(新高考)高考数学一轮复习过关练考点03 函数的概念与基本性质（含解析）

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考点03 函数的概念与基本性质
考纲要求




1、 理解函数的概念，会求一些简单函数的定义域和值域
2、 理解简单的分段函数，能求出给定自变量所对应的函数值，会画出函数的图像
3、 理解函数的单调性及其几何意义，会判断一些简单函数的单调性
4、 了解函数奇偶性的含义
会运用函数的图像理解和研究函数的性质。理解二次函数的图像和性质。能运用数形结合的思想结合在区间上的最值

近三年高考情况分析



从近几年江苏高考可以看出，函数的性质是近几年江苏的热点也是重点考查的知识点。函数的定义域在这几年多次考查，函数的性质几乎每年都要进行考查，在大题中经常与导数等知识点结合考查，因此，对应本章要重点复习，要引起足够的重视。

考点总结




函数是江苏高考的重点和热点，在填空题和解答题中多以压轴题的形式出现，试题的区分度很强。在高考和各类考试中重点考查函数的定义域和值域以及函数的性质即函数的周期性、单调性和奇偶性。
因此，在复习中要注意一下几点：
①函数的解析式主要有待定系数法、换元法、构造方程组的方法；
②求函数的定义域要特别注意结果一定要写成集合的形式；函数的值域的方法有图像法、配方法、换元法、基本不等式、单调性以及运用导数等方法；
③函数的性质有单调性要注意区间若含有多个区间用逗号或者和连接、周期性要记住一些常见的结论，奇偶性要注意定义域要关于原点对称。注意题目的综合运用。

三年高考真题




1、（2020年全国1卷）若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设，则为增函数，因为
所以，
所以，所以.
，
当时，，此时，有
当时，，此时，有，所以C、D错误.
故选：B.
2、（2020年全国2卷）设函数，则f(x)（ ）
A. 是偶函数，且在单调递增 B. 是奇函数，且在单调递减
C. 是偶函数，且在单调递增 D. 是奇函数，且在单调递减
【答案】D
【解析】由得定义域为，关于坐标原点对称，
又，
为定义域上的奇函数，可排除AC；
当时，，
在上单调递增，在上单调递减，
在上单调递增，排除B；
当时，，
在上单调递减，在定义域内单调递增，
根据复合函数单调性可知：在上单调递减，D正确.
故选：D.
3、（2020年浙江卷）.函数y=xcosx+sinx在区间[–π，+π]的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】因为，则，
即题中所给的函数为奇函数，函数图象关于坐标原点对称，
据此可知选项CD错误；
且时，，据此可知选项B错误.
故选：A.
4、（2020年天津卷）.函数的图象大致为（ ）
A B.
C. D.
【答案】A
【解析】由函数的解析式可得：，则函数为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD错误；
当时，，选项B错误.
故选：A.
5、（2020年山东卷）若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】因为定义在上的奇函数在上单调递减，且，
所以在上也是单调递减，且，，
所以当时，，当时，，
所以由可得：
或或
解得或，
所以满足的的取值范围是，
故选：D.
6、（2020年全国3卷）关于函数f（x）=有如下四个命题：
①f（x）的图像关于y轴对称．
②f（x）的图像关于原点对称．
③f（x）的图像关于直线x=对称．
④f（x）的最小值为2．
其中所有真命题的序号是__________．
【答案】②③
【解析】对于命题①，，，则，
所以，函数的图象不关于轴对称，命题①错误；
对于命题②，函数的定义域为，定义域关于原点对称，
，
所以，函数的图象关于原点对称，命题②正确；
对于命题③，，
，则，
所以，函数的图象关于直线对称，命题③正确；
对于命题④，当时，，则，
命题④错误.
故答案为：②③.
7、（2020年北京卷）函数的定义域是____________．
【答案】
【解析】由题意得，
故答案为：
8、（2020江苏卷.已知y=f(x)是奇函数，当x≥0时， ，则f(-8)的值是____.
【答案】
【解析】，因为为奇函数，所以
故答案为：
9、（2019年高考全国Ⅰ卷理数）函数f(x)=在的图像大致为
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由，得是奇函数，其图象关于原点对称．
又，可知应为D选项中的图象．
故选D．
10、（2019年高考全国Ⅲ卷理数）函数在的图像大致为
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】设，则，所以是奇函数，图象关于原点成中心对称，排除选项C．
又排除选项D；
，排除选项A，
故选B．
11、（2019年高考浙江）在同一直角坐标系中，函数，(a>0，且a≠1)的图象可能是

