2021年上海市奉贤中学高考数学二模试卷

这是一份2021年上海市奉贤中学高考数学二模试卷，共20页。试卷主要包含了填空题，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021年上海市奉贤中学高考数学二模试卷
一、填空题
1．已知（2+i）z＝i2021（i为虚数单位），则||＝　 　．
2．设一组样本数据x1，x2，•••，xn的方差为0.01，则数据10x1，10x2，•••，10xn的方差为　 　．
3．已知，则＝　 　．
4．点（0，﹣1）到直线y＝k（x+1）距离的最大值为　 　．
5．已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为 　 　．
6．展开式的二项式系数之和为32，则展开式中x的系数为　 　（用数字填写答案）．
7．不等式的解集为M，且2∉M，则实数a的取值范围是　 　．
8．在数列{an}中，若对一切n∈N*都有an＝﹣3an+1，且＝，则a1的值为 　 　．
9．北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用．刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容．用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和，例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是，所以正四面体在各顶点的曲率为，故其总曲率为4π，则四棱锥的总曲率为　 　．

10．已知△ABC是面积为的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上．若球O的表面积为16π，则球O的体积为 　 　；O到平面ABC的距离为 　 　．
11．已知a＞0，b＞0且a+b＝3．式子的最小值是　 　．
12．已知函数y＝a+cosωx，x∈[﹣π，π]（其中，a，ω为常数，且ω＞0）有且仅有3个零点，则ω的最小值是　 　．
二、选择题
13．已知全集U，M，N是U的非空子集，且∁UM⊇N，则必有（　　）
A．M⊆∁UN B．M⊇∁UN C．M＝∁UN D．M⊆N
14．“m＝2”是“直线2x+my+1＝0与直线mx+2y﹣1＝0平行”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．既不充分也不必要条件 D．充要条件
15．已知函数的反函数图象的对称中心是（﹣1，3），则实数a的值是（　　）
A．2 B．3 C．﹣3 D．﹣4
16．已知不等式x2+ax+b＞0（a＞0）的解集是{x|x≠d}，则下列四个命题：
①a2﹣b2≤4：
②a2+≥4；
③若不等式x2+ax﹣b＜0的解集为（x1，x2），则x1x2＞0；
④若不等式x2+ax+b＜c的解集为（x1，x2），且|x1﹣x2|＝4，则c＝4．
其中真命题的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
三、解答题
17．如图在三棱锥P﹣ABC中，棱AB、AC、AP两两垂直，AB＝AC＝AP＝3，点M在AP上，且AM＝1．
（1）求异面直线BM和PC所成的角的大小；
（2）求三棱锥P﹣BMC的体积．

18．若函数y＝f（x）对定义域内的每一个值x1，在其定义域内都存在唯一的x2，使f（x1）f（x2）＝1成立，则该函数为“依附函数”．
（1）判断函数g（x）＝sinx是否为“依附函数”，并说明理由；
（2）若函数f（x）＝2x﹣1在定义域[m，n]（m＞0）上“依附函数”，求mn的取值范围．
19．由于2020年1月份国内疫情暴发，经济活动大范围停顿，餐饮业受到重大影响．3月份复工复产工作逐步推进，居民生活逐步恢复正常．李克强总理在6月1日考察山东烟台一处老旧小区时提到，地摊经济、小店经济是就业岗位的重要来源，是人间的烟火，和“高大上”一样，是中国的生机．某商场经营者陈某准备在商场门前“摆地摊”，经营冷饮生意．已知该商场门前是一块角形区域，如图所示，其中∠APB＝120°，且在该区域内点R处有一个路灯，经测量点R到区域边界PA，PB的距离分别为RS＝4m，RT＝6m，（m为长度单位）．陈某准备过点R修建一条长椅MN（点M，N分别落在PA，PB上，长椅的宽度及路灯的粗细忽略不计），以供购买冷饮的人休息．
（Ⅰ）求点P到点R的距离；
（Ⅱ）为优化经营面积，当PM等于多少时，该三角形PMN区域面积最小？并求出面积的最小值．

20．已知a＞b＞0，如图，曲线Γ由曲线C1：和曲线C2：组成，其中点F1，F2为曲线C1所在圆锥曲线的焦点，点F3，F4为曲线C2所在圆锥曲线的焦点．
（1）若F2（2，0），F3（﹣6，0），求曲线Γ的方程；
（2）如图，作斜率为正数的直线l平行于曲线C2的渐近线，交曲线C1于点A，B，求弦AB的中点M的轨迹方程；
（3）对于（1）中的曲线Γ，若直线l1过点F4交曲线C1于点C，D，求△CDF1面积的最大值．

