2022年北京市密云区高考数学一模试卷

这是一份2022年北京市密云区高考数学一模试卷，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022年北京市密云区高考数学一模试卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．（4分）已知集合P＝{x|0＜x＜4，x∈Z}，且M⊆P，则M可以是（　　）
A．{1，2} B．{2，4} C．{0，2} D．{3，4}
2．（4分）已知＝（﹣1，2），＝（x，﹣4），，则x的值为（　　）
A．2 B．﹣2 C．8 D．﹣8
3．（4分）已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和，若a5＝S5＝5，则公差d等于（　　）
A．3 B．﹣3 C．2 D．﹣2
4．（4分）已知复数z＝a﹣i（其中a∈R），则下面结论正确的是（　　）
A．
B．z•i＝﹣1+ai
C．|z|＞1
D．在复平面上，z对应的点在直线y＝﹣1上
5．（4分）二项式的展开式中含x2项的系数是（　　）
A．﹣60 B．60 C．﹣15 D．15
6．（4分）已知x＞y，则下列各式中一定成立的是（　　）
A． B．
C．ln（x+1）＞ln（y+1） D．2x+2﹣y＞2
7．（4分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则“A＜B”是“sinA＜sinB”的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
8．（4分）设函数在[﹣π，π]的图象大致如图所示，则f（x）的最小正周期为（　　）

A． B． C． D．
9．（4分）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”（大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数叫做素数），如36＝5+31．在不超过36的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于36的概率是（　　）
A． B． C． D．
10．（4分）正方体ABCD﹣A'B'C'D'的棱长为1，E，F分别是棱AA'，CC'的中点，过直线EF的平面分别与棱BB'、DD'交于M，N，设BM＝x，x∈（0，1），则下列结论中不正确的是（　　）
A．四边形MENF为平行四边形
B．若四边形MENF面积s＝f（x），x∈（0，1），则f（x）有最小值
C．若四棱锥A﹣MENF的体积V＝p（x），x∈（0，1），则p（x）常函数
D．若多面体ABCD﹣MENF的体积V＝h（x），，则h（x）为单调函数
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．
11．（5分）已知抛物线y2＝4x，则抛物线的准线方程是 　 　．
12．（5分）已知a，4，c成等比数列，且a＞0，则log2a+log2c＝　 　．
13．（5分）银行储蓄卡的密码由6位数字组成，某人在银行自助取款机上取钱时，忘记了密码的最后1位数字，如果记得密码的最后1位是偶数，则第2次按对的概率是 　 　．
14．（5分）设F1，F2为双曲线的两个焦点，若双曲线C的两个顶点恰好将线段F1F2三等分，则双曲线C的离心率为 　 　；渐近线方程为 　 　．
15．（5分）已知点A（2，0），B（0，2）和点P（cosθ，sinθ），θ∈R．给出下列四个结论：
①点P到直线AB的最大距离为；
②当∠PAB最大时，|PA|＝；
③△PAB的面积的最大值为；
④若，则．
其中所有正确结论的序号是 　 　．
三、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16．（14分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，．再在条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知，使得△ABC存在并且唯一．
条件①；
条件②；
条件③a＝3．
（Ⅰ）求c的值；
（Ⅱ）求△ABC的面积．
