2022年上海市闵行区高考数学二模试卷

这是一份2022年上海市闵行区高考数学二模试卷，共21页。

2022年上海市闵行区高考数学二模试卷
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.
1．（4分）设全集U＝{x|x3﹣x＝0}，集合A＝{0，1}，则∁UA＝　 　．
2．（4分）不等式2x﹣5＜0的解集为 　 　．
3．（4分）若为纯虚数（i为虚数单位），则实数m＝　 　．
4．（4分）已知的反函数y＝f﹣1（x）的零点为2，则实数a的值为 　 　．
5．（4分）某学校志愿者协会有高一年级120人，高二年级100人，高三年级20人，现用分层抽样的方法从中抽取一个容量为n的样本，若从高二年级100人中抽取的人数为10，则n＝　 　．
6．（4分）已知一个圆柱的高不变，它的体积扩大为原来的4倍，则它的侧面积扩大为原来的 　 　倍．
7．（5分）若函数的图像向右平移φ个单位后是一个奇函数的图像，则正数φ的最小值为 　 　．
8．（5分）若数列{an}满足，且an存在，则an＝　 　．
9．（5分）核酸检测是疫情防控的一项重要举措．某相邻两个居民小区均计划在下月的1日至7日这七天时间内，随机选择其中的连续三天做核酸检测，则这两个居民小区至少有一天同时做核酸检测的概率为 　 　．
10．（5分）已知函数的定义域为R，且对任意实数a，都满足f（a）≥f（﹣a），则实数m＝　 　．
11．（5分）已知双曲线的实轴为A1A2，对于实轴A1A2上的任意点P，在实轴A1A2上都存在点Q，使得，则双曲线Γ的两条渐近线夹角的最大值为 　 　．
12．（5分）已知无穷等比数列{an}的各项均为正整数，且，则满足条件的不同数列{an}的个数为 　 　．
二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置，将代个正确选项的小方格涂黑.
13．（5分）参数方程（其中t∈R）表示的曲线为（　　）
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
14．（5分）“角α，β的终边关于y轴对称”是“cosα+cosβ＝0”的（　　）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条许 D．既不充分也不必要各件
15．（5分）已知A、B、C是平面内不共线的三点，点O满足为实常数，现有下述两个命题：（1）当λ≠﹣3时，满足条件的点O存在且是唯一的；（2）当λ＝﹣3时，满足条件的点O不存在．则说法正确的一项是（　　）
A．命题（1）和（2）均为真命题
B．命题（1）为真命题，命题（2）为假命题
C．命题（1）和（2）均为假命题
D．命题（1）为假命题，命题（2）为真命题
16．（5分）已知直线与圆x2+y2＝100有公共点，且公共点的横、纵坐标均为整数，则满足的l有（　　）
A．40条 B．46条 C．52条 D．54条
三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
17．（14分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面为菱形，PD⊥平面ABCD，∠BAD＝60°，E为棱BC的中点．
（1）求证：ED⊥平面PAD；
（2）若PD＝AD＝2，求点D到平面PBC的距离．

18．（14分）已知{an}是公差为d的等差数列，前n项和为Sn，a1，a2，a3，a4的平均值为4，a5，a6，a7，a8的平均值为12．
（1）求证：；
（2）是否存在实数t，使得对任意n∈N*恒成立，若存在，求出t的取值范围，若不存在，请说明理由．
19．（14分）某学校举办毕业联欢晚会，舞台上方设计了三处光源．如图，△ABC是边长为6的等边三角形，边BC的中点M处为固定光源，E、F分别为边AB、AC上的移动光源，且ME始终垂直于MF，三处光源把舞台照射出五彩缤纷的若干区域．
（1）当F为边AC的中点时，求线段EF的长度；
（2）求△EFM的面积的最小值．

20．（16分）已知点F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，直线l：y＝kx+t与椭圆Γ有且仅有一个公共点，直线F1M⊥l，F2N⊥l，垂足分别为点M、N．（1）求证：t2＝2k2+1；
（2）求证：为定值，并求出该定值；
（3）求的最大值．

