2022年广东省广州市高考数学综合测试试卷（二）（二模）

这是一份2022年广东省广州市高考数学综合测试试卷（二）（二模），共24页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022年广东省广州市高考数学综合测试试卷（二）（二模）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）若复数是实数，则实数m＝（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
2．（5分）下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的是（　　）
A． B．y＝|x|﹣x2 C．y＝|x|﹣1 D．
3．（5分）某种包装的大米质量ξ（单位：kg）服从正态分布ξ～N（10，σ2），根据检测结果可知P（9.98≤ξ≤10.02）＝0.98，某公司购买该种包装的大米2000袋，则大米质量在10.02kg以上的袋数大约为（　　）
A．10 B．20 C．30 D．40
4．（5分）已知数列{an}是等差数列，且a2+a5+a8＝π，则tan（a1+a9）＝（　　）
A． B． C． D．
5．（5分）如果函数f（x）＝sin（2x+φ）的图像关于点（﹣，0）对称，则|φ|的最小值是（　　）
A． B． C． D．
6．（5分）甲、乙、丙、丁四支足球队进行单循环比赛（每两个球队都要进行一场），每场比赛的计分方法是：胜者得3分，负者得0分，平局两队各得1分．全部比赛结束后，四队的得分为：甲6分，乙5分，丙4分，丁1分，则（　　）
A．甲胜乙 B．乙胜丙 C．乙平丁 D．丙平丁
7．（5分）已知抛物线C1：y2＝4x，圆C2：（x﹣2）2+y2＝2，直线l：y＝k（x﹣1）与C1交于A，B两点，与C2交于M，N两点，若|AB|＝8，则|MN|＝（　　）
A． B． C． D．
8．（5分）已知a＞0且a≠1，若集合M＝{x|x2＜x}，N＝{x|x2＜logax}，且N⊆M，则实数a的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
（多选）9．（5分）抛掷两枚质地均匀的骰子，记“第一枚骰子出现的点数小于3”为事件A，“第二枚骰子出现的点数不小于3”为事件B，则下列结论中正确的是（　　）
A．事件A与事件B互为对立事件
B．事件A与事件B相互独立
C．P（B）＝2P（A）
D．P（A）+P（B）＝1
（多选）10．（5分）如图，圆柱的轴截面ABCD是正方形，E在底面圆周上，AE＝BE，AF⊥DE，F是垂足，G在BD上，DG＝2BG，则下列结论中正确的是（　　）

A．AF⊥BD
B．直线DE与直线AG所成角的余弦值为
C．直线DE与平面ABCD所成角的余弦值为
D．若平面AFG∩平面ABE＝l，则l∥FG
（多选）11．（5分）已知a＞0，b＞0，直线y＝x+a与曲线y＝ex﹣1﹣2b+1相切，则下列不等式成立的是（　　）
A． B． C． D．
（多选）12．（5分）我们常用的数是十进制数，如1079＝1×103+0×102+7×101+9×100，表示十进制的数要用10个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9；而电子计算机用的数是二进制数，只需两个数码0和1．如四位二进制的数1101（2）＝1×23+1×22+0×21+1×20，等于十进制的数13，把m位n进制中的最大数记为M（m，n），其中m，n∈N*，n≥2，M（m，n）为十进制的数，则下列结论中正确的是（　　）
A．M（5，2）＝31
B．M（4，2）＝M（2，4）
C．M（n+2，n+1）＜M（n+1，n+2）
D．M（n+2，n+1）＞M（n+1，n+2）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）已知是两个单位向量，，且，则＝　 　．
14．（5分）写出一个同时满足下列性质①②③的双曲线方程 　 　．
①中心在原点，焦点在y轴上；
②一条渐近线方程为y＝2x；
③焦距大于10．
15．（5分）函数f（x）＝sinπx﹣ln|2x﹣3|的所有零点之和为 　 　．
16．（5分）在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2，AD＝CD＝CB＝1，将△ACD沿AC折起，连接BD，得到三棱锥D﹣ABC，则三棱锥D﹣ABC体积的最大值为 　 　，此时该三棱锥的外接球的表面积为 　 　．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）问题：已知n∈N*，数列{an}的前n项和为Sn，是否存在数列{an}，满足S1＝1，an+1≥1+an，______？若存在，求通项公式an；若不存在，说明理由．
在①an+1＝2（+）；②an＝Sn﹣1+n（n≥2）；③an+1＝2an+n﹣1这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．
18．（12分）某校为全面加强和改进学校体育工作，推进学校体育评价改革，建立了日常参与，体质监测和专项运动技能测试相结合的考查机制．在一次专项运动技能测试中，该校随机抽取60名学生作为样本进行耐力跑测试，这60名学生的测试成绩等级及频数如下表．
成绩等级　
优　
良　
合格　
不合格　
频数　
　7
　11
41　
1　
（1）从这60名学生中随机抽取2名学生，这2名学生中耐力跑测试成绩等级为优或良的人数记为X，求P（X＝1）；
（2）将样本频率视为概率，从该校的学生中随机抽取3名学生参加野外拉练活动，耐力跑测试成绩等级为优或良的学生能完成该活动，合格或不合格的学生不能完成该活动，能完成活动的每名学生得100分，不能完成活动的每名学生得0分．这3名学生所得总分记为Y，求Y的数学期望．
19．（12分）在平面四边形ABCD中，∠A＝90°，∠D＝60°，AC＝6，CD＝3．
（1）求△ACD的面积；
（2）若cos∠ACB＝，求AB+BC的值．
20．（12分）如图，已知四边形ABCD是边长为2的菱形，∠ABC＝60°，EF∥AC，AC＝2EF，平面AEFC⊥平面ABCD，AE＝AB．
（1）求证：平面BED⊥平面AEFC；
（2）若AE⊥AC，求二面角A﹣CF﹣D的余弦值．

