2022年上海市杨浦区高考数学二模试卷
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一.填空题(本大题满分54分)本大题共有12题,1-6每题4分,7-12每题5分。考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果
1.(4分)若集合A=(﹣∞,1),B=(0,+∞),则A∩B= .
2.(4分)复数z=2﹣i,则|z|= .
3.(4分)直线l的参数方程为,t∈R,则直线l的斜率为 .
4.(4分)(1+2x)10的二项展开式中,x2项的系数为 .
5.(4分)若圆锥的母线长为5,底面半径为3,则该圆锥的体积为 .
6.(4分)函数f(x)=1+lgx的反函数是f﹣1(x)= .
7.(5分)设a,b,c,d∈R,若行列式,则行列式的值为 .
8.(5分)已知集合,从集合A中任取一个元素a,使函数y=xa是奇函数且在(0,+∞)上递增的概率为 .
9.(5分)等差数列{an}的前n项和为Sn,若S5=S7,且a2+a3=8,则= .
10.(5分)已知点P为正△ABC边上或内部的一点,且实数x,y满足,则x﹣y的取值范围是 .
11.(5分)设点P是曲线上的动点,点,满足|PF|+|PA|=4,则点P的坐标为 .
12.(5分)函数f(x)=cosωx(ω>0,x∈Z)的值域中仅有5个不同的值,则ω的最小值为 .
二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题,每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,填上正确的答案,选对得5分,否则一律得零分.
13.(5分)“”是“α为第一象限角”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
14.(5分)下列不等式恒成立的是( )
A.|x+y|≥|x﹣y| B.
C. D.|x+y|+|x﹣y|≤|x|+|y|
15.(5分)上海入夏的标准为:立夏之后,连续五天日平均气温不低于22℃.立夏之后,测得连续五天的平均气温数据满足如下条件,其中能断定上海入夏的是( )
A.总体均值为25℃,中位数为23℃
B.总体均值为25℃,总体方差大于0℃2
C.总体中位数为23℃,众数为25℃
D.总体均值为25℃,总体方差为1℃2
16.(5分)记函数y1=f1(x),x∈D,函数y2=f2(x),x∈D,若对任意的x∈D,总有|f2(x)|≤|f1(x)|成立,则称函数f1(x)包裹函数f2(x).判断如下两个命题真假.
①函数f1(x)=kx包裹函数f2(x)=xcosx的充要条件是|k|≥1;
②若对于任意p>0,|f1(x)﹣f2(x)|<p对任意x∈D都成立,则函数f1(x)包裹函数f2(x).
则下列选项正确的是( )
A.①真②假 B.①假②真 C.①②全假 D.①②全真
三、解答题(本大题满分76分)本大题共5题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
17.(14分)如图所示,正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长1,侧棱长4,AA1中点为E,CC1中点为F.
(1)求证:平面BDE∥平面B1D1F;
(2)连结B1D,求直线B1D与平面BDE所成的角的大小.
18.(14分)已知函数f(x)=tsinx+|cosx|,其中常数t∈R.
(1)讨论函数f(x)的奇偶性,并说明理由;
(2)△ABC中内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a=2,,f(A)=2,求当时,△ABC的面积.
19.(14分)如图所示,鸟类观测站需同时观测两处鸟类栖息地.A地在观测站正北方向,且距离观测站2公里处,B地在观测站北偏东方向,且距离观测站5公里.观测站派出一辆观测车(记为点M)沿着公路向正东方向行驶进行观测,记∠AMB为观测角.
(1)当观测车行驶至距观测站1公里时,求观测角∠AMB的大小;(精确到0.1°)
(2)为了确保观测质量,要求观测角∠AMB不小于45°,求观测车行驶过程中满足要求的路程有多长.(精确到0.1公里)
20.(16分)如图,中心在原点O的椭圆Γ的右焦点为,长轴长为8.椭圆Γ上有两点P,Q,连结OP,OQ,记它们的斜率为kOP,kOQ,且满足.