17．（14分）从2008年的夏季奥运会到2022年的冬季奥运会，志愿者身影成为“双奥”之城的“最美名片”．十几年间志愿精神不断深入人心，志愿服务也融入社会生活各个领域．2022年的北京冬奥会共录用赛会志愿者18000多人．中学生志愿服务已经纳入学生综合素质评价体系，为了解中学生参加志愿服务所用时间，某市教委从全市抽取部分高二学生调查2020﹣2021学年度上学期参加志愿服务所用时间，把时间段按照[1.5，2.5），[2.5，3.5），[3.5，4.5），[4.5，5.5），[5.5，6.5]分成5组，把抽取的600名学生参加志愿服务时间的样本数据绘制成如图所示的频率分布直方图．

（Ⅰ）根据频率分布直方图，用每一个小矩形的中点值代替每一组时间区间的平均值，估计这600名高二学生上学期参加志愿服务时间的平均数．并写出这600个样本数据的第75百分位数的一个估计值．
（Ⅱ）若一个学期参加志愿服务的时间不少于3.5小时视为“预期合格”，把频率分布直方图中的频率视为该市高二学生上学期参加志愿服务时间的概率，从全市所有高二学生中随机抽取3名学生，设本学期这3名学生中达到“预期合格”的人数为X，求X的分布列并求数学期望E（X）．
（Ⅲ）用每一个小矩形的中点值代替每一组时间区间的平均值，把时间段在[1.5，4.5）的数据组成新样本组A，其方差记为s12，把时间段在[3.5，6.5]的数据组成新样本组B，其方差记为s22，原来600个样本数据的方差记为s32，试比较s12，s22，s32的大小（结论不要求证明）．
18．（15分）如图所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，AC＝BC＝CC1＝2，点D，E分别为棱A1C1，B1C1的中点，点F是线段BB1上的点（不包括两个端点）．
（Ⅰ）设平面DEF与平面ABC相交于直线m，求证：A1B1∥m；
（Ⅱ）当F为线段BB1的中点时，求点B到平面DEF的距离；
（Ⅲ）是否存在一点F，使得二面角C﹣AC1﹣F的余弦值为，如果存在，求出的值；如果不存在，说明理由．

19．（14分）已知函数f（x）＝xln（2x+1）﹣ax2．
（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（Ⅱ）当a＜0时，求证：函数f（x）存在极小值；
（Ⅲ）请直接写出函数f（x）的零点个数．
20．（14分）已知椭圆的一个顶点坐标为A（2，0），椭圆的离心率为．
（Ⅰ）求椭圆C的方程和椭圆的短轴长；
（Ⅱ）若过点A的两条互相垂直的直线分别交椭圆C于两点P，Q（P，Q与A不重合），试判断直线PQ是否经过定点，若经过定点，求出定点坐标；若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）作AM⊥PQ于点M，则存在定点M0，使得|MM0|为定值，请写出这个定值（只要求写出结果）．
21．（14分）设n≥2且n∈N，集合U＝{1，2，3，4，⋯，2n}，若对U的任意k元子集Vk，都存在a，b，c∈Vk，满足：a＜b＜c，a+b＞c，且a+b+c为偶数，则称Vk为理想集，并将k的最小值记为K．
（Ⅰ）当n＝2时，是否存在理想集？若存在，求出相应的K；若不存在，请说明理由．
（Ⅱ）当n＝3时，是否存在理想集？若存在，直接写出对应的Vk以及满足条件的a，b，c；若不存在，请说明理由．
（Ⅲ）证明：当n＝4时，K＝6．

2022年北京市密云区高考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．（4分）已知集合P＝{x|0＜x＜4，x∈Z}，且M⊆P，则M可以是（　　）
A．{1，2} B．{2，4} C．{0，2} D．{3，4}
【分析】化简集合P，再判断子集即可．
【解答】解：∵P＝{x|0＜x＜4，x∈Z}＝{1，2，3}，
故选：A．
【点评】本题考查了集合间的关系，属于基础题．
2．（4分）已知＝（﹣1，2），＝（x，﹣4），，则x的值为（　　）
A．2 B．﹣2 C．8 D．﹣8
【分析】利用平面向量共线定理即可得出x．
【解答】解：∵＝（﹣1，2），＝（x，﹣4），，
∴2x﹣（﹣1）×（﹣4）＝0，解得x＝2．
故选：A．
【点评】本题考查了平面向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