21．（12分）已知椭圆的离心率为，短轴长为4．
（1）求C的方程；
（2）过点P（﹣3，0）作两条相互垂直的直线l1和l2，直线l1与C相交于两个不同点A，B，在线段AB上取点Q，满足，直线l2交y轴于点R，求△PQR面积的最小值．
22．（12分）已知函数f（x）＝2xlnx﹣x2﹣mx+1．
（1）若m＝0，求f（x）的单调区间；
（2）若m＜0，0＜b＜a，证明：．

2022年广东省广州市高考数学综合测试试卷（二）（二模）
参考答案与试题解析
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）若复数是实数，则实数m＝（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【分析】根据已知条件，结合实数的定义，以及复数的运算法则，即可求解．
【解答】解：∵＝＝为实数，
∴＝0，解得m＝﹣1．
故选：A．
【点评】本题主要考查实数的定义，以及复数的运算法则，属于基础题．
2．（5分）下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的是（　　）
A． B．y＝|x|﹣x2 C．y＝|x|﹣1 D．
【分析】由常见函数的奇偶性和单调性可得结论．
【解答】解：由y＝（）|x|为偶函数，在（0，+∞）上y＝（）x为单调递减函数，故A错误；
y＝|x|﹣x2为偶函数，在（0，）内递增，在（，+∞）内递减，故B错误；
y＝|x|﹣1为偶函数，在（0，+∞）内递增，故C正确；
f（x）＝x﹣的定义域为{x|x≠0}，且f（﹣x）＝﹣f（x），则f（x）为奇函数，故D错误．
故选：C．
【点评】本题考查函数的奇偶性和单调性的判断，考查推理能力，属于基础题．
3．（5分）某种包装的大米质量ξ（单位：kg）服从正态分布ξ～N（10，σ2），根据检测结果可知P（9.98≤ξ≤10.02）＝0.98，某公司购买该种包装的大米2000袋，则大米质量在10.02kg以上的袋数大约为（　　）
A．10 B．20 C．30 D．40
【分析】根据已知条件，结合正态分布的对称性，以及频率与频数的关系，即可求解．
【解答】解：∵大米质量ξ（单位：kg）服从正态分布ξ～N（10，σ2），P（9.98≤ξ≤10.02）＝0.98，
∴P（ξ＞10.02）＝＝0.01，
某公司购买该种包装的大米2000袋，
则大米质量在10.02kg以上的袋数大约为2000×0.01＝20．
故选：B．
【点评】本题主要考查正态分布的对称性，以及频率与频数的关系，属于基础题．
4．（5分）已知数列{an}是等差数列，且a2+a5+a8＝π，则tan（a1+a9）＝（　　）
A． B． C． D．
【分析】由已知结合等差数列的性质求出a5，再结合等差数列的性质及特殊角的三角函数值求解．
【解答】解：因为数列{an}是等差数列，且a2+a5+a8＝3a5＝π，
所以a5＝，所以tan（a1+a9）＝tan2a5＝﹣．
故选：D．
【点评】本题主要考查了等差数列的性质，属于基础题．
5．（5分）如果函数f（x）＝sin（2x+φ）的图像关于点（﹣，0）对称，则|φ|的最小值是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据三角函数的对称性，代值计算即可．
【解答】解：根据题意，，即，解得，
当k＝﹣1时，|φ|取得最小值．
故选：B．
【点评】本题考查了三角函数的对称中心，属于基础题．
6．（5分）甲、乙、丙、丁四支足球队进行单循环比赛（每两个球队都要进行一场），每场比赛的计分方法是：胜者得3分，负者得0分，平局两队各得1分．全部比赛结束后，四队的得分为：甲6分，乙5分，丙4分，丁1分，则（　　）
A．甲胜乙 B．乙胜丙 C．乙平丁 D．丙平丁
【分析】甲、乙、丙、丁四支足球队总比赛场次6场，总得分16分，由比赛计分规则可得出在6场比赛中有2场比赛是平局，丁在3场比赛有1场是平局，丙在3场比赛中有1场是平局，乙在3场比赛中有2局是平局，由此能求出结果．
【解答】解：甲、乙、丙、丁四支足球队部比赛场次6场，总得分为6+5+4+1＝16分，
由比赛计分规则：胜者得3分，负者得0分，平局两队各得1分，
∴在6场比赛中有2场比赛是平局，即3×4+2×2＝16，
