2021年上海市徐汇区高考数学二模试卷

这是一份2021年上海市徐汇区高考数学二模试卷，共20页。试卷主要包含了选择题每题有且只有一个正确选项等内容，欢迎下载使用。

2021年上海市徐汇区高考数学二模试卷
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．
1．（4分）集合A＝{x|x2﹣2x＜0}，B＝{x||x|＜1}，则A∪B＝　 　．
2．（4分）已知函数，则方程f﹣1（x）＝4的解x＝　 　．
3．（4分）等比数列{an}（n∈N*）中，若，，则a8＝　 　．
4．（4分）若方程x2﹣2x+3＝0的两个根为α和β，则|α|+|β|＝　 　．
5．（4分）函数的部分图象如图所示，则f（x）＝　 　．

6．（4分）双曲线的焦点到渐近线的距离等于　 　．
7．（5分）在二项式（1+ax）7（a∈R）的展开式中，x的系数为，则的值是　 　．
8．（5分）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的八个顶点都在同一球面上，若AB＝1，AA1＝，则A、C两点间的球面距离是　 　．
9．（5分）在△ABC中，已知AB＝1，BC＝2，若，则y的最小值是　 　．
10．（5分）已知三行三列的方阵中有9个数aij（i＝1，2，3；j＝1，2，3），从中任取三个数，则有且仅有两个数位于同行或同列（注意：不能同时出现既有两数同行、又有两数同列的情况）的概率是　 　.（结果用分数表示）
11．（5分）在△ABC中，，，BN与CM交于点E，，，则＝　 　（用、表示）．
12．（5分）已知实数a、b使得不等式|ax2+bx+a|≤x对任意x∈[1，2]都成立，在平面直角坐标系xOy中，点（a，b）形成的区域记为Ω．若圆x2+y2＝r2上的任一点都在Ω中，则r的最大值为　 　．
二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项。考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13．（5分）设α：x＞1且y＞2，β：x+y＞3，则α是β成立的（　　）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
14．（5分）设z1、z2为复数，下列命题一定成立的是（　　）
A．如果z12+z22＝0，那么z1＝z2＝0
B．如果|z1|＝|z2|，那么z1＝±z2
C．如果|z1|≤a，a是正实数，那么﹣a≤z1≤a
D．如果|z1|＝a，a是正实数，那么
15．（5分）若f（x）是R上的奇函数，且f（x）在[0，+∞）上单调递增，则下列结论：
①y＝|f（x）|是偶函数；
②对任意的x∈R都有f（﹣x）+|f（x）|＝0；
③y＝f（x）f（﹣x）在（﹣∞，0]上单调递增；
④反函数y＝f﹣1（x）存在且在（﹣∞，0]上单调递增．
其中正确结论的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
16．（5分）已知{an}是公差为d（d＞0）的等差数列，若存在实数x1，x2，x3，⋯，x9满足方程组，则d的最小值为（　　）
A． B． C． D．
三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.
17．（14分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BA⊥BC，BA＝BC＝BB1＝2．
（1）求异面直线AB1与A1C1所成角的大小；
（2）若M是棱BC的中点．求点M到平面A1B1C的距离．

18．（14分）已知函数．
（1）若，求函数f（x）的零点；
（2）针对实数a的不同取值，讨论函数f（x）的奇偶性．
19．（14分）元宵节是中国的传统节日之一．要将一个上底为正方形ABCD的长方体状花灯挂起，将两根等长（长度大于A、C两点距离）的绳子两头分别拴住A、C；B、D，再用一根绳子OP与上述两根绳子连结并吊在天花板上，使花灯呈水平状态，如图．花灯上底面到天花板的距离设计为1米，上底面边长为0.8米，设∠PAC＝θ，所有绳子总长为y米．（打结处的绳长忽略不计）
（1）将y表示成θ的函数，并指出定义域；
（2）要使绳子总长最短，请你设计出这三根绳子的长．（精确到0.01米）

20．（16分）已知椭圆＝1上有两点P（﹣2，1）及Q（2，﹣1），直线l：y＝kx+b与椭圆交于A、B两点，与线段PQ交于点C（异于P、Q）．
（1）当k＝1且时，求直线l的方程；
（2）当k＝2时，求四边形PAQB面积的取值范围；
（3）记直线PA、PB、QA、QB的斜率依次为k1、k2、k3、k4.当b≠0且线段AB的中点M在直线y＝﹣x上时，计算k1⋅k2的值，并证明：k12+k22＞2k3k4．
21．（18分）若数集M至少含有3个数，且对于其中的任意3个不同数a，b，c（a＜b＜c），a，b，c都不能成为等差数列，则称M为“α集”．
（1）判断集合{1，2，4，8，⋯，2n}（n∈N*，n≥3）是否是α集？说明理由；
（2）已知k∈N*，k≥3．集合A是集合{1，2，3，⋯，k}的一个子集，设集合B＝{x+2k﹣1|x∈A}，求证：若A是α集，则A∪B也是α集；
（3）设集合，判断集合C是否是α集，证明你的结论．