21．（18分）对于定义域为R的函数y＝f（x），若存在实数a使得f（x+a）+f（x）＝2对任意x∈R恒成立，则称函数y＝f（x）具有P（a）性质．
（1）判断函数与f2（x）＝1+sinx是否具有P（a）性质，若具有P（a）性质，请写出一个a的值，若不具有P（a）性质，请说明理由；
（2）若函数y＝f（x）具有P（2）性质，且当x∈[0，2]时，f（x）＝|x﹣1|，解不等式；
（3）已知函数y＝f（x），对任意x∈R，f（x+1）＝f（x）恒成立，若由“y＝f（x）具有性质”能推出“f（x）恒等于1”，求正整数n的取值的集合．

2022年上海市闵行区高考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.
1．（4分）设全集U＝{x|x3﹣x＝0}，集合A＝{0，1}，则∁UA＝　{﹣1}　．
【分析】求解一元三次方程化简U，再由补集的概念得答案．
【解答】解：全集U＝{x|x3﹣x＝0}＝{﹣1，0，1}，集合A＝{0，1}，
则∁UA＝{﹣1}．
故答案为：{﹣1}．
【点评】本题考查补集及其运算，考查方程的解法，是基础题．
2．（4分）不等式2x﹣5＜0的解集为 　（﹣∞，log25）　．
【分析】根据题意，y＝2x在R上单调递增，求解即可．
【解答】解：2x﹣5＜0，
2x＜5，y＝2x在R上单调递增，
∴x＜log25．
故答案为：（﹣∞，log25）．
【点评】本题考查指数不等式的解法，属于基础题．
3．（4分）若为纯虚数（i为虚数单位），则实数m＝　﹣1　．
【分析】根据已知条件，结合纯虚数的概念，以及复数的四则运算，即可求解．
【解答】解：＝＝为纯虚数，
则，解得m＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了纯虚数的概念，以及复数代数形式的乘法运算，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．
4．（4分）已知的反函数y＝f﹣1（x）的零点为2，则实数a的值为 　4　．
【分析】根据反函数的定义得到关于a的方程，解出即可．
【解答】解：∵的反函数y＝f﹣1（x）的零点为2，
∴（0，2）在f（x）＝上，
∴＝2，解得a＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查了反函数的定义，是基础题．
5．（4分）某学校志愿者协会有高一年级120人，高二年级100人，高三年级20人，现用分层抽样的方法从中抽取一个容量为n的样本，若从高二年级100人中抽取的人数为10，则n＝　24　．
【分析】根据分层抽样的定义建立比例关系即可．
【解答】解：根据分层抽样的定义可得：
，
解得：n＝24．
故答案为：24．
【点评】本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例公式是解决本题的关键．
6．（4分）已知一个圆柱的高不变，它的体积扩大为原来的4倍，则它的侧面积扩大为原来的 　2　倍．
【分析】设这个圆柱原来的高为h，底面圆半径为r，它的体积扩大为原来的4倍后高为h，底面圆半径为R，由圆的体积公式列方程求出R＝2r，由此能求出它的侧面积扩大为原来的2倍．
【解答】解：设这个圆柱原来的高为h，底面圆半径为r，
它的体积扩大为原来的4倍后高为h，底面圆半径为R，
则πR2h＝4πr2h，解得R＝2r，
∴它的侧面积扩大为2πRh＝4πrh，扩大为原来的2倍．
故答案为：2．
【点评】本题考查圆柱的体积、侧面积公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
7．（5分）若函数的图像向右平移φ个单位后是一个奇函数的图像，则正数φ的最小值为 　　．
【分析】由函数图象的平移法则，可得y＝2sin（x﹣φ+），根据正弦函数的对称性即可求解．
【解答】解：将函数＝2sin（x+）的图像向右平移φ个单位后，
得到y＝2sin（x﹣φ+），
因为该函数是一个奇函数，
所以﹣φ+＝kπ，k∈Z，即φ＝﹣kπ，k∈Z，
所以当k＝0时，正数φ取得最小值．
故答案为：．
【点评】本题考查三角函数的图象与性质，熟练掌握函数图象的平移法则，正弦函数的对称性是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
8．（5分）若数列{an}满足，且an存在，则an＝　9　．