丁得1分，即1+0+0＝1，∴丁在3场比赛中有1场是平局，
丙得4分，即3+1+0＝4，∴丙在3场比赛中有1场是平局，
而乙得5分，即3+1+1＝5，∴乙在3场比赛中有2局是平局，∴乙可能平丙，乙可得平丁．
故选：C．
【点评】本题考查命题真假的判断，考查简单的合理推等基础知识，考查推理论证能力，是基础题．
7．（5分）已知抛物线C1：y2＝4x，圆C2：（x﹣2）2+y2＝2，直线l：y＝k（x﹣1）与C1交于A，B两点，与C2交于M，N两点，若|AB|＝8，则|MN|＝（　　）
A． B． C． D．
【分析】联立直线方程和抛物线方程，设A（x1，y1），B（x2，y2），根据抛物线焦点弦长公式x1+x2+p和韦达定理可求出k，根据圆的弦长公式即可求|MN|．
【解答】解：由得，k2x2﹣（2k2+4）x+k2＝0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
∵Δ＞0，∴，
∵直线l：y＝k（x﹣1）过抛物线的焦点（1，0），
∴|AB|＝x1+x2+2＝8，
∴x1+x2＝6，∴，解得k＝±1，
由圆关于x轴对称可知，k＝1和k＝﹣1时|MN|相同，
故不妨取k＝1，直线l为y＝x﹣1，即x﹣y﹣1＝0，
圆心（2，1）到的距离，
∴，
故选：B．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，抛物线的定义和焦点弦长问题，属于中档题．
8．（5分）已知a＞0且a≠1，若集合M＝{x|x2＜x}，N＝{x|x2＜logax}，且N⊆M，则实数a的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】求出集合M，再由给定条件，对集合N分类讨论，构造函数，利用导数探讨函数最小值求解作答．
【解答】解：依题意，M＝{x|x（x﹣1）＜0}＝{x|0＜x＜1}，N＝{x|x2﹣logax＜0}，令f（x）＝x2﹣logax，
当0＜a＜1时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，而f（1）＝1＞0，f（a）＝a2﹣1＜0，则x0∈（a，1），使得f（x0）＝0，
当0＜x＜x0时，f（x）＜0，当x＞x0时，f（x）＞0，此时N＝{x|0＜x＜x0}⊆M，因此，0＜a＜1，
当a＞1时，若0＜x≤1，logax≤0，则f（x）＞0恒成立，N＝∅，满足N⊆M，
于是当a＞1时，N⊆M，当且仅当N＝∅，即不等式f（x）≥0对∀x∈（0，+∞）成立，
，由f′（x）＝0得，当时，f′（x）＜0，当时，f′（x）＞0，
则函数f（x）在上单调递减，在上单调递增，
，于是得，
即1+ln（2lna）≥0，变形得，解得，从而得当时，f（x）≥0恒成立，N＝∅，满足N⊆M，
所以实数a的取值范围是0＜a＜1或．
故选：D．
【点评】本题考查利用导数求函数的最值，考查学生的运算能力，属于中档题．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
（多选）9．（5分）抛掷两枚质地均匀的骰子，记“第一枚骰子出现的点数小于3”为事件A，“第二枚骰子出现的点数不小于3”为事件B，则下列结论中正确的是（　　）
A．事件A与事件B互为对立事件
B．事件A与事件B相互独立
C．P（B）＝2P（A）
D．P（A）+P（B）＝1
【分析】利用互斥事件和对立事件的定义进行判定即可．
【解答】A．第一枚骰子出现的点数小于3，第二枚骰子出现的点数也可能小于3，
即事件A与事件B可能同时发生，所以事件A与事件B不互斥，
所以事件A与事件B不对立，所以A不正确；
B．无论第一枚骰子出现的点数是否小于3，对第二枚骰子出现的点数不小于3的概率没有影响，
即事件A的发生与否对事件B发生的概率没有影响，所以事件A与事件B相互独立，所以B正确；
C．由题知，，所以P（B）＝2P（A），所以C正确；
D．由题知，，所以，所以D正确．
故选：BCD．
【点评】本题考查互斥事件和对立事件的定义，考查学生的分析能力，属于中档题．
（多选）10．（5分）如图，圆柱的轴截面ABCD是正方形，E在底面圆周上，AE＝BE，AF⊥DE，F是垂足，G在BD上，DG＝2BG，则下列结论中正确的是（　　）

