2022年上海市浦东新区高考数学二模试卷

这是一份2022年上海市浦东新区高考数学二模试卷，共20页。

2022年上海市浦东新区高考数学二模试卷
一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分．考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分或5分，否则一律得零分．
1．（4分）已知集合A＝{1，3，5}，B＝（2，+∞），则A∩B＝　 　．
2．（4分）复数z满足z（2+i）＝5（i为虚数单位），则|z|＝　 　．
3．（4分）若函数f（x）＝loga（x+1）（a＞0，a≠1）的反函数图像经过点（1，3），则a＝　 　．
4．（4分）直线（t为参数，t∈R）的斜率为 　 　．
5．（4分）首项为1，公比为的无穷等比数列{an}的各项和为 　 　．
6．（4分）的二项展开式中的常数项为 　 　．
7．（5分）已知x、y满足，则z＝y﹣4x的最小值为 　 　．
8．（5分）甲乙两射手独立地射击同一目标，他们的命中率分别为0.8和0.9，则在一次射击中，目标被击中的概率为 　 　．
9．（5分）如果一个圆锥的底面积和侧面积分别为9π和15π，则该圆锥母线与底面所成角的大小为 　 　.（用反三角函数值表示）
10．（5分）已知双曲线的右焦点为F，若双曲线上存在关于原点O对称的两点P、Q使，则b的取值范围为 　 　．
11．（5分）若各项均为正数的有穷数列{yn}满足yi+1≥yi+1，（n≥3，1≤i≤n﹣1，i∈N*，n∈N*），y1+y2+y3+⋯+yn＝2022，则满足不等式yn+n≥M的正整数M的最大值为 　 　．
12．（5分）若函数的最大值为2，则由满足条件的实数a的值组成的集合是 　 　．
二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．
13．（5分）“log2a＞log2b”是“a＞b”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
14．（5分）甲乙两工厂生产某种产品，抽取连续5个月的产品生产产量（单位：件）情况如下：甲：80、70、100、50、90；乙：60、70、80、55、95，则下列说法中正确的是（　　）
A．甲平均产量高，甲产量稳定
B．甲平均产量高，乙产量稳定
C．乙平均产量高，甲产量稳定
D．乙平均产量高，乙产量稳定
15．（5分）将函数f（x）＝sin2x的图像向左平移个单位后，得到函数g（x）的图像，设A，B，C为以上两个函数图像不共线的三个交点，则△ABC的面积不可能为（　　）
A． B． C． D．
16．（5分）已知f（x）＝|x|，g（x）＝x2﹣ax，（a∈R），实数x1、x2满足x1＜x2，设，，现有如下两个结论：
①对于任意的实数a，存在实数x1、x2，使得p＝q；
②存在实数a＞0，对于任意的x1、x2∈（﹣∞，a+1]，都有p＞q；则（　　）
A．①②均正确 B．①②均不正确
C．①正确，②不正确 D．①不正确，②正确
三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．
17．（14分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB＝90°，CA＝CB＝CC1＝2，点D是线段A1B1的中点．
（1）求三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积；
（2）已知P为侧棱BB1的中点，求点P到平面BCD的距离．

18．（14分）已知函数f（x）＝tsinx﹣cosx（t∈R）．
（1）若函数f（x）为偶函数，求实数t的值；
（2）当时，在△ABC中（角A、B、C所对的边分别为a、b、c），若f（2A）＝2，c＝3，且△ABC的面积为，求a的值．
19．（14分）某研究所开发了一种抗病毒新药，用小白鼠进行抗病毒实验．已知小白鼠服用1粒药后，每毫升血液含药量y（微克）随着时间x（小时）变化的函数关系式近似为．当每毫升血液含药量不低于4微克时，该药能起到有效抗病毒的效果．
（1）若小白鼠服用1粒药，多长时间后该药能起到有效抗病毒的效果？
（2）某次实验：先给小白鼠服用1粒药，6小时后再服用1粒，请问这次实验该药能够有效抗病毒的时间为多少小时？
20．（16分）已知F1、F2分别为椭圆E：的左、右焦点，过F1的直线l交椭圆E于A、B两点．