(1)求椭圆Γ的标准方程;
(2)求证:|OP|2+|OQ|2为一定值,并求出这个定值;
(3)设直线OQ与椭圆Γ的另一个交点为R,直线RP和PQ分别与直线交于点M,N,若△PQR和△PMN的面积相等,求点P的横坐标.
21.(18分)已知数列{an}满足:a1=1,an+1=﹣an或an+1=an+2,对一切n∈N*都成立.记Sn为数列{an}的前n项和.若存在一个非零常数T∈N*,对于任意n∈N*,an+T=an成立,则称数列{an}为周期数列,T是一个周期.
(1)求a2、a3所有可能的值,并写出a2022的最小可能值;(不需要说明理由)
(2)若an>0,且存在正整数p,q(p≠q),使得与均为整数,求ap+q的值;
(3)记集合,求证:数列{an}为周期数列的必要非充分条件为“集合S为无穷集合”.
2022年上海市杨浦区高考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一.填空题(本大题满分54分)本大题共有12题,1-6每题4分,7-12每题5分。考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果
1.(4分)若集合A=(﹣∞,1),B=(0,+∞),则A∩B= (0,1) .
【分析】直接利用交集运算的概念得答案.
【解答】解:∵A=(﹣∞,1),B=(0,+∞),
∴A∩B=(﹣∞,1)∩(0,+∞)=(0,1).
故答案为:(0,1).
【点评】本题考查交集及其运算,是基础题.
2.(4分)复数z=2﹣i,则|z|= .
【分析】根据已知条件,结合复数模公式,即可求解.
【解答】解:∵z=2﹣i,
∴.
故答案为:.
【点评】本题主要考查复数模公式,属于基础题.
3.(4分)直线l的参数方程为,t∈R,则直线l的斜率为 2 .
【分析】消去参数t可得,2x﹣y=3,即y=2x﹣3,再结合斜率的定义,即可求解.
【解答】解:∵直线l的参数方程为,
∴消去参数t可得,2x﹣y=3,即y=2x﹣3,
∴直线l的斜率为2.
故答案为:2.
【点评】本题主要考查直线的参数方程,属于基础题.
4.(4分)(1+2x)10的二项展开式中,x2项的系数为 180 .
【分析】写出二项展开式的通项,取x的指数为2,求得r值,进一步得答案.
【解答】解:1+2x)10的二项展开式的通项为,
取r=2,可得x2项的系数为.
故答案为:180.
【点评】本题考查二项式定理的应用,关键是熟记二项展开式的通项,是基础题.
5.(4分)若圆锥的母线长为5,底面半径为3,则该圆锥的体积为 12π .
【分析】由圆锥的母线长为5,底面半径为3,求出圆锥的高,由此能求出该圆锥的体积.
【解答】解:∵圆锥的母线长为5,底面半径为3,
∴圆锥的高h==4,
∴该圆锥的体积V==12π.
故答案为:12π.
【点评】本题考查直圆锥的结构特征、体积公式等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.
6.(4分)函数f(x)=1+lgx的反函数是f﹣1(x)= 10x﹣1 .
【分析】根据反函数的定义求出f(x)的反函数的解析式即可.
【解答】解:∵f(x)=1+lgx,
∴f﹣1(x)=10x﹣1,
故答案为:10x﹣1.
【点评】本题考查了反函数的定义,是基础题.
7.(5分)设a,b,c,d∈R,若行列式,则行列式的值为 3 .
【分析】根据已知条件,结合行列式公式,即可求解.
【解答】解:∵,
∴3=9,解得=3.
故答案为:3.
【点评】本题主要考查行列式的公式,属于基础题.
8.(5分)已知集合,从集合A中任取一个元素a,使函数y=xa是奇函数且在(0,+∞)上递增的概率为 .
【分析】利用古典概型公式计算即可.
【解答】解:从集合中任取一个元素a,使函数y=xa是奇函数且在(0,+∞)上递增,则a=,1,3,
所以,其概率为.
故答案为:.
