2022-2023学年湖南省常德市汉寿县八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年湖南省常德市汉寿县八年级（下）期中数学试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 下列图形中是中心对称图形的是( )
A. B.
C. D.
2. 在一个直角三角形中，有一个锐角等于35°，则另一个锐角的度数是( )
A. 145°B. 125°C. 65°D. 55°
3. 在平行四边形ABCD中，若∠B+∠D=100°，则∠B为( )
A. 50°B. 80°C. 100°D. 130°
4. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，若AB=8，则CD的长是( )
A. 8
B. 6
C. 4
D. 2
5. 不能判定四边形为平行四边形的条件是( )
A. 对角线互相平分B. 一组对边平行且相等
C. 两组对边分别相等D. 一组对边平行，另一组对边相等
6. “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若(a+b)2=21，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为( )
A. 6B. 5C. 8D. 7
7. 下列说法正确的是( )
A. 平行四边形的对角线互相平分且相等B. 正方形的对角线相等且互相垂直平分
C. 对角线互相垂直的四边形是菱形D. 对角线相等的四边形是矩形
8. 如图，在平行四边形ABCD中，AB=2，点E为平行四边形内一点且∠AED=∠BEC=90°，若∠DEC=45°，则AD的长为( )
A. 3B. 2 2C. 52D. 2 3
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
9. 正十二边形的一个外角的度数为______．
10. 如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，若BC=6，则DE=______．
11. 若从多边形的一个顶点出发可以画3条对角线，则这个多边形的边数为______ ．
12. 如图，在菱形ABCD中，连接BD.若∠A=110°，则∠CBD的度数为______°.
13. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，若AC=5cm，BC=12cm，则△ACD的周长为______cm．
14. 如图，把矩形ABCD纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在D′，C′的位置．若∠AED′=50°，则∠EFC等于______．
15. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AD平分∠BAC，若CD=3cm，则△ABD的面积为 cm2．
16. 如图，在△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°，AD⊥BC于D，BE是∠ABC的平分线，且交AD于P，如果AP=3，则AC的长为______．
三、解答题（本大题共10小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题5.0分)
一个多边形的内角和与外角和的和为1980°，它是几边形？
18. (本小题5.0分)
如图，AD=4，CD=3，AB=13，BC=12，求△ABC的面积．
19. (本小题6.0分)
如图，在平行四边形ABCD中，点P是AB边上一点(不与A，B重合)，过点P作PQ⊥CP，交AD边于点Q，且∠QPA=∠PCB．
求证：四边形ABCD是矩形．
20. (本小题6.0分)
如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC=8cm，BD=6cm，点E为BC的中点．
(1)求菱形ABCD的面积；
(2)求OE的长．
21. (本小题7.0分)
如图，在△ABC中，D是BC上的点，AD=AB，E，F分别是AC，BD的中点，EF=7，求AC的长．
22. (本小题7.0分)
如图，矩形ABCD中，过对角线BD中点O的直线分别交AB，CD边于点E，F.求证：四边形BEDF是平行四边形．
23. (本小题8.0分)
如图，在△ABC中，∠C=90°，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，点F在BC上，连接DF，且AD=DF．
(Ⅰ)求证：CF=AE；
(Ⅱ)若AE=3，BF=4，求AB的长．
24. (本小题8.0分)
如图，正方形ABCD的边长为4，连接对角线AC，点E为BC边上一点，将线段AE绕点A逆时针旋转45°得到线段AF，点E的对应点F恰好落在边CD上，过F作FM⊥AC于点M．
