2023年湖南省衡阳市衡州中学中考数学一模试卷（含解析）

2023年湖南省衡阳市衡州中学中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列计算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  我国倡导的“一带一路”建设覆盖总人口约为亿人，亿用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  下列各式中，正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  函数的自变量的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  已知下列命题：
对角线互相平分的四边形是平行四边形；
内错角相等；
对角线互相垂直的四边形是菱形；
矩形的对角线相等．
其中假命题有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

8.  如图所示的三棱柱，高为，底面是一个边长为的等边三角形要将该三棱柱的表面沿某些棱剪开，展开成一个平面图形，需剪开棱的棱长的和的最小值为．(    )

A.
B.
C.
D.

9.  不等式组的解集在数轴上表示出来，正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  若函数是反比例函数，则为(    )

A.  B.  C.  D. 以上都不对

11.  在一幅长，宽的景观区域的四周铺设一条观光小道，如图所示，如果要使观光小道的总面积是，设观光小道的宽为，那么满足的方程是(    )

A.  B.
C.  D.

12.  如图，把放在平面直角坐标系内，其中，，点、的坐标分别为，，将沿轴向右平移，当点落在直线上时，线段扫过的面积为(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

13.  如图，，与，都相交，，则______．

14.  若正边形的一个外角是，则 ______ ．

15.  试卷上一个正确的式子，被小颖同学不小心滴上墨汁，被墨汁遮住部分的代数式为______．

16.  如图，在第一个天平上，物块的质量等于物块加上物块的质量；如图，在第二个天平上，物块加上物块的质量等于个物块的质量已知物块的质量为请你判断：个物块的质量是______

 

17.  如图，中，，，，将沿方向平移个单位得其中，，的对应点分别是，，，设交于点，若的面积比的大，则代数式的值为______ ．

18.  如图，等边的顶点，分别在轴，轴的正半轴上滑动，点在第一象限，连接，若等边的边长为，则线段长的最大值是______．

三、解答题（本大题共8小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
计算：
；
．

20.  本小题分
某校为了调查初三男生和女生周日学习用时情况，随机抽取了初三男生和女生各人，对他们的周日学习时间进行了统计，分别得到了初三男生的学习时间的频率分布表和女生学习时间的频率分布直方图学习时间，单位：小时，．
男生周日学习时间频率表

请你判断该校初三年级周日学习用时较长的是男生还是女生，并说明理由；
从这名学生中周日学习用时在内的学生中抽取人，求恰巧抽到一男一女的概率．

21.  本小题分
如图，在四边形中，，连接，点在边上，点在边上，且．
与存在怎样的位置关系？请说明你的理由；
若平分，，，求的度数．

22.  本小题分
九班同学为了解某小区家庭月均用水情况单位：吨，随机调查了该小区部分家庭，并将调查数据进行如下整理：

请解答以下问题：
把上面的频数分布表和频数分布直方图补充完整；
若该小区有户家庭，根据调查数据估计，该小区月均有水量超过吨的家庭大约有多少户？

23.  本小题分
某过街天桥的截面图形为梯形，如图所示，其中天桥斜面的坡度为：：：是指铅直高度与水平宽度的比，的长为，天桥另一斜面的坡角
写出过街天桥斜面的坡度；
求的长；
若决定对该天桥进行改建，使斜面的坡度变缓，将其坡角改为，方便过路群众，改建后斜面为，试计算此改建需占路面的宽度的长结果精确到

24.  本小题分
直径，和是的切线，切于点且交于点，交于点，设，．
求与之间的关系式；
，是关于的一元二次方程的两个根，求，的值；
在的条件下，求的面积．

25.  本小题分
如图，半圆中，，点为上一点，，点为半圆上一个动点，连接、，过点作，垂足为小明根据学习函数的经验，对线段、、的长度之间的关系进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整：
设的长度为，的长度为，的长度为，对于点在半圆上的不同位置，画图、测量，得到了线段、、的长度的几组值，如表：

请计算，当时，______；
利用表格中的数据，在如下平面直角坐标系中，画出中所确定的函数关于的函数图象；

结合函数图象，解决问题：当是等腰三角形时，直接写出长度的近似值．保留一位小数

26.  本小题分
如图，抛物线与轴负半轴交于点，与轴交于点．
求，两点的坐标；
如图，点在轴右侧的抛物线上，且，求点的坐标；
如图，将绕平面内点顺时针旋转后，得到点，，的对应点分别是点，，，，两点刚好在抛物线上．
求点的坐标；
直接写出点的坐标．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
的相反数是，
故选 A。
根据相反数特性：若、互为相反数，则即可解题。
本题考查了相反数之和为的特性，熟练掌握相反数特性是解题的关键。
 

2.【答案】 

【解析】解：、与不属于同类项，不能合并，故选项错误，不符合题意；
B、，故选项错误，不符合题意；
C、，故选项错误，不符合题意；
D、，故选项正确，符合题意．
故选：．
根据合并同类项、同底数幂的乘法、积的乘方分别计算即可．
本题主要考查了合并同类项，幂的乘方与积的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