【点评】本题主要考查古典概型的问题,熟记概率的计算公式即可,属于常考题型.
9.(5分)等差数列{an}的前n项和为Sn,若S5=S7,且a2+a3=8,则= .
【分析】设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,由已知列方程组求得首项与公差,再求数列的极限得答案.
【解答】解:设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,
由S5=S7,且a2+a3=8,
得,解得.
∴,
则==.
故答案为:﹣.
【点评】本题考查等差数列的通项公式与前n项和,训练了数列极限的求法,是基础题.
10.(5分)已知点P为正△ABC边上或内部的一点,且实数x,y满足,则x﹣y的取值范围是 .
【分析】根据题意,利用平面向量基本定理,结合特殊点的位置P与点B重合以及P与点C重合时对应的x、y值,即可求出x﹣y的取值范围.
【解答】解:∵P是三角形ABC内(含边界)的一点,且向量足,
∴当P点在BC上时,x+2y=1,
特别地,当点P与点B重合时有x=1,2y=0,即x=1,y=0;
当点P与点C重合时有x=0,2y=1,即x=0,y=;
又点P在三角形ABC内(含边界),
∴0≤x+2y≤1,0≤x≤1,0≤2y≤1;
∴﹣≤x﹣y≤1,
即x﹣y的取值范围是[﹣,1].
故答案为:[﹣,1].
【点评】本题考查了平面向量的基本定理的应用问题,也考查了平面向量的几何意义的应用问题,属中档题.
11.(5分)设点P是曲线上的动点,点,满足|PF|+|PA|=4,则点P的坐标为 .
【分析】设双曲线的上焦点为F′(0,),由已知可得|PF′|+|PA|=2,又|AF′|=2,可示点P的坐标.
【解答】解:因曲线在双曲线y2﹣x2=1在x轴上方的部分,
故是双曲线的下焦点,则双曲线的上焦点为F′(0,),
由|PF|+|PA|=4,又∴|PF|﹣|PF′|=2,∴|PF′|+|PA|=2,
又|AF′|=2,故P,A,F′共线,又AF′的直线方程为x+y=,
联立,解得x=,y=,
故点P的坐标为(,).
故答案为:(,).
【点评】本题考查双曲线的几何性质,属中档题.
12.(5分)函数f(x)=cosωx(ω>0,x∈Z)的值域中仅有5个不同的值,则ω的最小值为 .
【分析】先求得余弦函数的周期最大值,进而求得ω的最小值,易知f(0)=cos0=1,则在一个周期内,结合对称性,只要f(0)=f(9),此时恰好有f(1)=f(8),
f(2)=f(7),f(3)=f(6),f(4)=f(5),恰好满足题意,此时周期最大,则ω的最小值可求.
【解答】解:f(x)=cosωx的图象,只是将y=cosx的图象变成原来的倍,结合f(x)的对称性,
当f(0)=f(9),f(1)=f(8),……,f(4)=f(5)时,即最小正周期为9时,满足题意的最小正周期最大,此时.
故答案为:.
【点评】本题考查三角函数的图像和性质,属于中档题.
二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题,每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,填上正确的答案,选对得5分,否则一律得零分.
13.(5分)“”是“α为第一象限角”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
【分析】利用第一象限角的定义,结合充分条件、必要条件的定义进行分析即可.
【解答】解:,则α一定为第一象限角;
若α为第一象限角,设α=,在第一象限,α∉(0,).
所以“”是“α为第一象限角”的充分不必要条件.
故选:A.
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键.
14.(5分)下列不等式恒成立的是( )
A.|x+y|≥|x﹣y| B.
C. D.|x+y|+|x﹣y|≤|x|+|y|
【分析】举反例判断选项A、C、D,再通过不等式的性质判断选项B即可.
【解答】解:当x=2,y=﹣1时,|x+y|≥|x﹣y|不成立,
故选项A错误;
当x=﹣1时,不成立,
故选项C错误;
当x=2,y=﹣1时,|x+y|+|x﹣y|≤|x|+|y|不成立,
故选项D错误;
+x>+x=|x|+x≥0,
故+x>0,
故选项B正确;
故选:B.