(1)求证：BE=FM；
(2)求BE的长度．
25. (本小题10.0分)
如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF//BC交BE的延长线于点F．
(1)求证：四边形ADCF是菱形；
(2)若AC=7，AB=24，求菱形ADCF的面积．
26. (本小题10.0分)
在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，以C为底角顶点作等腰Rt△CED，使∠CED=90°，连接AD，分别以AB，AD为邻边作平行四边形ABFD，连接AF．
(1)如图1，当点E在AC边上(不与点A、C重合)，且D在△ABC外部时，求证：△AEF是等腰直角三角形；
(2)如图2，将图1中△CED绕点C逆时针旋转，当点E落在线段BC上时，连接AE，求证：AF= 2AE；
(3)如图3，将△CED绕点C继续逆时针旋转，当平行四边形ABFD为菱形，且△CED在△ABC的下方时，若AB= 15，CE= 6，求线段AE的长．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选：C．
根据中心对称图形的概念判断即可．
本题考查的是中心对称图形的概念，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
2.【答案】D
【解析】解：一个直角三角形中，有一个锐角等于35°，则另一个锐角的度数是90°−35°=55°，
故选：D．
根据直角三角形中两锐角互余可直接求得．
本题考查了三角形内角和定理的应用，熟记直角三角形两锐角互余的性质是解本题的关键．
3.【答案】A
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B=∠D，
∵∠B+∠D=100°，
∴∠B=∠D=50°，
故选：A．
四边形ABCD是平行四边形，由“平行四边形对角相等”可得∠B=∠D，又由∠B+∠D=100°，即可求得∠B的度数．
此题主要考查了平行四边形的性质，熟记平行四边形的各种性质是解题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是边AB的中点，AB=8，
则CD=12AB=12×8=4，
故选：C．
根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半解答即可．
本题主要考查的是直角三角形斜边中线的性质，掌握其性质是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：∵对角线互相平分的四边形是平行四边形，
∴A正确；
∵一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，
∴B正确；
∵两组对边分别平行的四边形是平行四边形，
∴C正确；
∵一组对边平行，另一组对边相等的四边形是等腰梯形，不一定是平行四边形，
∴D不正确；
故选：D．
根据平行四边形的判定条件进行逐一判断即可得到答案．
本题主要考查了平行四边形的判定，解题的关键在于能够熟练掌握平行四边形的判定方法．
6.【答案】B
【解析】解：如图所示，由题意，ED=a，AE=b，

∵大正方形的面积为13，
∴AD2=13，
∵AD2=AE2+ED2=a2+b2，
∴a2+b2=13，
∵(a+b)2=21，
∴(a−b)2=2(a2+b2)−(a+b)2=2×13−21=5，
∵EF=ED−EF=a−b，
∴小正方形的面积为EF2=(a−b)2=5，
故选：B．
根据大正方形的面积和勾股定理推出a2+b2=13，然后结合完全平方公式的变形得出(a−b)2=5，最后由小正方形的面积为EF2=(a−b)2，即可得出结论．
本题考查勾股定理的应用，掌握勾股定理，熟练运用完全平方公式的变形是解题关键．
7.【答案】B
【解析】解：平行四边形的对角线互相平分，
故A不符合题意；
正方形的对角线相等且互相垂直平分，
故B符合题意；
对角线互相垂直的平行四边形是菱形，
故C不符合题意；
对角线相等的平行四边形是矩形，
故D不符合题意；
故选：B．
根据平行四边形的性质可判断A，根据正方形的对角线的性质可判断B，根据菱形的判定可判断C，根据矩形的判定可判断D，从而可得答案．
本题考查的是平行四边形的性质，菱形，矩形的判定，正方形的性质，熟记特殊四边形的判定与性质是解本题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：如图，取AD，BC的中点M，N，连接MN，ME，NE，

则MN=AB=2，
在平行四边形ABCD中，AD=BC，AD//BC，
∵AD，BC的中点为M，N，
∠AED=∠BEC=90°，
∴EM=12AD=MD，EN=12BC=NC，
∴EM=EN，∠MED=∠MDE，
∠CEN=∠NCE，
