
（1）求5名优秀教师中的“甲”，在这3批次活动中有且只有一次被抽选到的概率；
（2）求第二次抽选时，选到没有支教经验的教师的人数最有可能是几人？请说明理由；
（3）现在需要2名支教教师完成某项特殊教学任务，每次只能派一个人，且每个人只派一次，如果前一位教师一定时间内不能完成教学任务，则再派另一位教师．若有A、B两个教师可派，他们各自完成任务的概率分别为p1，p2，假设1＞p1＞p2，且假定各人能否完成任务的事件相互独立．若按某种指定顺序派人，这两个人各自能完成任务的概率依次为q1，q2，其中q1，q2是p1、p2的一个排列，试分析以怎样的顺序派出教师，可使所需派出教师的人员数目的数学期望达到最小．
【分析】（1）根据相互独立的概率乘法公式即可求解；
（2）先求出第一次抽取到的无支教经验的教师人数对应的概率，再求出第二次抽取到的无支教经验的教师人数，比较即可求解；
（3）分别求出先A后B以及先B后A对应的数学期望，比较即可求解．
【解答】解：（1）5名优秀教师中的“甲”在每轮抽取中，被抽取到概率为，
则三次抽取中，“甲”恰有一次被抽取到的概率 P＝C；
（2）第二次抽取到的没有支教经验的教师人数最有可能是 1 人．
设ω表示第一次抽取到的无支教经验的教师人数，ω可能的取值有 0，1，2，
则；；．
设y表示第二次抽取到的无支教经验的教师人数，y可能的取值有 0，1，2，则
P（y＝0）＝++＝，
P（y＝1）＝++＝，
P（y＝2）＝++＝，
因为 P（y＝1）＞P（y＝2）＞P（y＝0），
故第二次抽取到的无支教经验的教师人数最有可能是 1 人．
（3）按照先A后B的顺序所需人数期望最小：
①设X表示先A后B完成任务所需人员数目，则
X
1
2
P
P1
1﹣P1
E（X）＝P1+2（1﹣P1）＝2﹣P1，
①设Y表示B先后A完成任务所需人员数目，则
X
1
2
P
P2
1﹣P2
E（Y）＝P2+2（1﹣P2）＝2﹣P2，E（Y）﹣E（X）＝P1﹣P2＞0，
故按照先A后B的顺序所需人数期望最小．
【点评】本题考查了离散型随机变量的分布列和数学期望，考查了相互独立事件的概率乘法公式的应用，还考查了学生的运算能力，属于中档题．
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为（θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin（θ+）＝．
（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；
（2）射线OP的极坐标方程为θ＝，若射线OP与曲线C的交点为A（异于点O），与直线l的交点为B，求线段AB的长．
【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程、极坐标方程和直角坐标方程进行转换；
（2）利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．
【解答】解：（1）由，转换为直角坐标方程为x2+（y﹣1）2＝1，
由直线l的极坐标方程为ρsin（θ+）＝．
根据，转换为直角坐标方程为：．
（2）曲线C的方程可化为x2+y2﹣2y＝0，
所以曲线C的极坐标方程为ρ＝2sinθ，
由题意设A（），B（），
将代入ρ＝2sinθ，得到ρ1＝1．
将代入ρsin（θ+）＝，得到ρ2＝，
所以|AB|＝|ρ1﹣ρ2|＝1．
【点评】本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知a＞b＞0，函数f（x）＝|x+|．
（1）若a＝1，b＝，求不等式f（x）＞2的解集；
（2）求证：f（x）+|x﹣a2|≥4．
【分析】（1）把a＝1，b＝代入f（x），然后求解绝对值的不等式得f（x）＞2的解集；
（2）把f（x）代入f（x）+|x﹣a2|，由绝对值不等式的性质求最值，再由不等式的性质得到，即可证得f（x）+|x﹣a2|≥4．
【解答】解：（1）依题意，当a＝1，b＝时，得f（x）＝|x+4|，
则f（x）＞2⇔|x+4|＞2⇔x+4＞2或x+4＜﹣2，
解得x＞﹣2或x＜﹣6．
故不等式f（x）＞2的解集为{x|x＞﹣2或x＜﹣6}；
证明：（2）依题意，f（x）+|x﹣a2|≥4⇔|x+|+|x﹣a2|≥4，
∵|x+|+|x﹣a2|≥|x+﹣（x﹣a2）|＝，
又a＝b+a﹣b，∴，
故．
当且仅当a＝，b＝时，等号成立．
【点评】本题考查绝对值不等式的解法，考查不等式的证明，考查逻辑思维能力与推理论证能力，是中档题．
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