【分析】由题设有an﹣﹣6＝0，令x＝有x2﹣x﹣6＝0，解方程即可得结果．
【解答】解：由题意，＝an﹣6≥0，则an﹣﹣6＝0，
又an存在，故an﹣﹣6＝0，
令x＝≥0，则an＝x2，
所以x2﹣x﹣6＝0，得x＝3或x＝﹣2（舍），
所以an＝9．
故答案为：9．
【点评】本题考查行列式和极限的计算，属于基础题．
9．（5分）核酸检测是疫情防控的一项重要举措．某相邻两个居民小区均计划在下月的1日至7日这七天时间内，随机选择其中的连续三天做核酸检测，则这两个居民小区至少有一天同时做核酸检测的概率为 　　．
【分析】利用古典概型公式计算即可．
【解答】解：某相邻两个居民小区均计划在下月的1日至7日这七天时间内，随机选择其中的连续三天做核酸检测，则共有5×5＝25种情况，
这两个居民小区一天也没同时做核酸检测的情况：（123，456），（123，567），（234，567），（456，123），（567，123），（567，234）共计6种．
所以，这两个居民小区至少有一天同时做核酸检测的概率为1﹣＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查古典概型的问题，熟记概率的计算公式即可，属于常考题型．
10．（5分）已知函数的定义域为R，且对任意实数a，都满足f（a）≥f（﹣a），则实数m＝　1　．
【分析】根据条件得到f（a）＝f（﹣a），即f（x）＝log4（4x+m）﹣x为偶函数，根据f（﹣x）＝f（x）列出方程，求出实数m的值．
【解答】解：因为f（x）＝log4（4x+m）﹣x的定义域为R，所以4x+m＞0恒成立，
故m≥0，
又因为对任意实数a，都满足f（a）≥f（﹣a），
则对于实数﹣a，都满足f（﹣a）≥f（a），
所以f（a）＝f（﹣a），
所以f（x）＝log4（4x+m）﹣x为偶函数，
从而log4（4﹣x+m）+x＝log4（4x+m）﹣x，
化简得：（4x﹣1）（m﹣1）＝0，
要想对任意x，上式均成立，则m﹣1＝0，
解得：m＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查函数的奇偶性判断和运用，考查运算能力，运用定义法解题是关键，属于中档题．
11．（5分）已知双曲线的实轴为A1A2，对于实轴A1A2上的任意点P，在实轴A1A2上都存在点Q，使得，则双曲线Γ的两条渐近线夹角的最大值为 　　．
【分析】由已知可得2a≥2b，进而可求其一条渐近线的斜率的范围，从而可求双曲线Γ的两条渐近线夹角的最大值．
【解答】解：对于实轴A1A2上的任意点P，在实轴A1A2上都存在点Q，使得，
可得2a≥2b，∴≤，所以渐近线y＝x的斜率小于等于，
故其倾斜角小于等于，故双曲线Γ的两条渐近线夹角的最大值为．
故答案为：．
【点评】本题考查双曲线的几何性质，属基础题．
12．（5分）已知无穷等比数列{an}的各项均为正整数，且，则满足条件的不同数列{an}的个数为 　13　．
【分析】由题意知a1是正整数，公比q是正整数；化简得a1＝2022﹣，从而可得2022+q是337，337，3，3，2，2部分或全部的积且2022+q＞2022，从而分类讨论求得．
【解答】解：∵无穷等比数列{an}的各项均为正整数，
∴a1是正整数，公比q是正整数；
∵＝＝2022，
∴a1q＝2022（q﹣a1），
∴a1＝＝2022﹣，
∵2022＝337×3×2，
∴20222＝337×337×3×3×2×2，
其中2，3，337为质数；
∵为整数，
∴2022+q是20222的约数；
∴2022+q是337，337，3，3，2，2部分或全部的积；
又∵2022+q＞2022，
①当从337，337，3，3，2，2中取2个数求积时，
2022+q＝337×337；
只有1种情况；
②当从337，337，3，3，2，2中取3个数求积时，
2022+q＝337×3×3，
或2022+q＝337×337×2，
或2022+q＝337×337×3，
共3种情况；
③当从337，337，3，3，2，2中取4个数求积时，
2022+q＝337×3×2×2，
或2022+q＝337×3×3×2，
或2022+q＝337×337×2×2，
或2022+q＝337×337×3×2，
或2022+q＝337×337×3×3；
共5种情况；
④当从337，337，3，3，2，2中取5个数求积时，
2022+q＝337×3×3×2×2，
或2022+q＝337×337×3×2×2，
或2022+q＝337×337×3×3×2，