3.【答案】 

【解析】解：亿．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．
本题考查了科学记数法的表示方法，掌握形式为的形式，其中，为整数是关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：．，所以选项不符合题意；
B.，所以选项符合题意；
C.，所以选项不符合题意；
D.，所以选项不符合题意．
故选：．
根据立方根的定义对、进行判断；利用二次根式的性质对、进行判断．
本题考查了二次根式的性质与化简：熟练掌握二次根式的性质是解决问题的关键．也考查了立方根．
 

5.【答案】 

【解析】解：不是轴对称图形，是中心对称图形；
B.是轴对称图形，不是中心对称图形；
C.不是轴对称图形，是中心对称图形；
D.是轴对称图形，也是中心对称图形．
故选：．
中心对称图形绕某一点旋转后的图形与原来的图形重合，轴对称图形被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合，据此逐一判断出既是轴对称图形又是中心对称图形的是哪个即可．
本题考查的是中心对称图形和轴对称图形，熟练掌握两者的定义是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：由题意得，，
解得：．
故选：．
根据分母不等于列不等式求解即可．
本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为；当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
 

7.【答案】 

【解析】解：根据平行四边形的判定定理可知，对角线互相平分的四边形是平行四边形，故是真命题；
两直线平行，内错角相等，故为假命题；
根据菱形的判定定理，对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，故是假命题；
根据矩形的性质，矩形的对角线相等，故是真命题．
故选：．
利用平行四边形的判定、平行线的性质、菱形的判定和矩形的性质分别对各命题进行判断即可．
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是熟悉平行四边形的判定、平行线的性质、菱形的判定及矩形的性质，难度不大．
 

8.【答案】 

【解析】解：三棱柱的展开图如图；

由图形可知：没有剪开的棱的条数是条，
则至少需要剪开的棱的条数是：条．
故至少需要剪开的棱的条数是条．
需剪开棱的棱长的和的最小值为：．
故选：．
三棱柱有条棱，观察三棱柱的展开图可知没有剪开的棱的条数，相减即可求出需要剪开的棱的条数，剪开的棱至少有一条是高．
本题主要考查的是认识立体图形，明确棱柱有个侧面，个底面，条棱，个顶点；能够数出三棱柱没有剪开的棱的条数是解答此题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：解不等式得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为，
在数轴上表示出来为：
故选：．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集，再在数轴上表示出来即可．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：由题意得：，且，
解得：．
故选：．
根据反比例函数的定义可得，且，解可得答案．
此题主要考查了反比例函数的定义，判断一个函数是否是反比例函数，首先看看两个变量是否具有反比例关系，然后根据反比例函数的意义去判断，其形式为为常数，或为常数，．
 

11.【答案】 

【解析】解：根据题意得：，
即，
故选：．
根据面积的和差列方程即可．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：点、的坐标分别为、，
．
，，
．
．
点在直线上，
，解得：．
即．
，
，
即线段扫过的面积为．
故选：．
首先根据题意作出图形，则可得线段扫过的面积应为平行四边形的面积，其高是的长，底是点平移的路程．则可由勾股定理求得的长，由点与一次函数的关系，求得的坐标，即可求得的值，继而求得答案．
此题考查了一次函数的性质、平移的性质、勾股定理以及平行四边形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．
 

13.【答案】 

【解析】解：如图，

，，
，
，
，
故答案为：．
根据平行线的性质求解即可．
此题考查了平行线的性质，熟记“两直线平行，同位角相等”是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
利用多边形的外角和即可解决问题．
主要考查了多边形的外角和定理．任何一个多边形的外角和都是，用外角和求正多边形的边数直接让度除以外角即可．
 

15.【答案】． 

【解析】解：，
被墨汁遮住部分的代数式是：
，


．
故答案为：．
根据已知分式得出被墨汁遮住部分的代数式是，再根据分式的运算法则进行计算即可．
本题考查了分式的混合运算，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：设物块、、的质量分别是克，克，克，根据题意得，

，得
，
，
，
，
解得，，
即，个物块的质量是．
故答案为：．
可以分别设物块、、的质量是，，，然后根据两个天平列出方程组，消去，得出与之间的关系即可得出答案．
此题主要考查了二元一次方程组的应用，根据实际问题列出二元一次方程组是解此题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：，，，将沿方向平移个单位得，
，，
的面积比的大，即，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
由平移的性质可得，然后根据已知条件可得，再根据长方形的面积公式和三角形的面积公式即可求出结论．
此题考查的是平移的性质、因式分解、长方形的面积公式和三角形的面积公式，根据得到是解决此题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：取的中点，连接、，如图所示，

为直角三角形，为的中点，
，
是边长为的等边三角形，为的中点，
，，
，
，
在中，．
当点、、三点共线时，最大，
此时．
故答案为：．
取的中点，连接、，根据直角三角形斜边上的中线以及等边三角形的性质，即可得出、的长度，再根据三角形的三边关系即可得出，由此即可得出当点、、三点共线时，的值最大，代入数据即可得出结论．
本题考查了直角三角形斜边上的中线、等边三角形的性质以及三角形的三边关系，解题的关键是找出当点、、三点共线时的长取最大值．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，利用数形结合解决问题是关键．
 

