专题09 立体几何之证明平行与垂直-备战高考数学大题保分专练(全国通用)

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专题09 立体几何之证明平行与垂直专项
一、几何法证明平行
1．如图，矩形和梯形，，，平面平面，且，，过的平面交平面于．

(1)求证：；
【答案】(1)证明见解析
【详解】（1）证明：因为矩形，所以，
平面，平面，
所以平面．
因为过的平面交平面于，
由线面平行性质定理，得；
2．如图，在四棱锥中，，，，点P在以AB为直径的半圆上（不包括端点），平面平面ABCD，E，F分别是BC，AP的中点.

(1)证明：平面PCD；
【答案】(1)证明见解析
【详解】（1）设的中点为，连接，则，.

因为平面，平面，
所以平面，
同理平面，
，平面，平面，
平面平面，
平面.
3．如图，在三棱柱中，底面ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，侧面为菱形，点在底面上的投影为AC的中点D，且.

(1)若M、N分别为棱AB、的中点，求证：；
【答案】(1)证明见解析
【详解】（1）证明：连接MD，

为AB的中点，D为AC的中点，
且，
为的中点，
则在三棱柱中，且，
且，
四边形为平行四边形，
，
平面CDN，且平面CDN，
；
4．如图所示的几何体是由等高的直三棱柱和半个圆柱组合而成，点为的中点，为半个圆柱上底面的直径，且，．为的中点．

(1)证明：平面平面；
【答案】(1)证明见解析
【详解】（1）证明：取的中点，连接，
且
∴四边形为平行四边形，
，又平面，平面
平面
，又平面，平面
平面，
平面
∴平面平面
5．如图，在四棱锥V－ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱底面ABCD，E、F、G分别为VA、VB、BC的中点．

(1)求证：平面平面VCD；
【答案】(1)证明见详解
【详解】（1）如图所示：

因为E、F、G分别为VA、VB、BC的中点，所以∥,且 ∥.
底面ABCD是矩形,所以∥，又因为平面，平面,
所以∥平面，同理：∥平面，又因为,
平面，平面，所以平面平面
6．如图，和都是边长为2的正三角形，且它们所在平面互相垂直．平面，且．

(1)设P是的中点，证明：AP平面．
【答案】(1)证明见解析
【详解】（1）证明：取的中点O，连接．
是正三角形，
．
∵平面平面，平面平面，平面ABC
平面．
平面，
．
在中，，
．
又，
为等腰三角形．
是的中点，．
平面，
．
平面平面，
平面．
7．如图，在四棱锥中，，，，平面，，为线段上一点且．

(1)证明：∥平面；
【答案】(1)证明见解析
【详解】（1）过点作交DC于点G，连接BG，
又∵，又
，又，故四边形是平行四边形.
∴，面，面，面，同理面
，∴平面平面
又平面，∴平面．   

8．如图，在三棱锥中，底面. 点分别为棱的中点，是线段的中点，.

(1)求证：平面；
【答案】(1)证明见解析
【详解】（1）证明：取AB中点F，连接MF、NF，
∵是线段的中点，∴，∵平面，平面，∴MF平面.
∵点分别为棱的中点，∴，∵平面，平面，∴NF平面.
∵，∴平面MNF，∴平面MNF平面，
∵平面MNF，∴平面.
9．如图，为三棱锥的高，，在棱上，且.

(1)求证：平面；
【答案】(1)证明见解析
【详解】（1）连接OA，延长交于点，连接PE
由平面，得，

，
，又
则，又，则
设
由，可得
又平面平面平面.
10．如图，是正三角形，在等腰梯形中，，．平面平面，M，N分别是，的中点，．

(1)证明：平面；
【答案】(1)证明见解析；
【详解】（1）解：取的中点，连接，，
∵M，N分别是，的中点，∴，，
又∵平面ABC，平面ABC，∴平面．
又，∴，同理可得，平面．
∵平面MND，平面MND，，
∴平面平面．∵平面MND，∴平面．

11．如图所示，直三棱柱中，，点M为线段，的交点，点P，Q分别为线段，AB的中点，延长至点D，使得，连接CD，QD，CQ．

(1)求证：平面平面；
【答案】(1)证明见解析
【详解】（1）如图，连接MQ．
因为，，故，
而，故四边形BDCP为平行四边形，则，
因为平面，平面，故平面；
同理可证BDQM为平行四边形，，即，平面，平面，故平面．
因为，平面CDQ，平面CDQ，
故平面平面；

12．如图，在五面体ABCDEF中，底面ABCD是矩形，△BCF是边长为2的等边三角形，平面平面ABCD，，二面角的大小是.