共3种情况；
⑤当从337，337，3，3，2，2中取6个数求积时，
2022+q＝337×337×3×3×2×2，
只有1种情况；
综上所述，共有1+3+5+3+1＝13种，
故答案为：13．
【点评】本题考查了分类讨论的思想及等比数列的性质应用，属于中档题．
二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置，将代个正确选项的小方格涂黑.
13．（5分）参数方程（其中t∈R）表示的曲线为（　　）
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
【分析】根据已知条件，消去参数t，即可求解．
【解答】解：∵参数方程（其中t∈R），
∴，即y2＝x，
故该参数方程表示的曲线为抛物线．
故选：D．
【点评】本题主要考查参数方程化普通方程，属于基础题．
14．（5分）“角α，β的终边关于y轴对称”是“cosα+cosβ＝0”的（　　）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条许 D．既不充分也不必要各件
【分析】根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可．
【解答】解：设α上终边上一点坐标为（m，n），则对应的β终边上点的坐标为（﹣m，n），
∴cosα＝，cosβ＝＝，则cosα+cosβ＝+＝0；
若β终边上一点的坐标为（﹣m，﹣n），则cosβ＝＝，
cosα+cosβ＝0，而角α，β的终边关于原点对称；
所以角α，β的终边关于y轴对称”是“cosα+cosβ＝0”的充分不必要条件．
故选：B．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．
15．（5分）已知A、B、C是平面内不共线的三点，点O满足为实常数，现有下述两个命题：（1）当λ≠﹣3时，满足条件的点O存在且是唯一的；（2）当λ＝﹣3时，满足条件的点O不存在．则说法正确的一项是（　　）
A．命题（1）和（2）均为真命题
B．命题（1）为真命题，命题（2）为假命题
C．命题（1）和（2）均为假命题
D．命题（1）为假命题，命题（2）为真命题
【分析】直接利用向量的线性运算和共线向量的基本定理的应用判断（1）和（2）命题的真假．
【解答】解：对于（1）：当λ≠﹣3时，由，整理得：；
整理得：，
由于和不共线，
由向量基本定理得：满足条件的点O存在且是唯一的，故（1）为真命题；
对于（2）：当λ＝﹣3时，整理得，
所以，所以和共线；
所以A、B、C三点共线；与A、B、C是平面内不共线的三点出现矛盾，故满足条件的点O不存在，故（2）为真命题；
故选：A．
【点评】本题考查的知识要点：向量的线性运算，平面向量基本定理，向量的共线的充要条件，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
16．（5分）已知直线与圆x2+y2＝100有公共点，且公共点的横、纵坐标均为整数，则满足的l有（　　）
A．40条 B．46条 C．52条 D．54条
【分析】直线是截距式方程，因而不平行坐标轴，不过原点，再由，可得圆心到直线的距离小于等于，即直线所过两点不相邻，求出圆上横坐标和纵坐标均为整数的点的个数，结合排列组合知识分类解答．
【解答】解：直线，可知直线的横、纵截距都不为零，即与坐标轴不垂直，不过坐标原点，
而圆x2+y2＝100上的整数点共有12个，分别为（6，±8），（﹣6，±8），（8，±6），（﹣8，±6），（±10，0），（0，±10），
12个点中过任意两点，构成C122＝66条直线，其中有4条直线垂直x轴，有4条直线垂直y轴，还有6条过原点（圆上点的对称性），故满足题设的直线有52条．
又满足，即，也就是圆心到直线的距离，可知直线所过两点不能相邻，
综上可知满足题设的直线共有52﹣12＝40条，
故选：A．
【点评】本题考查直线的截距式方程，考查组合知识的应用，正确分类是关键，是中档题．
三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
17．（14分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面为菱形，PD⊥平面ABCD，∠BAD＝60°，E为棱BC的中点．
（1）求证：ED⊥平面PAD；
（2）若PD＝AD＝2，求点D到平面PBC的距离．

