2022年上海市奉贤区高考数学二模试卷

这是一份2022年上海市奉贤区高考数学二模试卷，共20页。试卷主要包含了填空题，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022年上海市奉贤区高考数学二模试卷
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）
1．（4分）已知z1＝1+i，z2＝2+3i（其中i为虚数单位），则z1+＝　 　．
2．（4分）已知集合A＝{1，2，3}，B＝{3，4，5}，则A∪B＝　 　．
3．（4分）在（x+）n的二项展开式中，第四项是常数项，则该常数项为 　 　．
4．（4分）若关于x，y的方程组有唯一解，则实数a满足的条件是 　 　．
5．（4分）抛物线y2＝2px（p＞0）上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，则p＝　 　．
6．（4分）满足线性约束条件的目标函数z＝x+y的最大值是　 　．
7．（5分）若一个圆锥的主视图（如图所示）是边长为3，3，2的三角形，则该圆锥的表面积是 　 　．

8．（5分）已知α∈{﹣2，﹣1，﹣，，1，2，3}，若幂函数f（x）＝xα为奇函数，且在（0，+∞）上递减，则f（x）的反函数f﹣1（x）＝　 　．
9．（5分）已知数列{an}的通项公式为，则＝　 　．
10．（5分）已知三角形的三边分别是5，7，8，则该三角形的内切圆的半径是 　 　．
11．（5分）设项数为4的数列{an}满足：ai∈{﹣1，0，1}，i∈{1，2，3，4}且对任意1≤k＜l≤4，k∈N，l∈N，都有|ak+ak+1+⋯+al|≤1，则这样的数列{an}共有 　 　个．
12．（5分）构造一个二元二次方程组，使得它的解恰好为，，要求f（x，y）＝0与g（x，y）＝0的每个方程均要出现x，y两个未知数．答：　 　．
二、选择题（本大题满分20分，共4题，每题5分）
13．（5分）在△ABC中，三个内角A，B，C所对应的边分别是a，b，c．已知α：sinA＞sinB，β：a＞b，则α是β的（　　）．
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
14．（5分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点E，F分别是棱A1C1，BC的中点，则下列结论中不正确的是（　　）

A．CC1∥平面A1ABB1 B．AF∥平面A1B1C1
C．EF∥平面A1ABB1 D．AE∥平面B1BCC1
15．（5分）已知a，b，c，d成等比数列，则下列三个数列：①a+b，b+c，c+d；②ab，bc，cd；③a﹣b，b﹣c，c﹣d中，必成等比数列的个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
16．（5分）已知平面向量，，，满足||＝4，，则当与的夹角最大时，|﹣|的值为（　　）
A．4 B．2 C． D．1
三、解答题（本大题满分76分）
17．（14分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，AB＝1，，四棱锥P﹣ABCD的体积为，M为BC的中点．
（1）求异面直线AM与PB所成的角；
（2）求直线PM与平面PBD所成的角．

18．（14分）已知数列{an}和{bn}，其中，n∈N*，数列{an+bn}的前n项和为Sn．
（1）若an＝2n，求Sn；
（2）若{bn}是各项为正的等比数列，Sn＝3n，求数列{an}和{bn}的通项公式．
19．（14分）如图，某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的两个顶点A、B及CD的中点P处．AB＝20km，BC＝10km．为了处理这三家工厂的污水，现要在该矩形区域内（含边界）且与A、B等距的一点O处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道AO，BO，PO．记铺设管道的总长度为ykm．
（1）设∠BAO＝θ（弧度），将y表示成θ的函数并求函数的定义域；
（2）假设铺设的污水管道总长度是，请确定污水处理厂的位置．