3．（4分）已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和，若a5＝S5＝5，则公差d等于（　　）
A．3 B．﹣3 C．2 D．﹣2
【分析】利用等差数列的通项公式和前n项和公式列出关于a1，d的方程组，解出d的值即可．
【解答】解：由题意可得，解得，
即公差d等于2，
故选：C．
【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式和前n项和公式，属于基础题．
4．（4分）已知复数z＝a﹣i（其中a∈R），则下面结论正确的是（　　）
A．
B．z•i＝﹣1+ai
C．|z|＞1
D．在复平面上，z对应的点在直线y＝﹣1上
【分析】结合复数的代数运算及几何意义分别检验各选项即可判断．
【解答】解：因为z＝a﹣i，
则＝a+i，A错误；
z•i＝（a﹣i）•i＝ai+1，B错误；
|z|＝≥1，C错误；
复平面上，z对应的点（a，﹣1）在直线y＝﹣1上，D正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查了复数的代数运算及几何意义，属于基础题．
5．（4分）二项式的展开式中含x2项的系数是（　　）
A．﹣60 B．60 C．﹣15 D．15
【分析】求出展开式的通项公式，然后令x的指数为2，进而可以求解．
【解答】解：展开式的通项公式为T＝C，r＝0，1.....6，
令6﹣2r＝2，解得r＝2，
所以展开式中含x2项的系数为C＝60，
故选：B．
【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．
6．（4分）已知x＞y，则下列各式中一定成立的是（　　）
A． B．
C．ln（x+1）＞ln（y+1） D．2x+2﹣y＞2
【分析】取x＝1，y＝﹣1，计算可判断A；由指数函数的单调性可判断B；取x＝1，y＝﹣1，可判断D；由基本不等式和不等式的性质可判断D．
【解答】解：若x＞y，取x＝1，y＝﹣1，则＞，故A错误；
若x＞y，则（）x＜（）y，故B错误；
若x＞y，取x＝1，y＝﹣1，则y+1＝0，ln（y+1）不存在，故C错误；
若x＞y，则2x+2﹣y≥2＞2，故D正确．
故选：D．
【点评】本题考查函数的性质和运用，以及基本不等式的运用，考查运算能力和推理能力，属于基础题．
7．（4分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则“A＜B”是“sinA＜sinB”的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】在三角形中由正弦定理及大边对大角的性质可判断“A＜B”是“sinA＜sinB”的充要条件．
【解答】解：在△ABC中，A＜B，大边对大角可得a＜b，由正弦定理可得sinA＜sinB，即A＜B是sinA＜sinB成立的充分条件，
而sinA＜sinB时，由正弦定理可得a＜b，再由三角形中，大边对大角可得A＜B，这时，A＜B是sinA＜sinB成立的必要条件，
故选：C．
【点评】本题考查正弦定理及三角形大边对大角的性质的应用，属于基础题．
8．（4分）设函数在[﹣π，π]的图象大致如图所示，则f（x）的最小正周期为（　　）

A． B． C． D．
【分析】根据图象确定ω的取值范围，结合五点对应法进行求解即可．
【解答】解：由图象知函数的周期T＜π﹣（﹣）＝，即＜，得ω＞，
f（x）＝cosω（x+），当ω＞0时，函数f（x）的图象是y＝cosx向左平移得到，
由五点对应法得﹣ω+＝﹣，
即ω＝+＝，
即ω＝，
则f（x）的最小正周期为T＝＝，
故选：A．
【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用五点对应法建立方程关系是解决本题的关键．属中档题．
9．（4分）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”（大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数叫做素数），如36＝5+31．在不超过36的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于36的概率是（　　）