【答案】D
【解析】当时，函数的图象过定点且单调递减，则函数的图象过定点且单调递增，函数的图象过定点且单调递减，D选项符合；
当时，函数的图象过定点且单调递增，则函数的图象过定点且单调递减，函数的图象过定点且单调递增，各选项均不符合.
综上，选D.

12、（2019年高考全国Ⅲ卷理数）设是定义域为R的偶函数，且在单调递减，则
A．（log3）＞（）＞（）
B．（log3）＞（）＞（）
C．（）＞（）＞（log3）
D．（）＞（）＞（log3）
【答案】C
【解析】是定义域为的偶函数，．
，
又在(0，+∞)上单调递减，
∴，
即.
故选C．
13、（2017年高考山东理数）设函数的定义域为，函数的定义域为,则
A．（1,2） B．
C．（-2,1） D．[-2,1)
【答案】D
【解析】由得，
由得，
故.
选D.

14、(2019江苏卷)函数的定义域是_____.
【答案】.
【解析】由题意得到关于x的不等式，解不等式可得函数的定义域.
【详解】由已知得,
即
解得，
故函数的定义域为.
15.(2019江苏卷)设是定义在上的两个周期函数，的周期为4，的周期为2，且是奇函数.当时，，，其中.若在区间上，关于的方程有8个不同的实数根，则 的取值范围是_____.
【答案】.
【解析】当时，即
又为奇函数，其图象关于原点对称，其周期为，如图，函数与的图象，要使在上有个实根，只需二者图象有个交点即可.

当时，函数与的图象有个交点；
当时，的图象为恒过点的直线，只需函数与的图象有个交点.当与图象相切时，圆心到直线的距离为，即，得，函数与的图象有个交点；当过点时，函数与的图象有个交点，此时，得.
综上可知，满足在上有个实根的的取值范围为.
16、（2018年江苏卷）. 函数满足，且在区间上， 则的值为________．
【答案】
【解析】分析：先根据函数周期将自变量转化到已知区间，代入对应函数解析式求值，再代入对应函数解析式求结果.(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现的形式时，应从内到外依次求值.(2)求某条件下自变量的值，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围.
解析：由得函数的周期为4，所以因此
17、（2018年江苏卷） 函数的定义域为________．
【答案】[2，+∞）
【解析】分析：根据偶次根式下被开方数非负列不等式，解对数不等式得函数定义域.
详解：要使函数有意义，则，解得，即函数的定义域为.


二年模拟试题




题型一、图形的识别与判断
例1、（2020届山东省泰安市高三上期末）函数的部分图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
， 为奇函数，排除B
当时，恒成立，排除CD
故答案选A
2、（2020届山东省潍坊市高三上期中）函数的大致图象为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
函数的定义域为，
，则函数是奇函数，图象关于原点对称，排除，，
当且，，排除.
故选：A.
3、（2020届山东省九校高三上学期联考）若函数的大致图像如图所示，则的解析式可以为（ ）

A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
对四个选项解析式分析发现B，D两个均为偶函数，图象关于y轴对称，与题不符，故排除；
极限思想分析，，A错误；
，C符合题意.
故选：C
4、（2020届山东省潍坊市高三上期末）函数与的图象如图所示，则的部分图象可能是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
由图象可知的图象关于轴对称，是偶函数，的图象关于原点对称，是奇函数，并且定义域，
的定义域是，并且是奇函数，排除B，
又时，，，，排除C,D.
满足条件的只有A.
故选：A
5、（2020届浙江省之江教育评价联盟高三第二次联考）函数的部分图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
当时，函数值，符合要求的只有选项D.
故选：D.
6、（2020届浙江省绍兴市高三4月一模）已知，且，若，则的图象可能是( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
，
.
结合图象，故排除B，C.
又，故排除A.
D选项满足.
故选：D.
7、（2020届湖南省长郡中学高三下学期第二次适应性考试数学(文)试题）
函数的图象大致形状为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
，
，
所以为偶函数，排除CD；
，排除B，
故选：A
方法总结：这类题目主要是考查函数的性质，奇偶性、单调性、周期性等，识别与判断函数的图像主要运用排除法，根据函数的奇偶性、单调性进行排除，或者根据图像的区别，如图像在x轴的上方或者下发，可以研究函数的值域问题，或者取一些特殊的点进行排除。

