2022年北京市朝阳区高考数学一模试卷

这是一份2022年北京市朝阳区高考数学一模试卷，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022年北京市朝阳区高考数学一模试卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．（4分）已知集合A＝{x|2≤x＜4}，集合B＝{x|x2﹣3x+2＜0}，则A∪B＝（　　）
A．∅ B．{x|1＜x＜2} C．{x|2≤x＜4} D．{x|1＜x＜4}
2．（4分）直线y＝x+1被圆x2+y2＝1截得的弦长为（　　）
A．1 B． C．2 D．
3．（4分）已知平面向量，满足||＝2，||＝1，且与的夹角为，则|+|＝（　　）
A． B． C． D．3
4．（4分）设m∈（0，1），若a＝lgm，b＝lgm2，c＝（lgm）2，则（　　）
A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞a＞b D．c＞b＞a
5．（4分）已知函数若f（m）＝﹣1，则实数m的值为（　　）
A．﹣2 B． C．1 D．2
6．（4分）已知a∈（0，+∞），则“a＞1”是“”的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
7．（4分）已知三棱锥A﹣BCD，现有质点Q从A点出发沿棱移动，规定质点Q从一个顶点沿棱移动到另一个顶点为1次移动，则该质点经过3次移动后返回到A点的不同路径的种数为（　　）
A．3 B．6 C．9 D．12
8．（4分）已知数列{an}，若存在一个正整数T使得对任意n∈N*，都有an+T＝an，则称T为数列{an}的周期．若四个数列分别满足
①a1＝2，an+1＝1﹣an（n∈N*）；
②b1＝1，bn+1＝﹣）；
③c1＝1，c2＝2，cn+2＝cn+1﹣cn（n∈N*）；
④d1＝1，dn+1＝（﹣1）ndn（n∈N*）．
则上述数列中，8为其周期的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．（4分）如图1，北京2022年冬奥会比赛场地之一首钢滑雪大跳台与电力厂的冷却塔交相辉映，实现了它与老工业遗址的有效融合．如图2，冷却塔的外形是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面．它的最小半径为16m，上口半径为17m，下口半径为28.5m，高为70m．在冷却塔的轴截面所在平面建立如图3所示的平面直角坐标系，设|OA|＝16，|DC|＝17，|EB|＝28.5，|DE|＝70，则双曲线的方程近似为（　　）
（参考数据：，，．）
A． B．
C． D．
10．（4分）在通用技术教室里有一个三棱锥木块如图所示，VA，VB，VC两两垂直，VA＝VB＝VC＝1（单位：dm），小明同学计划通过侧面VAC内任意一点P将木块锯开，使截面平行于直线VB和AC，则该截面面积（单位：dm2）的最大值是（　　）

A． B． C． D．
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡上．
11．（5分）计算复数i•（1+i）＝　 　．
12．（5分）已知数列{an}是首项为3，公比为q的等比数列，Sn是其前n项的和，若a3a4+a5＝0，则q＝　 　；S3＝　 　．
13．（5分）已知直线和是曲线y＝sin（ωx+φ）（ω＞0）的相邻的两条对称轴，则满足条件的一个φ的值是 　 　．
14．（5分）某地进行老旧小区改造，有半径为60米，圆心角为的一块扇形空置地（如图），现欲从中规划出一块三角形绿地PQR，其中P在上，PQ⊥AB，垂足为Q，PR⊥AC，垂足为R，设，则PQ＝　 　（用α表示）；当P在上运动时，这块三角形绿地的最大面积是 　 　．

15．（5分）在平面直线坐标系xOy中，设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线l：与抛物线C交于点A，且点A在x轴上方，过点A作抛物线C的切线与抛物线C的准线交于点P，与x轴交于点H．给出下列四个结论：
①△OFA的面积是；
②点H的坐标是；
③在x轴上存在点Q使；
④以HF为直径的圆与y轴的负半轴交于点N，则．
其中所有正确结论的序号是 　 　．
三、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16．（13分）在△ABC中，asinC+ccosA＝0．
（Ⅰ）求∠A；
（Ⅱ）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使△ABC存在且唯一确定，求△ABC的面积．
条件①：；
条件②：；
条件③：．
17．（13分）某学校在寒假期间安排了“垃圾分类知识普及实践活动”．为了解学生的学习成果，该校从全校学生中随机抽取了50名学生作为样本进行测试，记录他们的成绩，测试卷满分100分，将数据分成6组：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，并整理得到如下频率分布直方图：