【点评】本题考查了不等式的性质及其应用,属于基础题.
15.(5分)上海入夏的标准为:立夏之后,连续五天日平均气温不低于22℃.立夏之后,测得连续五天的平均气温数据满足如下条件,其中能断定上海入夏的是( )
A.总体均值为25℃,中位数为23℃
B.总体均值为25℃,总体方差大于0℃2
C.总体中位数为23℃,众数为25℃
D.总体均值为25℃,总体方差为1℃2
【分析】根据总体均值,中位数,众数,总体方差的定义判断即可.
【解答】解:对于A,总体均值为25℃,中位数为23℃,可能出现低于22℃的情况,故A不正确;
对于B,当总体方差大于0℃2,不知道总体方差的具体数值,因此不能确定数据的波动大小,故B不正确;
对于C,中位数和众数也不能确定,故C不正确:
对于D,当总体均值为25℃,总体方差为1℃2,平均气温会大概会不低于23℃,故D正确.
故选:D.
【点评】本题考查总体均值,中位数,众数,总体方差,属于基础题.
16.(5分)记函数y1=f1(x),x∈D,函数y2=f2(x),x∈D,若对任意的x∈D,总有|f2(x)|≤|f1(x)|成立,则称函数f1(x)包裹函数f2(x).判断如下两个命题真假.
①函数f1(x)=kx包裹函数f2(x)=xcosx的充要条件是|k|≥1;
②若对于任意p>0,|f1(x)﹣f2(x)|<p对任意x∈D都成立,则函数f1(x)包裹函数f2(x).
则下列选项正确的是( )
A.①真②假 B.①假②真 C.①②全假 D.①②全真
【分析】①根据包裹函数的定义可以得到|cosx|≤|k|,由|cosx|≤1,可得|k|≥1,即①正确;
②根据包裹函数的定义可以得到|f1(x)﹣f2(x)|≥|f1(x)|﹣|f2(x)|≥0,可得函数f1(x)包裹函数f2(x),即②正确.
【解答】解:①因数函数f1(x)=kx包裹函数f2(x)=xcosx,
所以|xcosx|≤|kx|⇔|x|•|cosx|≤|k|•|x|⇔|cosx|≤|k|,
又因为|cosx|≤1,
所以|k|≥1,
所以函数f1(x)=kx包裹函数f2(x)=xcosx的充要条件是|k|≥1,故①正确;
②由|f2(x)|≤|f1(x)|⇒|f1(x)|﹣|f2(x)|≥0,
又因为|f1(x)﹣f2(x)|≥|f1(x)|﹣|f2(x)|,当且仅当f1(x)=f2(x)时,等号成立,
又因为p>0,故对于任意p>0,|f1(x)﹣f2(x)|<p,可得|f1(x)|﹣|f2(x)|≥0,
即函数f1(x)包裹函数f2(x),所以②正确.
故选:D.
【点评】本题属于新概念题,考查了学生的推理能力,理解定义是解答本题的关键,属于中档题.
三、解答题(本大题满分76分)本大题共5题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
17.(14分)如图所示,正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长1,侧棱长4,AA1中点为E,CC1中点为F.
(1)求证:平面BDE∥平面B1D1F;
(2)连结B1D,求直线B1D与平面BDE所成的角的大小.
【分析】(1)以A为原点,AB,AD,AA1所在直线为坐标轴,建立空间直角坐标系,如图利用向量法证DE∥FB1,同理BD∥B1D1,可证平面BDE∥平面B1D1F;
(2)利用向量法可求直线B1D与平面BDE所成的角的大小.
【解答】解:(1)以A为原点,AB,AD,AA1所在直线为坐标轴,建立空间直角坐标系,如图
则B(1,0,0),D(0,1,0),E(0,0,2),B1(1,0,4),D1(0,1,4),F(1,1,2),
∵,∴DE∥FB1,同理BD∥B1D1,
∵平面BDE与平面B1D1F不重合,∴平面BDE与平面B1D1F平行.