题型二：函数的定义域和表示
1、(2019泰州期末） 函数y＝的定义域是________．
【答案】：[－1，1]
【解析】：　要使函数式有意义，则有1－x2≥0，即x2－1≤0，解得－1≤x≤1，所以函数的定义域为[－1，1]．
定义域、值域、解集一定要写成集合或区间的形式，否则会产生不必要的扣分．
2、(2019苏州三市、苏北四市二调） 函数y＝的定义域为________．
【答案】：[2，＋∞)　
【解析】：由4x－16≥0，得4x≥16＝42，解得x≥2，所以函数的定义域为[2，＋∞)．
3、(2019苏锡常镇调研（一））已知函数f(x)＝若f(a－1)＝，则实数a＝________．
【答案】： log23
【解析】：　当a－1≤0，即a≤1时，f(a－1)＝log2(4－a)＝，解得a＝4－(舍)；当a－1>0，即a>1时，f(a－1)＝2a－1－1＝，解得a＝log23.
本题以分段函数为背景，考查指数及对数的基本运算及分类讨论的数学思想．
4、(2018苏北四市期末） 函数y＝的定义域为________．
【答案】：(0，1]
【解析】：　由得所以0 方法总结：根据所给哈不是的解析式，确定自变量所满足的条件，转化为对应的不等式进行求解。
题型二：函数的值域
1、（2020届山东省临沂市高三上期末）函数（）的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
，
，