（Ⅰ）若全校学生参加同样的测试，试估计全校学生的平均成绩（每组成绩用中间值代替）；
（Ⅱ）在样本中，从其成绩在80分及以上的学生中随机抽取3人，用X表示其成绩在[90，100]中的人数，求X的分布列及数学期望；
（Ⅲ）在（Ⅱ）抽取的3人中，用Y表示其成绩在[80，90）的人数，试判断方差D（X）与D（Y）的大小．（直接写结果）

18．（14分）如图1，在四边形ABCD中，AC⊥BD，AC∩BD＝O，OD＝OB＝1，OC＝2，E，F分别是AB，AD上的点，EF∥BD，AC∩EF＝H，AH＝2，HO＝1．将△AEF沿EF折起到△A1EF的位置，得到五棱锥A1﹣BCDFE，如图2．
（Ⅰ）求证：EF⊥平面A1HC；
（Ⅱ）若平面A1EF⊥平面BCDFE，
（ⅰ）求二面角D﹣A1C﹣H的余弦值；
（ⅱ）对线段A1F上任意一点N，求证：直线BN与平面A1DC相交．

19．（15分）已知f（x）＝x﹣aex，a∈R．
（Ⅰ）若曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线与x轴重合，求a的值；
（Ⅱ）若函数f（x）在区间（1，+∞）上存在极值，求a的取值范围；
（Ⅲ）设g（x）＝f（2﹣x），在（Ⅱ）的条件下，试判断函数g（x）在区间（1，+∞）上的单调性，并说明理由．
20．（15分）已知椭圆C：的一个焦点为F（1，0），且过点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程和离心率；
（Ⅱ）过点P（4，0）且与x轴不重合的直线l与椭圆C交于A，B两点，与直线x＝1交于点Q，点M满足MP⊥x轴，MB∥x轴，试求直线MA的斜率与直线MQ的斜率的比值．
21．（15分）对非空数集X，Y，定义X与Y的和集X+Y＝{x+y|x∈X，y∈Y}．对任意有限集A，记|A|为集合A中元素的个数．
（Ⅰ）若集合X＝{0，5，10}，Y＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，写出集合X+X与X+Y；
（Ⅱ）若集合X＝{x1，x2，⋯，xn}满足x1＜x2＜⋯＜xn，n≥3，且|X+X|＜2|X|，求证：数列x1，x2，…，xn是等差数列；
（Ⅲ）设集合X＝{x1，x2，⋯，xn}满足x1＜x2＜⋯＜xn，n≥3，且xi∈Z（i＝1，2，⋯，n），集合B＝{k∈Z|﹣m≤k≤m}（m≥2，m∈N），求证：存在集合A满足且X⊆A+B．