20．（16分）椭圆x2+4y2＝68上有两点A（8，yA）和T（xT，﹣4），yA＞0，xT＜0．点A关于椭圆中心O的对称点为点B，点P（t，﹣2t）在椭圆内部，t≠0．F1是椭圆的左焦点，F2是椭圆的右焦点．
（1）若点P在直线AT上，求点P坐标；
（2）是否存在一个点P，满足，若满足求出点P坐标，若不存在请说明理由；
（3）设△AOP的面积为S1，△BTP的面积为S2，求的取值范围．
21．（18分）对于函数y＝f（x），如果对于定义域D中任意给定的实数x，存在非负实数a，使得f（x）+f（a﹣x）≥f（a）恒成立，称函数y＝f（x）具有性质P（a）．
（1）判别函数m（x）＝x3，x∈（0，2）和n（x）＝|x|，x∈R是否具有性质P（2），请说明理由；
（2）函数g（x）＝2x﹣2﹣x，x∈R，若函数y＝g（x）具有性质P（a），求a满足的条件；
（3）若函数h（x）的定义域为一切实数，h（x）的值域为[2，+∞），存在常数a0且h（x）具有性质P（a0），判别τ（x）＝lgh（x）是否具有性质P（a0），请说明理由．

2022年上海市奉贤区高考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）
1．（4分）已知z1＝1+i，z2＝2+3i（其中i为虚数单位），则z1+＝　3﹣2i　．
【分析】由已知利用复数的基本概念及加法运算求解．
【解答】解：∵z1＝1+i，z2＝2+3i，
∴z1+＝1+i+2﹣3i＝3﹣2i．
故答案为：3﹣2i．
【点评】本题考查复数的基本运算，考查复数的概念，是基础题．
2．（4分）已知集合A＝{1，2，3}，B＝{3，4，5}，则A∪B＝　{1，2，3，4，5}　．
【分析】由已知直接利用并集运算得答案．
【解答】解：∵A＝{1，2，3}，B＝{3，4，5}，
∴A∪B＝{1，2，3}∪{3，4，5}＝{1，2，3，4，5}．
故答案为：{1，2，3，4，5}．
【点评】本题考查并集及其运算，是基础题．
3．（4分）在（x+）n的二项展开式中，第四项是常数项，则该常数项为 　160　．
【分析】先求出二项式的通项，根据第四项是常数项求出n的值，进而求出常数项．
【解答】解：二项式（x+）n的通项为Tr+1＝＝，
∵第四项是常数项，即r＝3时为常数项，∴n﹣6＝0，
∴n＝6，
∴该常数项为＝20×8＝160，
故答案为：160．
【点评】本题主要考查了二项展开式的通项，属于基础题．
4．（4分）若关于x，y的方程组有唯一解，则实数a满足的条件是 　{a|a≠6}　．
【分析】由题给方程组有唯一解，可得方程（a﹣6）y+6＝0有唯一解，进而得到实数a满足的条件．
【解答】解：由，可得（a﹣6）y+6＝0，
由关于x，y程组有唯一解，
可得方程（a﹣6）y+6＝0有唯一解，则a≠6．
故答案为：{a|a≠6}．
【点评】本题考查了二元一次方程组解的情况，属于易做题．
5．（4分）抛物线y2＝2px（p＞0）上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，则p＝　2　．
【分析】利用抛物线的顶点到焦点的距离最小，即可得出结论．
【解答】解：因为抛物线y2＝2px（p＞0）上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，
所以＝1，
所以p＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查抛物线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础．
6．（4分）满足线性约束条件的目标函数z＝x+y的最大值是　2　．
【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出直线z＝x+y过点B（1，1）时，z最大值即可．
【解答】解：先根据约束条件画出可行域，
当直线z＝x+y过点B（1，1）时，z最大值为2．
故答案为：2．

【点评】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．
7．（5分）若一个圆锥的主视图（如图所示）是边长为3，3，2的三角形，则该圆锥的表面积是 　4π　．

