四川省泸县重点中学2022-2023学年高二下学期期末考试文科数学试题及参考答案

泸县重点中学2023年春期高二期末考试

文科数学

第I卷   选择题（60分）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若复数（为虚数单位），则下列命题正确的是

A．是纯虚数 B．的实部为2 C．的共轭复数为 D．的模为

2．已知命题p：对，有，则为

A．对，有 B．对，有

C．，使得 D．，使得

3．某校有高三学生1200名，现采用系统抽样法从中抽取200名学生进行核酸检测，用电脑对这1200名学生随机编号1，2，3，…，1200，已知随机抽取的一个学生编号为10，则抽取的学生最大编号为

A．2004 B．1198 C．1192 D．1086

4．已知函数的导函数的图象如图所示，则关于的结论正确的是

A．在区间上为减函数 B．在处取得极小值

C．在区间，上为增函数 D．在处取得极大值

5．“割圆术”是刘徽最突出的数学成就之一，他在《九章算术注》中提出割圆术，并作为计算圆的周长、面积以及圆周率的基础.刘徽把圆内接正多边形的面积一直算到了正3072边形，并由此而求得了圆周率为3.1415和3.1416这两个近似数值，这个结果是当时世界上圆周率计算的最精确数据.如图，当分割到圆内接正六边形时，某同学利用计算机随机模拟法向圆内随机投掷点，计算得出该点落在正六边形内的频率为0.8269，那么通过该实验计算出来的圆周率近似值为（参考数据：）

A．3.1419 B．3.1417 C．3.1415 D．3.1413

6．已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为，长轴长为12，则椭圆方程为

A． B．

C．或 D．

7．已知曲线在点处的切线方程为，则

A． B． C． D．

8．直线与抛物线交于，两点，则

A． B． C． D．

9．已知函数在处取得极大值10，则的值为

A． B．或2 C．2 D．

10．设F为双曲线C：（a>0，b>0）的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P、Q两点．若|PQ|=|OF|，则C的离心率为

A．           B．               C．2              D．

11．已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的体积为

A． B． C． D．

12．已知在上恰有两个极值点，，且，则的取值范围为

A． B． C． D．

第II卷  非选择题（90分）

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．若直线与直线平行，则___________.

14．已知具有相关关系的两个变量的一组观测数据如下表所示，若据此利用最小二乘估计得到回归方程，则_______.

15．已知直线，圆，若直线与圆相交于两点,则的最小值为______．

16．函数的导函数为，若，且，则的最小值为______.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

（一）必考题：共60分

17．（12分）为了调查某社区居民每天参加健身的时间，某机构在该社区随机采访男性、女性各50名，其中每人每天的健身时间不少于1小时称为“健身族”，否则称其为"非健身族”，调查结果如下：

（1）若居民每人每天的平均健身时间不低于70分钟，则称该社区为“健身社区”. 已知被随机采访的男性健身族，男性非健身族，女性健身族，女性非健身族每人每天的平均健分时间分别是1.2小时，0.8小时，1.5小时，0.7小时，试估计该社区可否称为“健身社区”？

（2）根据以上数据，能否在犯错误的概率不超过5%的情况下认为“健身族”与“性别”有关？

参考公式： ，其中.

参考数据：

18．（12分）已知函数.

（1）求在点处的切线；

（2）求在区间上的最大值和最小值.

19．（12分）如图所示的多面体，其正视图为直角三角形，侧视图为等边三角形，俯视图为正方形（尺寸如图所示），E为PA的中点.

(1)求证：平面EBD；

(2)求三棱锥的体积.

20．（12分）已知函数.

(1)令，讨论的极值；

(2)若时，恒成立，求正实数a的取值范围.

21．（12分）已知椭圆的离心率为，且点在椭圆上．

(1)求椭圆的标准方程；

(2)若过定点的直线交椭圆于不同的两点､(点在点､之间)，且满足，求的取值范围.

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分．

22．（10分）（选修4-4 极坐标与参数方程）

在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．

(1)求C的普通方程和l的直角坐标方程；

(2)动点D在曲线C上，动点A，B均在直线l上，且，求△ABD面积的最小值．

23．（10分）（选修4-5 不等式选讲）

已知函数，不等式的解集为．

(1)求的值；

(2)若三个实数，，，满足．证明：

泸县重点中学2023年春期高二期末考试

文科数学参考答案

1．D  2．C  3．B  4．B  5．A  6．C  7．D  8．D  9．A  10．A  11．B  12．D

13．    14．3    15．    16．

17．解：（1）随机抽样的100名居民每人每天的平均健身时间为

小时，

由此估计该小区居民每人每天的平均健身时间为1.15小时，

因为1.15小时小时=70分钟，所以该社区不可称为“健身社区”；

（2）由联立表可得，

，

所以能在犯错误概率不超过5%的情况下认为“健康族”与“性别”有关.

18．解：（1），又，所以切线方程为，

即；

（2）由（1）知或，∴在上单减，在上单增，   

又，∴在上的最大值为3，最小值为0.

19．解：（1）连接交于点，连接，由已知可得 ，

∴平面，平面，∴平面EBD；.

（2）设的中点为，设的中点为，连接，

则易知，，

侧视图为正三角形，，

由正视图可得：平面平面，

又平面，，平面平面，

所以平面，

又，则平面， 由题意可知，

所以，

所以

20．解：（1），则，

若，则，此时无极值；

若，由得；由得；

则在上为减函数，在上为增函数，

故在处取极小值且极小值为，

综上，当时，无极值；

当时，有极小值为，无极大值.

（2）时，恒成立等价于恒成立，

设，则，

若，则，则为上的增函数，

故，故恒成立.

若，则当时，，

故在上为减函数，而，

故当时，成立，这与题设矛盾，故.

21．解：（1）由题意可知：，解得：

椭圆的标准方程为：．

（2）①当直线斜率不存在，方程为，则，.

②当直线斜率存在时，设直线方程为，

联立  得：.

由得：.

设，，

则，，

又，，，则，

，所以，所以 ，解得：,

又，综上所述：的取值范围为.

22．解：（1）对于曲线C，，，

所以．因为当有意义时，，

所以，则，即，

所以C的普通方程为．

由，得，即，

将，代入上式，可得l的直角坐标方程为．

（2）设，则点D到直线l的距离

，

所以当且仅当，即（）时，d取得最小值，

，所以△ABD面积的最小值为

23．解：（1）∵不等式的解集为，

∴，即，∴，经检验得符合题意.

（2）∵，

∴

，

由柯西不等式可知：

，

∴，

即，

当且仅当，，时等号成立.