（1）当直线l垂直于x轴时，求弦长|AB|；
（2）当时，求直线l的方程；
（3）记椭圆的右顶点为T，直线AT、BT分别交直线x＝6于C、D两点，求证：以CD为直径的圆恒过定点，并求出定点坐标．
21．（18分）已知数列{xn}．若存在B∈R，使得{|xn﹣B|}为递减数列，则{xn}称为“B型数列”．
（1）是否存在B∈R使得有穷数列为B型数列？若是，写出B的一个值；否则，说明理由；
（2）已知2022项的数列{un}中，（n∈N*，1≤n≤2022）．求使得{un}为B型数列的实数B的取值范围；
（3）已知存在唯一的B∈R，使得无穷数列{an}是B型数列．证明：存在递增的无穷正整数列n1＜n2＜...＜nk＜...，使得为递增数列，为递减数列．

2022年上海市浦东新区高考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分．考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分或5分，否则一律得零分．
1．（4分）已知集合A＝{1，3，5}，B＝（2，+∞），则A∩B＝　{3，5}　．
【分析】直接由交集运算得答案．
【解答】解：∵A＝{1，3，5}，B＝（2，+∞），
∴A∩B＝{1，3，5}∩（2，+∞）＝{3，5}，
故答案为：{3，5}．
【点评】本题考查交集及其运算，是基础题．
2．（4分）复数z满足z（2+i）＝5（i为虚数单位），则|z|＝　　．
【分析】利用复数的运算法则直接求解．
【解答】解：∵复数z满足z（2+i）＝5（i为虚数单位），
∴z＝＝＝2﹣i，
则|z|＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查复数的运算法则、复数的模等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
3．（4分）若函数f（x）＝loga（x+1）（a＞0，a≠1）的反函数图像经过点（1，3），则a＝　4　．
【分析】根据反函数的定义得到关于a的方程，解出即可．
【解答】解：若函数f（x）＝loga（x+1）（a＞0，a≠1）的反函数图像经过点（1，3），
则（3，1）在f（x）＝loga（x+1）上，
则loga4＝1，解得a＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查了反函数的定义，理解反函数的定义是解题的关键，是基础题．
4．（4分）直线（t为参数，t∈R）的斜率为 　﹣1　．
【分析】消去参数t，求得直线l的一般方程，再结合斜率的定义，即可求解．
【解答】解：直线（t为参数，t∈R），
则消去t可得，x+y＝2，即y＝2﹣x，
故直线l的斜率为﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题主要考查直线的参数方程，属于基础题．
5．（4分）首项为1，公比为的无穷等比数列{an}的各项和为 　　．
【分析】结合等比数列的求和公式及性质即可直接求解．
【解答】解：首项为1，公比为的无穷等比数列{an}的各项和为＝＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了等比数列的各项和的求解，属于基础题．
6．（4分）的二项展开式中的常数项为 　﹣160　．
【分析】写出二项展开式的通项，令x的指数为0求解r值，进一步得答案．
【解答】解：的二项展开式的通项为＝，
令6﹣2r＝0，解得r＝3，
∴的二项展开式中的常数项为．
故答案为：﹣160．
【点评】本题考查二项式定理的应用，熟记二项展开式的通项是关键，是基础题．
7．（5分）已知x、y满足，则z＝y﹣4x的最小值为 　﹣12　．
【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．
【解答】解：由约束条件作出可行域如图，

由图可知，A（3，0），
由z＝y﹣4x，得y＝4x+z，由图可知，当直线y＝4x+z过A时，
直线在y轴上的截距最小，z有最小值为﹣12．
故答案为：﹣12．
【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是基础题．
8．（5分）甲乙两射手独立地射击同一目标，他们的命中率分别为0.8和0.9，则在一次射击中，目标被击中的概率为 　0.98　．
【分析】利用相互独立事件概率乘法公式直接求解．