【分析】根据圆锥的主视图是边长为3，3，2的三角形，得到圆锥的母线长是3，底面直径是2，代入圆锥的侧面积公式，结合底面积，进而得到结果．
【解答】解：圆锥的主视图是边长为3，3，2的三角形圆锥的母线长是3，底面直径是2，所以半径是1，
圆锥的侧面积是πrl＝3π，底面积是πr2＝π，
故该圆锥的表面积是4π．
故答案为：4π．
【点评】本题考查由三视图求表面积，考查圆锥的三视图，这是比较特殊的一个图形，它的主视图与侧视图相同，本题是一个基础题．
8．（5分）已知α∈{﹣2，﹣1，﹣，，1，2，3}，若幂函数f（x）＝xα为奇函数，且在（0，+∞）上递减，则f（x）的反函数f﹣1（x）＝　　．
【分析】先利用幂函数的性质求出α的值，再利用反函数的定义求出即可．
【解答】解：∵α∈{﹣2，﹣1，﹣，，1，2，3}，
幂函数f（x）＝xα为奇函数，且在（0，+∞）上递减，
∴α是奇数，且α＜0，
∴α＝﹣1，∴f（x）＝，
∴f（x）的反函数f﹣1（x）＝．
故答案为：．
【点评】本题考查幂函数的性质，反函数的定义，是基础题．
9．（5分）已知数列{an}的通项公式为，则＝　　．
【分析】利用等比数列的求和公式，结合极限，即可得出结论．
【解答】解：＝＝，
故答案为：．
【点评】本题考查等比数列的求和公式，考查极限方法，属于中档题．
10．（5分）已知三角形的三边分别是5，7，8，则该三角形的内切圆的半径是 　　．
【分析】利用余弦定理求出cosC，根据同角三角函数的基本关系即可求出sinC，根据面积公式及等面积法求出内切圆的半径．
【解答】解：设△ABC中a＝5、b＝7、c＝8，
由余弦定理可得c2＝a2+b2﹣2abcosC，即82＝52+72﹣2×5×7cosC，
所以，则，
所以，
设△ABC的内切圆的半径为r，则，即，
解得；
故答案为：．
【点评】本题考查余弦定理，考查学生的运算能力，属于中档题．
11．（5分）设项数为4的数列{an}满足：ai∈{﹣1，0，1}，i∈{1，2，3，4}且对任意1≤k＜l≤4，k∈N，l∈N，都有|ak+ak+1+⋯+al|≤1，则这样的数列{an}共有 　31　个．
【分析】根据|a1+a2+a3+a4|≤1列举出所有可能的{an}}数列，再结合|a1+a2|≤1、|a1+a2+a3|≤1、|a2+a3|≤1、|a2+a3+a4|≤1．|a3+a4|≤1同时成立，排除不满足条件的{an}，即可得答案．
【解答】解：当 k＝1，l＝4 时，|a1+a2+a3+a4|≤1，
所以{a1，a2，a3，a4}可能情况如下：
1、{一个1，三个0}：{1，0，0，0}，{0，1，0，0}、{0，0，1，0}，{0，0，0，1}，4个；
2、{两个1，一个﹣1和0}：{1，1，﹣1，0}，{1，1，0，﹣1}，{1，0，1，﹣1}，{1，﹣1，1，0}，{1，0，﹣1，1}，{1，﹣1，0，1}，
{0，﹣1，1，1}，{﹣1，0，1，1}，{﹣1，1，0，1}，{0，1，﹣1，1}，{0，1，1，﹣1}，{﹣1，1，1，0}，12个；
3、{一个﹣1，三个0}：{﹣1，0，0，0}、{0，﹣1，0，0}、{0，0，﹣1，0}、{0，0，0，﹣1}，4个；
4、{两个﹣1，一个1和0}：{﹣1，﹣1，1，0}、{﹣1，﹣1，0，1}、{﹣1，0，﹣1，1}、{﹣1，1，﹣1，0}、{﹣1，0，1，﹣1}，