【分析】（1）连接BD，由线面垂直判定定理即可求证；（2）以D为坐标原点，DA、DE、DP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，代入公式即可求解．
【解答】（1）证明：连接BD，如图，

∵底面ABCD为菱形，∠BAD＝60°，
∴△BCD为等边三角形，
∵E为BC的中点，∴DE⊥BC，
∵AD∥BC，∴DE⊥AD，
∵PD⊥平面ABCD，DE⊂平面ABCD，
∴PD⊥DE，
∵PD∩AD＝D，∴ED⊥平面PAD；
（2）以D为坐标原点，DA、DE、DP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图，

则，，
∴，
设平面PBC的法向量为＝（x，y，z），
则，令y＝2，则，
∴，
又＝（1，，0），
∴点D到平面PBC的距离为：＝＝．
【点评】本题考查了线面垂直的证明和点到平面的距离，属于中档题．
18．（14分）已知{an}是公差为d的等差数列，前n项和为Sn，a1，a2，a3，a4的平均值为4，a5，a6，a7，a8的平均值为12．
（1）求证：；
（2）是否存在实数t，使得对任意n∈N*恒成立，若存在，求出t的取值范围，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由已知结合等差数列的性质先求出公差d，然后结合求和公式可求首项，进而可求；
（2）结合不等式恒成立与最值关系的相互转化思想，结合数列的单调性可求．
【解答】证明：（1）由题意得a1+a2+a3+a4＝16，a5+a6+a7+a8＝a1+a2+a3+a4+16d＝48，
所以d＝2，
所以4a1+6d＝16，
所以a1＝1，
所以Sn＝n+×2＝n2；
解：（2）假设存在满足条件的t满足题意，则|﹣t|＜1，
整理得＜t＜2+对任意正整数n恒成立，
因为0＜≤2，
所以t＞2且2+＞2，
所以t≤2，
故2＜t≤2，显然t不存在．
【点评】本题主要考查了等差数列的性质，求和公式，还考查了由不等式恒成立求参数范围问题，体现了转化思想的应用，属于中档题．
19．（14分）某学校举办毕业联欢晚会，舞台上方设计了三处光源．如图，△ABC是边长为6的等边三角形，边BC的中点M处为固定光源，E、F分别为边AB、AC上的移动光源，且ME始终垂直于MF，三处光源把舞台照射出五彩缤纷的若干区域．
（1）当F为边AC的中点时，求线段EF的长度；
（2）求△EFM的面积的最小值．

【分析】（1）画出符合要求的图形，求出，相乘求出面积；（2）辅助輔助线，设CF＝x，利用三角函数与相似表达出EM，FM，表达出面积，利用判别式法求解最值．
【解答】解：（1）当F为边AC的中点时，
因为M为边BC的中点，
所以MF|AB，且，
而ME始终垂直于MF，
所以ME⊥AB，故，
由勾股定理得：，
即线段EF的长为，

（2）过点E，F分别作EG⊥BC于点G，FH⊥BC于点H，

设CF＝x，则，
，由勾股定理得：，
因为ME⊥MF，所以∠BME+∠CMF＝90°，
因为∠MFH+∠CMF＝90°，所以∠BME＝∠MFH，
所以△EGM∽△MHF，
所以，即，
所以，
因为，
所以，
所以，
所以△EFM的面积为，
整理得：，
∴，
解得：或，
因为y＞0，所以的最小值为，
即面积的最小值为．


【点评】本题考查函数的实际应用，考查学生的运算能力，属于中档题．
20．（16分）已知点F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，直线l：y＝kx+t与椭圆Γ有且仅有一个公共点，直线F1M⊥l，F2N⊥l，垂足分别为点M、N．（1）求证：t2＝2k2+1；
（2）求证：为定值，并求出该定值；
（3）求的最大值．

