2023年湖北省黄冈市部分学校中考数学适应性试卷（二）（含解析）

2023年湖北省黄冈市部分学校中考数学适应性试卷（二）

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的倒数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  为响应习近平总书记“坚决打赢关键核心技术攻坚战”的号召，某科研团队最近攻克了的光刻机难题，其中，则用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  如图，，，平分，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

4.  如图，该正方体的俯视图是(    )

A.
B.
C.
D.

5.  如图，平面直角坐标系中，点在第一象限，点在轴的正半轴上，，，将绕点逆时针旋转，点的对应点的坐标是．(    )
 

A.  B.  C.  D.

6.  如图所示，等边的顶点在上，边、与分别交于点、，点是劣弧上一点，且与、不重合，连接、，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

7.  如图，在中，，，，以点为圆心，长为半径作弧，交于点；再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  二次函数的部分图象如图所示，与轴交于，对称轴为直线下列结论：；；对于任意实数，都有成立；若，，在该函数图象上，则；方程为常数的所有根的和为其中正确结论有个．(    )
 

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

9.  若有意义，则实数的取值范围为          ．

10.  分解因式：______．

11.  若一元二次方程无实数根，则一次函数的图象不经过第______象限．

12.  某日，甲、乙两地的气温如图所示，如果将这一天甲、乙两地气温的方差分别记作，，则______填“”、“”、“”．

 

13.  如图，传送带的一个转动轮的半径为，转动轮转，传送带上的物品被传送，则______．

14.  如图，某校教学楼后面紧邻着一个山坡，坡上面是一块平地．，，斜坡长，斜坡的坡比为：为了减缓坡面，防止山体滑坡，学校决定对该斜坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过时，可确保山体不滑坡．如果改造时保持坡脚不动，则坡顶沿至少向右移______时，才能确保山体不滑坡．取

15.  将连续正整数按如表规律排列：若正整数位于第行，第列，则 ______ ．

16.  如图，在正方形中，，与交于点，是的中点，点在边上，且为对角线上一点，则的最大值为______．

 

三、解答题（本大题共8小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

18.  本小题分
某班去革命老区研学旅行，研学基地有甲乙两种快餐可供选择，买份甲种快餐和份乙种快餐共需元，买份甲种快餐和份乙种快餐共需元．
买一份甲种快餐和一份乙种快餐各需多少元？
已知该班共买份甲乙两种快餐，所花快餐费不超过元，问至少买乙种快餐多少份？

19.  本小题分
奥体中心为满足暑期学生对运动的需求，欲开设球类课程，该中心随机抽取部分学生进行问卷调查，被调查学生须从“羽毛球”、“篮球”、“足球”、“排球”、“乒乓球”中选择自己最喜欢的一项．根据调查结果绘制了不完整的条形统计图和扇形统计图，请根据图中信息，解答下列问题：
此次共调查了多少名学生？
将条形统计图补充完整；
我们把“羽毛球”“篮球”，“足球”、“排球”、“乒乓球”分别用，，，，表示．小明和小亮分别从这些项目中任选一项进行训练，利用树状图或表格求出他俩选择不同项目的概率．

 

20.  本小题分
如图，为的直径，直线与相切于点，，垂足为，交于点，连接．
求证：；
若，，求的半径．

21.  本小题分
设函数，函数是常数，，．
若函数和函数的图象交于点，点，
求函数，的表达式；
当时，比较与的大小直接写出结果．
若点在函数的图象上，点先向下平移个单位，再向左平移个单位，得点，点恰好落在函数的图象上，求的值．

22.  本小题分
某企业设计了一款工艺品，每件的成本是元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是元时，每天的销售量是件，而销售单价每降低元，每天就可多售出件，但要求销售单价不得低于成本．
求出每天的销售利润元与销售单价元之间的函数关系式；
求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
如果该企业要使每天的销售利润不低于元，且每天的总成本不超过元，那么销售单价应控制在什么范围内？每天的总成本每件的成本每天的销售量

23.  本小题分
问题背景：
如图，在矩形中，，，点是边的中点，过点作交于点．
实验探究：
在一次数学活动中，小王同学将图中的绕点按逆时针方向旋转，如图所示，得到结论：______；直线与所夹锐角的度数为______．
小王同学继续将绕点按逆时针方向旋转，旋转至如图所示位置．请问探究中的结论是否仍然成立？并说明理由．
拓展延伸：
在以上探究中，当旋转至、、三点共线时，则的面积为______．

 

24.  本小题分
若一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点，点的坐标为，二次函数的图象过，，三点，如图．
求二次函数的表达式；
如图，过点作轴交抛物线于点，点在抛物线上轴左侧，若恰好平分求直线的表达式；
如图，若点在抛物线上点在轴右侧，连接交于点，连接，．
当时，求点的坐标；
求的最大值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的倒数是．
故选：．
乘积是的两数互为倒数，由此即可得到答案．
本题考查倒数，关键是掌握倒数的意义．
 