{﹣1，1，0，﹣1}，{0，1，﹣1，﹣1}，{1，0，﹣1，﹣1}，{1，﹣1，0，﹣1}，{0，﹣1，1，﹣1}，{0，﹣1，﹣1，1}，{1，﹣1，﹣1，0}12个；
5、{四个0}：{0，0，0，0}1个；
6、{两个﹣1，两个1}：{﹣1，﹣1，1，1}、{﹣1，1，﹣1，1}、{﹣1，1，1，﹣1}、{1，﹣1，﹣1，1}、{1，﹣1，1，﹣1}、{1，1，﹣1，﹣1}，6个；
7、{两个0，一个1和﹣1}：{﹣1，1，0，0}、{﹣1，0，1，0}、{﹣1，0，0，1}、{0，﹣1，1，0}，{0，﹣1，0，1}，{0，0，﹣1，1}，
{1，﹣1，0，0}，{1，0，﹣1，0}、{1，0，0，﹣1}，{0，1，﹣1，0}、{0，1，0，﹣1}，{0，0，1，﹣1}，12个；
综上，数列{an}共有51个．
当k＝1，l＝2时，|a1+a2|≤1，
当k＝1，l＝3时，|a1+a2+a3|≤1，
当k＝2，l＝3时，|a2+a3|≤1，
当k＝2，l＝4时，|a2+a3+a4|≤1，
当k＝3，l＝4时，|a3+a4|≤1，
所以{1，1，﹣1，0}、{1，1，0，﹣1}、{1，0，1，﹣1}、{0，﹣1，1，1}、{﹣1，0，1，1}、{﹣1，1，0，1}、
{0，1，1，﹣1}、{﹣1，1，1，0}、{﹣1，﹣1，1，0}，{﹣1，﹣1，0，1}，{﹣1，0，﹣1，1}，{0，1，﹣1，﹣1}、
{1，0，﹣1，﹣1}，{1，﹣1，0，﹣1}，{0，﹣1，﹣1，1}、{1，﹣1，﹣1，0}、{﹣1，﹣1，1，1}、{﹣1，1，1，﹣1}、{1，﹣1，﹣1，1}、{1，1，﹣1，﹣1}，20个不满足；
综上，满足要求的数列{an}有31个．
故答案为：31．
【点评】本题考查数列的应用，考查学生的运算能力，属于难题．
12．（5分）构造一个二元二次方程组，使得它的解恰好为，，要求f（x，y）＝0与g（x，y）＝0的每个方程均要出现x，y两个未知数．答：　　．
【分析】不妨令f（x，y）＝0为过（1，2）、（3，﹣4）两点的直线，g（x，y）＝0为以（1，2）、（3，﹣4）两点为直径的圆，即可满足题意．
【解答】解：过（1，2）、（3，﹣4）两点的直线为＝，整理得3x+y﹣5＝0，
又因为（1，2）、（3，﹣4）两点间距离为＝2，
（1，2）、（3，﹣4）两点的中点坐标为（2，﹣1），
则以（1，2）、（3，﹣4）两点为直径的圆为（x﹣2）2+（y+1）2＝10，
则可令f（x，y）＝0为3x+y﹣5＝0，g（x，y）＝0为（x﹣2）2+（y+1）2＝10，
故答案为：．
【点评】本题属于开放型问题，考查了学生的理解、分析问题能力，也考查了转化思想，属于中档题．
二、选择题（本大题满分20分，共4题，每题5分）
13．（5分）在△ABC中，三个内角A，B，C所对应的边分别是a，b，c．已知α：sinA＞sinB，β：a＞b，则α是β的（　　）．
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
【分析】根据已知条件，结合正弦定理，即可求解．
【解答】解：∵sinA＞sinB，
∴由正弦定理可得，，即a＞b，
同理可得，当a＞b时，sinA＞sinB，
故α是β的充要条件．
故选：C．
【点评】本题主要考查正弦定理的应用，属于基础题．
14．（5分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点E，F分别是棱A1C1，BC的中点，则下列结论中不正确的是（　　）

