2023年山东省菏泽市成武县育青中学中考数学三模试卷（含解析）

2023年山东省菏泽市成武县育青中学中考数学三模试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列各数中，负数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  如图，水平的讲台上放置的圆柱形笔筒和长方体形粉笔盒，其俯视图是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  对于实数和，定义一种新运算“”为：，这里等式右边是实数运算例如：则方程的解是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  如图，在中，，以点为圆心，以的长为半径作弧交于点，连接，再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，连接，则下列结论正确的是(    )

A. 垂直平分 B. ∽
C.  D.

5.  若一组数据，，，，，的平均数是，则众数是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  平面直角坐标系中，点的坐标为，则向量可以用点的坐标表示为；已知，，若，则与互相垂直．
下面四组向量：，；
，；
，；
，
其中互相垂直的组有(    )

A. 组 B. 组 C. 组 D. 组

7.  如图，在矩形中，，，点、分别为、的中点，、相交于点，过点作，交于点，则线段的长度是(    )
 

A.  B.  C.  D.

8.  二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论：；；；若点、点、点在该函数图象上，则；，为常数其中正确的结论有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

9.  用科学记数法表示人体中约有的红细胞为个，不用科学记数法表示，原来的数据是______ 个

10.  若数使关于的不等式组的解集为，且使关于的分式方程的解为正数，则符合条件的所有整数的和为______ ．

11.  如图，已知的内接正六边形的边心距是，则正六边形的边长为______ ．

12.  如图，平面直角坐标系中，为函数图象上的一点，其中，，交轴于点，若四边形的面积为，则的值为______ ．

13.  平面镜在光学仪器中有广泛的应用平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等如图，一束光线射到平面镜上，被反射后的光线为，则如图，两平面镜，的夹角，若任何射到平面镜上的入射光线，经过平面镜，两次反射后，使得，则 ______

14.  对于实数，我们规定：用表示不小于的最小整数例如：，，现在对进行如下操作：
，即对只需进行次操作后变为类比上述操作：对只需进行______ 次操作后变为．

三、解答题（本大题共10小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15.  本小题分
计算：．

16.  本小题分
先化简，再求值：其中．

17.  本小题分
如图，中，，是的中点，、分别是、上的点，且，求证：．
 

18.  本小题分
如图，小明家所在的楼房后面新建了一栋写字楼，某日，小明出去散步，当走到点时，恰好只能看到写字楼的顶端，此时的仰角，当他继续向前走到达点处时，此时观察到写字楼的顶端的仰角，自己住的楼顶端的仰角，求写字楼与小明家所在的楼之间的距离结果保留整数，参考数据：，，，

19.  本小题分
为推进我省“绿美家园”建设步伐，某小区决定对小区广场进行改造，在广场周边种植景观树，通过市场调查，棵甲景观树与棵乙景观树种植费用为元；棵甲景观树与棵乙景观树种植费用为元．
甲、乙两种景观树每棵种植费用分别为多少元？
如果小区计划购进两种景观树共棵，且甲景观树数量不低于乙景观树数量的一半，设购进甲景观树棵，种植总费用为元，写出关于的函数关系式，并求出最少种植费用．

20.  本小题分
为了解学生阳光体育大课间活动情况，某校调查小组的同学就“学生体育活动兴趣爱好”的问题，随机调查了某班同学，并根据调查结果绘制成如下不完整的统计图：

依据统计图信息，解决下列问题：
随机调查的某班同学有______ 人；
在扇形统计图中，喜欢“足球”的百分比为______ ；
如果学校有名学生，估计全校学生中有多少人喜欢篮球项目？
已知在被调查的某班同学中，喜欢篮球的有名女同学，其余为男同学现要从中随机抽取名选手代表班级参加校篮球队，请用画树状图或列表的方法，求出所抽取的选手恰好是名女同学和名男同学的概率．