2021年上海市徐汇区高考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．
1．（4分）集合A＝{x|x2﹣2x＜0}，B＝{x||x|＜1}，则A∪B＝　（﹣1，2）　．
【分析】分别求解一元二次不等式及绝对值的不等式化简集合A与B，再由并集运算得答案．
【解答】解：由x2﹣2x＜0，得0＜x＜2，∴A＝{x|x2﹣2x＜0}＝（0，2），
由|x|＜1，得﹣1＜x＜1，∴B＝{x||x|＜1}＝（﹣1，1），
则A∪B＝（0，2）∪（﹣1，1）＝（﹣1，2），
故答案为：（﹣1，2）．
【点评】本题考查一元二次不等式及绝对值不等式的解法，考查并集及其运算，是基础题．
2．（4分）已知函数，则方程f﹣1（x）＝4的解x＝　1　．
【分析】根据互为反函数的两个函数间的关系知，欲求满足f﹣1（x）＝4的x值，即求f（4）的值．
【解答】解：由题意得，即求f（4）的值
∵，
∴f（4）＝log3（1+2）＝1，
∴f（4）＝1．
即所求的解x＝1．
故答案为1．
【点评】本题主要考查了反函数的概念，互为反函数的两个函数的函数值和关系，属于基础题．
3．（4分）等比数列{an}（n∈N*）中，若，，则a8＝　4　．
【分析】由已知结合等比数列的性质及通项公式即可直接求解．
【解答】解：因为等比数列{an}（n∈N*）中，，，
所以q3＝＝8，即q＝2，
所以a8＝＝＝4．
故答案为：4．
【点评】本题主要考查了等比数列的性质及通项公式，属于基础题．
4．（4分）若方程x2﹣2x+3＝0的两个根为α和β，则|α|+|β|＝　　．
【分析】利用方程的两个根互为共轭复数，然后由韦达定理以及复数模的定义求解即可．
【解答】解：方程x2﹣2x+3＝0的两个根为α和β，
设α＝x+yi，则β＝x﹣yi，
所以αβ＝x2+y2＝3，
所以|α|+|β|＝2|α|＝＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了共轭复数的定义以及韦达定理的运用，同时考查了复数模的求解，属于基础题．
5．（4分）函数的部分图象如图所示，则f（x）＝　　．