A．CC1∥平面A1ABB1 B．AF∥平面A1B1C1
C．EF∥平面A1ABB1 D．AE∥平面B1BCC1
【分析】利用线面平行的判定定理逐项判断即可．
【解答】解：在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，可得CC1∥AA1，AA1⊂平面A1ABB1，CC1⊄平面A1ABB1，∴CC1∥平面A1ABB1，故A正确；
AF⊂平面ABC，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，可得平面ABC∥平面A1B1C1，所以AF∥平面A1B1C1，故B正确；
取A1B1中点N，又E是A1C1中点，所以NE∥C1B1，且NE＝C1B1，
又F是棱BC的中点，所以BF＝C1B1，AF∥C1B1∴BF∥NE，BF＝NE，
所以四边形BFEN是平行四边形，所以EF∥BN，BN⊂平面A1ABB1，EF⊄平面A1ABB1，∴EF∥平面A1ABB1，故C正确；
因为EC1∥AC，但EC1≠AC，所以AE与CC1相交，从而有AE不平行于平面B1BCC1，故D错误．
故选：D．

【点评】本题考查线面平行的判定定理，属基础题．
15．（5分）已知a，b，c，d成等比数列，则下列三个数列：①a+b，b+c，c+d；②ab，bc，cd；③a﹣b，b﹣c，c﹣d中，必成等比数列的个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】根据题意，当已知条件的等比数列公比为﹣1时，①中的三个数不能成等比数列；而公比为1时②中的三个数不能成等比数列；而②中的三个数利用等比数列的定义加以证明，可得必定成等比数列．由此可得本题答案．
【解答】解：对于①，当a，b，c，d成公比等于﹣1的等比数列时，
a+b、b+c、c+d都是0，不能构成等比数列；
对于②，由于＝＝＝q（公比），
所以＝q2，且＝q2，
可得＝q2，得ab，bc，cd成等比数列；
对于③，当a，b，c，d成公比等于1的等比数列时，
a﹣b、b﹣c、c﹣d都是0，不能构成等比数列
综上所述，只有②中的三项能成等比数列，
故选：B．
【点评】本题给出四个数成等比数列，求由它们生成的数列是否能成等比．着重考查了等比数列的通项与性质、及其应用的知识，属于中档题．
16．（5分）已知平面向量，，，满足||＝4，，则当与的夹角最大时，|﹣|的值为（　　）
A．4 B．2 C． D．1
【分析】以O为原点建立平面坐标系，设，根据向量的数量积的运算公式，分别求得向量m，的终点所表示的轨迹方程，进而根据圆的性质，即可求解．
【解答】解：设的起点均为O，以O为原点建立平面坐标系，如图所示，

不妨设，则，
由可得x2+y2﹣4x+1＝0，即（x﹣2）2+y2＝3，
∴的终点M在以（2，0）为圆心，以为半径的圆上，
同理的终点N在以（2，0）为圆心，以为半径的圆上．
显然当OM，ON为圆的两条切线时，∠MON最大，即与的夹角最大．
设圆心为A，则，∴，则，
∴∠MOA＝60°，
设MN与x轴交于点B，由对称性可知MN⊥x轴，且MN＝2MB，
∴，
即当与的夹角最大时，，
故选：C．

【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查学生的运算能力，属于中档题．
三、解答题（本大题满分76分）
17．（14分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，AB＝1，，四棱锥P﹣ABCD的体积为，M为BC的中点．
（1）求异面直线AM与PB所成的角；
（2）求直线PM与平面PBD所成的角．

【分析】（1）利用四棱锥P﹣ABCD的体积为，可求得PD＝2，以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法可求异面直线AM与PB所成的角；
（2）利用（1）建立的坐标系，求得平面PBD的一个法向量与直线PM的方向向量，可求直线PM与平面PBD所成的角．
【解答】解：（1）由四棱锥P﹣ABCD的体积为，得SABCD•PD＝，
∴×AD•AB•PD＝，∴××1×PD＝，∴PD＝1，