A． B． C． D．
【分析】利用列举法先求出不超过36的所有素数，利用古典概型的概率公式进行计算即可．
【解答】解：在不超过36的素数中有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31共11个，
从中选2个不同的数有＝55种，
和等于36的有（5，31），（7，29），（13，23），（17，19）共4种，
则对应的概率P＝，
故选：B．
【点评】本题主要考查古典概型的概率的计算，求出不超过36的素数是解决本题的关键．
10．（4分）正方体ABCD﹣A'B'C'D'的棱长为1，E，F分别是棱AA'，CC'的中点，过直线EF的平面分别与棱BB'、DD'交于M，N，设BM＝x，x∈（0，1），则下列结论中不正确的是（　　）
A．四边形MENF为平行四边形
B．若四边形MENF面积s＝f（x），x∈（0，1），则f（x）有最小值
C．若四棱锥A﹣MENF的体积V＝p（x），x∈（0，1），则p（x）常函数
D．若多面体ABCD﹣MENF的体积V＝h（x），，则h（x）为单调函数
【分析】根据已知中正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为1，E、F分别是棱AA′，CC′的中点，过直线E，F的平面分别与棱BB′、DD′交于M、N，设BM＝x，x∈（0，1），逐一分析四个结论的真假，可得答案．
【解答】解：对于A，∵平面ADD′A′∥平面BCC′B′，∴EN∥MF，同理：FN∥EM，∴四边形EMFN为平行四边形，因此正确；
对于B，∵MN⊥EF，∴MENF的面积s＝f（x）＝（EF×MN），当M为BB′的中点时，即x＝时，MN最短，此时面积最小，因此正确；
对于C，连接AF，AM，AN，则四棱锥分割为两个小三棱锥，它们是以AEF为底，以M，N分别为顶点的两个小棱锥．因为三角形AEF的面积是个常数．M，N到平面AEF的距离和是个常数，所以四棱锥C'﹣MENF的体积V为常数函数，P（x）＝××××＝，因此正确．
对于D，多面体ABCD﹣MENF的体积V＝h（x）＝VABCD﹣A′B′C′D′＝为常数函数，因此错误；
故答案为：D．

【点评】本题考查空间立体几何中的面面垂直关系以及空间几何体的体积公式，本题巧妙的把立体几何问题和函数进行的有机的结合，综合性较强，设计巧妙，对学生的解题能力要求较高．属于中档题．
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．
11．（5分）已知抛物线y2＝4x，则抛物线的准线方程是 　x＝﹣1　．
【分析】直接利用抛物线方程，求解准线方程即可．
【解答】解：抛物线y2＝4x，
则抛物线的准线方程是x＝﹣1．
故答案为：x＝﹣1．
【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，准线方程的求法，是基础题．
12．（5分）已知a，4，c成等比数列，且a＞0，则log2a+log2c＝　4　．
【分析】推导出ac＝16，c＞0，由此能求出log2a+log2c．
【解答】解：∵a，4，c成等比数列，且a＞0，
∴ac＝16，c＞0，
∴log2a+log2c＝log2ac＝log216＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查对数值的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
13．（5分）银行储蓄卡的密码由6位数字组成，某人在银行自助取款机上取钱时，忘记了密码的最后1位数字，如果记得密码的最后1位是偶数，则第2次按对的概率是 　　．
【分析】由于该密码的最后一位数字是偶数，应该在“2，4，6，8，0”中选数，所以此人前两次所按数字的所有基本事件有20个，恰好在第2次就按对，相应的基本事件为m＝4×1＝4个，结合古典概型计算公式即可算出恰好在第2次就按对的概率．
【解答】解：根据题意，密码的最后一位数字是偶数，
所以此人在按最后一位数字时，有“2，4，6，8，0”5种可能，
由此可得此人在按前两次，所有的基本事件有n＝5×4＝20个，
恰好在第2次就按对，相应的基本事件为m＝4×1＝4个，
因此，此人恰好在第2次就按对的概率是P＝．
故答案为：．