21.  本小题分
如图，在中，，以为直径的交于点，，垂足为．
求证：是的切线；
若，垂足为点，交于点，，半径为，求劣弧的长结果保留．

22.  本小题分
如图，直线分别交轴，轴于点，点，与函数的图象交于点在第二象限且为的中点．
求出的值；
连接，求的面积．

23.  本小题分
如图，与是等腰直角三角形，点为直角顶点，连接、，是的中点，连接

问题解决：如图，当点、分别在、上时，线段与线段之间的数量关系为______ ；
类比探究：将绕点逆时针旋转到如图所示位置，请探究线段与线段之间的数量关系，并说明理由；
拓展延伸：在的旋转过程中，当绕点逆时针旋转时，若，，，请直接写出的长．

24.  本小题分
如图，已知抛物线与轴交于点，，与轴交于点．
求抛物线的解析式；
在抛物线的对称轴上是否存在点使最小？若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由；
点为上方抛物线上的动点，过点作，垂足为点，连接，当与相似时，求点的坐标．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：是负数，
则符合题意；
既不是正数，也不是负数，
则不符合题意；
和均为正数，
则，均不符合题意；
故选：．
根据负数的定义进行判断即可．
本题考查正数和负数的定义，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
 

2.【答案】 

【解析】解：中是主视图，故不符合题意．
中不是三视图，故不符合题意．
中是左视图，故不符合题意．
中是俯视图，故符合题意．
故选：．
根据俯视图的识别方法，从上面看图形进行分析判断即可．
本题考查三视图的认识，熟知三视图的判断方法是解答的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：已知等式整理得：，
去分母得：，
解得：，
经检验是分式方程的解．
故选：．
已知方程利用题中的新定义化简，计算即可求出解．
此题考查了解分式方程，弄清题中的新定义是解本题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：由题意可得，平分，
垂直平分，
，
在和中，
，
≌，
，
又，
∽，
，
，
故选：．
由“”可证≌，可得，可证∽，可得结论．
本题考查了相似三角形的判定，全等三角形的性质，证明三角形相似是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：一组数据，，，，，的平均数是，
，
解得，
这组数据的众数是；
故选：．
根据平均数的定义，先求出，然后写出众数即可．
本题考查了平均数的定义，众数的定义，解题的关键是正确的求出的值．
 

6.【答案】 

【解析】解：，
与不垂直．
，
与垂直．
，
于不垂直．
，
与不垂直．
故选：．
根据两个向量垂直的判定方法一一判断即可；
本题考查平面向量、零指数幂、特殊角的三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

7.【答案】 

【解析】解：四边形是矩形，，，
，，，
点、分别为、的中点，
，，
，
，
，
，
由勾股定理得：，
，
，
∽，
，
，
解得：，
故选：．
根据矩形的性质得出，，，求出，，求出，根据勾股定理求出，求出，根据三角形的中位线求出，根据相似三角形的判定得出∽，根据相似三角形的性质得出，再求出答案即可．
本题考查了矩形的性质和相似三角形的性质和判定，能熟记矩形的性质是解此题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：抛物线的开口向下，
，
抛物线的对称轴为直线，
，
抛物线交轴的正半轴，
，
，所以正确；
对称轴为直线，
，
，
，
经过点，
，
，
，
，
，
，故不正确；
，故正确；
，，，
，故不正确；
当时，函数有最大值，
，
，为常数，故正确；
综上所述：正确的结论有，共个，
故选：．
根据抛物线的对称轴方程和开口方向以及与轴的交点，可得，，，由对称轴为直线，可得，当时，函数有最大值；由经过点，可得，；再由，可知图象上的点离对称轴越近对应的函数值越大；再结合所给选项进行判断即可．
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
把个写成不用科学记数法表示的原数的形式，就是把的小数点向右移动位即可得到．
本题考查了把科学记数法表示的数还原成原数，当时，是几，小数点就向后移几位．
 

10.【答案】 

【解析】解：解不等式得：，
解不等式得：，
整数使关于的一元一次不等式组的解集是，
，
解分式方程得：，且 ，
分式方程的解是正数，
，
，且 ，
为整数，
，，，，，，，
符合条件的所有整数的值之和为，
故答案为：．
根据不等式组的解集确定的取值范围，再根据分式方程的解为正数，得出的所有可能的值，再进行计算即可．
本题考查分式方程的整数解，解一元一次不等式组，掌握分式方程的解法、一元一次不等式组的解法，理解分式方程的整数解的意义是正确解答的前提．
 