A．AF⊥BD
B．直线DE与直线AG所成角的余弦值为
C．直线DE与平面ABCD所成角的余弦值为
D．若平面AFG∩平面ABE＝l，则l∥FG
【分析】选项A：由线面垂直的判定定理，以及线面垂直的性质定理得出；选项B：平移法找出异面直线所成角，构造三角形，求解三角形可得；选项C：找出线面垂直，作出线面角，再求解三角形可得；选项D：运用线面平行的判定定理，以及线面平行的性质定理可得．
【解答】解：对于A：由圆柱的性质得：DA⊥面AEB，∵EB⊂面AEB，∴DA⊥EB，
又AB是下底面圆的直径∴AE⊥EB，
又∵AD∩AE＝A，DA⊂面DAE，AE⊂面DAE，
∴EB⊥面DAE，又∵AF⊂面DAE∴EB⊥AF，又∵AF⊥DE，
又∵DE⋂EB＝E，DE⊂面DBE，BE⊂面DBE，
∴AF⊥面DBE，又∵DB⊂面DBE∴AF⊥BD，A正确；
对于B：过点G作GH∥DE交EB于点H，如图，

则∠AGH就是直线DE与直线AG所成角（或补角），
设AE＝BE＝1，则，
在Rt△AED中，，
∵GH∥DE，DG＝2BG，∴，
在等腰 Rt△ABD中，BD＝2，又∵DG＝2BG∴，
在△ABG中，，，
∴AG2＝GB2+AB2﹣2GB⋅AB⋅cos∠ABG，
即：，
在Rt△AEH中，AE＝1，，，
∴，
在△AGH中，AG2+GH2＝AH2，
∴，B错误；
对于C：取AB的中点O，连接DO，EO，如图所示，