【解答】解：甲乙两射手独立地射击同一目标，他们的命中率分别为0.8和0.9，
则在一次射击中，目标被击中的概率为：
P＝1﹣（1﹣0.8）（1﹣0.9）＝0.98．
故答案为：0.98．
【点评】本题考查概率的运算，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
9．（5分）如果一个圆锥的底面积和侧面积分别为9π和15π，则该圆锥母线与底面所成角的大小为 　　.（用反三角函数值表示）
【分析】圆锥的底面积和侧面积分别为9π和15π，由此求出底面半径与母线的比值，从而能求出该圆锥的母线与底面所成角的大小．
【解答】解：∵圆锥的底面积和侧面积分别为9π和15π，
设底面圆的半径为r，母线长为l，
该圆锥母线与底面所成角为α，
∴＝＝＝，
∴该圆锥母线与底面所成角的余弦值为cos＝，
∴该圆锥母线与底面所成角的大小为arccos．
故答案为：arccos．
【点评】本题考查圆锥的底面积、侧面积公式、圆锥的结构特征等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
10．（5分）已知双曲线的右焦点为F，若双曲线上存在关于原点O对称的两点P、Q使，则b的取值范围为 　[2，+∞）　．
【分析】设P（x0，y0），利用，可得b2＝x02+y02，可求b的取值范围．
【解答】解：设P（x0，y0），则Q（﹣x0，﹣y0），F（c，0），
∴＝（x0﹣c，y0），＝（﹣x0﹣c，﹣y0），
∵，∴（x0﹣c，y0）•（﹣x0﹣c，﹣y0）＝c2﹣x02﹣y02＝4，
又4+b2＝c2，∴4+b2﹣x02﹣y02＝4，∴b2＝x02+y02≥4，
∴b≥2．
故答案为：[2，+∞）．
【点评】本题考查双曲线的几何性质，考查向量的数积的计算，属中档题．
11．（5分）若各项均为正数的有穷数列{yn}满足yi+1≥yi+1，（n≥3，1≤i≤n﹣1，i∈N*，n∈N*），y1+y2+y3+⋯+yn＝2022，则满足不等式yn+n≥M的正整数M的最大值为 　109　．
【分析】根据yi+1≥yi+1，可得yn≥y1+（n﹣1），则有y1+y2+y3+⋯+yn≥y1+（y1+1）+（y1+2）+⋯+[y1+（n﹣1）]，要使不等式vn+n≥M，只要M≤（yn+n）min即可，而yn+n≥y1+（n﹣1）+n，再结合基本不等式即可得出答案．
【解答】解：因为yi+1≥yi+1，
所以v2≥y1+1，
y3≥y2+1≥y1+2，
y4≥y3+1≥y2+2≥y1+3，
⋮
yn≥y1+（n﹣1），
故，
因为v1+y2+y3+⋯+yn＝2022，
所以，
则，
要使不等式yn+n≥M，
只要M≤（yn+n）min即可，
而yn+n≥y1+（n﹣1）+n，
，
因为，
当且仅当，即时，取等号，
又因，
当n＝36时，，
当n＝37时，，
所以，
所以vn+n≥y1+（n﹣1）+n≥109.64，
所以正整数M≤109，
即正整数M的最大值为109．
故答案为：109．
【点评】本题考查数列的应用，考查学生的运算能力，属于中档题．
12．（5分）若函数的最大值为2，则由满足条件的实数a的值组成的集合是 　{2，﹣2}　．
【分析】设＝（x，），＝（，x），由f（x）＝•≤||||，可得|a|＝2，由此可得结果．
【解答】解：设＝（x，），＝（，x），
所以f（x）＝•＝||||cos＜，＞≤||||，
因为||＝＝1，||＝＝|a|，
所以f（x）≤|a|，又f（x）的最大值 为2，
所以|a|＝2，解得a＝±2，
所以实数a的值组成的集合为{2，﹣2}．
故答案为：{2，﹣2}．
【点评】本题主要考查根据函数的最值求参数问题，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．
二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．
13．（5分）“log2a＞log2b”是“a＞b”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】根据对数的定义和对数函数的单调性，结合充分性、必要性的定义进行判断即可．
【解答】解：当log2a＞log2b时，由于函数y＝log2x是正实数集上的增函数，故可得a＞b，
若a＝0，b＝﹣1，显然a＞b，但是log2a，log2b没有意义，所以log2a＞log2b是a＞b的充分不必要条件．