2.【答案】 

【解析】解：，

故选D．
本题考查用科学记数法表示绝对值较小的数．
利用科学计数法即可解．
 

3.【答案】 

【解析】解：，，
，，
平分，
，
．
故选：．
由平行线的性质得，再由角平分线得，再次利用平行线的性质可得．
本题主要考查平行线的性质，角的平分线，解答的关键是熟记并运用平行线的性质：两直线平行，内错角相等．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．
俯视图是从物体上面看所得到的图形，据此判断正方体的俯视图．
【解答】
解：正方体的俯视图是从物体上面看，所得到的图形，观察几何体知A正确，
故选：．  

5.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查坐标与图形变化旋转，旋转的性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
如图，作轴于由含角的直角三角形的性质求出，由勾股定理求出，进而得出即可得出答案．
【解答】
解：如图，作轴于．

由题意得：，，
，，
，
，，
，
，
故选B．  

6.【答案】 

【解析】解：是内接四边形，
，
等边的顶点在上，
，
，
故选：．
根据圆的内接四边形对角互补及等边的每一个内角是，求出．
本题考查了圆周角定理、等边三角形的性质，掌握两个性质定理的应用是解题关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：连接，
在中，，，，
．
作法可知，是线段的垂直平分线，
是斜边的中线，
，
，
．
故选：．
连接，根据在中，，，可知，再由作法可知，是线段的垂直平分线，故CD是斜边的中线，据此可得出的长，进而可得出结论．
本题考查的是作图基本作图，熟知线段垂直平分线的作法和直角三角形的性质是解答此题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：抛物线开口向上，
，
抛物线与轴交于点，
，
抛物线的对称轴为直线，
，
，
，故正确；
，，
，
观察图象可知：当时，，
，
，故正确；
当时，，故错误；
点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，
，
点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离，
，
，故错误；
方程为常数的解，是抛物线与直线交点的横坐标，
当有四个或三个交点时，
当时，，
当时，，
，方程为常数的所有根的和为，
当有两个交点时，方程为常数的所有根的和为，
故错误．
故选：．
正确．判断出，，的正负，可得结论；
正确．利用对称轴公式可得，当时，，解不等式可得结论；
错误．当时，；
错误．应该是；
错误．当有四个或三个交点时，方程为常数的所有根的和为，当有两个交点时，方程为常数的所有根的和为．
本题考查二次函数的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

9.【答案】 

【解析】解：，
．
故答案为：．
根据二次根式的被开方数是非负数即可得出答案．
本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：原式．
故答案为：．
先提取公因式，再根据平方差公式进行二次分解．平方差公式：．
本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次分解，注意分解要彻底．
 

11.【答案】一 

【解析】解：因为一元二次方程无实数根，
所以，解得，
所以，，
所以一次函数的图象经过二、三、四象限，不经过第一象限．
故答案为一．
本题考查一元二次方程的根的判别式，以及一次函数的图象与系数的关系．
先根据一元二次方程无实数根判断出的取值范围，再判断出与的符号进而可得出结论．
 

12.【答案】 

【解析】解：观察平均气温统计图可知：乙地的平均气温比较稳定，波动小；故乙地的日平均气温的方差小．
所以．
故答案为：．
根据气温统计图可知：乙地的平均气温比较稳定，波动小，由方差的意义知，波动小者方差小．
本题考查方差的意义：方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
 

13.【答案】 

【解析】解：物品被传送的距离等于转动了的弧长，
，
解得：，
故答案为：．
物品被传送的距离等于转动了的弧长，代入弧长公式即可求出的值．
本题考查了弧长的计算，理解传送距离和弧长之间的关系是解决问题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：在上取点，使，过点作于，
，，，
四边形为矩形，
，，
斜坡的坡比为：，
，
设，则，
由勾股定理得，，即，
解得，，
，，
，
在中，，
，
，
坡顶沿至少向右移时，才能确保山体不滑坡，
故答案为：．
在上取点，使，作，根据坡度的概念求出、，根据正切的定义求出，结合图形计算，得到答案．
本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：由表中数据排列知，每一行都有个数，奇数行是从小到大排列，偶数行是从大到小排列，
，
正整数位于第行，即；
是偶数，而且是从大到小排列，
是这一行中最小的数，因此在第列，

．
故答案为：．
找到每一行数字排列的规律，找到排列的位置即可解决．
本题考查的是数字排列规律，需要找出每一行每一列的排列规律．
 

16.【答案】 

【解析】解：如图所示，以为对称轴作的对称点，连接，，

根据轴对称性质可知，，为的中点，
，
当，，三点共线时，取“”，
过作于点，可得，
，，
为的中位线，
，，
，
为等腰直角三角形，，
正方形边长为，，
，
，
即的最大值为，
故答案为：．
以为对称轴作的对称点，连接，，依据，可得当，，三点共线时，取“”，过作于点，即可得出，，得到为等腰直角三角形，即可得到．
本题主要考查了正方形的性质以及最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决即可．
 