则：EO⊥AB，∵DA⊥面AEB，又∵EO⊂面AEB∴DA⊥EO，
又∵DA⋂AB＝A，DA⊂面DAB，AB⊂面DAB，
∴EO⊥面DAB，
∴∠EDO就是直线DE与平面ABCD所成角，
又∵∴，
∴，C错误；
对于D：在Rt△AED中，，，，
∴FG∥EB，又EB⊂面AEB，FG⊄面AEB，
∴FG∥面AEB，
又∵平面AFG∩平面ABE＝l，FG⊂面AFG，
∴FG∥l，D正确．
故选：AD．
【点评】本题主要考查线面角的计算，异面直线所成的角的计算，空间中的垂直关系，空间中的平行关系等知识，属于中等题．
（多选）11．（5分）已知a＞0，b＞0，直线y＝x+a与曲线y＝ex﹣1﹣2b+1相切，则下列不等式成立的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】设切点为（m，n），求得曲线对应函数的导数，可得切线的斜率，由切线方程，可得m，n的方程，化简可得a+2b＝1，运用基本不等式，以及三角代换可分别计算每个选项的范围可判断ABCD的正确性．
【解答】解：设切点为（m，n），由y＝ex﹣1﹣2b+1的导数为y′＝ex﹣1，直线y＝x+a与曲线y＝ex﹣b相切，
可得em﹣1＝1，∴m＝1，n＝e1﹣1﹣2b+1＝2﹣2b，2﹣2b＝1+a，∴a+2b＝1，
∴2≤1，∴ab≤，当且仅当a＝2b＝时取等号，故A正确；
，+＝（+）（2b+a）＝2+2++≥4+2＝8．当且仅当＝，即a＝2b＝时取等号，故B错误；
设a＝cos2α，2b＝sin2α，不妨取α∈（0，），故+＝cosα+sinα＝sin（α+θ）≤，其中tanθ＝，故C正确．
由a+2b＝1，可得a+b＝1﹣b＜1（0＜b＜），故3＜3a+b＜31＝3，即＜3a+b＜3，故D错误．
故选：AC．
【点评】本题考查函数在某点处的切线方程，以及基本不等式的运用，属中档题．
（多选）12．（5分）我们常用的数是十进制数，如1079＝1×103+0×102+7×101+9×100，表示十进制的数要用10个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9；而电子计算机用的数是二进制数，只需两个数码0和1．如四位二进制的数1101（2）＝1×23+1×22+0×21+1×20，等于十进制的数13，把m位n进制中的最大数记为M（m，n），其中m，n∈N*，n≥2，M（m，n）为十进制的数，则下列结论中正确的是（　　）
A．M（5，2）＝31
B．M（4，2）＝M（2，4）
C．M（n+2，n+1）＜M（n+1，n+2）
D．M（n+2，n+1）＞M（n+1，n+2）
【分析】根据问题背景的介绍，可以得到m位n进制中的最大数的书写方法，进而得到选项中最大数的式子，再进行大小比较即可．
【解答】解：对于A：M（5，2）即是：，A正确；
对于B：M（4，2）即是：，
M（2，4）即是：，B正确；
对于C、D：
n∈N*，n≥2，M（n+2，n+1）即是：

＝n[（n+1）n+1+（n+1）n+（n+1）n﹣1+⋯+（n+1）1+（n+1）0]
＝，
n∈N*，n≥2，M（n+1，n+2）即是：
（n+1）（n+1）（n+1）⋯（n+1）（n+2）
＝（n+1）（n+2）n+（n+1）（n+2）n﹣1+（n+1）（n+2）n﹣2+⋯+（n+1）（n+2）1+（n+1）（n+2）0
＝（n+1）[（n+2）n+（n+2）n﹣1+（n+2）n﹣2+⋯+（n+2）1+（n+2）0]
＝，
构造函数：，求导得：
，
∴x∈（0，e），f′（x）＞0，f（x）单调递增，
x∈（e，+∞），f′（x）＜0，f（x）单调递减，
∵n∈N*，n≥2∴e＜n+1＜n+2，
∴f（n+1）＞f（n+2）代入得：，
即是：（n+1）n+2＞（n+2）n+1，
∴（n+1）n+2﹣1＞（n+2）n+1﹣1，
∴M（n+2，n+1）＞M（n+1，n+2），D正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查背景知识的从特殊到一般的转化过程，对获取信息从而抽象成数学问题的能力有一定的要求，随后需要用数列求和得出需要的结果，再从构造函数的角度考查了导数在函数中的应用，运用函数的性质进行大小比较，对学生来说是一个挑战，属难题．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）已知是两个单位向量，，且，则＝　　．
【分析】根据给定条件，结合垂直关系的向量表示求出，再利用数量积的运算律计算作答．
【解答】解：是两个单位向量，，且，
则，
解得，
所以．
故答案为：．
【点评】本题考查了向量垂直和数量积的计算，属于基础题．
14．（5分）写出一个同时满足下列性质①②③的双曲线方程 　﹣＝1（答案不唯一）　．
①中心在原点，焦点在y轴上；
②一条渐近线方程为y＝2x；
③焦距大于10．
【分析】根据①设出双曲线方程，根据②求出a与b的关系式，根据③对c进行赋值，进而联立解方程求出双曲线方程，答案不唯一．
【解答】解：由①中心在原点，焦点在y轴上，可设双曲线方程为﹣＝1（a＞0，b＞0），
②一条渐近线方程为y＝2x，知＝2，即a＝2b，
③焦距大于10，知2c＞10，c＞5，
可取c＝6，由a2+b2＝c2，可得a2＝，b2＝，
可得同时满足下列性质①②③的双曲线方程为﹣＝1，
故答案为：﹣＝1（答案不唯一）．
【点评】本题考查双曲线的几何性质，属基础题．
15．（5分）函数f（x）＝sinπx﹣ln|2x﹣3|的所有零点之和为 　9　．
【分析】根据给定条件，构造函数y＝sinπx，y＝ln|2x﹣3|，作出这两个函数的部分图像，确定两个图像的交点个数，再结合函数图像的对称性即可求解．
【解答】解：由f（x）＝0得sinπx＝ln|2x﹣3|，令y＝sinπx，y＝ln|2x﹣3|，
显然y＝sinπx与y＝ln|2x﹣3|的图像都关于直线x＝对称，
在同一坐标系内作出函数y＝sinπx，y＝ln|2x﹣3|的图像，如图，
由于ln（2×）＝﹣ln2＞sin＝﹣，
所以，观察图像可知，函数y＝sinπx，y＝ln|2x﹣3|的图像有6个公共点，其横坐标依次为x1，x2，x3，x4，x5，x6，
这6个点两两关于直线x＝对称，所以x1+x6＝x2+x5＝x3+x4＝3，
所以x1+x2+x3+x4+x5+x6＝9，
即函数f（x）＝sinπx﹣ln|2x﹣3|的所有零点之和为9，
故答案为：9．