2022年北京市朝阳区高考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．（4分）已知集合A＝{x|2≤x＜4}，集合B＝{x|x2﹣3x+2＜0}，则A∪B＝（　　）
A．∅ B．{x|1＜x＜2} C．{x|2≤x＜4} D．{x|1＜x＜4}
【分析】求出集合B，利用并集定义能求出A∪B．
【解答】解：∵集合A＝{x|2≤x＜4}，
集合B＝{x|x2﹣3x+2＜0}＝{x|1＜x＜2}，
∴A∪B＝{x|1＜x＜4}．
故选：D．
【点评】本题考查并集的求法，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2．（4分）直线y＝x+1被圆x2+y2＝1截得的弦长为（　　）
A．1 B． C．2 D．
【分析】由已知中直线方程和圆的方程，求出圆x2+y2＝1的圆心O（0，0）到直线y＝x+1的距离d，圆的半径r，代入弦长公式，可得答案．
【解答】解：圆x2+y2＝1的圆心O（0，0）到直线y＝x+1，即x﹣y+1＝0的距离，
d＝，
圆x2+y2＝1的半径r＝1，
则直线y＝x+1被圆x2+y2＝1截得的弦长l＝2＝．
故选：B．
【点评】本题考查的知识点是直线与圆的位置关系，其中熟练掌握圆的弦长公式，是解答的关键，是基础题．
3．（4分）已知平面向量，满足||＝2，||＝1，且与的夹角为，则|+|＝（　　）
A． B． C． D．3
【分析】根据数量积的运算法则求得•的值，再由|+|＝，展开运算，即可得解．
【解答】解：•＝||•||cos＝2×1×（﹣）＝﹣1，
所以|+|2＝||2+2•+||2＝4+2×（﹣1）+1＝3，
所以|+|＝．
故选：A．
【点评】本题考查平面向量的混合运算，熟练掌握平面向量的加法、数量积的运算法则，以及模长的处理方式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
4．（4分）设m∈（0，1），若a＝lgm，b＝lgm2，c＝（lgm）2，则（　　）
A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞a＞b D．c＞b＞a
【分析】利用对数函数的性质求解．
【解答】解：∵0＜m＜1，∴0＜m2＜m＜1，
∴lgm2＜lgm＜lg1＝0，∴b＜a＜0，
又∵（lgm）2＞0，∴c＞0，
∴c＞a＞b，
故选：C．
【点评】本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数性质的合理运用．
5．（4分）已知函数若f（m）＝﹣1，则实数m的值为（　　）
A．﹣2 B． C．1 D．2
【分析】根据题意，由函数的解析式可得或，由此计算可得答案．
【解答】解：根据题意，函数
若f（m）＝﹣1，则有或，
解可得m＝1；
故选：C．
【点评】本题考查分段函数的性质，涉及函数值的计算，属于基础题．
6．（4分）已知a∈（0，+∞），则“a＞1”是“”的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】由题意，利用不等式的性质，充分条件、必要条件、充要条件的定义，得出结论．
【解答】解：由a∈（0，+∞），且a＞1，可得a和 是正数，且不相等，
故有a+＞2＝2，即有a+＞2，故充分性成立．
由有a+＞2，可得a和 是正数，且不相等，即a＞0且a≠1，不能推出a＞1，故必要性不成立，
“a＞1”是“”的充分而不必要条件，
故选：A．
【点评】本题主要考查不等式的性质应用，充分条件、必要条件、充要条件的定义，属于基础题．
7．（4分）已知三棱锥A﹣BCD，现有质点Q从A点出发沿棱移动，规定质点Q从一个顶点沿棱移动到另一个顶点为1次移动，则该质点经过3次移动后返回到A点的不同路径的种数为（　　）
A．3 B．6 C．9 D．12
【分析】利用分类计数原理以及分步计数原理，求解即可．
【解答】解：由题意可知，不同路径：ABCA，ABDA，ADBA，ADCA，ACBA，ACDA，
共有6个不同路径．
故选：B．
【点评】本题考查计数原理的应用，是基础题．
8．（4分）已知数列{an}，若存在一个正整数T使得对任意n∈N*，都有an+T＝an，则称T为数列{an}的周期．若四个数列分别满足
①a1＝2，an+1＝1﹣an（n∈N*）；
②b1＝1，bn+1＝﹣）；
③c1＝1，c2＝2，cn+2＝cn+1﹣cn（n∈N*）；
④d1＝1，dn+1＝（﹣1）ndn（n∈N*）．
则上述数列中，8为其周期的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】利用数列的周期性的定义逐项分析即可得出所求的答案．
【解答】解：①因为an+1＝1﹣an（n∈N*），所以an+2＝1﹣an+1＝1﹣（1﹣an）＝an，
所以数列{an}的周期为T＝2，故8是数列{an}的周期；
②由b1＝1，bn+1＝﹣）可得：
b2＝﹣，b3＝﹣＝﹣2，b4＝﹣＝1，b5＝﹣，…，
故数列{an}的周期为T＝3；
③由c1＝1，c2＝2，cn+2＝cn+1﹣cn（n∈N*）可得：
c3＝c2﹣c1＝1，c4＝c3﹣c2＝﹣1，c5＝c4﹣c3＝﹣2，c6＝c5﹣c4＝﹣1，c7＝c6﹣c5＝1，c8＝c7﹣c6＝2，…，
故数列{an}的周期为T＝6；
④由d1＝1，dn+1＝（﹣1）ndn（n∈N*）可得：
dn+4＝（﹣1）n+3dn+3＝（﹣1）n+3（﹣1）n+2dn+2＝﹣dn+2＝﹣（﹣1）n+1dn+1＝﹣（﹣1）n+1（﹣1）ndn＝dn，
故数列{an}的周期为T＝4，所以8是数列{an}的周期；
故8是其周期的数列的个数为2，
故选：B．
【点评】本题考查数列的周期性，考查学生的逻辑思维能力和运算能力，属中档题．
9．（4分）如图1，北京2022年冬奥会比赛场地之一首钢滑雪大跳台与电力厂的冷却塔交相辉映，实现了它与老工业遗址的有效融合．如图2，冷却塔的外形是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面．它的最小半径为16m，上口半径为17m，下口半径为28.5m，高为70m．在冷却塔的轴截面所在平面建立如图3所示的平面直角坐标系，设|OA|＝16，|DC|＝17，|EB|＝28.5，|DE|＝70，则双曲线的方程近似为（　　）
（参考数据：，，．）
A． B．
C． D．
【分析】根据题意，设双曲线的标准方程为，进而结合题意得a＝16，设|DO|＝y0，则C（17，y0），B（28.5，y0﹣70），再待定系数，结合已知数据计算即可．
【解答】解：根据题意，设双曲线的标准方程为，
因为|OA|＝16，|DC|＝17，|EB|＝28.5，|DE|＝70，
所以a＝16，设|DO|＝y0，
则点C（17，y0），B（28.5，y0﹣70）在双曲线上，
所以，
因为，
所以，
所以，解得y0≈13.7，
所以，
故双曲线的方程近似为．
故选：A．
【点评】本题考查了双曲线的方程及性质，属于中档题．
10．（4分）在通用技术教室里有一个三棱锥木块如图所示，VA，VB，VC两两垂直，VA＝VB＝VC＝1（单位：dm），小明同学计划通过侧面VAC内任意一点P将木块锯开，使截面平行于直线VB和AC，则该截面面积（单位：dm2）的最大值是（　　）

