专题07 立体几何之角度的范围与最值问题-备战高考数学大题保分专练(全国通用)

专题07 立体几何之角度的范围与最值问题

一、解答题

1．如图，在中，．O为的外心，平面，且．

（1）求证： 平面；

（2）设平面平面；若点M在线段上运动，且，当直线l与平面所成角取最大值时，求的值

2．如图，在梯形中，，，，四边形为矩形，平面平面，.

（1）求证：平面，平面；

（2）点在线段上运动，设平面与平面所成锐二面角为，试求的最小值.

3．如图，在多面体中，侧面为菱形，平面，平面，，是的中点，为棱上的动点，．

（1）证明：平面平面；

（2）当点位于棱的什么位置时，面与面，所成的二面角的正弦值最小？

4．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，平面，，为的中点，为边上的一个点．

（1）求证：平面平面；

（2）记平面平面，求直线与直线所成的角；

（3）若为上的动点，与平面所成角的正切值的最大值为，求平面与平面所成的锐二面角的正切值．

5．如图所示，正方形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，动点P在线段EF（包含端点E，F）上，M，N分别为AB，BC的中点，AB=2DE=2.

（1）若P为EF的中点，求点N到平面PDM的距离；

（2）设平面PDM与平面ABCD所成的夹角为θ，求cosθ的最大值并求出此时点P的位置.

6．在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，其中，，，为棱上的点，且．

（1）求证：平面；

（2）若二面角的平面角的正切值为，求的长；

（3）在（2）的条件下，若为线段上一点，求与面所成角为，求的最大值．

7．如图，在梯形ABCD中，，，，四边形BFED为矩形，，平面平面ABCD.

（1）求证：平面BDEF；

（2）点P在线段EF上运动，设平面PAB与平面ADE所成的夹角为，试求的最小值.

8．如图，在矩形ABCD中，M、N分别是线段AB、CD的中点，，，将沿DM翻折，在翻折过程中A点记为P点．

（1）从翻折至的过程中，求点P运动的轨迹长度；

（2）翻折过程中，二面角P−BC−D的平面角为θ，求的最大值.

9．如图，在平行四边形中，，，，四边形为矩形，平面平面，，点在线段上运动，且.

（1）当时，证明；

（2）设平面与平面的夹角为，求的取值范围.

10．如图，在中，，，，将绕边翻转至，使面面，是的中点.

（1）求二面角的平面角的余弦值；

（2）设是线段上的动点，当与所成角取得最小值时，求线段的长度.

11．如图，在直角三角形中，，斜边，直角三角形可以通过以直线为轴旋转得到，且二面角是直二面角，动点在斜边上.

（1）求证：平面平面；

（2）当为的中点时，求异面直线与所成角的正切值；

（3）求与平面所成角的正切值的最大值.

12．如图，在中，，，为的外心，平面，且.

（1）求证：平面；并计算与平面之间的距离；

（2）设平面面，若点在线段（不含端点）上运动，当直线与平面所成角取最大值时，求二面角的正弦值.

13．如图，在正三棱柱中，D为的中点.

（1）证明：平面.

（2）已知二面角的大小为，求的取值范围.

14．如图，在四棱锥中，侧棱底面ABCD，，，，，M是棱PB的中点，E为BC的中点.

（1）证明：平面平面；

（2）线段CD上是否存在动点N，直线MN与平面PAB所成的角最大？如果存在，求出最大角的正弦值.并确定N的位置.

15．如图，在四棱锥 P ABCD中，已知PA平面ABCD ，且四边形ABCD为直角梯形，ABC BAD ，PA AD 2，AB BC 1.

（1）求平面PAB与平面PCD夹角的余弦值；

（2）点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成的角最小时，求线段BQ的长.

16．如图，在四棱锥中，平面，，，.

（1）求证：平面平面；

（2）若点M为的中点，点N为线段上一动点，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围.

17．如图，在梯形中，，，四边形为矩形，且平面，.

（1）求证：平面；

（2）点在线段（含端点）上运动，当点在什么位置时，平面与平面所成锐二面角最大，并求此时二面角的余弦值.

18．如图，在四棱锥中，底面是圆内接四边形.，，.

（1）求证：平面平面；

（2）若点在内运动，且平面，求直线与平面所成角的正弦值的最大值.

19．如图，在直三棱柱中，，M，N分别是棱的中点，点P在线段上（包括两个端点）运动．

（1）当P为线段的中点时，求证：；

（2）求直线与平面所成角的正弦值的取值范围．

20．如图所示，三棱锥中，平面，，平面经过棱的中点，与棱，分别交于点，，且平面，平面.

（1）证明：平面；

（2）若，点在直线上，求平面与平面所成锐二面角的余弦值的最大值.

21．如图，C是以AB为直径的圆O上异于A，B的点，平面平面，中，，，E，F分别是，的中点.

（1）求证：平面；

（2）记平面与平面的交线为直线l，点Q为直线l上动点，求直线与平面所成的角的取值范围.

22．如图1，已知三棱锥，图2是其平面展开图，四边形为正方形，和均为正三角形，．

（1）求二面角的余弦值；

（2）若点在棱上，满足，，点在棱上，且，求的取值范围．

23．如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，为底面圆的内接正三角形，且边长为在母线上，且．

（1）求证：平面平面；

（2）设线段上动点为，求直线与平面所成角的正弦值的最大值．

24．如图，在三棱台中，底面是边长为2的正三角形，侧面为等腰梯形，且，为的中点．

（1）证明：；

（2）记二面角的大小为，时，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围．

25．如图所示，三棱柱中，所有棱长均为2，，，分别在，上（不包括两端），．

（1）求证：平面；

（2）设与平面所成角为，求的取值范围．

26．如图，在三棱锥中，、、两两垂直，且，过棱上的动点（不同于A、两点）作平行于、的平面，分别交三棱锥的棱、、于、、三点．

（1）求异面直线与所成的角的大小；

（2）求点到直线距离的最小值；

（3）求直线与平面所成角的取值范围．

27．如图，将等腰直角沿斜边旋转，使得到达的位置，且.

（1）证明：平面平面.

（2）求二面角的余弦值.

（3）若在棱上存在点，使得，，在棱上存在点，使得，且，求的取值范围.

28．如图，在四棱锥中，，，E为棱PA的中点，平面PCD．

（1）求AD的长；

（2）若，平面平面PBC，求二面角的大小的取值范围．

29．如图所示，为圆的直径，圆所在的平面，B为圆周上与点A，C均不重合的点，于S，于N.

（1）求证：平面平面；

（2）设直线与平面所成角为，当变化时，求的取值范围.

30．如图，在直三棱柱中，，，D为的中点，G为的中点，E为的中点，，点P为线段上的动点（不包括线段的端点）．

（1）若平面CFG，请确定点P的位置；

（2）求直线CP与平面CFG所成角的正弦值的最大值．