(1)求证：直线平面ABCD；
【答案】(1)证明见解析
【详解】（1）如图，取AD的中点G，连接EG，则，
因为△BCF是边长为2的等边三角形，底面ABCD是矩形，
所以，
因为，
所以.
设E在平面ABCD内的射影为O，连接EO，则平面ABCD，
连接OA，OD，OG，则，
所以，所以，
所以为二面角的平面角，
所以，
所以.
过F作，垂足为H，
因为平面平面ABCD，平面平面，平面，
所以平面ABCD，
又平面ABCD，
所以.
易知，连接OH，则四边形EFHO为矩形，
所以，
又平面ABCD，平面ABCD，
所以平面ABCD.
13．如图1，在平面四边形中，已知，，，，，于点.将沿折起使得平面，如图2，设（）.

(1)若，求证：平面；
【答案】(1)证明见解析
【详解】（1）在平面四边形中，，，，
所以，，
又，，
所以，，，
所以，所以.
所以在中，易得.
因为，，所以.
在四棱锥中，连接，设，连接，

因为，所以，
又，所以.
因为平面，平面，
所以平面.
二、向量法证明平行
14．在四棱锥中，，，，，且，，平面平面.

(1)证明：//平面；
【答案】(1)证明见解析
【详解】（1）设点满足，即，结合条件，即，，即；
由条件，即，可得：，显然线段不共线，从而可得四边形为平行四边形，即可得：//，平面，平面，故可得：//平面

15．如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，，PD⊥底面ABCD，，E是PC的中点，F是PB上的点，且．

(1)证明：PD//平面AEF；
【答案】(1)证明见详解
【详解】（1）连接，由题意可知：为等边三角形，
取的中点，连接，则，
∵，则，
如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，则，
可得，
设平面的法向量，则，
令，则，即，
∵，且平面，
∴平面.


16．如图，在四棱锥中，平而为的中点，在上，且

(1)求证：平面；
【答案】(1)证明见解析；
【详解】（1）在四棱锥中，平面，平面，则，
而，则以点A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，

则，又，则有，
，因为，则，
，因此，即，
而，于是得，而平面，平面，
所以平面.
17．如图所示，四棱雉的侧面为边长为的正方形，且，为棱的中点，为棱上的点.

(1)求证：平面；
【答案】(1)证明见解析
【详解】（1）证明：如图所示，连接交于，连接，连接，
由于侧面为边长为的正方形，，
所以四棱雉为正四棱锥，则平面，为正方形的中心，且，则以为原点，为轴建立空间直角坐标系，

则，
所以，设平面的法向量为，又，
所以，令，所以，
则，又平面，所以平面；

18．在如图所示的几何体中，四边形为矩形，平面，，，，点P为的中点，请用空间向量知识解答下列问题：

(1)求证：平面；
【答案】(1)证明见解析
【详解】（1）证明：易知，，两两相互垂直，
∴以A为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，，，
∴，，，
设平面的一个法向量为，
则，
即，
取，
解得.
故平面的法向量为，
易知，
则，
又平面，
∴平面.
19．如图，正四棱柱中，为棱的中点.

(1)用向量法证明：平面；
【答案】(1)证明见解析；
【详解】（1）如图，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示空间直角坐标系，

设，，则,1,，,0,，,1,，,0,，
∴，，．
设是平面B1ED1的一个法向量，
则，
令，则，，即，
∴．
且平面B1ED1，∴平面B1ED1；

20．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，正方形ABCD的边长为2，E是PA的中点.

(1)求证：平面BDE.
【答案】(1)证明见解析
【详解】（1）因为平面ABCD，平面ABCD，所以.
因为ABCD为正方形，所以.
又，且平面ADP，所以平面ADP.
如图，以D为原点建立空间直角坐标系，设，

则，，，，，，
所以，，.
设平面BDE的法向量为，
则，即，
令，则，，得.
由题意得.
因为平面BDE，所以平面BDE.
三、几何法证明垂直
21．如图，在直四棱柱中，四边形是菱形，，，，点E是棱上的一点（与，不重合）.