A． B． C． D．
【分析】根据题意，在平面VAC内，过点P作EF∥AC分别交VA，VC于F，E，在平面VBC内，过E作EQ∥VB交BC于Q，在平面VAB内，过F作FD∥VB交BC于D，连接DQ，进而根据题意，△VEF∽△VCA，设其相似比为k，则，再证明四边形FEQD是矩形，再结合相似比和二次函数性质求解即可．
【解答】解：根据题意，在平面VAC内，过点P作EF∥AC分别交VA，VC于F，E，
在平面VBC内，过E作EQ∥VB交BC于Q，
在平面VAB内，过F作FD∥VB交BC于D，连接DQ，作图如下，

因为EF∥AC，则∠VEF＝∠VCA，∠VFE＝∠VAC，
所以△VEF∽△VCA，设其相似比为k，
则，
因为VA＝VB＝VC＝1，所以，即，
因为FD∥VB，则∠AFD＝∠AVB，∠ADF＝∠ABV，
所以，△AFD∽△AVB，即，
因为，
所以，即FD＝1﹣k，
同理△CEQ∽△CVB，即，
因为VB⊥VC，VB⊥VA，VA∩VC＝V，VA⊂平面VAC，VC⊂平面VAC，
所以VB⊥平面VAC，
因为FD∥VB，EQ∥VB，
所以FD⊥平面VAC，EQ⊥平面VAC，
因为EF⊂平面VAC，
所以FD⊥EF，EQ⊥FE，
因为，
所以
因为∠B＝∠B，所以△BDQ∽△BAC，
所以DQ∥AC，
因为EF∥AC，所以EF∥DQ，
因为FD⊥EF，EQ⊥FE，所以FD⊥DQ，EQ⊥DQ，
所以四边形FEQD是矩形，即，
所以，当k＝时，S矩形FEQD有最大值，
故选：B．
【点评】本题考查了线面平行的条件，垂直关系的证明以及截面的最值问题，属于中档题．
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡上．
11．（5分）计算复数i•（1+i）＝　﹣1+i　．
【分析】根据已知条件，结合复数的运算法则，即可求解．
【解答】解：i（1+i）＝﹣1+i．
故答案为：﹣1+i．
【点评】本题主要考查复数的运算法则，属于基础题．
12．（5分）已知数列{an}是首项为3，公比为q的等比数列，Sn是其前n项的和，若a3a4+a5＝0，则q＝　﹣　；S3＝　　．
【分析】由题意可得a1q2a1q3+a1q4＝0，结合a1＝3即可求出q值，进一步利用S3＝a1+a2+a3求出S3的值即可．
【解答】解：根据题意，由a3a4+a5＝0，a1＝3，得3q2×3q3＝﹣3×q4，
即9q＝﹣3，解得q＝﹣，
所以S3＝a1+a2+a3＝3+（﹣1）+＝．
故答案为：﹣；．
【点评】本题考查等比数列的通项公式与前n项和公式，考查学生逻辑推理和运算求解的能力，属于基础题．
13．（5分）已知直线和是曲线y＝sin（ωx+φ）（ω＞0）的相邻的两条对称轴，则满足条件的一个φ的值是 　　．
【分析】直接利用正弦型函数的性质的应用求出φ的值．
【解答】解：直线和是曲线y＝sin（ωx+φ）（ω＞0）的相邻的两条对称轴，
故当，
故T＝π，解得ω＝2，
故f（x）＝sin（2x+φ），
当x＝时，φ）＝±1，
故φ＝，（k∈Z），
整理得φ＝kπ﹣（k∈Z），
当k＝0时，φ＝﹣．
故答案为：．
【点评】本题考查的知识要点：正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
14．（5分）某地进行老旧小区改造，有半径为60米，圆心角为的一块扇形空置地（如图），现欲从中规划出一块三角形绿地PQR，其中P在上，PQ⊥AB，垂足为Q，PR⊥AC，垂足为R，设，则PQ＝　60sinα米　（用α表示）；当P在上运动时，这块三角形绿地的最大面积是 　225平方米　．