以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A（，0，0），M（，0，0），P（0，0，1），B（，1，0）
∴＝（﹣，0，0），＝（，1，﹣1），
∴cos＜，＞＝＝＝﹣，
∴异面直线AM与PB所成的角为45°；
（2）由（1）知D（0，0，0），
＝（0，0，1），＝（，1，0），
设平面PBD的一个法向量为＝（x，y，z），
则，令x＝1，则y＝﹣，z＝0，
∴平面PBD的一个法向量为＝（1，﹣，0），
又＝（，0，﹣1），
设直线PM与平面PBD所成为θ，
∴sinθ＝＝＝．
∴直线PM与平面PBD所成的角为arcsin．
【点评】本题考查线线角的求法，以及线面角的求法，属中档题．
18．（14分）已知数列{an}和{bn}，其中，n∈N*，数列{an+bn}的前n项和为Sn．
（1）若an＝2n，求Sn；
（2）若{bn}是各项为正的等比数列，Sn＝3n，求数列{an}和{bn}的通项公式．
【分析】（1）先判定数列{an}和{bn}分别为等差和等比数列，进而分别得到其通项公式，从而利用分组求和的方法得到数列{an+bn}的前n项和Sn．
（2）利用数列{an+bn}的前n项和Sn＝3n列出方程组，解之即可求得a1、d、b1、q，进而求得数列{an}和{bn}的通项公式．
【解答】解：（1）当n≥2时，an﹣an﹣1＝2n﹣2（n﹣1）＝2，从而{an}是等差数列，an＝2n，
＝＝＝4，所以{bn}是等比数列，
又b1＝＝22＝4，则＝4n，
所以Sn＝＝．
（2）{bn}是各项为正的等比数列，设其首项为b1，公比为q，
由，可得an＝log2bn，则an+1﹣an＝log2bn+1﹣log2bn＝log2q，（定值）
则数列{an}为等差数列，设其首项为a1，公差为d，
由数列{an+bn}的前n项和Sn＝3n，
可得方程组，整理得，
解得：＝0，∵b1≠0，q≠0，∴q＝1则d＝0，
由＝3，可得a1＝1，则b1＝2，
则数列{an}的通项公式为an＝1；数列{bn}的通项公式为bn＝2．
【点评】本题考查数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；会根据数列的递推公式求出数列的通项公式，是难题．
19．（14分）如图，某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的两个顶点A、B及CD的中点P处．AB＝20km，BC＝10km．为了处理这三家工厂的污水，现要在该矩形区域内（含边界）且与A、B等距的一点O处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道AO，BO，PO．记铺设管道的总长度为ykm．
（1）设∠BAO＝θ（弧度），将y表示成θ的函数并求函数的定义域；
（2）假设铺设的污水管道总长度是，请确定污水处理厂的位置．