【点评】本题主要考查了函数的零点与方程根的关系，考查了数形结合的数学思想，属于中档题．
16．（5分）在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2，AD＝CD＝CB＝1，将△ACD沿AC折起，连接BD，得到三棱锥D﹣ABC，则三棱锥D﹣ABC体积的最大值为 　　，此时该三棱锥的外接球的表面积为 　5π　．
【分析】注意到三棱锥D﹣ABC体积最大时，平面ACD⊥平面ABC，可知以B为顶点时，BC为三棱锥的高，然后利用正余弦定理可得各棱长可得体积；利用球心到平面ACD的距离、△ACD外接圆半径和球的半径满足勾股定理可得球半径，然后可得表面积．
【解答】解：过点C作CE⊥AB，垂足为E，

∵ABCD为等腰梯形，AB＝2，CD＝1，
∴，∴，
由余弦定理得，即，
∵AB2＝BC2+AC2，
∴BC⊥AC，
易知，当平面ACD⊥平面ABC时，三棱锥D﹣ABC体积最大，
此时，BC⊥平面ACD，
易知，，
∴，
∴；
记O为外接球球心，半径为R，
∵BC⊥平面ACD，OB＝OC，
∴O到平面ACD的距蓠，
又△ACD的外接圆半径，
∴，
∴S＝4πR2＝5π，