【分析】由题可得PQ＝APsinα＝60sinα，结合条件及面积公式可得S△PQR＝900sinαsin（﹣α），再利用三角恒等变换及正弦函数的性质即可得解．
【解答】解：在Rt△PAQ中，∠PAB＝α∈（0，），AP＝60米，
所以PQ＝APsinα＝60sinα （米），
在Rt△PAR中，可得PR＝60sin（﹣α），
由题可知∠QPR＝，
所以△PQR的面积为：S△PQR＝PQ•PR•sin∠QPR
＝60sinα×60sin（﹣α）×sin
＝900sinαsin（﹣α）
＝450（sin2α+cos2α﹣）
＝450[sin（2α+）﹣]，
又α∈（0，），2α+∈（，），
：当2α+＝，即α＝时，△PQR的面积有最大值225平方米，
即三角形绿地的最大面积是225平方米．
故答案为：60sinα米；225平方米．
【点评】本题考查了三角形的面积公式，三角恒等变换及正弦函数的性质，考查了计算能力，属于中档题．
15．（5分）在平面直线坐标系xOy中，设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线l：与抛物线C交于点A，且点A在x轴上方，过点A作抛物线C的切线与抛物线C的准线交于点P，与x轴交于点H．给出下列四个结论：
①△OFA的面积是；
②点H的坐标是；
③在x轴上存在点Q使；
④以HF为直径的圆与y轴的负半轴交于点N，则．
其中所有正确结论的序号是 　①③④　．
【分析】①联立直线l与抛物线的方程，求得点A的坐标，由S＝|OF|•yA，得解；
②由y＝2，求导得y'＝，写出过点A的切线方程，即可得点H的坐标；
故点A处的切线斜率为，切线方程为y﹣2＝（x﹣3），即y＝x+，
③把x＝﹣1代入切线方程求得点P的坐标，设点Q（m，0），由，列方程求解即可；
④以HF为直径的圆的方程为（x+1）2+y2＝4，从而知点N的坐标，再计算和，即可．
【解答】解：由题意知，F（1，0），
联立，得3x2﹣10x+3＝0，解得x＝3或，
因为点A在x轴上方，所以A（3，2），
所以△OFA的面积S＝|OF|•yA＝×1×2＝，即①正确；
又y2＝4x，可取y＝2，所以y'＝，
故点A处的切线斜率为，切线方程为y﹣2＝（x﹣3），即y＝x+，
令y＝0，则x＝﹣3，所以点H（﹣3，0），即②错误；
把x＝﹣1代入y＝x+中，得y＝，即P（﹣1，），
设点Q（m，0），
由，得（m﹣3，﹣2）•（m+1，﹣）＝0，即m2﹣2m+1＝0，所以m＝1，
所以点Q（1，0），即③正确；