【点评】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
14．（5分）设F1，F2为双曲线的两个焦点，若双曲线C的两个顶点恰好将线段F1F2三等分，则双曲线C的离心率为 　3　；渐近线方程为 　y＝±2x　．
【分析】由题意可得2a＝•2c，结合离心率公式和渐近线方程，可得所求值．
【解答】解：双曲线C的两个顶点恰好将线段F1F2三等分，
可得2a＝•2c，则c＝3a，即e＝＝3．
所以＝＝＝2，
所以双曲线的渐近线的方程为y＝±2x，
故答案为：3；y＝±2x．
【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要是离心率和渐近线方程的求法，考查运算能力，属于基础题．
15．（5分）已知点A（2，0），B（0，2）和点P（cosθ，sinθ），θ∈R．给出下列四个结论：
①点P到直线AB的最大距离为；
②当∠PAB最大时，|PA|＝；
③△PAB的面积的最大值为；
④若，则．
其中所有正确结论的序号是 　①②④　．
【分析】①根据点到直线的距离公式，可得距离表达式，进而可得最大值；
②根据圆与直线的位置关系可知，当直线与下半圆相切时，此时∠PAB最大；
③由面积公式，只需要d最大即面积最大，结合①可得；
④根据向量数量积的坐标表示，可得，进而可知范围．
【解答】解：由点A（2，0），B（0，2）可得直线AB的方程：x+y﹣2＝0，
①由点到直线的距离公式，，
当时，距离最大，最大值为，故①正确；
②当点P移动到第四象限时，也即直线PA与单位圆相切时∠PAB最大，
，故②正确；
③设P到直线AB的距离为d，
则，只有当d最大时，S△ABP才能取得最大，
因为d最大值为，所以S△ABP最大值为，故③错；
④∵，
∵θ∈R，∴，所以，故④对．
故答案为：①②④．
【点评】本题考查了平面向量数量积的计算，属于中档题．
三、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16．（14分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，．再在条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知，使得△ABC存在并且唯一．
条件①；
条件②；
条件③a＝3．
（Ⅰ）求c的值；
（Ⅱ）求△ABC的面积．
【分析】（I）若选①，先求出C，然后利用正弦定理可求c；
若选条件②，由余弦定理可检验c是否存在；
若选条件③a＝3，由余弦定理可求c；
（II）结合三角形面积公式即可求解．
【解答】解：（I）若选①，
因为，，
则C＝，sinC＝sin（）＝＝，
由正弦定理得＝，
所以c＝＝×＝；
若选条件②，
因为，，
由余弦定理得cosA＝﹣＝，
整理得＝0，此时方程无解；
若选条件③a＝3，
因为，，
cosA＝﹣＝，
整理的＝0，
解得c＝；
（II）因为S△ABC＝＝＝．
【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，和差角公式及三角形面积公式在求解三角形中的应用，属于中档题．
17．（14分）从2008年的夏季奥运会到2022年的冬季奥运会，志愿者身影成为“双奥”之城的“最美名片”．十几年间志愿精神不断深入人心，志愿服务也融入社会生活各个领域．2022年的北京冬奥会共录用赛会志愿者18000多人．中学生志愿服务已经纳入学生综合素质评价体系，为了解中学生参加志愿服务所用时间，某市教委从全市抽取部分高二学生调查2020﹣2021学年度上学期参加志愿服务所用时间，把时间段按照[1.5，2.5），[2.5，3.5），[3.5，4.5），[4.5，5.5），[5.5，6.5]分成5组，把抽取的600名学生参加志愿服务时间的样本数据绘制成如图所示的频率分布直方图．

（Ⅰ）根据频率分布直方图，用每一个小矩形的中点值代替每一组时间区间的平均值，估计这600名高二学生上学期参加志愿服务时间的平均数．并写出这600个样本数据的第75百分位数的一个估计值．
（Ⅱ）若一个学期参加志愿服务的时间不少于3.5小时视为“预期合格”，把频率分布直方图中的频率视为该市高二学生上学期参加志愿服务时间的概率，从全市所有高二学生中随机抽取3名学生，设本学期这3名学生中达到“预期合格”的人数为X，求X的分布列并求数学期望E（X）．