故选：A．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，是基础题．
14．（5分）甲乙两工厂生产某种产品，抽取连续5个月的产品生产产量（单位：件）情况如下：甲：80、70、100、50、90；乙：60、70、80、55、95，则下列说法中正确的是（　　）
A．甲平均产量高，甲产量稳定
B．甲平均产量高，乙产量稳定
C．乙平均产量高，甲产量稳定
D．乙平均产量高，乙产量稳定
【分析】根据已知条件，结合平均数和方差公式，即可求解．
【解答】解：甲的平均数，
方差＝+（100﹣78）2+（50﹣78）2+（90﹣78）2]＝296，
同理可得，乙的平均数，方差，
∵78＞72，296＞206，
∴甲平均产量高，乙产量稳定．
故选：B．
【点评】本题主要考查平均数和方差公式的应用，属于基础题．
15．（5分）将函数f（x）＝sin2x的图像向左平移个单位后，得到函数g（x）的图像，设A，B，C为以上两个函数图像不共线的三个交点，则△ABC的面积不可能为（　　）
A． B． C． D．
【分析】先求得g（x）的解析式，在同一坐标系内作出f（x）、g（x）图像，不妨取x轴正半轴第一个交点为A，第二个交点为B，分别求得当C位于不同位置时△ABC的面积，根据规律分析即可得答案．
【解答】解：由题意得g（x）＝sin[2（x+）]＝sin（2x+）＝cos2x，
在同一坐标系内作出f（x）、g（x）图像，如下图所示：

令sin2x＝cos2x，解得x＝+，k∈Z，
不妨取x轴正半轴第一个交点为A，第二个交点为B，
所以A（，），B（，﹣），
若C点位于C1（，）时，△ABC的面积S＝（﹣）×＝π，故C正确，
当C点位于C2（，﹣）时，△ABC的面积S＝（﹣）×＝π，
当C点位于C3（，）时，△ABC的面积S＝（﹣）×＝，故B正确，
因为|AC3|＝2|AC1|，此时△ABC3为△ABC1面积的2倍，
以此类推，当C位于不同位置时，△ABC的面积应为π的整数倍，故A正确，D错误，
故选：D．
【点评】本题考查了函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换，考查了正弦函数及余弦函数的性质，考查了函数思想，属于中档题．
16．（5分）已知f（x）＝|x|，g（x）＝x2﹣ax，（a∈R），实数x1、x2满足x1＜x2，设，，现有如下两个结论：
①对于任意的实数a，存在实数x1、x2，使得p＝q；
②存在实数a＞0，对于任意的x1、x2∈（﹣∞，a+1]，都有p＞q；则（　　）
A．①②均正确 B．①②均不正确
C．①正确，②不正确 D．①不正确，②正确
【分析】对①，根据的几何意义，判断得出f（x）＝|x|与g（x）＝x2﹣ax一定有两个交点分析即可；
对②，通过化简p＞q，将题意转换为：存在实数a＞0，使得h（x）＝x2﹣ax﹣|x|在（﹣∞，a+1]上为减函数，再分析出当x≥0时函数有增区间，推出矛盾即可．
【解答】解：对①，的几何意义为（x1，f（x1））与（x2，f（x2））两点间的斜率，
同理的几何意义为（x1，g（x1））与（x2，g（x2））两点间的斜率，
数形结合可得，当a＜0时，存在x1＜x2＝0，
当a≥0时，存在0＝x1＜x2，使得f（x1）＝g（x1），f（x2）＝g（x2），即p＝q成立，

即对于任意的实数a，存在实数x1，x2，使得p＝q，故①正确；
对②，若存在实数a＞0，对于任意的x1、x2∈（﹣∞，a+1]，都有p＞q，
即，即f（x1）﹣f（x2）＜g（x1）﹣g（x2），即g（x2）﹣f（x2）＜g（x1）﹣f（x1），
即存在实数a＞0，对于任意的x1，x2∈（﹣∞，a+1]，g（x2）﹣f（x2）＜g（x1）﹣f（x1）恒成立，
设h（x）＝g（x）﹣f（x），则h（x2）＜h（x1），
即h（x）＝g（x）﹣f（x）＝x2﹣ax﹣|x|为减函数，
故原题意可转化为：存在实数a＞0，使得h（x）＝x2﹣ax﹣|x|在（﹣∞，a+1]上为减函数，
因为当x≥0时，h（x）＝x2﹣（a+1）x，h（x）对称轴为，
故当时h（x）一定为增函数，
故不存在实数a＞0，使得h（x）＝x2﹣ax﹣|x|在（﹣∞，a+1]上为减函数，故②错误．
故选：C．
【点评】本题考查了函数的综合应用，属于中档题．
三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．