【分析】由函数的图象顶点的纵坐标求出A，根据半个周期 ＝＝6﹣2＝4，求出ω，根据（×0+φ）＝0求出φ值．
【解答】解：根据图象顶点的纵坐标可得A＝2，＝＝6﹣2＝4，∴ω＝，故函数为y＝2sin（ x+φ），
由五点法作图可得（×0+φ）＝0，∴φ＝0，故f（x）＝2sinx，
故答案为2sin x．
【点评】本题考查由函数 y＝Asinn（ωx+φ）的部分图象求出其解析式的方法，体现了数形结合的数学思想．
6．（4分）双曲线的焦点到渐近线的距离等于　3　．
【分析】由方程可得焦点和渐近线方程，由点到直线的距离公式可得．
【解答】解：由题意可得双曲线中，
a＝2，b＝3，c＝，
故其焦点为（±，0），
渐近线方程为y＝±x＝±x，
不妨取焦点（，0），渐近线y＝﹣x，即3x+2y＝0，
由点到直线的距离公式可得：
所求距离d＝
故答案为：3
【点评】本题考查双曲线的简单性质，涉及点到直线的距离公式，属中档题．
7．（5分）在二项式（1+ax）7（a∈R）的展开式中，x的系数为，则的值是　　．
【分析】由题意利用二项展开式的通项公式求得a的值，再根据等比数列的求和公式，求数列的极限，可得结果．
【解答】解：∵二项式（1+ax）7（a∈R）的展开式中，x的系数为 •a＝，∴a＝，
则＝＝＝（1﹣）＝，
故答案为：．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，等比数列的求和公式，数列的极限，属于中档题．
8．（5分）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的八个顶点都在同一球面上，若AB＝1，AA1＝，则A、C两点间的球面距离是　　．
【分析】正四棱柱的顶点在球面上，正四棱柱的对角线为球的直径，又因为角AOC为直角，就可以求出AC的球面距离．
【解答】解：正四棱柱的对角线为球的直径，
由4R2＝1+1+2＝4得R＝1，
∴AC＝＝R2+R2，
所以∠AOC＝（其中O为球心）
∴A、C两点间的球面距离为 ，
故答案为：．
【点评】本题考查学生的空间想象能力，以及学生对球的结构认识，基本知识的考查，是中档题．
9．（5分）在△ABC中，已知AB＝1，BC＝2，若，则y的最小值是　　．
【分析】根据题意，由矩阵的计算和二倍角公式可得y＝1﹣2sin2C，由正弦定理可得sinC的最大值，进而计算可得答案．
【解答】解：根据题意，＝cos2C﹣sin2C＝1﹣2sin2C，
又由在△ABC中，＝，而AB＝1，BC＝2，
即＝，变形可得sinA＝2sinC，则有sinC＝≤，
则y＝1﹣2sin2C≥1﹣2×（）2＝，
即y的最小值是；
故答案为：．
【点评】本题考查矩阵的计算，涉及二倍角公式和正弦定理的应用，属于基础题．
10．（5分）已知三行三列的方阵中有9个数aij（i＝1，2，3；j＝1，2，3），从中任取三个数，则有且仅有两个数位于同行或同列（注意：不能同时出现既有两数同行、又有两数同列的情况）的概率是　　.（结果用分数表示）
【分析】从9个数中任取3个，共有种选法；当3个数中位于同行或同列时，共有6种选法；当3个数中都位于不同行或不同列时，共有××1种选法；当3个数中既有两数同行、又有两数同列时共有••种选法；利用间接法即可得出结论．
【解答】解：从9个数中任取3个，共有＝84种选法；
当3个数中位于同行或同列时，共有6种选法；
当3个数中都位于不同行或不同列时，共有××1＝6种选法；
当3个数中既有两数同行、又有两数同列时共有••＝36种选法；
∴从中任取三个数，则有且仅有两个数位于同行或同列（注意：不能同时出现既有两数同行、又有两数同列的情况）的概率＝＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了组合与古典概率计算公式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
11．（5分）在△ABC中，，，BN与CM交于点E，，，则＝　　（用、表示）．
【分析】由已知结合向量的线性表示可以，表示，然后结合平面向量基本定理可求．
【解答】解：因为M，E，C三点共线，
故存在m使得＝m+（1﹣m）＝m+（1﹣m），
因为N，E，B三点共线，
故存在实数n使得＝n+（1﹣n）＝n+（1﹣n），
根据平面向量基本定理得，
解得m＝，n＝，
所以＝．
故答案为：．

【点评】本题主要考查了向量的线性表示，平面向量的基本定理，属于基础题．
12．（5分）已知实数a、b使得不等式|ax2+bx+a|≤x对任意x∈[1，2]都成立，在平面直角坐标系xOy中，点（a，b）形成的区域记为Ω．若圆x2+y2＝r2上的任一点都在Ω中，则r的最大值为　　．
【分析】由题意可得|a（x+）+b|≤1对任意x∈[1，2]都成立．设f（x）＝a（x+）+b，由对勾函数的单调性可得f（x）的值域，即有|+b|≤1恒成立，画出不等式表示的区域，由等积法，可得所求最大值．
【解答】解：|ax2+bx+a|≤x对任意x∈[1，2]都成立，
即为|a（x+）+b|≤1对任意x∈[1，2]都成立．
设f（x）＝a（x+）+b，当x∈[1，2]时，x+∈[2，]，
所以|+b|≤1和|2a+b|≤1恒成立，
如图，点（a，b）形成的区域Ω，
若圆x2+y2＝r2上的任一点都在Ω中，
故r的最大值满足×1＝r，
解得r＝．
故答案为：．