故答案为：．

【点评】本题考查了三棱锥体积的最大值和外接球的表面积，属于中档题．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）问题：已知n∈N*，数列{an}的前n项和为Sn，是否存在数列{an}，满足S1＝1，an+1≥1+an，______？若存在，求通项公式an；若不存在，说明理由．
在①an+1＝2（+）；②an＝Sn﹣1+n（n≥2）；③an+1＝2an+n﹣1这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．
【分析】选①：利用an与Sn的关系得到关于Sn的递推公式，再由递推公式求Sn，然后可得通项an；选②：利用an与Sn的关系得到递推公式，然后构造等比数列可求通项；选③：根据递推公式构造等比数列可解．
【解答】解：选①：，
∵S1＝a1＝1，an+1﹣an≥1，
∴，
∴，即 是以 2 为公差，1为首项的等差数列，
∴，即∴，
当 n≥2 时，，
显然，n＝1 时，上式不成立，所以 ，
选②：当 n≥2 时，an＝Sn﹣1+n，即 Sn﹣1＝an﹣n，
所以 an＝Sn﹣Sn﹣1＝an+1﹣（n+1）﹣（an﹣n），
整理得 an+1+1＝2（an+1），
又 a2＝S1+2＝3，a2+1＝4，
所以 {an+1} 从第二项起，是以 2 为公比，4 为首项的等比数列，
∴当 n≥2 时，，即 ，
显然，n＝1 时，上式成立，所以 ，
选③：∵an+1＝2an+n﹣1，
∴an+1+n+1＝2（an+n），
又 a1+1＝2，
∴{an+n} 是以 2 为公比和首项的等比数列，
∴，即∴．
【点评】本题考查数列的递推公式，考查学生的运算能力，属于中档题．
18．（12分）某校为全面加强和改进学校体育工作，推进学校体育评价改革，建立了日常参与，体质监测和专项运动技能测试相结合的考查机制．在一次专项运动技能测试中，该校随机抽取60名学生作为样本进行耐力跑测试，这60名学生的测试成绩等级及频数如下表．
成绩等级　
优　
良　
合格　
不合格　
频数　
　7
　11
41　
1　
（1）从这60名学生中随机抽取2名学生，这2名学生中耐力跑测试成绩等级为优或良的人数记为X，求P（X＝1）；
（2）将样本频率视为概率，从该校的学生中随机抽取3名学生参加野外拉练活动，耐力跑测试成绩等级为优或良的学生能完成该活动，合格或不合格的学生不能完成该活动，能完成活动的每名学生得100分，不能完成活动的每名学生得0分．这3名学生所得总分记为Y，求Y的数学期望．
【分析】（1）由题意，直接求 2 名学生中耐力跑测试成绩等级为优或良的概率即可，
（2）先求出Y可能的取值，再求分布列与期望即可．
【解答】解：（1）P（X＝1）＝＝，
（2）由题意得Y可能的取值为0，100，200，300，
P（Y＝0）＝＝，
P（Y＝100）＝＝，
P（Y＝200）＝＝，
P（Y＝300）＝＝，
所以Y的分布列为：
Y
0
100
200
300
P




E（Y）＝0×+100×+200×+300×＝90．
【点评】本题考查离散型随机变量的分布列与期望，考查学生的运算能力，属于中档题．
19．（12分）在平面四边形ABCD中，∠A＝90°，∠D＝60°，AC＝6，CD＝3．
（1）求△ACD的面积；
（2）若cos∠ACB＝，求AB+BC的值．
【分析】（1）在△ACD中利用余弦定理可得：AC2＝CD2+AD2﹣2AD•CDcosD可求AD，从而可求△ACD的面积；
（2）在△ACD中，由正弦定理可求sin∠CAD＝，从而可求sin∠ACB，sin∠BAC，sinB，在△ACB中，由正弦定理可求AB，BC，可求结论．
【解答】解：（1）在△ACD中，由余弦定理可得：AC2＝CD2+AD2﹣2AD•CDcosD，
∴36＝27+AD2﹣3AD，∴AD2﹣3AD﹣9＝0，解得AD＝，
又AD＞0，∴AD＝，
∴△ACD的面积为AD•CDsinD＝；
（2）在△ACD中，由正弦定理得＝，
∴sin∠CAD＝，平面四边形ABCD中，∠A＝90°，
∴cos∠BAC＝，sin∠BAC＝，
由cos∠ACB＝，得sin∠ACB＝，
sinB＝sin（∠ACB+∠BAC）＝sin∠ACBcos∠BAC+cos∠ACBsin∠BAC＝，
在△ACB中，由正弦定理有＝＝＝，
∴AB＝×＝5，BC＝××＝3，
∴AB+BC＝5+3＝8．

【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和数形结合思想，属于中档题．
20．（12分）如图，已知四边形ABCD是边长为2的菱形，∠ABC＝60°，EF∥AC，AC＝2EF，平面AEFC⊥平面ABCD，AE＝AB．
（1）求证：平面BED⊥平面AEFC；
（2）若AE⊥AC，求二面角A﹣CF﹣D的余弦值．