19.【答案】解：

；




． 

【解析】先按照完全平方公式，单项式乘以多项式的法则计算整式的乘法，再合并同类项即可得到答案；
先通分，计算括号内的分式的加减运算，同步把除法转化为乘法，约分后可得答案．
本题考查的是整式的混合运算，分式的混合运算及完全平方公式，掌握以上运算是解题的关键．
 

20.【答案】解：由频数分布直方图得女生学习时间的平均数为：；
由男生周日学习时间频率表得男生学习时间的平均数为：，
，
该校初三年级周日学习用时较长的是男生；
这名学生中周日学习用时在内的学生中，男生有人，女生有人，
列树状图如图所示，由树状图可知，共有种情况；
刚好抽到一男一女的有种等可能结果，
所以刚好抽到一男一女的概率为． 

【解析】分别求出男生和女生周日学习用时的平均数，由此判断即可；
从被抽到的名学生中周日学习用时在内的学生中男生由人，女生由人，列树状图求得抽到男女的概率即可．
此题考查了概率公式与列表法或树状图法求概率．列表法或树状图法可以不重不漏的列举出所有可能发生的情况，列举法适合于两步完成的事件，树状图法适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

21.【答案】解：，理由如下：
，
，
，
，
；
，
，
，
平分，
，
，
在中，，
． 

【解析】根据，得到，根据，得到，根据同位角相等，两直线平行即可得到；
根据两直线平行，同旁内角互补得到，根据平分，得到，得到，在中，根据三角形内角和定理得到即可求解．
本题考查了平行线的性质，根据三角形内角和定理得到是解题的关键．
 

22.【答案】解：样本容量为，
，

由频数分布表知，有人，有人，

户，
答：该小区月均有水量超过吨的家庭大约有户． 

【解析】根据表中的数据可以将频数分布表补充完整，根据频数分布表中的数据可以将频数分布直方图补充完整．
根据频数分布表中的数据可以计算出该小区月均有水量超过吨的家庭大约有多少户．
本题考查了频数分布直方图，频数分布表，用样本估计总体．解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

23.【答案】解：在中，，
．
的坡度；

在中，
，
．
又，
；

由知．
在中，，
，
即，
解得                       
答：改建后需占路面宽度约为． 

【解析】坡度为坡角的正切值，由此可求出坡面的坡度；
在中，根据坡比可求出坡角的度数，进而由坡角的正弦函数求出的长；
分别在和中，根据坡角的度数和铅直高的长求出水平宽、的长，进而可由求得的长．
此题主要考查学生对坡度坡角的掌握及三角函数的运用能力．需注意的是坡度即坡比是坡角的正切函数，不要混淆概念．
 

24.【答案】解：作交于；

、与切于点定、，
，．
又，
，
四边形是矩形，
，，
，
；
切于，
，，
则，
在中，
由勾股定理得：，
整理为：，
与的函数关系式是．
由知，
，是方程的两个根，
根据韦达定理知，，即；
原方程为，
解得或．
连接，

，，是的切线，
，，，
，，
，，
，，
． 

【解析】根据切线长定理得到，，则，在直角中根据勾股定理，就可以求出与的关系，
由求得；最后由根与系数的关系求得的值，通过解一元二次方程即可求得、的值；
由，是的两条切线，切于，得到，，，推出，，．
本题属于圆综合题，主要考查了切线长定理．韦达定理、解一元二次方程、全等三角形的判定与性质，梯形的面积可以通过作高线转化为直角三角形的问题．
 

25.【答案】 

【解析】解：如图，连接，

是直径，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
在中，，
故答案为：；
如图所示即为所求，

由中图象可知，交点位置即为所求，
故答案为：和．
证明∽，得，再利用勾股定理即可得出答案；
根据表格，描点、连线即可；
观察图象即可得出答案．
本题主要考查了函数图象的画法，圆的性质，相似三角形的判定与性质，利用函数图象进行估值等知识，解题的关键在于读懂题意，运用数形结合的思想解决问题．
 

26.【答案】解：令，，
或，
，
令，则，
；
，
点在的垂直平分线上，
，，
的中点，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
设直线的解析式为，
，
，
，
联立，
解得，
点在轴右侧，
，
；
如图，设，
，，
，，
点在抛物线上，
，
，
；
过点作轴交于点，交于点，
，
，
，，
≌，
，，
，
，
设，
，
，
，
，
或舍，
 

【解析】令，可求点坐标，令，可求点坐标；
由题意可知点在的垂直平分线与抛物线的交点处，证明，再由三角函数，可求点坐标，进而求出直线的解析式，联立即可求点坐标；
设，则，，再由点在抛物线上，可求，则；
过点作轴交于点，交于点，证明≌，则，设，，再由，可得，即可求
本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，旋转的性质，线段垂直平分线的性质，数形结合解题是关键．