11.【答案】 

【解析】解：如图，连接、，
六边形是的内接正六边形，
，
，
是正三角形，
的内接正六边形的边心距是，
，
即正六边形的边长为，
故答案为：．
根据圆内接正六边形的性质可求出，进而得出是正三角形，由圆内接正六边形的性质以及直角三角形的边角关系可求出边长．
本题考查正多边形与圆，勾股定理，掌握圆内接正六边形的性质以及等边三角形的判定和性质是解决问题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：如图，连接，过点作轴于，过点作于，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
设，则，
，
，
，
，
，
，
，
解得或舍去，
，，
，
．
故答案为：．
连接，过点作轴于，过点作于，易证∽，且相似比为：，设，依次表达，和长，根据四边形的面积为，建立等式可求出的值，进而可得的值．
本题考查了待定系数法求函数解析式，相似三角形的性质与判定，四边形的面积等知识，根据四边形的面积得出方程是解题关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：依题意得：，，
，，
，，
，
即：，
，
，
，
，
．
故答案为：．
首先根据题意可得出，，再根据平角的意义得，，即，然后根据得，进而可求出，据此可求出的度数．
此题主要考查了平行线的性质，平角的意义，三角形的内角和定理，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握平行线的性质．
 

14.【答案】 

【解析】解：根据定义进行运算得，将按照题目的定义进行运算求解．，
对只需进行次操作后变为，
故答案为：．
按照运算定义进行计算求解．
此题考查了算术平方根方面的新定义问题的解决能力，关键是能准确理解并运用该知识和运算定义进行计算．
 

15.【答案】解：原式

． 

【解析】直接利用零指数幂的性质以及绝对值的性质、特殊角的三角函数值、负整数指数幂的性质分别化简得出答案．
此题主要考查了零指数幂的性质以及绝对值的性质、特殊角的三角函数值、负整数指数幂的性质等知识，正确化简各数是解题关键．
 

16.【答案】解：原式

；
当，
原式

． 

【解析】先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，最后将字母的值代入求解．
本题考查了分式的化简求值，分母有理化，掌握分式的混合运算是解题的关键．
 

17.【答案】证明：连接，
，是的中点，
，
在和中，
，
≌，
． 

【解析】首先连接，由，是的中点，根据三线合一的性质，可得，又由，可判定≌，继而证得．
此题考查了等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质．
 

18.【答案】解：如图，过点作于点，交于点．

设，
，
，．
根据题意可得，
．
，
，
，
解得：，即．
，
，
，
．
答：写字楼与小明家所在的楼之间的距离为． 

【解析】过点作于点，交于点设，则，解求出的值，再解即可．
本题考查解直角三角形的实际应用，解题的关键是能够利用三角函数解直角三角形．
 

19.【答案】解：设甲、乙两种景观树每棵种植费用分别为元，元．
根据题意，得，
解得：．
答：甲、乙两种景观树每棵种植费用分别为元，元．
由题意，得，
解得．
由题意得，
关于的函数关系式为，
整理得：．
，
随的增大而增大．
当甲景观树种植数量为棵时，种植费用最少，最少种植费用为元． 

【解析】设甲、乙两种景观树每棵种植费用分别为元，元，根据“棵甲景观树与棵乙景观树种植费用为元；棵甲景观树与棵乙景观树种植费用为元”，列出方程组，即可求解；
先求出的取值范围，再列出关于的函数关系式，然后根据一次函数的性质，即可求解．
本题主要考查了二元一次方程组的应用，一次函数的实际应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
 

20.【答案】   

【解析】解：人；
故答案为：；
；
故答案为：；
人．
答：估计全校学生中有人喜欢篮球项目．
喜欢篮球项目的有人，其中两名女生，则有三名男生，用，表示女生，，，表示男生，列表如下：