17．（14分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB＝90°，CA＝CB＝CC1＝2，点D是线段A1B1的中点．
（1）求三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积；
（2）已知P为侧棱BB1的中点，求点P到平面BCD的距离．

【分析】（1）由直三棱柱体积计算公式能求出三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积．
（2）法一：设点P到平面BCD的距离为d，A1到平面BCB1C1的距离为2，由，由此能求出点P到平面BCD的距离．
法二：以C为坐标原点，分别以CB、CA、CC1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点P到平面BCD的距离．
【解答】解：（1）∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB＝90°，CA＝CB＝CC1＝2，
∴三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积．
（2）解法一：设点P到平面BCD的距离为d，
由题知A1C1⊥平面BCB1C1，即A1到平面BCB1C1的距离为2，
∵点D是线段A1B1的中点，
∴D到平面BCB1C1的距离为1．
在△BB1D中，，
在△CC1D中，，
∴，
又S△BCP＝，
又由，
∴点P到平面BCD的距离．
解法二：以C为坐标原点，分别以CB、CA、CC1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，

由已知得B（2，0，0），P（2，0，1），D（1，1，2），
则，，，
设平面BCD的一个法向量是，
由，得，
令，
设点P到平面BCD的距离为d，
∴点P到平面BCD的距离．
【点评】本题考查直三棱锥的体积、线面垂直的判断、点到平面的距离、等体积法、向量法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
18．（14分）已知函数f（x）＝tsinx﹣cosx（t∈R）．
（1）若函数f（x）为偶函数，求实数t的值；
（2）当时，在△ABC中（角A、B、C所对的边分别为a、b、c），若f（2A）＝2，c＝3，且△ABC的面积为，求a的值．
【分析】（1）由题意利用偶函数的定义，任取x∈R，f（﹣x）＝f（x），进而可求t＝0，即可得解．
（2）由题意利用两角差的正弦公式可求，可解得A＝kπ+，k∈Z，结合范围A∈（0，π），可求A的值，利用三角形的面积公式可求b，进而在△ABC中利用余弦定理即可求解a的值．
【解答】解：（1）由题意，D＝R，f（x）＝tsinx﹣cosx，
任取x∈R，f（﹣x）＝﹣tsinx﹣cosx，
由于f（﹣x）＝f（x），可得：t＝0，
所以，函数f（x）为偶函数时t＝0．
（2），
因为f（2A）＝2，
所以则有，可得2A﹣＝2kπ+，k∈Z，解得A＝kπ+，k∈Z，
又A∈（0，π），
所以k＝0时，可得，
由题意＝＝3×，可得，
在△ABC中，可得，
则．
【点评】本题考查了两角差的正弦公式，三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
19．（14分）某研究所开发了一种抗病毒新药，用小白鼠进行抗病毒实验．已知小白鼠服用1粒药后，每毫升血液含药量y（微克）随着时间x（小时）变化的函数关系式近似为．当每毫升血液含药量不低于4微克时，该药能起到有效抗病毒的效果．
（1）若小白鼠服用1粒药，多长时间后该药能起到有效抗病毒的效果？
（2）某次实验：先给小白鼠服用1粒药，6小时后再服用1粒，请问这次实验该药能够有效抗病毒的时间为多少小时？
【分析】（1）设服用1粒，经过x小时能有效抗病毒，联立，求解即可；
（2）设经过x小时能有效抗病毒，即血液含药量须不低于4微克，分3种情况0＜x≤6，6＜x≤12，12＜x≤18讨论即可．
【解答】解：（1）设服用1粒，经过x小时能有效抗病毒，即血液含药量须不低于4微克，可得，解得，
所以小时后该药能起到有效抗病毒的效果．
（2）设经过x小时能有效抗病毒，即血液含药量须不低于4微克；
若0＜x≤6，药物浓度，解得，
若6＜x≤12，药物浓度，解得x2﹣20x+100≥0，所以6＜x≤12；
若12＜x≤18，药物浓度12﹣（x﹣6）≥4，解得x≤14，所以12＜x≤14；
综上，