【点评】本题考查不等式恒成立问题解法，考查数形结合思想和运算能力，属于中档题．
二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项。考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13．（5分）设α：x＞1且y＞2，β：x+y＞3，则α是β成立的（　　）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
【分析】利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【解答】解：若“x＞1且y＞2”则“x+y＞3”成立．
当x＝5，y＝1时，满足x+y＞3，但x＞1且y＞2不成立，
故x＞1且y＞2”是“x+y＞3”的充分不必要条件，
故选：A．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，属于基础题．
14．（5分）设z1、z2为复数，下列命题一定成立的是（　　）
A．如果z12+z22＝0，那么z1＝z2＝0
B．如果|z1|＝|z2|，那么z1＝±z2
C．如果|z1|≤a，a是正实数，那么﹣a≤z1≤a
D．如果|z1|＝a，a是正实数，那么
【分析】利用反例判断A的正误；
通过反例判断B的正误；
利用复数的几何意义判断C的正误；
设出复数即可化简结果，判断正误即可．
【解答】解：对于A，如果z1＝1﹣i，z2＝1+i，，所以z1＝z2＝0不正确．
对于B，如果z1＝1﹣i，z2＝1+i，|z1|＝|z2|，那么z1＝±z2不正确．
对于C，|z1|≤a，a是正实数，说明复数对应的点到原点的距离小于a，所以﹣a≤z1≤a不正确．
对于D，|z1|＝a，a是正实数，那么＝a2，正确．
故选：D．
【点评】本题考查复数的基本运算，复数的有关定义，考查计算能力．
15．（5分）若f（x）是R上的奇函数，且f（x）在[0，+∞）上单调递增，则下列结论：
①y＝|f（x）|是偶函数；
②对任意的x∈R都有f（﹣x）+|f（x）|＝0；
③y＝f（x）f（﹣x）在（﹣∞，0]上单调递增；
④反函数y＝f﹣1（x）存在且在（﹣∞，0]上单调递增．
其中正确结论的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】直接利用函数的图象和性质，函数的单调性和函数的对称性，反函数与原函数的图象和单调性的关系判断①②③④的结论．
【解答】解：f（x）是R上的奇函数，且f（x）在[0，+∞）上单调递增，
对于①，y＝|f（x）|是偶函数，故①正确；
对于②，对任意的x∈R，不一定有f（﹣x）+|f（x）|＝0，故②错误；
对于③，y＝f（x）f（﹣x）＝﹣[f（x）]2在（﹣∞，0]上单调递增，故③正确；
对于④，由于原函数和和反函数y＝f﹣1（x）的图象关于y＝x对称，
则所以函数的单调性相同，存在且在（﹣∞，0]上单调递增，故④正确．
故选：C．
【点评】本题考查的知识要点：函数的图象和性质，函数的单调性和函数的对称性，反函数与原函数的关系，主要考查学生对基础知识和基本定义的理解，属于基础题．
16．（5分）已知{an}是公差为d（d＞0）的等差数列，若存在实数x1，x2，x3，⋯，x9满足方程组，则d的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【分析】把方程组中的an都用a1和d表示，求得d的表达式，根据方程组从整体分析可知：当sinx1＝sinx2＝sinx3＝sinx44＝﹣1，sinx5＝0，sinx6＝sinx7＝sinx8＝sinx9＝1时，d取最小值．
【解答】解：把方程组中的an都用a1和d表示得：a1sinx1+（a1+d）sinx2+（a1+2d）sinx3+…+（a1+8d）sinx9＝25，把sinx1+sinx2+…+sinx9＝0代入得：
d＝，根据分母结构特点及sinx1+sinx2+…+sinx9＝0可知：当sinx1＝sinx2＝sinx3＝sinx4＝﹣1，sinx5＝0，sinx6＝sinx7＝sinx8＝sinx9＝1时，
d取最小值＝．
故选：C．
【点评】本题考查等差数列、整体思想、分析法、运算能力及分析能力，属中档题．
三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.
17．（14分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BA⊥BC，BA＝BC＝BB1＝2．
（1）求异面直线AB1与A1C1所成角的大小；
（2）若M是棱BC的中点．求点M到平面A1B1C的距离．

【分析】（1）说明∠CAB1（或其补角）即为异面直线AB1与A1C1所成角，连接CB1，在△AB1C中，转化求解即可．
（2）解法一：建立空间直角坐标系，求出平面A1B1C的法向量，结合，利用空间距离公式求解即可．
解法二：过点M作MN⊥CB1交CB1于N，推出MN⊥平面A1B1C．然后求解三角形推出结果即可．
【解答】解：（1）由于A1C1∥AC，所以∠CAB1（或其补角）即为异面直线AB1与A1C1所成角，（2分）
连接CB1，在△AB1C中，
由于，所以△AB1C是等边三角形，
所以，所以异面直线AB1与A1C1所成角的大小为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）