(2)同(1)建系,
设平面BDE的一个法向量为,
则,得x=y=2z,
不妨取z=1,则,
又,
设直线B1D与平面BDE所成的角为θ,
故,
直线B1D与平面BDE所成的角为.
【点评】本题考查面面平行的证明,考查线面角的大小的求法,属中档题.
18.(14分)已知函数f(x)=tsinx+|cosx|,其中常数t∈R.
(1)讨论函数f(x)的奇偶性,并说明理由;
(2)△ABC中内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a=2,,f(A)=2,求当时,△ABC的面积.
【分析】(1)利用函数的奇偶性的定义,通过t是否为0,判断函数的奇偶性即可.
(2)利用已知条件求解A的大小,然后求解三角形的面积即可.
【解答】解:(1)f(x)=tsinx+|cosx|,x∈R,
①t=0时,f(x)=|cosx|∵f(﹣x)=|cos(﹣x)|=|cosx|=f(x),∴f(x)偶函数.
②t≠0时,∵f(0)=1≠0,∴f(x)不是奇函数,
∵,
∴f(x)不是偶函数.
∴函数f(x)非奇非偶函数;
(2)由,f(A)=2,得,
因为,所以,
则,,
由a2=b2+c2﹣2bccosA,解得,
.
【点评】本题考查三角形的解法,函数奇偶性的判断,余弦定理的应用,是中档题.
19.(14分)如图所示,鸟类观测站需同时观测两处鸟类栖息地.A地在观测站正北方向,且距离观测站2公里处,B地在观测站北偏东方向,且距离观测站5公里.观测站派出一辆观测车(记为点M)沿着公路向正东方向行驶进行观测,记∠AMB为观测角.
(1)当观测车行驶至距观测站1公里时,求观测角∠AMB的大小;(精确到0.1°)
(2)为了确保观测质量,要求观测角∠AMB不小于45°,求观测车行驶过程中满足要求的路程有多长.(精确到0.1公里)
【分析】(1)根据题意建立平面直角坐标系,用坐标表示向量,利用数量积计算夹角的大小;
(2)设点M,利用坐标表示向量和直线的斜率,求出∠AMB的正切值,从而求出对应的结果.
【解答】解:(1)根据题意,建立平面直角坐标系,如图所示:
则A(0,2),B(4,3),M(1,0),
则,,
所以cos∠AMB===,
所以观测角.
(2)设M(x,0)(x>0),
①x=4时,tan∠AMB==2,
所以∠AMB=arctan2>45°,
②x≠4时,直线MA的斜率为,直线MB的斜率为,
因为=(﹣x,2),=(4﹣x,3),
所以•=﹣x(4﹣x)+6=x2﹣4x+6=(x﹣2)2+2>0,
所以∠AMB为锐角,设y=tan∠AMB,
则函数,
当x=4时,y=2符合上式,
又,
且∠AMB≥45°,
所以y≥1,
整理得x2﹣5x﹣2≤0,
解得,
且=≈5.4,
所以观测车行进过程中满足要求的路程长度约为5.4公里.
【点评】本题考查了平面向量的坐标表示和直线方程的应用问题,是中档题.
20.(16分)如图,中心在原点O的椭圆Γ的右焦点为,长轴长为8.椭圆Γ上有两点P,Q,连结OP,OQ,记它们的斜率为kOP,kOQ,且满足.
(1)求椭圆Γ的标准方程;
(2)求证:|OP|2+|OQ|2为一定值,并求出这个定值;
(3)设直线OQ与椭圆Γ的另一个交点为R,直线RP和PQ分别与直线交于点M,N,若△PQR和△PMN的面积相等,求点P的横坐标.
【分析】(1)利用椭圆的长轴长以及焦点坐标,求解a,c,然后求解b,得到椭圆方程.