过点E作EP//AD交CD于点P，
∴EP//BC，
∴∠MDE=∠DEP，∠NCE=∠PEC，
∴∠MED=∠DEP，∠CEN=∠PEC，
∴∠MED+∠CEN=∠DEP+∠PEC=∠DEC=45°，
∴∠MEN=90°，
∴△MEN为等腰直角三角形，
∴AD=2ME=2× 22MN=2 2．
故选：B．
取AD，BC的中点M，N，连接MN，ME，NE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得EM=12AD=MD，EN=12BC=NC，过点E作EP//AD交CD于点P，根据平行线的性质证明△MEN为等腰直角三角形，进而可得结果．
本题考查了平行四边形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等腰直角三角形的判定与性质，解决本题的关键是综合以上知识的应用．
9.【答案】30°
【解析】正十二边形的一个外角为360°12=30°．
故答案为：30°．
根据正十二边形的每个外角都相等，且外角和为360°解答即可．
本题主要考查多边形的外角，熟练掌握多边形的外角和是解题的关键．
10.【答案】3
【解析】
【分析】
本题用到的知识点为：三角形的中位线等于三角形第三边的一半．
由D、E分别是AB、AC的中点可知，DE是△ABC的中位线，利用三角形中位线定理可求出DE．
【解答】
解：∵D、E是AB、AC中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴ED=12BC=3．
故答案为：3．
11.【答案】6
【解析】解：∵从一个多边形的一个顶点出发可以引3条对角线，设多边形边数为n，
∴n−3=3，
解得n=6．
故答案为6．
根据从n边形的一个顶点可以作对角线的条数公式(n−3)求出边数即可得解．
本题考查了多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．掌握n边形从一个顶点出发可引出(n−3)条对角线是解题的关键．
12.【答案】35
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABD=∠CBD，AD//BC，
∴∠A+∠ABC=180°，∠CBD=12∠ABC，
∵∠A=110°，
∴∠ABC=180°−∠A=180°−110°=70°，
∴∠CBD=12×70°=35°，
故答案为：35．
根据菱形的性质得到∠ABD=∠CBD，AD//BC，根据平行线的性质求出∠ABC的度数，可进而求出∠CBD的度数．
本题主要考查了菱形的性质，平行线的性质，熟练掌握菱形的对边互相平行，对角线平分一组对角是解决问题的关键．
13.【答案】18
【解析】解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5cm，BC=12cm，
∴AB= AC2+BC2= 52+122=13(cm)，
∵DE是BC的垂直平分线，
∴CD=BD，
∴△ACD的周长为：AC+CD+AD=AC+AD+BD=AC+AB=5+13=18(cm)，
故答案为：18．
由勾股定理先求解AB的长，再根据线段垂直平分线的性质，可得CD=BD，继而可得△ACD的周长为：AC+AB，则可求得答案．
本题考查的是勾股定理，线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
14.【答案】115°
【解析】解：∵∠AED′=50°，
∴∠DED′=180°−∠AED′=180°−50°=130°，
∵矩形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在D′、C′的位置，
∴∠DEF=∠D′EF，
∴∠DEF=12∠DED′=12×130°=65°．
∵DE//CF，
∴∠EFC=180°−∠DEF=115°．
故答案为：115°．
根据平角的定义计算出∠DED′=130°，再根据折叠的性质得∠DEF=∠D′EF，所以∠DEF=12∠DED′=65°，根据平行线的性质即可求解．
本题主要考查平行线的性质及折叠的性质，掌握两直线平行内错角相等是解题的关键．
15.【答案】15
【解析】
【分析】
过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=CD，再利用三角形的面积公式列式计算即可得解．
本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，三角形的面积，熟记性质并求出AB边上的高是解题的关键．
【解答】
解：如图，过点D作DE⊥AB于E，
∵∠C=90°，AD平分∠BAC，
∴DE=CD=3，
∴△ABD的面积=12AB⋅DE=12×10×3=15．
故答案为：15．
16.【答案】9
【解析】解：因为∠BAC=90°，∠C=30°，
所以∠ABC=60°，
因为AD⊥BC，
