四川省泸县重点中学2022-2023学年高一下学期期末考试数学试题及参考答案

泸县重点中学2023年春期高一期末考试

数学试题

本试卷共4页，22小题，满分150分。考试用时120分钟。

第I卷 选择题（60分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．

A． B． C． D．

2．若复数z满足，则

A．1 B．5 C．7 D．25

3．已知，是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的一组是

A．和 B．和

C．和 D．和

4．函数，的图象与直线的交点个数为

A． B． C． D．

5．“幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标，常用区间[0,10]内的一个数来表示，该数越接近10表示满意度越高.现随机抽取10位嘉祥县居民，他们的幸福感指数为 3，4，5，5，6，7，7，8，9，10.则这组数据的 80%分位数是

A．7.5 B．8 C．8.5 D．9

6．非零向量满足，则与的夹角是

A． B． C． D．

7．将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则的最小值是

A． B． C． D．

8．在空间四边形中， ， ，，分别是， 的中点 ，，则异面直线与所成角的大小为

A． B． C． D．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．病毒研究所检测甲乙两组实验小白鼠的某医学指标值，得到样本数据的频率分布直方图（如图所示），则下列结论正确的是

A．甲组数据中位数大于乙组数据中位数

B．甲组数据平均数小于乙组数据平均数

C．甲组数据平均数大于甲组数据中位数

D．乙组数据平均数小于乙组数据中位数

10．盒子里有形状大小都相同的4个球，其中2个红球、2个白球，从中先后不放回地任取2个球，每次取1个．设“两个球颜色相同”为事件A，“两个球颜色不同”为事件B，“第1次取出的是红球”为事件C，“第2次取出的是红球”为事件D．则

A．A与B互为对立事件 B．A与C相互独立

C．C与D互斥 D．B与C相互独立

11．在锐角三角形ABC中，A，B，C为三个内角，a，b，c分别为A，B，C所对的三边，则下列结论成立的是

A．若，则 B．若，则B的取值范围是

C． D．

12．如图所示是正方体的平面展开图，那么在正方体中

A．

B．EF和BC所成的角是60°

C．直线AC和平面ABE所成的角是30°

D．如果平面平面，那么直线直线.

第II卷 非选择题（90分）

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．已知向量，，且在上的投影数量等于，则___________.

14．设为所在平面内的一点，若，，则________．

15．锐角的内切圆的圆心为，内角，，所对的边分别为，，.若，且的外接圆半径为1，则周长的取值范围为___________.

16．如图，二面角等于，A、是棱l上两点，BD、AC分别在半平面、内，，，且，则CD的长等于________.

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）已知函数.

(1)求函数在区间上的最大值和最小值；

(2)若，，求的值.

18．（12分）某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为[40，50），[50，60），……，[80，90），[90，100]．

(1)求频率分布直方图中a的值；

(2)估计该企业的职工对该部门评分的50%分位数（保留一位小数）；

(3)从评分在的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在的概率．

19．（12分）如图1，在直角梯形中，，，且，现以为一边向梯形外作正方形，然后沿边将正方形翻折，使，为的中点，如图2．

(1)求证：平面；

(2)求证：平面平面；

20．（12分）记的内角，，的对边分别为，，.已知，点在边上，且

(1)证明：；

(2)若，求.

21．（12分）如图，在长方体中，，P为的中点．

(1)证明：平面；

(2)求二面角的正弦值．

22．（12分）已知函数， ．

(1)试判断在其定义域上是否具有奇偶性，若有，请加以证明；

(2)若函数在上只有一个零点，求实数a的取值范围．
泸县重点中学2023年春期高一期末考试

数学试题参考答案

1．C  2．B  3．A  4．C  5．C  6．B  7．C  8．D

9．BCD   10．ABD   11．ACD  12．BCD

13．   14．   15．  16．4

17．解：（1）由得，因为，则，故当时，取最大值2；当时，取最小值；

所以函数在区间上的最大值为2，最小值为.

（2）由（1）可知，

又因为，所以，

由，得，从而，

所以.

18．（1）由频率分布直方图得：

，解得．

（2）评分在的概率为，评分在的概率为，该企业的职工对该部门评分的50%分位数位于，所以50%分位数为；

（3）受访职工中评分在的有：人，记为，，，

受访职工中评分在的有：人，记为，，

从这5名受访职工中随机抽取2人，所有的可能结果有10种，分别为：

，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，

此2人评分都在包含的基本事件有，，，，，，共3个，

从评分在的受访职工中，随机抽取2人，此2人评分都在的概率．

19．（1）取中点，连接，．

在中，，分别为，的中点，所以，且．

由已知，，所以，且．

所以四边形为平行四边形．所以．

又因为平面，且平面，

所以平面．

（2）在正方形中，，又，，

平面，∴平面，

平面，，

在中，AB=AD=1，所以BD=，，

在中，，

BD=，CD=2，所以BC=，所以，

又因为，平面，

所以平面，又因为平面，

所以平面平面.

20．（1）在中，因为，所以，

又因为，所以，即

在中，根据正弦定理，得，故.

（2）在中，，

又由（1）知，，所以，

在中，根据余弦定理，得，

又由已知，，得，

所以，则，即，

因为，则，所以或，所以或，

又点在边上，且，，

所以必有一个大于等于，所以.

21．(1)以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，如下图所示

设，则

又，平面

(2)由（1）可知，平面的法向量为

设平面的法向量为，

，令，可得

故二面角的正弦值为

22．解：（1）偶函数，证明如下：

证明：函数，定义域为，关于原点对称，

所以函数为上的偶函数．

（2）解：因为函数在上只有一个零点，

所以关于x的方程有唯一的实数解，

即方程有唯一的实数解，

即有唯一的实数解，

化简得，令，

下面研究关于t的方程何时仅有一个正根.

①当时，，符合题意；

②当时，则，

当时，，当时，（舍）

当，即时，，方程有异号的两个实根，符合题意；

综上所述，实数a的取值范围为或.