（Ⅲ）用每一个小矩形的中点值代替每一组时间区间的平均值，把时间段在[1.5，4.5）的数据组成新样本组A，其方差记为s12，把时间段在[3.5，6.5]的数据组成新样本组B，其方差记为s22，原来600个样本数据的方差记为s32，试比较s12，s22，s32的大小（结论不要求证明）．
【分析】（Ⅰ）用每一组的中点值乘以频率相加即得平均数，根据百分位数概念计算即可得第75百分位数的一个估计值；
（Ⅱ）由题可得，X服从二项分布，可根据公式求出分布列；
（Ⅲ）根据前3组数据、后3组数据以及整体数据的离散程度进行判定．
【解答】解：（Ⅰ）平均数等于2×0.05+3×0.15+4×0.4+5×0.2+6×0.2＝4.35，
前3组频率和0.05+0.15+0.4＝0.6，加上第4组得0.6+0.2＝0.8，
所以75百分位数：；
（Ⅱ）由题可知“预期合格”的概率p＝0.8，
从全市所有高二学生中随机抽取3名学生，设本学期这3名学生中达到“预期合格”的人数为X，
则X服从二项分布X～B（3，0.8），
，
，
，
，
X的分布列为：
X
0
1
2
3
P
0.008
0.096
0.384
0.512
E（X）＝np＝3×0.8＝2.4；
（Ⅲ）由频率分布直方图可以看出，前3组数据比后3组数据更集中一些，所以，
而这两组数据相比整体数据都要集中一些，所以．
【点评】本题考查了离散型随机变量的分布列与期望，属于中档题．
18．（15分）如图所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，AC＝BC＝CC1＝2，点D，E分别为棱A1C1，B1C1的中点，点F是线段BB1上的点（不包括两个端点）．
（Ⅰ）设平面DEF与平面ABC相交于直线m，求证：A1B1∥m；
（Ⅱ）当F为线段BB1的中点时，求点B到平面DEF的距离；
（Ⅲ）是否存在一点F，使得二面角C﹣AC1﹣F的余弦值为，如果存在，求出的值；如果不存在，说明理由．

【分析】（Ⅰ）利用线面平行的判定定理证明DE∥平面ABC，在利用线面平行的性质定理证明DE∥m，最后利用平行的传递性推出结论；
（Ⅱ）利用等体积法求解即可；
（Ⅲ）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解．
【解答】（Ⅰ）证明：因为D，E分别为棱A1C1，B1C1的中点，则DE∥A1B1，
又A1B1∥AB，所以DE∥AB，
因为DE∥AB，DE⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，
所以DE∥平面ABC，
因为DE∥平面ABC，DE⊂平面DEF，平面DEF∩平面ABC＝m，
所以DE∥m，又DE∥A1B1
所以A1B1∥m；
解：（Ⅱ）

因为AC⊥BC，AC⊥CC1，BC⊂平面BCC1B1，CC1⊂平面BCC1B1，BC∩CC1＝C，
所以AC⊥平面BCC1B1，
又C1F⊂平面BCC1B1
所以AC⊥C1F，
又A1C1∥AC，所以A1C1⊥C1F，
在RtΔDC1E中，，
在RtΔEB1F中，，
在RtΔC1B1F中，，
在RtΔDC1F中，，
则，所以∠DEF＝120°，
所以，
，
因为AC⊥平面BCC1B1，A1C1∥AC，所以A1C1⊥平面BCC1B1，
所以D点到平面BEF的距离即为垂线段D1C1的长，
设点B到平面DEF的距离为h，
VB﹣DEF＝VD﹣BEF，即，解得，
即点B到平面DEF的距离为，
（Ⅲ）设BF＝λ（0＜λ＜2），建立如图所示的空间直角坐标系，

则F（0，2，λ），A（2，0，0），C1（0，0，2），
所以，
设＝（x，y，z）为平面AC1F的法向量，
则即，
令x＝1，则，
因为平面ACC1为坐标平面xOz，所以＝（0，1，0）为其法向量，
依题意，
解之得λ＝1或λ＝3（舍），
所以．
【点评】本题考查了平行关系的证明，点到平面的距离以及二面角的计算，属于中档题．
19．（14分）已知函数f（x）＝xln（2x+1）﹣ax2．
（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（Ⅱ）当a＜0时，求证：函数f（x）存在极小值；
（Ⅲ）请直接写出函数f（x）的零点个数．
【分析】（Ⅰ）求出函数f（x）的导数f′（x），再利用导数的几何意义求解作答．