21．已知函数f（x）＝|x|•sinx，x∈R，各项均不相等的数列{xn}满足：|xi|≤，令F（n）＝（x1+x2+⋅⋅⋅+xn）•[f（x1）+f（x2）+⋅⋅⋅+f（xn）]（n∈N*）．
（1）试举例说明存在不少于3项的数列{xn}，使得F（n）＝0；
（2）若数列{xn}的通项公式为，证明：F（2k）＞0对k∈N*恒成立；
（3）若数列{xn}是等差数列，证明：F（n）≥0对n∈N*恒成立．

2021年上海市奉贤中学高考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、填空题
1．已知（2+i）z＝i2021（i为虚数单位），则||＝　　．
【分析】根据复数的基本运算法则进行化简求解即可．
【解答】解：∵（2+i）z＝i2021＝i2020•i＝i，
∴z＝＝＝+i，
∴||＝|﹣i|＝＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查复数模长的计算，比较基础．
2．设一组样本数据x1，x2，•••，xn的方差为0.01，则数据10x1，10x2，•••，10xn的方差为　1　．
【分析】根据题意，由方差的性质，若x1，x2，•••，xn的方差为s2，则ax1，ax2•••，axn的方差为a2s2，据此计算可得答案．
【解答】解：根据题意，一组样本数据x1，x2，•••，xn的方差S2＝0.01，
则数据10x1，10x2，•••，10xn的方差为102×S2＝1；
故答案为：1
【点评】本题考查方差的计算公式，注意方差的性质，属于基础题．
3．已知，则＝　　．
【分析】由已知结合两角和的正弦公式及辅助角公式进行化简即可求解．
【解答】解：由，结合两角和的正弦公式，得，
化简，得，
∴，
∴．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了两角和的正弦公式，属于基础题．
4．点（0，﹣1）到直线y＝k（x+1）距离的最大值为　　．
【分析】直线y＝k（x+1）恒过点（﹣1，0），则点（0，﹣1）到直线y＝k（x+1）的距离的最大值为点（﹣1，0）到（0，﹣1）的距离．
【解答】解：直线y＝k（x+1）恒过点（﹣1，0），
则点（0，﹣1）到直线y＝k（x+1）的距离的最大值为点（﹣1，0）到（0，﹣1）的距离，
∴点（0，﹣1）到直线y＝k（x+1）距离的最大值为：
d＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查点到直线的最大距离的求法，考查直线性质、两点间距离公式等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．
5．已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为 　π　．
【分析】易知圆锥内半径最大的球应为圆锥的内切球，作图，求得出该内切球的半径即可求出球的体积．
【解答】解：因为圆锥内半径最大的球应该为该圆锥的内切球，
如图，圆锥母线BS＝3，底面半径BC＝1，
则其高SC＝＝2，
不妨设该内切球与母线BS切于点D，
令OD＝OC＝r，由△SOD∽△SBC，则＝，
即＝，解得r＝，
V＝πr3＝π，
故答案为：π．

【点评】本题考查圆锥内切球，考查球的体积公式，数形结合思想，属于中档题．
6．展开式的二项式系数之和为32，则展开式中x的系数为　80　（用数字填写答案）．
【分析】由已知求出n＝5，然后求出展开式的通项公式，令x的指数为1，由此即可求解．
【解答】解：由题意得2n＝32，所以n＝5，
所以展开式的通项为，令，得r＝1，
所以展开式中x的系数为，
故答案为：80．
【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．
7．不等式的解集为M，且2∉M，则实数a的取值范围是　（﹣∞，﹣2]∪[4，+∞）　．
【分析】由题意可知，或2+a＝0，解不等式可求．
【解答】解：由题意可知，或2+a＝0，
解得，a≥4或a≤﹣2．
故答案为：[4，+∞）∪（﹣∞．﹣2]
【点评】本题主要考查了分式不等式的求解，属于基础试题．
8．在数列{an}中，若对一切n∈N*都有an＝﹣3an+1，且＝，则a1的值为 　﹣12　．
【分析】由题意可得数列{an}为公比为﹣的等比数列，运用数列极限的运算，解方程即可得到所求．
【解答】解：在数列{an}中，若对一切n∈N*都有an＝﹣3an+1，
可得数列{an}为公比为﹣的等比数列，
＝，
可得＝＝＝＝，
可得a1＝﹣12．
故答案为：﹣12．
【点评】本题考查等比数列的通项和求和公式，以及数列极限的运算，属于中档题．
9．北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用．刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容．用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和，例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是，所以正四面体在各顶点的曲率为，故其总曲率为4π，则四棱锥的总曲率为　4π　．