【分析】（1）根据面面垂直的性质和判定可得证；
（2）设AC与BD相交于点O，连接FO，以点O为坐标原点建立空间直角坐标系，利用面面角的空间向量求解方法可得答案．
【解答】证明：（1）菱形ABCD中，BD⊥AC，
又平面AEFC⊥平面ABCD，平面AEFC∩平面ABCD＝AC，
所以BD⊥平面AEFC，又BD在平面BED内，
所以平面BED⊥平面AEFC；
解：（2）因为平面AEFC⊥平面ABCD，AE⊥AC，
平面AEFC∩平面ABCD＝AC，所以AE⊥平面ABCD，
设AC与BD相交于点O，连接FO，
因为EF∥AC，AC＝2EF，
所以EF∥AO，AO＝EF，所以四边形AOEF为平行四边形，
所以OF∥EA，所以OF⊥平面ABCD，
菱形ABCD中，∠ABC＝60°，所以△ABC是正三角形，
则，
以点O为坐标原点建立空间直角坐标系如下图所示，

则，
则，
设平面ACF的法向量为＝（1，0，0），
设平面DCF的法向量为＝（x，y，z），
则，令，则，
所以，
又由图示得二面角A﹣CF﹣D为锐角，
所以二面角A﹣CF﹣D的余弦值为．
【点评】本题考查了面面垂直的证明和二面角的计算，属于中档题．
21．（12分）已知椭圆的离心率为，短轴长为4．
（1）求C的方程；
（2）过点P（﹣3，0）作两条相互垂直的直线l1和l2，直线l1与C相交于两个不同点A，B，在线段AB上取点Q，满足，直线l2交y轴于点R，求△PQR面积的最小值．
【分析】（1）由题可得，即得；
（2）由题可设l1的方程为x＝ty﹣3，利用韦达定理法可得，进而可得，然后利用面积公式及基本不等式即求．
【解答】解：（1）由题可得，
∴，
∴椭圆C的方程为；
（2）由题可知直线l1的斜率存在且不为0，设直线l1的方程为x＝ty﹣3，
A（x1，y1），B（x2，y2），Q（x0，y0），
由可得（t2+2）y2﹣6ty+1＝0，
由Δ＝36t2﹣4（t2+2）＝32t2﹣8＞0，可得，或，
∴，
由及P，A，Q，B四点共线，知，
∴，
则，
∵l1和l2相互垂直，则l2的方程为，令x＝0，得y＝﹣3t，
∴R（0，﹣3t），，
∴△PQR面积为，
当且仅当，即等号成立，
所以△PQR面积的最小值为1．
【点评】本题主要考查椭圆方程的求解，直线与圆锥曲线的位置关系，韦达定理及其应用，圆锥曲线中的最值与范围问题等知识，属于中等题．
22．（12分）已知函数f（x）＝2xlnx﹣x2﹣mx+1．
（1）若m＝0，求f（x）的单调区间；
（2）若m＜0，0＜b＜a，证明：．
【分析】（1）求函数f（x）的导函数f'（x），令h（x）＝f'（x），求出h'（x）＝﹣2＝，并判断其正负，进而得出f'（x）的正负，从而判断f（x）的单调性；
（2）将所证明问题转化为2ln＜﹣﹣m，令x＝，则问题转化为2xlnx﹣x2+1+mx＜0（x＞1），根据（1）f（x）的单调性即可证明．
【解答】解：（1）因为函数f（x）的定义域为（0，+∞），
因为m＝0，所以f（x）＝2xlnx﹣x2+1，
f'（x）＝2lnx+2﹣2x，
令h（x）＝f'（x），则h'（x）＝﹣2＝，
当0＜x＜1时，h'（x）＞0，f'（x）在（0，1）上单调递增；
当x＞1时，h'（x）＜0，f'（x）在（1，+∞）上单调递减；
所以f'（x）≤f'（1）＝0，
所以函数f（x）的单调递减区间为（0，++∞），无单调递增区间．
证明：（2）要证明：，
需证明：2ln＜﹣m，
即证明：2ln＜﹣﹣m．
令x＝，则由a＞b＞0得：x＞1，
故只需要证明2lnx＜x﹣﹣m，
即证明：2xlnx﹣x2+1+mx＜0（x＞1）．
由（1）可知：g（x）＝2xlnx﹣x2+1在区间（0，+∞）上单调递减，
所以当x＞1时，g（x）＜g（1）＝0，即2xlnx﹣x2+1＜0．
由于m＜0，x＞1，则mx＜0，
所以2xlnx﹣x2+1+mx＜0成立，
所以．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性、利用导数证明不等式，考查学生的逻辑思维能力和运算能力，属中档题．
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