因为H（﹣3，0），F（1，0），所以以HF为直径的圆的方程为（x+1）2+y2＝4，所以点N（0，﹣），
所以＝（﹣2，﹣2），＝（﹣1，﹣），所以＝2，即④正确．
故答案为：①③④．

【点评】本题主要考查直线与抛物线的位置关系，熟练掌握抛物线的几何性质，利用导数求切线的斜率，平面向量的坐标运算是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
三、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16．（13分）在△ABC中，asinC+ccosA＝0．
（Ⅰ）求∠A；
（Ⅱ）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使△ABC存在且唯一确定，求△ABC的面积．
条件①：；
条件②：；
条件③：．
【分析】（I）边化角可得sinAsinC+sinCcosA＝0，可求tanA＝﹣1，即可求A；
（II）选择②③，由正弦定理可求b＝，求得sinC，可求面积，选择①③，由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bccosA，可求c＝，可求b，从而可求面积．
【解答】解：（Ⅰ）因为asinC+ccosA＝0，
所以由正弦定理可得sinAsinC+sinCcosA＝0，
因为sinC≠0，
所以sinA+cosA＝0，即tanA＝﹣1，
因为A∈（0，π），
则∠A＝；
（Ⅱ）若选择②③，
由正弦定理＝，及a＝，sinB＝，得＝，所以b＝，
因为∠A＝，所以B∈（0，），∴cosB＝＝，
sinC＝sin（A+B）＝sinAcosB+cosAsinB＝×﹣×＝，
所以S△ABC＝absinC＝×××＝1．
若选择①③，
由余弦定理得a2＝b2+c2﹣2bccosA，及b＝c，得10＝2c2+c2﹣2c2×，解得c＝，
所以b＝2，所以S△ABC＝bcsinA＝×2××＝1．
【点评】本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
17．（13分）某学校在寒假期间安排了“垃圾分类知识普及实践活动”．为了解学生的学习成果，该校从全校学生中随机抽取了50名学生作为样本进行测试，记录他们的成绩，测试卷满分100分，将数据分成6组：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，并整理得到如下频率分布直方图：

（Ⅰ）若全校学生参加同样的测试，试估计全校学生的平均成绩（每组成绩用中间值代替）；
（Ⅱ）在样本中，从其成绩在80分及以上的学生中随机抽取3人，用X表示其成绩在[90，100]中的人数，求X的分布列及数学期望；
（Ⅲ）在（Ⅱ）抽取的3人中，用Y表示其成绩在[80，90）的人数，试判断方差D（X）与D（Y）的大小．（直接写结果）

【分析】（Ⅰ）利用直方图的性质及平均数的计算方法即得；
（Ⅱ）由题可知X服从超几何分布，即求；
（Ⅲ）由超几何分布即得．
【解答】解：（Ⅰ）由直方图可得第二组的频率为1﹣0.06﹣0.18﹣0.32﹣0.20﹣0.10＝0.14，
∴全校学生的平均成绩为：
45×0.06+55×0.14+65×0.18+75×0.32+85×0.20+95×0.10＝72.6；
（Ⅱ）由题可知成绩在80分及以上的学生共有50×（0.20+0.10）＝15人，
其中[90，100]中的人数为5，所以X可取0，1，2，3，则
，
，
故X的分布列为：
X
0
1
2
3
P




；
（Ⅲ）由题意可知随机变量X服从超几何分布，
故D（X）＝（0﹣1）2×+（1﹣1）2×+（2﹣1）2×+（3﹣1）2×＝，
同理，E（Y）＝0×+1×+2×+3×＝2，
D（Y）＝（0﹣2）2×+（1﹣2）2×+（2﹣2）2×+（3﹣2）2×＝，
故D（X）＝D（Y）．
【点评】本题考查了离散型随机变量的期望与方差，属于中档题．
18．（14分）如图1，在四边形ABCD中，AC⊥BD，AC∩BD＝O，OD＝OB＝1，OC＝2，E，F分别是AB，AD上的点，EF∥BD，AC∩EF＝H，AH＝2，HO＝1．将△AEF沿EF折起到△A1EF的位置，得到五棱锥A1﹣BCDFE，如图2．
（Ⅰ）求证：EF⊥平面A1HC；
（Ⅱ）若平面A1EF⊥平面BCDFE，
（ⅰ）求二面角D﹣A1C﹣H的余弦值；
（ⅱ）对线段A1F上任意一点N，求证：直线BN与平面A1DC相交．