(1)求证：；
【答案】(1)证明见解析；
【详解】（1）证明：如图1，连结.
由已知可得，平面，平面，所以.
又因为四边形是菱形，所以.
又平面，平面，，
所以平面.
因为平面，所以.

22．如图，在五面体中，平面，平面是梯形，，，，E平分．


(1)求证：平面平面；
【答案】(1)证明见解析;
【详解】（1）由题意，，∴，，
平面，平面，∴，
，平面，∴平面，
平面，∴平面平面；
23．如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，平面平面.

(1)证明：；
【答案】(1)证明见解析
【详解】（1）如图，过点A作，垂足为，

∵平面平面，平面平面，平面，∴平面
又∵平面，
∴.
又∵平面，平面,
∴.
又∵，、平面，
∴平面，
又∵平面，
∴.
24．如图，在四棱锥中，平面，，，，，为的中点，在上，且．

(1)证明：平面平面；
【答案】(1)证明见解析；
【详解】（1）因为，为的中点，
所以，
因为平面，平面，
所以，又，，平面，
所以平面，又平面，
所以，又，，平面，
所以平面，又平面，
所以平面平面；
25．如图,在三棱台中,已知平面平面,,,

(1)求证:直线平面;
【答案】(1)证明见解析
【详解】（1）证明:在等腰梯形中,
过作于点,画图如下:

所以,且,,
所以,
即,
即,
因为平面平面,
平面平面,
平面,
,
所以平面;
26．如图，四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，，，底面ABCD．

(1)证明：；
【答案】(1)详见解析；
【详解】（1）因为底面ABCD为平行四边形，，，
所以，，
所以 ，
故，，
所以，
又∵⊥平面，平面，
∴，又∵平面，平面，
∴平面，又平面，
所以；
27．如图，在五面体中，，，，，P， O分别为CD，AP的中点，二面角的大小为．

(1)证明：平面；
【答案】(1)证明见解析
【详解】（1）∵，，为的中点，为平行四边形，∴且
∵，∴，则．
又∵，∴，
∴为二面角的平面角，∴
又∵，∴为等边三角形，∵为的中点，则，
又∵，，平面，，∴平面，
∵平面，∴，
平面，，∴平面.
28．如图，三棱柱的所有棱长都为2，，.

(1)求证：平面⊥平面；
【答案】(1)证明见详解.
【详解】（1）证明：取中点连接，如图所示：

因为三棱柱的所有棱长都为2，
所以，
又因为且平面，
所以平面，
又因为平面，
所以．
在直角三角形中，，
所以，
在三角形中，，
所以，
所以，
又因为平面
所以平面．
又因为平面，
所以平面平面．
29．如图，在四棱锥中，侧面底面，底面是平行四边形，分别为线段的中点．

(1)证明：平面；
【答案】(1)详见解析；
【详解】（1）因为，为线段的中点，
所以，又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，又平面，
所以，
所以，
所以，
所以，即，
由分别为线段的中点，可得，
所以，又，平面，平面，
所以平面；
30．已知四边形ABCD如图1所示AD∥BC，AB=AD=DC=BC=2，将△ABD沿BD折起得到四面体A'BCD，如图2所示，．

(1)证明：A′B⊥CD；
【答案】(1)证明见解析
【详解】（1）过点作于点，连接，
∵，，
∴，即，所以，
在中，
∴，即，
又∵，∴，即，
又，且均含于面，∴面，
∴.

31．如图，四棱锥中，平面平面，为正三角形，底面为等腰梯形，//，．

(1)求证：平面；
【答案】(1)证明见解析；
【详解】（1）
取中点，连接，根据梯形性质和可知，//，且，于是四边形为平行四边形，故，则为等边三角形，故，在中，由余弦定理，，故，注意到，由勾股定理，，即，由平面平面，平面平面，平面，根据面面垂直的性质定理可得，平面.
32．如图1，在边长为2的菱形 中，，点分别是边 上的点，且 ，．沿将 翻折到的位置，连接 ，得到如图2所示的五棱锥 ．

(1)在翻折过程中是否总有平面 ？证明你的结论；
【答案】(1)在翻折过程中总有平面；证明见解析
【详解】（1）在翻折过程中总有平面．
证明如下：
∵点 分别是边 的点，且,
又，且是等边三角形,
∵,G是的中点，
∴ ，
∵菱形 的对角线互相垂直，∴ ，
∴ ，
∵，平面 ，平面，
∴平面，而，
∴平面.
33．已知直角三角形中，，分别是边中点，将和分别沿着翻折，形成三棱锥是中点

(1)证明：平面；
【答案】(1)证明见解析
【详解】（1）因为为中点，
所以；
又因为，平面平面，平面，，
所以平面，又平面，所以，
因为平面，平面，，
所以平面
34．四棱锥，平面ABCD，底面ABCD是菱形，，平面平面PBC.