【分析】（1）直线与椭圆联立后用根的判别式等于0列出方程，求出t2＝2k2+1；
（2）利用点到直线距离公式得到，，结合F1M∥F2N，求出，结合第一问的结论证明出为定值1；
（3）利用向量线性运算及点F1，F2在直线l的同侧得到，结合第二问得到，再用投影向量的知识得出，其中α为的夹角），结合第一问结论得到，利用基本不等式求出最值．
【解答】解：（1）联立：y＝kx+t与，
得：（2k2+1）x2+4ktx+2t2﹣2＝0，由直线与椭圆有一个公共点可知：Δ＝（4kt）2﹣4（2k2+1）（2t2﹣2）＝0，
化简得：t2＝2k2+1；
（2）由题意得：F1（﹣1，0），F2（1，0），
因为F1M⊥l，F2N⊥l，所以F1M∥F2N，故，
其中，
所以，
为定值，该定值为1；
（3），
由题意得：点F1，F2在直线l的同侧，
所以，
，（其中α为的夹角），
由此可知：，
当且仅当即|t|＝1，k＝0时，等号成立，所以的最大值为4．
【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的运算能力，属于中档题．
21．（18分）对于定义域为R的函数y＝f（x），若存在实数a使得f（x+a）+f（x）＝2对任意x∈R恒成立，则称函数y＝f（x）具有P（a）性质．
（1）判断函数与f2（x）＝1+sinx是否具有P（a）性质，若具有P（a）性质，请写出一个a的值，若不具有P（a）性质，请说明理由；
（2）若函数y＝f（x）具有P（2）性质，且当x∈[0，2]时，f（x）＝|x﹣1|，解不等式；
（3）已知函数y＝f（x），对任意x∈R，f（x+1）＝f（x）恒成立，若由“y＝f（x）具有性质”能推出“f（x）恒等于1”，求正整数n的取值的集合．
【分析】（1）根据f1（2+a）+f1（2）≥4可知不具有P（a）性质；当a＝（2k+1）π（k∈Z）时，结合诱导公式可知f2（x+a）+f2（x）＝2，可得f2（x）＝1+sinx具有P（a）性质；
（2）由f（x+2）+f（x）＝2可推导得到f（x）是以4为周期的周期函数；分别在x∈[0，2]和x∈[﹣2，0]的情况下，解不等式，根据周期性可得到结论；
（3）由f（x+1）＝f（x）可知只需研究1≤n≤12（n∈N*）的情况；当n＝2k﹣1（1≤k≤6，k∈N*），n＝2、n＝6和n＝10时，通过反例可知不合题意；当n＝12、n＝8和n＝4时，结合f（x+a）+f（x）＝2可推导得到f（x）＝1，由此可得取值集合．
【解答】解：（1）不具有P（a）性质，理由如下：
对于任意实数，即f1（2+a）+f1（2）≠2，
∴不具有P（a）性质；
f2（x）＝1+sinx具有P（a）性质，
若a＝（2k+1）π（k∈Z），则f2（x+a）+f2（x）＝1+sin（x+（2k+1）π）+1+sinx＝2﹣sinx+sinx＝2，
∴a的一个取值为π（只要满足a＝（2k+1）π（k∈Z）即可）．
（2）由f（x+2）+f（x）＝2得：f（x+4）+f（x+2）＝2，∴f（x+4）＝f（x），
∴f（x）是以4为周期的周期函数；
当x∈[0，2]时，，不等式无解；
当x∈[﹣2，0]时，x+2∈[0，2]，则f（x+2）＝|x+1|，
∴，解得：，
综上所述：当x∈[﹣2，2]时，的解集为，
∴的解集为．
（3）∵f（x+1）＝f（x），∴f（x+k）＝f（x）（k∈Z），则只需研究1≤n≤12（n∈N*）的情况；
①当n＝2k﹣1（1≤k≤6，k∈N*）时，
令且对于任意x∈R恒成立，
此时f（x）满足f（x+1）＝f（x），并具有性质，但f（x）不恒等于1；
②当n＝2时，；当n＝6时，；当n＝10时，；
令且对于任意x∈R恒成立，
此时f（x）满足f（x+1）＝f（x），并具有性质，但f（x）不恒等于1；
③当n＝12时，f（x+1）＝f（x），f（x+1）+f（x）＝2，∴f（x）＝1，满足题意；
④当n＝8时，，∴，
∴，又f（x+1）＝f（x），∴，∴，
则，∴f（x）＝1，满足题意；
⑤当n＝4时，，∴，
∴，又f（x+1）＝f（x），
∴，∴，
则，∴f（x）＝1，满足题意；
综上所述：当1≤n≤12（n∈N*）时，满足题意的n的取值集合为{4，8，12}，
∴满足题意的正整数n的取值的集合为{4+12k，8+12k，12+12k；（k∈N）．
【点评】本题考查函数中的新定义运算问题；解题关键是能够根据已知抽象函数关系式推导得到函数的周期性，考查学生的综合能力，属于难题．
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