（Ⅱ）讨论函数f′（x）在区间和（0，+∞）上的符号即可推理作答．
（Ⅲ）在x≠0时，分离参数，构造函数，再探讨g（x）在上的零点情况即可作答．
【解答】解：（Ⅰ）由f（x）＝xln（2x+1）﹣ax2，得，
则f'（0）＝0，而f（0）＝0，
所以曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程是y＝0．
（Ⅱ）证明：函数f（x）＝xln（2x+1）﹣ax2的定义域为，
由（1）知，，
因a＜0，则当时，ln（2x+1）＜0，，﹣2ax＜0，
则有f'（x）＜0，函数f（x）在上递减，
当x＞0时，ln（2x+1）＞0，，﹣2ax＞0，
则有f'（x）＞0，函数f（x）在（0，+∞）上递增，
于是得当x＝0时，函数f（x）取得极小值，
所以当a＜0时，函数f（x）存在极小值．
（Ⅲ）函数f（x）＝xln（2x+1）﹣ax2的定义域为，f（x）＝0⇔xln（2x+1）＝ax2，
显然x＝0是函数f（x）的零点，当x≠0时，函数f（x）的零点即为方程的解，
令，则，
令，则，
当时，h'（x）＞0，当x＞0时，h'（x）＜0，函数h（x）在上递增，在（0，+∞）上递减，
，h（x）＜h（0）＝0，即有g'（x）＜0，g（x）在，（0，+∞）上都递减，
令φ（x）＝ln（2x+1）﹣2x，，
当时，φ′（x）＞0，当x＞0时，φ′（x）＜0，
φ（x）在上递增，在（0，+∞）上递减，φ（x）≤φ（0）＝0，
即，恒有ln（2x+1）≤2x，当且仅当x＝0时取“＝”，
当时，，当x＞0时，，
因此，g（x）在上单调递减，g（x）取值集合为（2，+∞）；
g（x）在（0，+∞）上递减，g（x）取值集合为（0，2），
于是得当0＜a＜2或a＞2时，方程有唯一解，当a≤0或a＝2时，此方程无解，
所以，当a≤0或a＝2时，函数f（x）有一个零点，当0＜a＜2或a＞2时，函数f（x）有两个零点．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的切线方程，利用导数研究函数的极值与最值和函数的零点，考查了分类讨论思想和转化思想，属难题．
20．（14分）已知椭圆的一个顶点坐标为A（2，0），椭圆的离心率为．
（Ⅰ）求椭圆C的方程和椭圆的短轴长；
（Ⅱ）若过点A的两条互相垂直的直线分别交椭圆C于两点P，Q（P，Q与A不重合），试判断直线PQ是否经过定点，若经过定点，求出定点坐标；若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）作AM⊥PQ于点M，则存在定点M0，使得|MM0|为定值，请写出这个定值（只要求写出结果）．
【分析】（Ⅰ）由题意首先求得椭圆方程，然后确定短轴长即可；
（Ⅱ）联立直线方程与椭圆方程，结合韦达定理即可证得直线恒过定点；
（Ⅲ）直接写出定值即可．
【解答】解：（Ⅰ）由题意可知解得
所以椭圆C的方程为，短轴长为2．
（Ⅱ）当直线PQ的斜率存在时，设PQ的方程为y＝kx+m
由得（4k2+1）x2+8kmx+4m2﹣4＝0，所以Δ＝（8km）2﹣4×（4k2+1）（4m2﹣4）＝16（4k2﹣m2+1）．
因此4k2﹣m2+1＞0．
设P（x1，y1），Q（x2，y2），
则，．因为AP⊥AQ，所以，即（x1﹣2）（x2﹣2）+y1y2＝0．因此（x1﹣2）（x2﹣2）+（kx1+m）（kx2+m）＝0，
所以．因此，
化简得12k2+16km+5m2＝0，解得m＝﹣2k，或．
所以直线PQ的方程为y＝kx﹣2k，或．此时直线PQ经过定点（2，0）（舍），或．当直线PQ的斜率不存在时，容易验证直线符合题意要求．综上可求，直线PQ经过定点．
（Ⅲ）．
【点评】本题主要考查椭圆方程的求解，直线与圆锥曲线的位置关系，韦达定理及其应用，圆锥曲线中的定点定值问题等知识，属于中等题．
21．（14分）设n≥2且n∈N，集合U＝{1，2，3，4，⋯，2n}，若对U的任意k元子集Vk，都存在a，b，c∈Vk，满足：a＜b＜c，a+b＞c，且a+b+c为偶数，则称Vk为理想集，并将k的最小值记为K．
（Ⅰ）当n＝2时，是否存在理想集？若存在，求出相应的K；若不存在，请说明理由．
（Ⅱ）当n＝3时，是否存在理想集？若存在，直接写出对应的Vk以及满足条件的a，b，c；若不存在，请说明理由．
（Ⅲ）证明：当n＝4时，K＝6．