【分析】根据题中给出的定义，由多面体的总曲率计算求解即可．
【解答】解：由题意可知，四棱锥的总曲率等于四棱锥各顶点的曲率之和，
可以从整个多面体的角度考虑，所有顶点相关的面角就是多面体的所有多边形表面的内角的集合，
由图可知四棱锥有5个顶点，5个面，其中4个三角形，1个四边形，
所以四棱锥的表面内角和由4个为三角形，1个为四边形组成，
所以面角和为4π+2π＝6π，
故总曲率为5×2π﹣6π＝4π．
故答案为：4π．

【点评】本题考查了新定义问题，解题的关键是理解多面体的总曲率的含义，考查了棱锥的结构特征的运用，属于基础题．
10．已知△ABC是面积为的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上．若球O的表面积为16π，则球O的体积为 　　；O到平面ABC的距离为 　1　．
【分析】画出图形，利用已知条件求三角形ABC的外接圆的半径，然后求解OO1即可．
【解答】解：由题意可知图形如图：△ABC是面积为的等边三角形，可得AB2＝，
∴AB＝BC＝AC＝3，
可得：AO1＝××3＝，
球O的表面积为16π，
外接球的半径为：R；
所以4πR2＝16π，解得R＝2，
∴球O的体积为：•R3＝，
所以O到平面ABC的距离为：＝1．
故答案为：，1．

【点评】本题考查球的内接体问题，求解球的半径，以及三角形的外接圆的半径是解题的关键．
11．已知a＞0，b＞0且a+b＝3．式子的最小值是　2　．
【分析】令a+2019＝x，b+2020＝y，则x＞2019，y＞2020且x+y＝4042，然后利用乘1法，结合基本不等式可求．
【解答】解：令a+2019＝x，b+2020＝y，则x＞2019，y＞2020且x+y＝4042，
∴，
∴，
＝，
当且仅当且x+y＝4042，即x＝y＝2021，a＝2，b＝1时成立．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查了利用基本不等式求解最值，换元法的应用是求解问题的关键．
12．已知函数y＝a+cosωx，x∈[﹣π，π]（其中，a，ω为常数，且ω＞0）有且仅有3个零点，则ω的最小值是　2　．
【分析】根据函数y＝a+cosωx是偶函数，结合零点个数得到a＝﹣1，利用函数与方程的关系转化两个图象交点个数问题即可．
【解答】解：∵y＝a+cosωx，x∈[﹣π，π]是偶函数，
∴若y＝a+cosωx，x∈[﹣π，π]有且仅有3个零点，
则必有一个零点是0，则a+1＝0，得a＝﹣1，
由y＝﹣1+cosωx＝0得cosωx＝1，
∵x∈[﹣π，π]，∴ωx∈[﹣ωπ，ωπ]，
设t＝ωx，则t∈[﹣ωπ，ωπ]，
作出y＝cost与y＝1的图象如图：
则2π≤ωπ＜4π，得2≤ω＜4，
即ω的最小值是2，
故答案为：2．

【点评】本题主要考查函数与方程的应用，利用偶函数的性质求出a的值，利用换元法结合余弦函数的图像和性质是解决本题的关键，是中档题．
二、选择题
13．已知全集U，M，N是U的非空子集，且∁UM⊇N，则必有（　　）
A．M⊆∁UN B．M⊇∁UN C．M＝∁UN D．M⊆N
【分析】根据已知画出韦恩图，即可判断选项的正确性．
【解答】解：集合M，N的关系如图所示：
则由图可得M⊆∁UN，
故选：A．