所以这次实验该药能够有效抗病毒的时间为小时．
【点评】本题考查函数模型的运用，考查学生的计算能力，比较基础．
20．（16分）已知F1、F2分别为椭圆E：的左、右焦点，过F1的直线l交椭圆E于A、B两点．
（1）当直线l垂直于x轴时，求弦长|AB|；
（2）当时，求直线l的方程；
（3）记椭圆的右顶点为T，直线AT、BT分别交直线x＝6于C、D两点，求证：以CD为直径的圆恒过定点，并求出定点坐标．
【分析】（1）将x＝﹣1代入椭圆方程得，所以|AB|＝3；
（2）当直线l的斜率存在，设直线l的方程y＝k（x+1），代入椭圆方程，利用韦达定理及向量的坐标运算，由，即可求得k的值，求得直线l的方程；
（3）当直线l的斜率不存在时，求得直线AT，BT的方程，求得C，D坐标，求得以CD为直径的圆，令y＝0，得x＝4，x＝8．即圆过点（4，0），（8，0），当直线l的斜率存在时，同理，求得直线AT，BT的方程，求得C，D坐标，求得以CD为直径的圆，令y＝0，化简，整理可得x＝4，x＝8，即以CD为直径的圆恒过定点．
【解答】解：（1）由题知F1（﹣1，0），将x＝﹣1代入椭圆方程得，所以|AB|＝3；
（2）由（1）知当直线l的斜率不存在时，，
此时，不符合题意，舍去，
所以直线l的斜率存在，设直线l的方程为：y＝k（x+1），
联立，消去y，整理，得（3+4k2）x2+8k2x+4k2﹣12＝0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，
由
＝，
解得，
所以，直线l的方程为；
（3）证明：①当直线l的斜率不存在时，，
直线AT的方程为，C点坐标为（6，﹣2），直线BT的方程为，D点坐标为（6，2），
以CD为直径的圆方程为（x﹣6）2+y2＝4，
由椭圆的对称性知若以CD为直径的圆恒过定点则定点在x轴上，
令y＝0，得x＝4，x＝8．即圆过点（4，0），（8，0），
②当直线l的斜率存在时，同（2）联立，直线AT的方程为，
C点坐标为，同理D点坐标为，
以CD为直径的圆的方程为，
令y＝0，得，
由，
得x2﹣12x+32＝0，解得x＝4，x＝8，即圆过点（4，0），（8，0），
综上可得，以CD为直径的圆恒过定点（4，0），（8，0）．
【点评】本题考查椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，向量的坐标运算，圆恒过定点问题，考查转化思想，分类讨论思想，计算能力，属于难题．
21．（18分）已知数列{xn}．若存在B∈R，使得{|xn﹣B|}为递减数列，则{xn}称为“B型数列”．
（1）是否存在B∈R使得有穷数列为B型数列？若是，写出B的一个值；否则，说明理由；
（2）已知2022项的数列{un}中，（n∈N*，1≤n≤2022）．求使得{un}为B型数列的实数B的取值范围；
（3）已知存在唯一的B∈R，使得无穷数列{an}是B型数列．证明：存在递增的无穷正整数列n1＜n2＜...＜nk＜...，使得为递增数列，为递减数列．
【分析】（1）取的数即可；
（2）分n＝2k（k∈N*，1≤k≤1010）与n＝2k﹣1（k∈N*，1≤k≤1011）讨论即可；
（3）用反证法证明即可．
【解答】解：（1）是．
如：取B＝3，则为递减数列． （时均可）．
（2）当n＝2k（k∈N*，1≤k≤1010）时，
，
解得．
同理，当n＝2k﹣1（k∈N*，1≤k≤1011）时，解得．
而此时{un}确为B型数列，故为所求．
（3）首先证明：对任意N∈N*，①存在p＞N，使得ap＞B；②存在q＞N，使得aq＜B．
用反证法证明①，②可同理得到．
若存在m∈N*，使得当p＞m时，均有ap＜B，则由B型数列定义，am+1＜am+2＜…＜，
设．由题意，d＞0．
当p＞m时，|ap﹣（B+d）|＞|ap+1﹣（B+d）|．
而当1≤n≤m时，3d＜|an﹣B|﹣|an+1﹣B|，
故|an﹣（B+d）|≥|an﹣B|﹣d＞|an+1﹣B|+d≥|an+1﹣（B+d）|．
因此，{an}也是（B+d）型数列，与B的唯一性矛盾．证毕．
根据①、②可知，存在n1＞1，使得，存在n2＞n1，使得．
由此，若，则存在n2k+1＞n2k，使得，
又存在n2k+2＞n2k+1，使得．
由①的证明知，如此递归选择的n1＜n2＜⃯＜nk＜⃯使得递增且递减，即为所求．
【点评】本题考查了数列的新定义问题，考查推理能力，属于难题．
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