17.【答案】解：原式
，
，
，
，
原式． 

【解析】本题考查的是整式的化简求值，掌握平方差公式、完全平方公式、合并同类项法则、灵活运用整体思想是解题的关键．
根据平方差公式、完全平方公式、合并同类项法则把原式化简，再将已知条件变形后整体代入即可．
 

18.【答案】解：设购买一份甲种快餐需要元，购买一份乙种快餐需要元，
依题意得：，
解得：．
答：购买一份甲种快餐需要元，购买一份乙种快餐需要元．
设购买乙种快餐份，则购买甲种快餐份，
依题意得：，
解得：．
答：至少买乙种快餐份． 

【解析】设购买一份甲种快餐需要元，购买一份乙种快餐需要元，根据“买份甲种快餐和份乙种快餐共需元，买份甲种快餐和份乙种快餐共需元”，即可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设购买乙种快餐份，则购买甲种快餐份，利用总价单价数量，结合总价不超过元，即可列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
 

19.【答案】解：此次共调查的学生有：名；

足球的人数有：人，补全统计图如下：


根据题意画树状图如下：

共用种等可能的情况数，其中他俩选择不同项目的有种，
则他俩选择不同项目的概率是． 

【解析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
用羽毛球的人数除以所占的百分比即可得出答案；
用总人数减去其他项目的人数求出足球的人数，从而补全统计图；
根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数和他俩选择不同项目的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
 

20.【答案】证明：连接，
为的切线，
，
，
，
．
又，
，
，
即；
解：连接，
为的直径，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
设，，
，
，
，
的半径为．
方法二：，
，
连接，
是直径，
，
，
，

半径为 

【解析】连接，根据切线的性质求得，由平行线的性质和等腰三角形的性质可证得；
连接，根据圆周角定理得到，推出，根据勾股定理得到，求得，根据三角函数的定义即可得到结论．
本题考查了切线的性质，勾股定理，三角函数的定义，圆周角定理，正确地作出辅助线是解题的关键．
 

21.【答案】解：把点代入，
，
解得：，
函数的表达式为，
把点代入，解得，
把点，点代入，
，
解得，
函数的表达式为；
如图，

当时，；
由平移，可得点坐标为，
，
解得：，
的值为． 

【解析】利用待定系数法求函数解析式；
利用函数图像分析比较；
根据平移确定点的坐标，然后利用函数图像上点的坐标特征代入求解．
本题考查反比例函数与一次函数，理解反比例函数和一次函数的图像性质，掌握待定系数法求函数解析式，利用数形结合思想解题是关键．
 

22.【答案】解：


；



，
抛物线开口向下．
，对称轴是直线，
当时，；

当时，，
解得，．
当时，每天的销售利润不低于元．
由每天的总成本不超过元，得，
解得．
，
销售单价应该控制在元至元之间． 

【解析】根据“利润售价成本销售量”列出方程；
把中的二次函数解析式转化为顶点式方程，利用二次函数图象的性质进行解答；
把代入函数解析式，求得相应的值；然后由“每天的总成本不超过元”列出关于的不等式，通过解不等式来求的取值范围．
本题考查二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．
 

23.【答案】， 
结论仍然成立，
理由如下：如图，设与交于点，与交于点，

将绕点按逆时针方向旋转，
，
又，
∽，
，，
又，
，
直线与所夹锐角的度数为．
 或 

【解析】解：如图，，，，
，
如图，设与交于点，与交于点，

绕点按逆时针方向旋转，
，
∽，
，，
又，
，
直线与所夹锐角的度数为，
故答案为：，；

拓展延伸：如图，当点在的上方时，过点作于，

，，点是边的中点，，
，，，
，，
，
、、三点共线，
，
，
，
，
由可得：，
，
，
的面积；
如图，当点在的下方时，过点作，交的延长线于，

同理可求：的面积；
故答案为：或．
通过证明∽，可得，，即可求解；
通过证明∽，可得，，即可求解；
拓展延伸：分两种情况讨论，先求出，的长，即可求解．
本题是几何变换综合题，考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，旋转的性质等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
 

24.【答案】解：一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点，
则点、的坐标分别为、，
将点、、的坐标代入抛物线表达式得，解得，
故抛物线的表达式为：；

设直线交轴于点，

从抛物线表达式知，抛物线的对称轴为，
轴交抛物线于点，故点，
由点、的坐标知，直线与的夹角为，即，
恰好平分，故，
而，
故≌，
，故，故点，
设直线的表达式为：，则，解得，
故直线的表达式为：；

过点作轴交于点，

则∽，则，
而，则，解得：，
当时，则，
设点，
由点、的坐标知，直线的表达式为：，当时，，故点，
故，
解得：或，故点或；
当点时，点在直线上，
点，
，
，
故的最大值为． 

【解析】函数的图象与轴，轴分别交于，两点，则点、的坐标分别为、，将点、、的坐标代入抛物线表达式，即可求解；
证明≌，则，故，故点，即可求解；
过点作轴交于点，则∽，则，而，则，解得：，即可求解．
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、三角形全等和相似、面积的计算等．