【分析】（Ⅰ）利用线面垂直的判定定理即得；
（Ⅱ）（i）利用坐标法即求；
（ii）可设，进而可得，利用向量数量积可得λ∈∅，即得结论．
【解答】（Ⅰ）证明：∵AC⊥BD，EF∥BD，
∴AC⊥EF，
∴EF⊥A1H，EF⊥HC，又A1H∩HC＝H，
∴EF⊥平面A1HC；
（Ⅱ）（i）解：由EF⊥A1H，EF⊥HC，可知∠A1HC为A1﹣EF﹣C的平面角，
又平面A1EF⊥平面BCDFE，
∴∠A1HC＝90°，即A1H⊥HC，又EF⊥A1H，EF∩HC＝H，
∴A1H⊥平面BCDFE，
如图建立空间直角坐标系，则D（﹣1，1，0），A1（0，0，2），C（0，3，0），


∴，
设平面DA1C的法向量为，
则，
令y＝2，则，
又平面A1CH的一个法向量可取，
∴，
∴二面角D﹣A1C﹣H的余弦值为；
（ii）证明：由题设，又，
∴，
∴，又B（1，1，0），
∴，又平面DA1C的一个法向量为，
由，可得，又0≤λ≤1，
∴λ∈∅，
∴直线BN与平面A1DC相交．