【分析】（I）根据理想集的定义，分3元子集、4元子集分别说明判断作答．
（II）根据理想集的定义，结合（1）中信息，说明判断5元子集，6元子集作答．
（III）根据理想集的定义，结合（1）（2）中信息，判断U的所有6元子集都符合理想集的定义作答．
【解答】解：（I）依题意，Vk要为理想集，k≥3，
当n＝2时，U＝{1，2，3，4}，显然{2，3，4}⊆U，有2＜3＜4，2+3＞4，而2+3+4不是偶数，
即存在3元子集不符合理想集定义，而{1，2，3，4}⊆U，在{1，2，3，4}中任取3个数，有4种结果，1，2，3；1，2，4；1，3，4；2，3，4，它们都不符合理想集定义，
所以，当n＝2时，不存在理想集．
（II）当n＝3时，U＝{1，2，3，4，5，6}，由（I）知，存在3元子集{2，3，4}、4元子集{1，2，3，4}均不符合理想集定义，
5元子集{1，2，3，4，6}，在此集合中任取3个数，满足较小的两数和大于另一个数的只有2，3，4与3，4，6两种，但这3数和不为偶数，
即存在5元子集{1，2，3，4，6}，不符合理想集定义，
而U的6元子集是{1，2，3，4，5，6}，3＜4＜5，3+4＞5，3+4+5是偶数，3＜5＜6，3+5＞6，3+5+6是偶数，
即U的6元子集{1，2，3，4，5，6}符合理想集定义，{1，2，3，4，5，6}是理想集，
所以，当n＝3时，存在理想子集V6＝{1，2，3，4，5，6}，满足条件的a，b，c可分别为3，4，5或3，5，6．
证明：（III）当n＝4时，U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，由（I），（II）知，存在U的3元子集、4元子集、5元子集不满足理想集定义，
Vk要为理想集，k≥6，显然1，2，3，4，5，6，符合理想集的定义，满足条件的a，b，c分别为3，4，5或3，5，6，
U的6元子集中含有3，5，6的共有个，这10个集合都符合理想集的定义，
U的6元子集中含有3，5不含6的有5个，其中含有4的有4个，这4个集合都符合理想集的定义，不含4的为{1，2，3，5，7，8}，
显然有5＜7＜8，5+7＞8，5+7+8为偶数，即U的6元子集中含有3，5不含6的5个都符合理想集的定义，
U的6元子集中含有3，6不含5的有5个，它们是{1，2，3，4，6，7}，{1，2，3，4，6，8}，{1，2，3，6，7，8}，
{1，3，4，6，7，8}，{2，3，4，6，7，8}，
它们对应的a，b，c可依次为：3，6，7；4，6，8；3，6，7；3，6，7；3，6，7，
即U的6元子集中含有3，6不含5的5个都符合理想集的定义，
U的6元子集中含有5，6不含3的有5个，它们是{1，2，4，5，6，7}，{1，2，4，5，6，8}，{1，2，5，6，7，8}，
{1，4，5，6，7，8}，{2，4，5，6，7，8}，
它们对应的a，b，c可依次为：5，6，7；4，6，8；5，6，7；5，6，7；5，6，7，
即U的6元子集中含有5，6不含3的5个都符合理想集的定义，
U的6元子集中含有3，5，6之一的有3个，它们是{1，2，3，4，7，8}，{1，2，4，5，7，8}，{1，2，4，6，7，8}，
对应的a，b，c可依次为：3，7，8；5，7，8；4，6，8，
即U的6元子集中含有3，5，6之一的3个都符合理想集的定义，
因此，U的所有个6元子集都符合理想集的定义，V6是理想集，
U的7元子集有个，其中含有3，5，6的有5个，这5个集合都符合理想集的定义，不全含3，5，6的有3个，
它们是{1，2，3，4，5，7，8}，{1，2，3，4，6，7，8}，{1，2，4，5，6，7，8}，对应的a，b，c可依次为：3，7，8；3，7，8；4，6，8，
即U的所有8个7元子集都符合理想集的定义，V7是理想集，
U的8元子集是{1，2，3，4，5，6，7，8}，对应的a，b，c可以为：3，7，8，因此，V8是理想集，
因此，U的6元子集，7元子集，8元子集都是理想集，K＝6，
所以当n＝4时，K＝6．
【点评】本题考查集合的新定义，考查学生的分析能力及运算能力，属于难题．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2022/8/4 19:11:16；用户：李超；邮箱：lichao317807156@126.com；学号：19716718