(1)证明：⊥；
【答案】(1)证明过程见解析
【详解】（1）如图，过点A作AE⊥PB于点E，
因为平面平面PBC，交线为PB，且AE平面PAB，
所以AE⊥平面PBC，
因为平面PBC，
所以AE⊥BC，
因为平面ABCD，平面ABCD，
所以PA⊥BC，
因为，平面PAB，
所以BC⊥平面PAB，
因为AB平面PAB，
所以BC⊥AB；

35．已知四棱锥中，，，，，，面面，.

(1)求证：；
【答案】(1)见解析
【详解】（1）
由题知，，，，，
，面面，.
过作，过作，即，连接交于，
因为，
所以四边形为平行四边形，
所以，
因为在中，,
所以,
所以，
因为，，，
所以
所以，
因为，
所以,
因为，，
所以在中，,即，
又因为，平面平面且交于，
所以面，
因为面，
所以，
因为平面，
所以平面,
因为平面，
所以.
36．如图，水平面上摆放了两个棱长为的正四面体和．

(1)求证：；
【答案】(1)证明见解析；
【详解】（1）证明：因为与共面，
所以，连接与交于点，
因为四面体和是相同的正四面体，
所以，与均为等边三角形，即，
所以，四边形时菱形，则为与中点，
过点分别作平面，平面，垂足分别为，
所以，由正四面体的性质可知，分别为、的中心，且在上，，
因为正四面体的棱长为，
所以，
因为平面，平面，
所以，，
同理得，
所以，，故四边形为平行四边形，
所以，
因为四边形时菱形，，
所以

四、向量法证明垂直
37．在三棱锥中，，平面，点是棱上的动点，点是棱上的动点，且.

(1)当时，求证：；
【答案】(1)证明见解析
【详解】（1）在平面内过点作，使得点与点在同侧，
平面，平面，平面，
，，则两两互相垂直.
以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，

则，，；
由得：，，
为等腰直角三角形，；
同理可得：为等腰直角三角形，
当时，，，分别是中点，
，，，，
，.
38．如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面为等边三角形且垂直于底面，，分别为，的中点．

(1)证明：；
【答案】(1)证明见解析
【详解】（1）证明：取的中点，连接，过点作交于点，
因为为等边三角形，所以，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，又底面为正方形，所以，
如图建立空间直角坐标系，则，，，，
所以，，
所以，所以.

39．如图所示，四棱锥中，平面平面，四边形为等腰梯形，

(1)求证：
【答案】(1)证明见解析；
【详解】（1）取中点，连接，因为，
所以，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
取的中点，连接，因为为等腰梯形，
所以，
如图建立空间直角坐标系，

则，
所以，
所以，
所以；
40．如图，四边形是边长为1的正方形，平面平面，且.

(1)求证：平面
【答案】(1)证明见解析
【详解】（1）以点为原点，以所在的直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，

则，
，
，故EC⊥DF，EC⊥DA，
∵，平面ADF，
平面；
41．如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，，M、N分别是AB、PC的中点．

(1)求证：MN⊥平面PCD；
【答案】(1)证明见解析
【详解】（1）证明：∵PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，建立如图所示空间直角坐标系，
则，
，
由，又平面PCD，∴MN⊥平面PCD.


42．已知直三棱柱中，E，F分别为棱和的中点，，，.

(1)求证：平面平面；
【答案】(1)证明见解析
【详解】（1）如图所示，以为原点为轴和轴的正方向，在平面内，
过作轴的垂线为轴建立空间直角坐标系，设，
则，
所以，，
设平面的法向量为，
则，令，故.
设平面的法向量为，
则，令，故，
由于，所以，
所以平面平面；