【点评】本题主要考查线面垂直的证明，二面角的相关计算，空间向量及其应用等知识，属于中等题．
19．（15分）已知f（x）＝x﹣aex，a∈R．
（Ⅰ）若曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线与x轴重合，求a的值；
（Ⅱ）若函数f（x）在区间（1，+∞）上存在极值，求a的取值范围；
（Ⅲ）设g（x）＝f（2﹣x），在（Ⅱ）的条件下，试判断函数g（x）在区间（1，+∞）上的单调性，并说明理由．
【分析】（I）先对函数求导，然后结合函数极值存在条件可求a；
（II）先对函数求导，结合导数符号与单调性关系对a进行分类讨论，结合单调性与极值关系可求；
（III）先对g（x）求导，结合导数与单调性关系可求．
【解答】解：（I）f′（x）＝1﹣aex，
由题意得f′（1）＝1﹣ae＝0，
所以a＝，经检验符合题意；
（II）①当a≤0时，f′（x）＝1﹣aex＞0，
故函数f（x）在R上单调递增，没有极值，不符合题意，
②当a＞0时，易得，当x＜﹣lna时，f′（x）＞0，函数单调递增，当x＞﹣lna时，f′（x）＜0，函数单调递减，
故当x＝﹣lna时，函数取得极大值，
令﹣lna＞1，解得0＜a＜，
所以a的取值范围为（0，）；
（III）g（x）＝f（2﹣x）＝2﹣x﹣ae2﹣x，0＜a＜，
则g′（x）＝ae2﹣x﹣1，
令g′（x）＝ae2﹣x﹣1＝0得x＝2+lna，
由0＜a＜得lna＜﹣1，2+lna＜1，
当x＞1时，g′（x）＜0，
所以g（x）在（1，+∞）上单调递减．
【点评】本题主要考查了函数极值存在条件，导数与单调性及极值关系的应用，属于中档题．
20．（15分）已知椭圆C：的一个焦点为F（1，0），且过点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程和离心率；
（Ⅱ）过点P（4，0）且与x轴不重合的直线l与椭圆C交于A，B两点，与直线x＝1交于点Q，点M满足MP⊥x轴，MB∥x轴，试求直线MA的斜率与直线MQ的斜率的比值．
【分析】（Ⅰ）利用待定系数法求出a，b后可得椭圆方程并可求离心率．
（Ⅱ）设AB：y＝k（x﹣4），A（x1，y1），B（x2，y2），则可用诸参数表示，再联立直线方程和椭圆方程，并利用韦达定理化简后可得斜率的比值．
【解答】解：（Ⅰ）由题设有，故，
故椭圆C的方程为，
故离心率为．
（Ⅱ）由题设可得AB的斜率必存在且不为零，
设AB：y＝k（x﹣4），A（x1，y1），B（x2，y2），则M（4，y2），
由可得Q（1，﹣3k），
故，
＝，
由可得（3+4k2）x2﹣32k2x+64k2﹣12＝0，
故Δ＝144﹣144k2＞0即﹣1＜k＜1，且k≠0，
又，
故
＝．
【点评】本题主要考查椭圆方程的求解，椭圆离心率的求解，直线与圆锥曲线的位置关系等知识，属于中等题．
21．（15分）对非空数集X，Y，定义X与Y的和集X+Y＝{x+y|x∈X，y∈Y}．对任意有限集A，记|A|为集合A中元素的个数．
（Ⅰ）若集合X＝{0，5，10}，Y＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，写出集合X+X与X+Y；
（Ⅱ）若集合X＝{x1，x2，⋯，xn}满足x1＜x2＜⋯＜xn，n≥3，且|X+X|＜2|X|，求证：数列x1，x2，…，xn是等差数列；
（Ⅲ）设集合X＝{x1，x2，⋯，xn}满足x1＜x2＜⋯＜xn，n≥3，且xi∈Z（i＝1，2，⋯，n），集合B＝{k∈Z|﹣m≤k≤m}（m≥2，m∈N），求证：存在集合A满足且X⊆A+B．
【分析】（Ⅰ）利用和集的定义即可得出；
（Ⅱ）由题意可得：|X+X|＝2n﹣1，进而可得X+X中的所有元素为x1+x1，x1+x2，x1+x3，⋯，x1+xn，x2+xn，x3+xn，⋯，xn+xn，结合条件可得xn﹣xn﹣1＝xn﹣1﹣xn﹣2＝…＝x2﹣x1＞0，进而得出证明；
（Ⅲ）设{ai}是首项为x1+m，公差为2m+1的等差数列，即ai＝x1+m+（i﹣1）（2m+1），i∈N*，令集合A＝{a1，a2，…，aq+1}，集合B＝{k∈Z|﹣m≤k≤m}，进而可得，A+B⊇{t∈Z|x1≤t≤xn}⊇{x1，x2，⋯，xn}，进而得出证明．
【解答】解：（Ⅰ）因为集合X＝{0，5，10}，Y＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，
所以X+X＝{0，5，10，15，20}，X+Y＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12}；
证明：（Ⅱ）因为x1+x1＜x1+x2＜x1+x3＜⋯＜x1+xn＜x2+xn＜x3+xn＜⋯＜xn+xn，
所以集合X+X中至少包含2n﹣1个元素，
所以|X+X|≥2n﹣1，又|X|＝n，由题意可知：|X+X|＜2n，
又|X+X|为整数，所以|X+X|≤2n﹣1，所以|X+X|＝2n﹣1，
所以X+X中的所有元素为x1+x1，x1+x2，x1+x3，⋯，x1+xn，x2+xn，x3+xn，⋯，xn+xn，
又因为x1+x1，x1+x2，x1+x3，⋯，x1+xn，x2+xn，x3+xn，⋯，xn+xn是X+X中2n﹣1个元素，
且x1+x1＜x1+x2＜x1+x3＜⋯＜x1+xn＜x2+xn＜x3+xn＜⋯＜xn+xn，
所以x1+xj＝x2+xj﹣1（j＝2，3，⋯，n），即xj﹣xj﹣1＝x2﹣x1（j＝2，3，⋯，n），
所以xn﹣xn﹣1＝xn﹣1﹣xn﹣2＝…＝x2﹣x1＞0，
所以数列x1，x2，…，xn是等差数列．
证明：（Ⅲ）因为集合B＝{k∈Z|﹣m≤k≤m}，所以|B|＝2m+1，
设xn﹣x1＝（2m+1）q+r，其中q，r∈N，0≤r≤2m，
设{ai}是首项为x1+m，公差为2m+1的等差数列，即ai＝x1+m+（i﹣1）（2m+1），i∈N*，
令集合A＝{a1，a2，…，aq+1}，则
|A|＝1+q＝1+＝1+≤1+，
所以A+B＝{t∈Z|x1≤t≤x1+（2m+1）q+2m}，
因为xn＝x1+（2m+1）q+r≤x1+（2m+1）q+2m，
所以A+B⊇{t∈Z|x1≤t≤xn}⊇{x1，x2，⋯，xn}，
所以X⊆A+B，
故存在集合A满足且X⊆A+B．
【点评】本题考查数列的应用，考查学生的逻辑思维能力和推理能力，属中档题．
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