（2）解法一：如图所示，建立空间直角坐标系，可得有关点的坐标为C（0，0，2）、B1（0，2，0）、A1（2，2，0）、M（0，0，1）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）
设平面A1B1C的法向量为，则．
∵，，
且，
∴，取v＝1，
得平面A1B1C的一个法向量为，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）
且，
又∵，
于是点M到平面A1B1C的距离
所以，点M到平面A1B1C的距离等于．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）
解法二：过点M作MN⊥CB1交CB1于N，由⇒MN⊥平面A1B1C．
在Rt△CMN中，由，CM＝1，得，
所以，点M到平面A1B1C的距离等于．
【点评】本题考查异面直线所成角的求法，点线面距离的求法，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力，是中档题．
18．（14分）已知函数．
（1）若，求函数f（x）的零点；
（2）针对实数a的不同取值，讨论函数f（x）的奇偶性．
【分析】（1）根据题意，先求出函数的定义域，再解f（x）＝0的解，即可得答案，
（2）根据题意，按a的取值不同分情况讨论，分析函数的奇偶性，综合可得答案．
【解答】解：（1）根据题意，函数，则有1﹣x2≥0，解可得﹣1≤x≤1，
即函数f（x）的定义域为[﹣1，1]，
由，得，
化简得，即∈[﹣1，1]，
所以，函数f（x）的零点为；
（2）函数f（x）的定义域为[﹣1，1]，若函数f（x）为奇函数，则必有f（﹣1）+f（1）＝0；
代入得|a+1|+|a﹣1|＝0于是无解，所以函数f（x）不能为奇函数，
若函数f（x）为偶函数，由f（﹣1）＝f（1）得|﹣1+a|＝|1+a|解得a＝0；
又当a＝0时，，则；
对任意x∈[﹣1，1]都成立，
综上，当a＝0时，函数f（x）为偶函数，当a≠0时，函数f（x）为非奇非偶函数．
【点评】本题考查函数奇偶性的判断以及性质的应用，涉及函数零点的计算，属于基础题．
19．（14分）元宵节是中国的传统节日之一．要将一个上底为正方形ABCD的长方体状花灯挂起，将两根等长（长度大于A、C两点距离）的绳子两头分别拴住A、C；B、D，再用一根绳子OP与上述两根绳子连结并吊在天花板上，使花灯呈水平状态，如图．花灯上底面到天花板的距离设计为1米，上底面边长为0.8米，设∠PAC＝θ，所有绳子总长为y米．（打结处的绳长忽略不计）
（1）将y表示成θ的函数，并指出定义域；
（2）要使绳子总长最短，请你设计出这三根绳子的长．（精确到0.01米）