所以∠BAD=30°，
因为BE是∠ABC的平分线，
所以∠ABP=∠DBP=30°，
所以PB=PA=3，
在Rt△PBD中，PD=12PB=1.5，
所以AD=AP+PD=3+1.5=4.5．
所以AC=2AD=9．
故答案为9．
先利用三角形内角和定理与角平分线定义计算出∠BAD=30°，∠ABP=∠DBP=30°，则PB=PA=3，再利用含30度的直角三角形三边的关系得到PD=12PB=1.5，然后计算AP+PD，AC=2AD即可．
本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了含30度的直角三角形三边的关系．
17.【答案】解：设多边形的边数为n，由题意得：
(n−2)⋅180°+360°=1980°，
解得 n=11，
∴这个多边形是十一边形．
【解析】设多边形的边数为n，可得：(n−2)⋅180°+360°=1980°，再解方程可得答案．
本题考查的是多边形的内角和定理与外角和定理的综合应用，熟记公式是解本题的关键．
18.【答案】解：∵AD=4，CD=3，∠ADC=90°，
∴AC= AD2+CD2= 42+32=5，
在△ABC中，AC=5，AB=13，BC=12，
∵52+122=132，
∴AC2+BC2=AB2，
即△ABC为直角三角形，且∠ACB=90°，
∴△ABC的面积=5×12÷2=30．
【解析】先根据勾股定理求出AC的长，再根据勾股定理的逆定理判断出△ABC的形状，根据三角形的面积公式即可得出结论．
本题考查的是勾股定理，勾股定理的逆定理，得出△ABC是直角三角形是解答此题的关键．
19.【答案】证明：∵PQ⊥CP，
∴∠QPC=90°，
∴∠QPA+∠BPC=180°−∠QPC=90°，
∵∠QPA=∠PCB，
∴∠PCB+∠BPC=90°，
∴∠B=180°−(∠PCB+∠BPC)
=180°−90°
=90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形．
【解析】根据垂直的定义得∠QPC=90°，从而得∠QPA+∠BPC=90°，则结合∠QPA=∠PCB得∠PCB+∠BPC=90°，根据三角形内角和定理求出∠B=90°，再根据矩形的判定即可得出结论．
本题考查了矩形的判定，三角形内角和定理等，求出∠B=90°是解此题的关键．
20.【答案】解：(1)∵四边形ABCD为菱形，AC=8cm，BD=6cm，
∴S菱形ABCD=12AC⋅BD=12×8×6=24(cm2)；
(2)∵四边形ABCD为菱形，
∴OA=OC=12AC=4(cm)，OB=OD=12BD=3(cm)，∠AOB=90°．
∴AB= OA2+OB2=5(cm)．
∵点E为BC中点，O为AC的中点，
∴OE是△ABC的中位线，
∴OE=12AB=52(cm)．
【解析】(1)根据菱形的性质结合三角形的面积公式可得答案；
(2)利用勾股定理先求解菱形的边长，再结合三角形的中位线的性质可得答案．
本题考查的是菱形的性质，勾股定理的应用，三角形的中位线的性质，熟记菱形的性质与中位线的性质是解本题的关键．
21.【答案】解：连接AF，

∵AD=AB，
∴△ABD是等腰三角形，
又F是BD的中点，
∴AF是△ABD的中线，
∴AF也是△ABD的高，
即∠AFC=90°
又∵E是AC的中点，
∴EF是Rt△AFC的中线，
∴EF=12AC，
又EF=7，
∴AC=2EF=2×7=14．
【解析】连接AF，证明∠AFC=90°，可得EF是Rt△AFC的中线，从而可得答案．
本题考查的是等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，熟记以上概念并灵活应用是解本题的关键．
22.【答案】证明：∵四边形ABCD是矩形，O是BD的中点，
∴∠A=90°，AD=BC=4，AB//DC，OB=OD，
∴∠OBE=∠ODF，
在△BOE和△DOF中，
∠OBE=∠ODFOB=OD∠BOE=∠DOF，
∴△BOE≌△DOF(ASA)，
∴EO=FO，
∴四边形BEDF是平行四边形；
【解析】根据平行四边形ABCD的性质，判定△BOE≌△DOF(ASA)，得出四边形BEDF的对角线互相平分，进而得出结论；
本题主要考查了矩形的性质，菱形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质和勾股定理，证明三角形全等是解决问的关键．
23.【答案】证明：(Ⅰ)∵∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，
∴DE=DC，∠AED=90°，
在Rt△CDF与Rt△EDA中，
DC=DE DF=AD ，
∴Rt△CDF≌Rt△EDA(HL)，
∴CF=AE；
(Ⅱ)∵CF=AE，AE=3，
∴CF=3，
∵BF=4，
∴BC=BF+CF=4+3=7，
∵DE⊥AB，
∴∠DEB=90°，
∵∠C=90°，