【点评】本题考查了集合间的包含关系，涉及到韦恩图的应用，属于基础题．
14．“m＝2”是“直线2x+my+1＝0与直线mx+2y﹣1＝0平行”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．既不充分也不必要条件 D．充要条件
【分析】根据直线平行的等价条件求出m的值，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【解答】解：当m＝0时，两直线等价为2x+1＝0，2y﹣1＝0，此时两直线不平行，即m≠0，
当m≠0时，若两直线平行则满足≠，
由得m2＝4，得m＝±2，
由≠，得m≠﹣2，
综上m＝2，
即“m＝2“是“直线2x+my+1＝0与直线mx+2y﹣1＝0平行”的充要条件，
故选：D．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合直线平行的等价条件求出m的值是解决本题的关键，是基础题．
15．已知函数的反函数图象的对称中心是（﹣1，3），则实数a的值是（　　）
A．2 B．3 C．﹣3 D．﹣4
【分析】求出原函数的对称中心，化简函数的表达式，即可求出a的值．
【解答】解：函数的反函数图象的对称中心是（﹣1，3），所以原函数的对称中心为（3，﹣1），
函数化为，所以a+1＝3，所以a＝2．
故选：A．
【点评】掌握基本函数的对称中心，反函数的对称性，是解答本题的关键，考查计算能力．
16．已知不等式x2+ax+b＞0（a＞0）的解集是{x|x≠d}，则下列四个命题：
①a2﹣b2≤4：
②a2+≥4；
③若不等式x2+ax﹣b＜0的解集为（x1，x2），则x1x2＞0；
④若不等式x2+ax+b＜c的解集为（x1，x2），且|x1﹣x2|＝4，则c＝4．
其中真命题的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】利用二次不等式的解集求出a，b关系，化简a2﹣b2推出小于等于4判断①；利用基本不等式判断②；利用韦达定理判断③；不等式的解集判断④．
【解答】解：由题意，Δ＝a2﹣4b＝0，∴．
①a2﹣b2＝4b﹣b2＝﹣（b﹣2）2+4≤4，等号当且仅当时成立，∴①正确；
②，等号当且仅当，即时成立，∴②正确；
③由韦达定理，知，∴③错误；
④由韦达定理，知，
则，解得c＝4，∴④正确；
综上，真命题的个数是3，
故选：C．
【点评】本题考查命题的真假的判断，韦达定理和对二次不等式的解集的理解，是中档题．
三、解答题
17．如图在三棱锥P﹣ABC中，棱AB、AC、AP两两垂直，AB＝AC＝AP＝3，点M在AP上，且AM＝1．
（1）求异面直线BM和PC所成的角的大小；
（2）求三棱锥P﹣BMC的体积．

【分析】（1）在AC上取点N，使AN＝AC＝1，易知∠BMN或其补角即为所求，在△BMN中，由余弦定理，即可得解；
（2）由V＝VP﹣ABC﹣VM﹣ABC，即可得解．
【解答】解：（1）在AC上取点N，使AN＝AC＝1，连接MN，BN，
∵AP＝3，AM＝1，
∴MN∥PC，
∴∠BMN或其补角即为异面直线BM和PC所成的角，
在△BMN中，BM＝，MN＝，BN＝，
由余弦定理知，cos∠BMN＝＝＝，
∴∠BMN＝arccos，
∴异面直线BM和PC所成的角的大小为arccos．