.
即
故选：
2、（2020·山东省淄博实验中学高三上期末）设．
（1）当时，f（x）的最小值是_____；
（2）若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围是_____．
【答案】 [0，]
【解析】
（1）当时，当x≤0时，f（x）＝（x）2≥（）2，
当x＞0时，f（x）＝x22，当且仅当x＝1时取等号，
则函数的最小值为，
（2）由（1）知，当x＞0时，函数f（x）≥2，此时的最小值为2，
若a＜0，则当x＝a时，函数f（x）的最小值为f（a）＝0，此时f（0）不是最小值，不满足条件．
若a≥0，则当x≤0时，函数f（x）＝（x﹣a）2为减函数，
则当x≤0时，函数f（x）的最小值为f（0）＝a2，
要使f（0）是f（x）的最小值，则f（0）＝a2≤2，即0≤a，
即实数a的取值范围是[0，]
3、（2020届湖南省长郡中学高三下学期第二次适应性考试数学(文)试题）设函数f（x）＝，若函数f（x）的最大值为﹣1，则实数a的取值范围为（　　）
A．（﹣∞，﹣2） B．[2，+∞） C．（﹣∞，﹣1] D．（﹣∞，﹣2]
【答案】D
【解析】
当x≥1时，f（x）＝﹣log2（x+1）递减，可得f（x）≤f（1）＝﹣1，
当且仅当x＝1时，f（x）取得最大值﹣1；
当x＜1时，f（x）＝﹣（x+1）2+1+a，当x＝﹣1时，f（x）取得最大值1+a，
由题意可得1+a≤﹣1，解得a≤﹣2．
故选：D．
4、(2018南京三模）．若f(x)是定义在R上的周期为3的函数，且f(x)＝则f(a+1)的值为 ．
【答案】：2
【解析】：周期为3，所以
5、(2018南京、盐城一模） 设函数y＝ex＋－a的值域为A，若A⊆[0，＋∞)，则实数a的取值范围是________．
【答案】： (－∞，2]　
【解析】：因为ex>0 ，所以y＝ex＋－a≥2－a＝2－a，当且仅当ex＝1，即x＝0时取等号．故所求函数的值域A＝[2－a，＋∞)．又A⊆[0，＋∞)，所以2－a≥0，即a≤2.
6、(2018苏州暑假测试）已知函数f(x)＝x＋(a>0)，当x∈[1，3]时，函数f(x)的值域为A，若A⊆[8，16]，则a的值是________．
【答案】： 15　
【解析】： 题设“当x∈[1，3]时，函数f(x)的值域为A，若A⊆[8，16]”等价于“对于任意的x∈[1，3]，不等式8≤x＋≤16恒成立．
解法1(分离变量法) 由题意，对于任意的x∈[1，3]，不等式8≤x＋≤16恒成立，也就是说，不等式x(8－x)≤a≤x(16－x)恒成立，故[x(8－x)]max≤a≤[x(16－x)]min，即15≤a≤15，所以a＝15.
解法2(特值法) 由题意，当x＝1，3时，即所以a＝15.
本题命题的根源是用“两边夹法则”化不等式为等式．两边夹法则的内容是：如果x，a是实数，且a≤x≤a，那么x＝a.两边夹法则的变式有：①若(x－y)2≤0，则x＝y；②若a≤f(x)≤a，则f(x)＝a；③若g(x)≤f(x)≤g(x)，则f(x)＝g(x)．两边夹法则体现了由不等向相等、由变量向常量的转化思想．本题是“知不等式求值”问题，故可从两边夹法则思路来考虑．
方法总结：值域问题往往涉及的函数就多，可以借助于图像进行求解。
题型三： 函数的性质
1、（2020·河南高三月考（理））已知是偶函数，在上单调递减，，则的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
因为是偶函数，所以关于直线对称；
因此，由得；
又在上单调递减，则在上单调递增；
所以，当即时，由得，所以，
解得；
当即时，由得，所以，
解得；
因此，的解集是.
2、（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）函数是上的奇函数，当时，，则当时，（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
时，.
当时，，，
由于函数是奇函数，，
因此，当时，，故选C.
3、（2020·山东省淄博实验中学高三上期末）已知定义在上的奇函数，满足时，，则的值为（ ）
A．-15 B．-7 C．3 D．15
【答案】A
【解析】
因为奇函数的定义域关于原点中心对称
则,解得
因为奇函数当时,
则
故选:A
4、（2020届山东省日照市高三上期末联考）已知定义在上的函数满足条件，且函数为奇函数，则（ ）
A．函数是周期函数 B．函数的图象关于点对称
C．函数为上的偶函数 D．函数为上的单调函数
【答案】ABC
【解析】
因为，所以，即，故A正确；
因为函数为奇函数，所以函数图像关于原点成中心对称，所以B正确；
又函数为奇函数，所以，根据，令代有，所以，令代有，即函数为上的偶函数，C正确；
因为函数为奇函数，所以，又函数为上的偶函数，，所以函数不单调，D不正确.
故选：ABC.
5、（2020届山东省潍坊市高三上期中）已知函数，以下结论正确的是（ ）
A．
B． 在区间上是增函数
C．若方程恰有3个实根，则
D．若函数在上有6个零点，则的取值范围是
【答案】BCD
【解析】
函数的图象如图所示：
对A，，，所以，故A错误；
对B，由图象可知 在区间上是增函数，故B正确；
对C，由图象可知，直线与函数图象恰有3个交点，故C正确；
对D，由图象可得，当函数在上有6个零点，则
，所以当时，；当时，，所以的取值范围是，故D正确.
故选：BCD.