(2)设P(x1,y1),Q(x2,y2),通过.结合得到坐标满足方程,转化求解|OP|2+|OQ|2为一定值即可.
(3)法一:推出R(﹣x2,﹣y2),转化求解M、N的纵坐标,通过S△PQR=S△PMN,转化求解点P横坐标.
(3)法二通过S△PQR=S△PMN,推出,转化求解点P横坐标即可.
【解答】(1)解:由已知条件,设椭圆Γ:,
则,
椭圆Γ:.
(2)证明:设P(x1,y1),Q(x2,y2),
则,整理得x1x2+4y1y2=0,
由,∴,
∵,
解得 ,
代入,为定值.
(3)法一:设直线OQ与椭圆Γ的另一个交点为R,直线RP和PQ分别与直线交于点M,N,
设P(x1,y1),Q(x2,y2),
由椭圆的对称性可知,R(﹣x2,﹣y2),,,
故,,
于是,
又,
若△PQR和△PMN的面积相等,
代入S△PQR=S△PMN,再将代入,
得.
若,化简得,方程无解;
若,化简得
解得:(舍去),∴点P横坐标为.
法二:设P(x1,y1),Q(x2,y2),由椭圆的对称性可知,R(﹣x2,﹣y2),
∵S△PQR=S△PMN,∴|PM|⋅|PN|=|PQ|⋅|PR|,∴,∴,
或者,,或者.
∵,∴,或者(舍),
解得:,
∴点P横坐标为.
【点评】本题考查椭圆方程的求法,直线与椭圆的位置关系的应用,考查转化思想以及计算能力,是中档题.
21.(18分)已知数列{an}满足:a1=1,an+1=﹣an或an+1=an+2,对一切n∈N*都成立.记Sn为数列{an}的前n项和.若存在一个非零常数T∈N*,对于任意n∈N*,an+T=an成立,则称数列{an}为周期数列,T是一个周期.
(1)求a2、a3所有可能的值,并写出a2022的最小可能值;(不需要说明理由)
(2)若an>0,且存在正整数p,q(p≠q),使得与均为整数,求ap+q的值;
(3)记集合,求证:数列{an}为周期数列的必要非充分条件为“集合S为无穷集合”.
【分析】(1)由题意,直接写出a2、a3所有可能的值,写出a2022的值即可,
(2)利用反证法,设和都大于等于2,得出矛盾,在求值,
(3)从充分性与必要性分别进行证明即可.
【解答】解:(1)a2=﹣1,3;a3=﹣3,1,5,
(a2022)min=﹣(a2021)max=﹣(1+2020×2)=﹣4041;
(2)首先证明:和中至少一个等于1.
反证法:设和都大于等于2,
则,即,相加得﹣2≥0,矛盾!
所以 和中至少一个等于1.
不妨设,则,即p=2q﹣1
那么,
所以q=3,p=5,ap+q=a8=15.
证明:(3)非充分:取数列{an}如下:a1=1,a2=3,a3=﹣3,.
数列{an}满足条件,且对一切n∈N*,n≥2,均有S2n=0,但不为周期数列;
必要性:已知数列{an}为周期数列,设正整数T为其一个周期.分如下三步证明:
①下证:若,则;
若数列{an}满足:a1=1,an+1=﹣an或an+1=an+2
由可得:
所以n≥2时:n=1时,,
即对一切n∈N*,,
利用上式可知:.
②下证:若an=1(n≥3),则an﹣1=﹣1;
由条件:an﹣1=﹣an,或an﹣1=an﹣2可得:an﹣1=﹣1.
③由a1=1,a2=﹣1或a2=3,可知,周期T≥2.由a1+kT=1,且1+kT≥3(k∈N*),由②可知akT=﹣1,由①可知SkT=0,
所以,对一切k∈N*,kT∈S,即集合S为无穷集合.
【点评】本题考查数列的应用,考查学生的运算能力,属于中档题.
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2022年上海市闵行区高考数学二模试卷: 这是一份2022年上海市闵行区高考数学二模试卷,共21页。
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