专题04 立体几何之向量法与几何法求空间距离-备战高考数学大题保分专练(全国通用)

立体几何之向量法与几何法求空间距离

方法一:空间向量法

1．如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，是的中点.

（1）求与平面所成角的正弦值；

（2）求点到平面的距离.

2．如图，在四棱锥中，平面平面，且是边长为的等边三角形，四边形是矩形，，为的中点．

（1）求二面角的大小；

（2）求点到平面的距离.

3．如图，内接于，为的直径，，，，且平面，为的中点．

（1）求证：平面平面；

（2）求异面直线与所成的角；

（3）求点到平面的距离．

4．如图，是边长为的正方形，平面，且.

（1）求证：平面；

（2）求直线与平面所成的角的正弦值；

（3）求点到平面的距离.

5．如图，在棱长为2的正方体中，点E是CD的中点．

（1）求证：；

（2）求与所成的角；

（3）求证：平面，并求直线和平面的距离．

6．如图，在正四棱锥中，底面正方形的对角线AC，BD交于点O，，．求：

（1）二面角的大小；

（2）点B到平面CDP的距离．

7．如图，在正四棱锥中，，点M，N分别在PA，BD上，且．

（1）求证：；

（2）求MN与PC所成的角；

（3）求证平面PBC，并求直线MN和平面PBC的距离．

8．如图，在四棱锥中，平面ABCD，PB与底面ABCD所成的角为，底面ABCD为直角梯形，，，．

（1）求证：平面平面PCD；

（2）在棱PD上是否存在一点E，使平面PAB？若存在，请确定点E的位置；若不存在，试说明理由；

（3）求点P到直线CD的距离．

9．如图，在棱长为2的正方体中，点E，F分别是上底面和侧面的中心．

（1）求；

（2）求直线AE与平面所成角的正弦值；

（3）求点C到平面AEF的距离．

10．如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，是的中点，且，.

（1）求与平面所成角的正弦；

（2）求点到面的距离.

11．在直三棱柱ABC-中，A=2，AB=AC=1，AB⊥AC，M，N分别是A的中点，

（1）求直线MN与B所成角的余弦值

（2）求N到平面BM的距离

12．如图所示，是棱长为的正方体，是棱的中点，是棱的中点．

（1）求直线与平面所成角的正弦值；

（2）求到平面的距离．

13．在长方体中，，是面对角线上一点，且.

（1）求证：；

（2）设异面直线与所成角的大小为，求的值.

（3）求点到平面的距离.

14．如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，若M，N分别为棱，的中点，为中点.

（1）求证：平面平面

（2）求直线与平面所成角的正弦值

（3）求点到平面的距离

15．在棱长为的正方体中，E､F分别是与AB的中点.

（1）求与截面所成角的大小；

（2）求点B到截面的距离.

方法二:立体几何或等体积法

1．如图，在三棱柱中，底面，，四边形是正方形．

（1）证明：；

（2）若，求点到平面的距离．

2．如图，，，D为BC中点，平面，，，.

（1）证明：平面；

（2）求点C到平面的距离.

3．三棱锥中，平面平面，为等边三角形，且，O、M分别为、的中点.

（1）求证：平面平面；

（2）求点B到平面的距离.

4．如图，已知正三棱柱的各棱长都等于2，点D是BC上一点，．

（1）求证：平面平面；

（2）求点到平面的距离．

5．如图所示的四棱锥中，平面，底面为直角梯形，，，，点为的中点.

（1）求证：平面；

（2）若四棱锥的体积为2，求点到平面的距离.

6．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BCC1B1，ABB1A1均为正方形，AB＝BC＝1，∠ABC＝90°，点D是棱的A1C1中点.

（1）求证：平面AB1D⊥平面ACC1A1；

（2）求证：BC1∥平面AB1D；

（3）求点A1到平面AB1D的距离.

7．如图在直三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，D为中点．

（1）求证：平面．

（2）若，求点到平面的距离．

8．如图，四边形是边长为3的正方形，平面，，，与平面所成角为.

（1）求证：平面；

（2）求点到平面的距离.

9．1.如图，三棱柱中，侧棱底面，，，，是中点，是中点，是与的交点.

（1）求证：平面平面；

（2）求点到平面的距离.

10．如图，在直三棱柱中，底面为等腰直角三角形，，，，是侧棱上一点，设．

（1）若，求异面直线与所成角的大小；

（2）若，求直线与平面所成角的大小；

（3）若，求点到平面的距离．

11．如图，在三棱锥中，平面平面,，O为的中点，且是边长为2的等边三角形，点E是棱的中点；

（1）证明；

（2）若二面角的大小为，求点O到平面的距离．

12．如图，在长方体中，底面ABCD是边长为1的正方形，，点E，F分别为棱，的中点.

（1）求证：平面BDE；

（2）求直线到平面BDE的距离.

13．如图，菱形ABCD的边长为1，，O为平面ABCD外一点，平面ABCD，，M，N分别为OA与BC的中点.

（1）证明：平面OCD；

（2）求异面直线AB与MD所成角的大小；

（3）求点B到平面OCD的距离.

14．如图，四棱锥中，，底面是面积为18的正方形，点分别在线段上，且.

（1）求证：直线平面；

（2）若平面平面，求点到平面的距离.

15．如图，平面平面ABCD，ABCD为正方形，是直角三角形，且，E､F､G分别是线段PA､PD､CD的中点.

（1）求证：平面平面PAB；

（2）求点A到平面EFG的距离.

16．如图，四边形为正方形，，，且，，延长相交于点，连接，平面.

（1）求证：平面；

（2）求点到平面的距离.

17．如图，在多面体中，两两垂直，四边形是边长为的正方形，，且，.

（1）证明：平面；

（2）求点到平面的距离.

18．如图，在直三棱柱中，为棱的中点.

（1）证明：平面；

（2）若，且，，，求点到平面的距离.

19．如图，已知平面平面，与分别是边长为1与2的正三角形，，四边形为直角梯形，，，，点为的重心，为中点.

（1）当点M在线段AF上，且时，求证：平面；

（2）求点到平面的距离.

20．如图，直四柱中，，为的中点，底面是边长为4的菱形，.

（1）证明：，，，四点共面；

（2）求点到平面的距离