6、（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）下列函数既是偶函数，又在上单调递减的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【解析】
对于A选项，为偶函数，且当时，为减函数，符合题意.
对于B选项，为偶函数，根据幂函数单调性可知在上递增，不符合题意.
对于C选项，为奇函数，不符合题意.
对于D选项，为偶函数，根据复合函数单调性同增异减可知，在区间上单调递减，符合题意.
故选：AD.
7、（2020届山东省潍坊市高三上期中）已知函数是定义在上的偶函数，且在上是减函数， 则不等式的解集为__________．
【答案】
【解析】
是定义在上的偶函数，且在上是减函数，，
，
则不等式等价为不等式，
即，
即不等式的解集为，
故答案为：.
8、(2019南京学情调研）若函数f(x)＝a＋是奇函数，则实数a的值为________．
【答案】： 　
【解析】解法1(特殊值法)　因为函数f(x)为奇函数，且定义域为{x|x≠0}，所以有f(1)＋f(－1)＝0，即(a＋1)＋(a－2)＝0，解得a＝.
解法2(定义法)　因为函数f(x)为奇函数，所以有f(x)＋f(－x)＝0，即a＋＋ a＋＝0，即2a－1＝0，解得a＝.
本题由于是填空题，可用特殊值法解答，但取特值时，要注意函数的定义域．
9、(2019苏州期初调查）已知函数f(x)＝为奇函数，则实数a的值等于________．
【答案】： －2　
【解析】解法1(特殊值法)　f(－1)＝－1－a，f(1)＝－1, 因为f(x)为奇函数，所以－1－a＝1，则a＝－2.
解法2(定义法)　设x<0，则－x>0，所以f(－x)＝x2＋2x＝－f(x)，即x2＋2x＝x2－ax对x<0恒成立，所以a＝－2.
10、(2019南通、泰州、扬州一调）已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x＋2)＝f(x)．当0 【答案】：. 2　
【解析】：因为f(x＋2)＝f(x)，则f(－1)＝f(1)，又f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－1)＝－f(1)，则有f(1)＝－f(1)，即f(1)＝0，所以1－a＋1＝0，则a＝2，故答案为2.

11.(2019镇江期末） 已知函数f(x)＝－2x，则满足f(x2－5x)＋f(6)>0的实数x的取值范围是________．
【答案】：(2，3)　
【解析】 用函数的单调性和奇偶性解答．
函数f(x)的定义域为R，且f(－x)＝－2－x＝－＋2x＝－f(x)，故f(x)在R上是奇函数．又与－2x在R上都是单调递减的，从而f(x)在R上单调递减，从而由题意可得f(x2－5x)>－f(6)＝f(－6)，故x2－5x<－6，解得2 12、(2019泰州期末）已知函数f(x)＝2x4＋4x2，若f(a＋3)>f(a－1)，则实数a的取值范围为________．
【答案】： (－1，＋∞)
【解析】：　函数f(x)＝2x4＋4x2为偶函数，因为f′(x)＝8x3＋8x＝8x(x2＋1)，所以当x∈[0，＋∞)时，函数f(x)为增函数，当x∈(－∞，0)时，函数f(x)为减函数，由f(a＋3)>f(a－1)，得f(|a＋3|)>f(|a－1|)，即(a＋3)2>(a－1)2，解得a>－1，所以实数a的取值范围为(－1，＋∞)．．
13、(2019南京、盐城二模）已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝x2－5x，则不等式f(x－1)>f(x)的解集为________．
【答案】： (－2，3)　
【解析】解法1　f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝x2－5x，则当x<0时，有－x>0，f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2－5(－x)]＝－x2－5x，即f(x)＝.
①当x≥1时，由f(x－1)>f(x)得(x－1)2－5(x－1)>x2－5x，解得x<3，所以1≤x<3；
②当0≤x<1时，由f(x－1)>f(x)得－(x－1)2－5(x－1)>x2－5x，解得－1 ③当x<0时，由f(x－1)>f(x)得－(x－1)2－5(x－1)>－x2－5x，解得x>－2，所以－2 综上，由①②③得不等式f(x－1)>f(x)的解集为(－2，3)．
解法2　在同一坐标系中分别作出函数y＝f(x)与y＝f(x－1)的图像(将函数y＝f(x)的图像向右平移一个单位长度得到y＝f(x－1)的图像)，根据对称性可得，两个函数分别交于点(－2，6)，(3，－6)，从图像可得f(x－1)>f(x)的解集为(－2，3)．

14、(2019苏北三市期末）已知a，b∈R，函数f(x)＝(x－2)(ax＋b)为偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，则关于x的不等式f(2－x)>0的解集为________．
【答案】： (0，4)　f(x)＝(x－2)(ax＋b)＝ax2＋(b－2a)x－2b.因为函数f(x)是偶函数，所以b＝2a, 故f(x)＝ax2－4a.又函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数，所以a<0.
解法一(代数角度) f(2－x)＝a(2－x)2－4a>0，即(2－x)2<4，即－2<2－x<2，即0 解法二(数形结合) 作出函数f(x)的示意图，如图．

从图像可知f(x)>0，需－20，只需－2<2－x<2，解得0