共有种等可能的结果，其中名女同学和名男同学共有种结果．
所以，名女同学和名男同学．
用跳绳的人数除以所占百分比进行求解即可；
用足球的人数除以总人数，即可得解；
用全校学生人数乘以样本中篮球所占的百分比进行求解即可；
列出表格，利于概率公式进行求解即可．
本题考查条形图和扇形图的综合应用，同时考查了利用样本估计总体，以及列表法求概率．从统计图中正确的获取信息，是解题的关键．
 

21.【答案】证明：连接、，

是直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
为半径，
是切线；
解：连接，

，过圆心，
，
，
，
，
，
劣弧的弧长是． 

【解析】连接、，根据直径所对的圆周角是直角得出，继而得出，根据中位线的性质得出，则，即可得证；
连接，根据垂径定理得出，结合已知得出，然后根据弧长公式即可求解．
本题考查了切线的判定，求弧长，圆周角定理，垂径定理，熟练运用以上知识是解题的关键．
 

22.【答案】解：过点作轴于点，如图所示，
在中，令，则，令，则，
，，
，
为的中点，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
代入中，得；
，，
，，
． 

【解析】在直线中求出点和点的坐标，根据中点的性质，可得点坐标；
根据点和点的坐标，利用三角形的面积公式计算即可．
本题考查了反比例函数与一次函数综合，全等三角形的判定和性质，涉及到函数图象上的点，面积问题，比较基础，解题的关键是能根据中点得到点的坐标．
 

23.【答案】 

【解析】解：与是等腰直角三角形，
，，，
≌，
，
是的中点，
，
；
延长至点，使得，连接、，如图所示，

是的中点，，
，
四边形是平行四边形，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
当绕点顺时针旋转度时，
，
，
过点作交延长线于，过点作于点，

，
，
，，
是的中点，
，，
，
，
，
，
；
当绕点逆时针旋转时，，
，
过点作交于，过点作于点，

，
，
，，
是的中点，
，
，
，
，
，
．
综上，或．
根据条件证明≌，再结合直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，即可求解；
延长至点，使得，连接、，可得四边形是平行四边形，再结合条件证明即可求解；
分两种情况讨论：当绕点顺时针旋转度时；当绕点逆时针旋转度时，分别根据旋转的性质解答即可．
本题考查旋转几何问题，涉及到全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识，正确作出辅助线是解题关键．
 

24.【答案】解：抛物线与轴交于点，，
，
解得，
抛物线的解析式为；
存在，如图：因为，关于对称轴对称，与对称轴的交点即为所求：

由可知，对称轴为：，，
，，
所在直线解析式为：，
令，，
；
点，，
，，
在抛物线中，当时，，
，
，
．
，
，
当与相似时，则∽或∽，
若∽，则，

，
，
点的纵坐标为，
点为上方抛物线上的动点，
，
解得：不合题意，舍去，，
此时点的坐标为；
若∽，则，，
，
过点作的垂线，交的延长线于点，过点作轴于点，如图：

，，
，
∽，
，
，
，轴，
，
，，
，
，
∽，
，
即，
，，
，
，
设直线的解析式为，
令，
解得：不合题意，舍去，，
把代入得：，
此时点的坐标为，
综上所述，符合条件的点的坐标为或 

【解析】由待定系数法求解即可；
作点关于对称轴对称的点，连接交对称轴于一点即为；
当与相似时，则∽或∽，故分分类讨论即可：若∽，则，可推出点的纵坐标与点的纵坐标相同，由点为上方抛物线上的动点，得关于的一元二次方程，求解并作出取舍则可得答案；若∽，则，，过点作的垂线，交的延长线于点，过点作轴于点，判定∽，∽，由相似三角形的性质得比例式，解得点的坐标，从而可得直线的解析式，求得直线与抛物线的交点横坐标，再代入直线的解析式求得其纵坐标，即为此时点的坐标．
本题考查二次函数的综合应用，掌握待定系数法求函数的解析式、“一线三直角“模型及相似三角形的判定与性质等知识点是解题的关键．