【分析】（1）依据题给条件，先分别求得OA、OB、OP的表达式，进而得到管道总长度y的表达式，再去求其定义域即可解决；
（2）先解方程，求得，再去确定污水处理厂的位置．
【解答】解：（1）矩形ABCD中，AB＝20km，BC＝10km，
DP＝PC，DC⊥PO，∠BAO＝∠ABO＝θ，
则，
∴，
则；
（2）令，
∴，∴，则，
又，即，则，则，
此时，
所以确定污水处理厂的位置是在线段AB的中垂线上且离AB的距离是．
【点评】本题考查函数的实际应用，考查学生的运算能力，属于中档题．
20．（16分）椭圆x2+4y2＝68上有两点A（8，yA）和T（xT，﹣4），yA＞0，xT＜0．点A关于椭圆中心O的对称点为点B，点P（t，﹣2t）在椭圆内部，t≠0．F1是椭圆的左焦点，F2是椭圆的右焦点．
（1）若点P在直线AT上，求点P坐标；
（2）是否存在一个点P，满足，若满足求出点P坐标，若不存在请说明理由；
（3）设△AOP的面积为S1，△BTP的面积为S2，求的取值范围．
【分析】（1）先求得A、T两点坐标，进而可得直线AT的方程，将点坐标代入该方程，解之即可求得点P坐标；
（2）假设存在符合条件的点P，列方程去求点P坐标，再以点P（t，﹣2t）（t≠0）在椭圆内部去判别是否存在；
（3）先求得的表达式f（t），再去求f（t）的值域，进而求得的取值范围．
【解答】解：（1）由点A（8，yA）和T（xT，﹣4），yA＞0，xT＜0在椭圆x2+4y2＝68上，
可得A（8，1），T（﹣2，﹣4），则直线AT方程为y＝x﹣3，
又点P（t，﹣2t）t≠0在直线AT上，
则﹣2t＝t﹣3，解之得t＝，则P（，﹣）；
（2）椭圆x2+4y2＝68的两焦点F1（﹣，0），F2（（，0）；
假设存在一个点P，满足，
则点P一定在双曲线﹣＝1（x≤﹣）的左半支上，
由a2+b2＝51，可得﹣＝1（x≤﹣），
又P（t，﹣2t）（t≠0），则﹣＝1，解得t＝±2，
又因为点P在椭圆内部，所以t2+4（﹣2t）2＜68，得t∈（﹣2，0）∪（0，2），
所以满足条件的点P不存在；
（3）两点A（8，1）、（﹣8，﹣1）和T（﹣2，﹣4）在椭圆x2+4y2＝68上，
点P（t，﹣2t）（t≠0）在椭圆内部，t∈（﹣2，0）∪（0，2），
则直线OA的方程为x﹣8y＝0，
点P（t，﹣2t）到直线OA的距离d＝＝，
则S△AOP＝S1＝•|OA|•d＝××＝|t|，
同理直线BT的方程为x+2y+10＝0，
点P（t，﹣2t）到直线BT的距离d′＝＝，
则S△BTP＝S2＝•|BT|•d'＝×3×＝＝，
令f（t）＝＝，t∈（﹣2，0）∪（0，2），
则f（t）＝＝，
由0＜t＜2，可得，﹣9＞6，0＜＜，即0＜＜，
由﹣2＜t＜0，可得＜﹣15，﹣9＜﹣24，﹣＜＜0，即0＜﹣＜，
综上，f（t）的取值范围为（0，），
则的取值范围为（0，）．
【点评】本题考查了直线与椭圆、双曲线的综合应用及利用函数思想求值域，综合性较强，计算量也较大，属于难题．
21．（18分）对于函数y＝f（x），如果对于定义域D中任意给定的实数x，存在非负实数a，使得f（x）+f（a﹣x）≥f（a）恒成立，称函数y＝f（x）具有性质P（a）．
（1）判别函数m（x）＝x3，x∈（0，2）和n（x）＝|x|，x∈R是否具有性质P（2），请说明理由；
（2）函数g（x）＝2x﹣2﹣x，x∈R，若函数y＝g（x）具有性质P（a），求a满足的条件；
（3）若函数h（x）的定义域为一切实数，h（x）的值域为[2，+∞），存在常数a0且h（x）具有性质P（a0），判别τ（x）＝lgh（x）是否具有性质P（a0），请说明理由．
【分析】（1）由性质P（a）的定义，结合作差法判断函数是否具有性质P（2）即可；
（2）根据已知条件有对任意x∈R恒成立，讨论a＝0、a＞0判断不等式是否恒成立，即可得参数范围；
（3）由h（x）的性质可得h（x）h（a0﹣x）≥h（a0﹣x）+h（x）≥h（a0）＞0，再根据对数函数的单调性及性质P（a）定义判断τ（x）＝lgh（x）是否具有性质P（a0）．
【解答】解：（1）∵m（x）+m（2﹣x）﹣m（2）＝x3+（2﹣x）3﹣8＝6x2﹣12x，x∈（0，2）
所以6x2﹣12x＜0，则m（x）+m（2﹣x）＜m（2），故m（x）＝x3，x∈（0，2）不具有性质P（2）；
∵n（x）+n（2﹣x）＝|x|+|2﹣x|≥2，
∴n（x）+n（2﹣x）≥n（2）恒成立，故n（x）＝|x|，x∈R具有性质P（2）．
（2）由g（x）＝2x﹣2﹣x，则g（x）+g（a﹣x）﹣g（a）＝2x﹣2﹣x+2a﹣x﹣2﹣（a﹣x）﹣（2a﹣2﹣a）≥0，
对任意x∈R恒成立，
显然a＝0时，上式不等式成立；
a＞0时2a﹣1＞0，则（2x）2﹣2x（2a+1）+2a＝（2x﹣1）（2x﹣2a）≥0，对任意x∈R不恒成立，舍去；
综上，a＝0．
（3）因为h（x）具有性质P（a0），所以h（x）+h（a0﹣x）≥h（a0），
因为函数的值域为[2，+∞），所以h（x）≥2，h（a0﹣x）≥2，
则，
∴h（x）h（a0﹣x）≥h（a0﹣x）+h（x），
∴h（x）h（a0﹣x）≥h（a0﹣x）+h（x）≥h（a0）＞0．
∵τ（x）+τ（a0﹣x）＝lgh（x）+lgha0﹣x）
∴lgh（x）+lgh（a0﹣x）＝lgh（x）h（a0﹣x）≥lg[h（x）+h（a0﹣x）]≥lgh（a0），
所以τ（x）+τ（a0﹣x）≥τ（a0），即τ（x）＝lgh（x）具有性质P（a0）．
【点评】本题考查函数的恒成立问题，考查学生的运算能力，属于难题．
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