（2）V＝VP﹣ABC﹣VM﹣ABC＝S△ABC•（AP﹣AM）＝××3×3×2＝3，
故三棱锥P﹣BMC的体积为3．
【点评】本题考查棱锥的体积、异面直线夹角的求法，利用平移的思想，找出异面直线的夹角，以及灵活运用割补法求体积是解题的关键，考查学生的空间立体感和运算求解能力，属于基础题．
18．若函数y＝f（x）对定义域内的每一个值x1，在其定义域内都存在唯一的x2，使f（x1）f（x2）＝1成立，则该函数为“依附函数”．
（1）判断函数g（x）＝sinx是否为“依附函数”，并说明理由；
（2）若函数f（x）＝2x﹣1在定义域[m，n]（m＞0）上“依附函数”，求mn的取值范围．
【分析】（1）对于函数g（x）＝sinx的定义域R内存在，则g（x2）＝sinx2＝2，无解．由此即可判断；（2）先利用反证法证明f（m）f（n）＝1成立，进而可以求解．
【解答】解：（1）对于函数g（x）＝sinx的定义域R内存在，
则g（x2）＝sinx2＝2，无解．
故g（x）＝sinx不是“依附函数”；
（2）首先证明：当f（x）在定义域上[m，n]上单调递增，且为“依赖函数”时，有f（m）f（n）＝1．
假设f（m）f（n）≠1，则当x＝m时，存在x＝p∈（m，n），使得f（m）f（p）＝1，
当x＝n时，存在x＝q∈（m，n），（q≠p），使得f（n）f（q）＝1，
由于f（x）在定义域上[m，n]上单调递增，故，
所以 f（n）f（q）＞f（m）f（p）与f（m）f（p）＝f（n）f（q）＝1矛盾，
故f（m）f（n）＝1．
因为f（x）＝2x﹣1在[m，n]递增，故f（m）f（n）＝1，
即2m﹣12n﹣1＝1，m+n＝2，
由n＞m＞0，故n＝2﹣m＞m＞0，得0＜m＜1，
从而mn＝m（2﹣m）在m∈（0，1）上单调递增，故mn∈（0，1）．
【点评】本题考查了函数与方程的综合应用，涉及到反证法的应用，考查了学生的分析问题的能力与逻辑推理能力，属于中档题．
19．由于2020年1月份国内疫情暴发，经济活动大范围停顿，餐饮业受到重大影响．3月份复工复产工作逐步推进，居民生活逐步恢复正常．李克强总理在6月1日考察山东烟台一处老旧小区时提到，地摊经济、小店经济是就业岗位的重要来源，是人间的烟火，和“高大上”一样，是中国的生机．某商场经营者陈某准备在商场门前“摆地摊”，经营冷饮生意．已知该商场门前是一块角形区域，如图所示，其中∠APB＝120°，且在该区域内点R处有一个路灯，经测量点R到区域边界PA，PB的距离分别为RS＝4m，RT＝6m，（m为长度单位）．陈某准备过点R修建一条长椅MN（点M，N分别落在PA，PB上，长椅的宽度及路灯的粗细忽略不计），以供购买冷饮的人休息．
（Ⅰ）求点P到点R的距离；
（Ⅱ）为优化经营面积，当PM等于多少时，该三角形PMN区域面积最小？并求出面积的最小值．

【分析】（1）连接ST，先在△RST中，由余弦定理求出ST的值，再由余弦定理求得cos∠STR的值，而sin∠PTS＝cos∠STR，再在△PST中，由正弦定理可得SP的值，然后利用勾股定理，即可得解；
（2）由正弦面积公式和S△PMN＝S△PRM+S△PRN，可推出|PM|•|PN|＝2|PM|+3|PN|，再结合基本不等式，得解．
【解答】解：（1）连接ST，
在△RST中，∠SRT＝180°﹣∠APB＝60°，
由余弦定理知，ST2＝RS2+RT2﹣2RS•RTcos∠SRT＝42+62﹣2×4×6cos60°＝28，
∴ST＝2，
∴cos∠STR＝＝＝，
∴sin∠PTS＝cos∠STR＝，
在△PST中，由正弦定理知，＝，即，
∴SP＝，
连接RP，在Rt△SPR中，PR2＝RS2+SP2＝42+（）2＝，
∴PR＝，
故点P到点R的距离为m．

（2）由正弦面积公式知，S△PMN＝|PM|•|PN|sin120°＝|PM|•|PN|，
∵S△PMN＝S△PRM+S△PRN＝|PM|•|RS|+|PN|•|RT|＝|PM|×4+|PN|×6＝2|PM|+3|PN|，
∴|PM|•|PN|＝2|PM|+3|PN|≥2，
∴|PM|•|PN|≥128，当且仅当2|PM|＝3|PN|，即|PM|＝8，|PN|＝时，等号成立，
此时S△PMN＝|PM|•|PN|≥×128＝32，
故当PM等于8m时，该三角形PMN区域面积最小，面积的最小值为32m2．
【点评】本题考查函数的实际应用，涉及解三角形的知识，利用基本不等式解决最值问题，熟练掌握正余弦定理、正弦面积公式是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
20．已知a＞b＞0，如图，曲线Γ由曲线C1：和曲线C2：组成，其中点F1，F2为曲线C1所在圆锥曲线的焦点，点F3，F4为曲线C2所在圆锥曲线的焦点．
（1）若F2（2，0），F3（﹣6，0），求曲线Γ的方程；
（2）如图，作斜率为正数的直线l平行于曲线C2的渐近线，交曲线C1于点A，B，求弦AB的中点M的轨迹方程；
（3）对于（1）中的曲线Γ，若直线l1过点F4交曲线C1于点C，D，求△CDF1面积的最大值．