∴∠DEB=∠C，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD=∠CBD，
在△BED和△BCD中，
∠DEB=∠C ∠ABD=∠CBD BD=BD ，
∴△BED≌△BCD(AAS)，
∴BE=BC=7，
∴AB=BE+AE=7+3=10．
【解析】(Ⅰ)通过HL证明Rt△CDF≌Rt△EDA，即可得出结论；
(Ⅱ)通过HL证明△BED≌△BCD，得BE=BC，再进行等量代换即可．
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质等知识，熟记全等三角形的判定定理及角平分线的性质是解题的关键．
24.【答案】(1)证明：∵将线段AE绕点A逆时针旋转45°得到线段AF，
∴AE=AF，∠EAF=∠CAB=45°，
∴∠FAC=∠EAB，
在△ABE和△AMF中，
∠B=∠AMF=90°∠EAB=∠FAM,AE=AF
∴△ABE≌△AMF(AAS)，
∴BE=FM；
(2)∵四边形ABCD是正方形，
∴AC= 2AB=4 2，∠ACD=45°，
∵△ABE≌△AMF，
∴AB=AM=4，
∴CM=AC−AM=4 2−4，
∵FM⊥AC，∠ACD=45°，
∴∠ACD=∠CFM，
∴FM=CM=4 2−4，
∴BE=4 2−4．
【解析】(1)由旋转的性质可得AE=AF，∠EAF=∠CAB=45°，∠FAC=∠EAB，由“AAS”可证△ABE≌△AMF，可得BE=FM；
(2)由正方形的性质可得AC= 2AB=4 2，∠ACD=45°，由△ABE≌△AMF可得AB=AM=4，由此即可求解CM，由等腰直角三角形的判定与性质可得FM=CM，由(１)的结论可得BE=FM，本题得解．
本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定与性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
25.【答案】(1)证明：∵E是AD的中点，
∴AE=DE，
∵AF//BC，
∴∠AFE=∠DBE，
在△AEF和△DEB中，
∠AFE=∠DBE∠AEF=∠DEBAE=DE，
∴△AEF≌△DEB(AAS)，
∴AF=DB，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵∠BAC=90°，D是BC的中点，
∴AD=12BC=CD，
∴四边形ADCF是菱形；
(2)解：∵D是BC的中点，
∴S菱形ADCF=2S△ADC=S△ABC=12AB⋅AC=12×24×7=84．
【解析】(1)可先证得△AEF≌△DEB，可求得AF=DB，可证得四边形ADCF为平行四边形，再利用直角三角形的性质可求得AD=CD，可证得结论；
(2)根据条件可证得S菱形ADCF=S△ABC，由三角形面积公式可求得答案．
本题考查了菱形的判定和性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质，掌握菱形的判定方法，证明三角形全等是解题的关键．
26.【答案】解：(1)证明：∵四边形ABFD是平行四边形，
∴AB=DF，
∵AB=AC，
∴AC=DF，
∵DE=EC，
∴AE=EF，
∵∠DEC=∠AEF=90°，
∴△AEF是等腰直角三角形；
(2)如图2，连接EF，设DF交BC于K，

∵四边形ABFD是平行四边形，
∴AB//DF，
∴∠DKE=∠ABC=45°，
∴DE=EK，∠EKF=180°−∠DKE=135°，
∵∠ADE=180°−∠EDC=180°−45°=135°，
∴∠EKF=∠ADE，
∵∠DKC=∠C，
∴DK=DC，
∵DF=AB=AC，
∴KF=AD，
∴△EKF≌△EDA(SAS)，
∴EF=EA，∠KEF=∠AED，
∴∠FEA=∠BED=90°，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∴AF= 2AE；
(3)当AD=AC=AB时，四边形ABFD是菱形，设AE交CD于H，

∵AD=AC，ED=EC，
∴AE垂直平分CD，
∵CE= 6，
∴EH=DH=CH= 3，
又∵AC=AB= 15，
∴AH= AC2−CH2=2 3，
∴AE=AH+EH=2 3+ 3=3 3．
【解析】(1)依据AE=EF，∠DEC=∠AEF=90°，即可证明△AEF是等腰直角三角形；
(2)连接EF，DF交BC于K，先证明△EKF≌△EDA，再证明△AEF是等腰直角三角形即可得出结论；
(3)设AE交CD于H，当AD=AC=AB时，四边形ABFD是菱形，可证AE垂直平分CD，先求得EH，再求出AH即可得出AE长度．
本题属于四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、平行四边形的性质、菱形的性质以及勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，寻找全等条件是难点．