【分析】（1）根据题中的条件，列出等式关系，即可解出．
（2）利用题中的条件，表示出绳长，再利用辅助角公式即可解出．
【解答】解：（1）设上底中心为M，则|AM|＝0.4，|PM|＝0.4tanθ，|PA|＝，
故y＝4|PA|+|OP|＝4|PA|+|OM|﹣|PM|＝＝，．
（2）记A＝，则sinθ+Acosθ＝4，即，
由sin（θ+φ）≤1，得，等号成立时，
从而ymin＝0.4+1≈3.19（米），
此时这三根绳子长分别约为1.17米，1.17米，0.85米．
【点评】本题考查了函数模型的实际应用，学生的数学运算能力，属于基础题．
20．（16分）已知椭圆＝1上有两点P（﹣2，1）及Q（2，﹣1），直线l：y＝kx+b与椭圆交于A、B两点，与线段PQ交于点C（异于P、Q）．
（1）当k＝1且时，求直线l的方程；
（2）当k＝2时，求四边形PAQB面积的取值范围；
（3）记直线PA、PB、QA、QB的斜率依次为k1、k2、k3、k4.当b≠0且线段AB的中点M在直线y＝﹣x上时，计算k1⋅k2的值，并证明：k12+k22＞2k3k4．
【分析】（1）设C（a，b），则，由，列出方程求解即可．（2）直线l的方程为y＝2x+b，代入椭圆方程，利用弦长公式，通过l与线段PQ相交，求出b的范围，然后求解四边形PAQB的面积S的不等式，即可推出其取值范围．
（3）将直线l的方程l：y＝kx+b，代入椭圆方程，设A（x1，y1），B（x2，y2），则AB中点坐标为，利用韦达定理转化求解k1k2的值，利用基本不等式转化求解证明即可．
【解答】解：（1）设C（a，b），则，由，得解得
所以，直线l的方程为，即x﹣y+1＝0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）
（2）直线l的方程为y＝2x+b，代入椭圆方程，整理得9x2+8bx+2b2﹣6＝0（*）﹣﹣（5分）
则|AB|＝，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）
由l与线段PQ相交，有，得﹣5＜b＜5，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）
由，kl＝2知kPQ⋅kl＝﹣1，所以AB⊥PQ且，
故四边形PAQB的面积S＝＝，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）
其取值范围为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）
（3）将直线l的方程l：y＝kx+b，代入椭圆方程，整理得（1+2k2）x2+4kbx+2b2﹣6＝0 （*）（11分）
设A（x1，y1），B（x2，y2），则AB中点坐标为，
且x1，x2为方程（*）的两根，则x1+x2＝．
由条件，有，即x1+x2+y1+y2＝0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）
又y1＝kx1+b，y2＝kx2+b，故有（1+k）（x1+x2）+2b＝0，
即，解得b＝0（舍）或k＝．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）
当k＝时，x1+x2＝，x1x2＝，
则k1k2＝
＝，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）
又由于k3k4＝，
由k1≠k2，利用基本不等式有成立．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（16分）
【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查分析问题解决问题的能力，是难题．
21．（18分）若数集M至少含有3个数，且对于其中的任意3个不同数a，b，c（a＜b＜c），a，b，c都不能成为等差数列，则称M为“α集”．
（1）判断集合{1，2，4，8，⋯，2n}（n∈N*，n≥3）是否是α集？说明理由；
（2）已知k∈N*，k≥3．集合A是集合{1，2，3，⋯，k}的一个子集，设集合B＝{x+2k﹣1|x∈A}，求证：若A是α集，则A∪B也是α集；
（3）设集合，判断集合C是否是α集，证明你的结论．
【分析】（1）根据题中定义，判断集合是否为α集；（2）使用反证法进行求解；（3）根据题中定义，演绎推理证明结论．
【解答】解：（1）任取三个不同元素2i＜2j＜2k（其中0≤i＜j＜k≤n），
若此三数成等差数列，则2i+2k＝2⋅2j，
但2i+2k＞2k≥2j+1＝2⋅2j，因此这三个数不能成等差数列．
所以，集合{1，2，4，8，⋯，2n}（n∈N*，n≥3）是“α集”．
（2）反证法．假设A∪B不是“α集”，即A∪B中存在三个不同元素x＜y＜z，
使x，y，z成等差数列，则x+z＝2y．
因为A是“α集”，所以，x，y，z不能全在A中；
如果x，y，z全在B中，则[x﹣（2k﹣1）]+[z﹣（2k﹣1）]＝2[y﹣（2k﹣1）]依然成立，
且x﹣（2k﹣1），y﹣（2k﹣1），z﹣（2k﹣1）都在A中，这说明A中存在三个数构成等差数列，
即A不是“α集”，与条件矛盾，因此，x，y，z也不能全在B中，
由于B中最小可能元素（为2k）大于 A中最大可能元素（为k），
所以必有x∈A，z∈B．
从而，y＝（x+z）[k+k+（2k﹣1）]＝2k﹣＜2k，故y∉B；
同样，y＝（x+z）[1+1+（2k﹣1）]＝k+＞k，故y∉A．
这与y∈A∪B矛盾，故A∪B也是“α集“．
（3）集合C是“α集”，证明如下：
记，则，
故a1＜a2＜a3＜a4＜⋯＜an．
任取ai，aj，ak∈C（其中1≤i＜j＜k），则ai＜aj＜ak．
当k≥j+2时，
（这是由于j＞i≥1，故j≥2），即ai+ak＞2aj；
当k＝j+1时，若ai，aj，ak成等差数列，则ai+ak＝2aj，即ai+aj+1＝2aj，化简得（j+1）（j+2）＝（i+1）⋅2j﹣i+1……（*）
从而（j+1）（j+2）是2j﹣i+1的正整数倍，由于j+1与j+2互质（为两个连续正整数），
因此j+1是2j﹣i+1的正整数倍或j+2是2j﹣i+1的正整数倍，
若j+1是2j﹣i+1的正整数倍，则j+1≥2j﹣i+1，而j+2＞j+1＞i+1，则（*）式不成立；
若j+2是2j﹣i+1的正整数倍，则j+2≥2j﹣i+1，而j+1＞i+1，（*）仍不成立．
综上可知，ai，aj，ak不能成等差数列，即证明了集合C是“α集“．
【点评】本题考查学生逻辑推理能力及数学运算能力，属于难题．
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