【分析】（1）利用椭圆的焦距与双曲线的焦距，列出a，b的方程组然后求解a、b，得到曲线Γ的方程．
（2）由题意曲线C2的渐近线为：，设直线，联立直线与椭圆方程，由数形结合知．设点A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），利用韦达定理推出点M的轨迹方程即可．（3）由（1）得，曲线，点F4（6，0），设直线l1的方程为：x＝ny+6（n＞0），联立直线与椭圆方程，设C（x3，y3），D（x4，y4），利用韦达定理，转化求解三角形的面积，利用基本不等式求解即可．
【解答】解：（1）由题意得F2（2，0），F3（﹣6，0），
所以，解得，
则曲线Γ的方程为：和．
（2）由题意曲线C2的渐近线为：，设直线，
由，得2x2﹣2mx+（m2﹣a2）＝0，
所以Δ＝4m2﹣8（m2﹣a2）＞0，解得：，
又由数形结合知．设点A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），
则x1+x2＝m，，所以，，
所以，即点M在射线上．
（3）由（1）得，曲线，点F4（6，0），
设直线l1的方程为：x＝ny+6（n＞0），
由，得（5+4n2）y2+48ny+64＝0，
所以Δ＝（48n）2﹣4×64×（5+4n2）＞0⇒n2＞1，
设C（x3，y3），D（x4，y4），所以，，
所以，
所以△CDF1面积，
令，所以n2＝t2+1，所以
当且仅当，即时取等号，所以△CDF1面积的最大值为．
【点评】本题考查椭圆方程的求法，双曲线方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
21．已知函数f（x）＝|x|•sinx，x∈R，各项均不相等的数列{xn}满足：|xi|≤，令F（n）＝（x1+x2+⋅⋅⋅+xn）•[f（x1）+f（x2）+⋅⋅⋅+f（xn）]（n∈N*）．
（1）试举例说明存在不少于3项的数列{xn}，使得F（n）＝0；
（2）若数列{xn}的通项公式为，证明：F（2k）＞0对k∈N*恒成立；
（3）若数列{xn}是等差数列，证明：F（n）≥0对n∈N*恒成立．
【分析】（1）令n＝3，只需使得x1+x2+x3＝0即可；（2）先证明x1+x2+⋅⋅⋅+x2k＜0，再证明f（x1）+f（x2）+⋅⋅⋅+f（x2k）＜0，即可得证；（3）分x1+x2+⋅⋅⋅+xn＝0，x1+x2+⋅⋅⋅+xn＞0，x1+x2+⋅⋅⋅+xn＜0进行讨论．
【解答】解：（1）f（x）＝|x|•sinx是奇函数，且在上单调递增，取，x2＝0，则F（3）＝0，
∴可取，使得F（3）＝0；
（2）证明：由于那么，∴x1+x2+⋅⋅⋅+x2k＜0，
易知f（x）是一个奇函数，当x∈时，f（x）＝xsinx，∴f′（x）＝xcosx+sinx≥0，∴f（x）在单调递增，
又f（x）是一个奇函数，∴f（x）在x∈上单调递增，
∴f（x2k﹣1）+f（x2k）＝f（x2k﹣1）﹣f（﹣x2k），而x2k﹣1＝，﹣x2k＝，∴x2k﹣1＜﹣x2k，
∴f（x2k﹣1）﹣f（﹣x2k）＜0，即f（x2k﹣1）+f（x2k）＜0，f（x1）+f（x2）+⋅⋅⋅+f（x2k）＜0，
∴F（2k）＞0对k∈N*恒成立；
（3）证明：如x1+x2+⋅⋅⋅+xn＝0，F（n）＝0；
若x1+x2+⋅⋅⋅+xn＞0，则x1+xn＞0，则x1＞﹣xn，∴f（x1）＞f（﹣xn）＝﹣f（xn），∴f（x1）+f（xn）＞0，
同理可得x2+xn﹣1＞0，f（x2）＞f（xn﹣1）⋯，
累加可得f（x1）+f（x2）+⋅⋅⋅+f（xn）＞0，∴F（n）＞0；
若x1+x2+⋅⋅⋅+xn＜0，则x1+xn＜0，则x1＜﹣xn，∴f（x1）＜f（﹣xn）＝﹣f（xn），∴f（x1）+f（xn）＜0，
同理可得x2+xn﹣1＜0，f（x2）＜f（xn﹣1）⋯，
累加可得f（x1）+f（x2）+⋅⋅⋅+f（xn）＜0，∴F（n）＜0；
综上所述，F（n）≥0对n∈N*恒成立．
【点评】本题考查了数列与函数结合的问题，思路的切入点比较难找，技巧性较高，计算量也是比较大的，属于难题．
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