(新高考)高考数学一轮复习过关练考点05 函数与方程（含解析）

考点05   函数与方程

1、了解二次函数的零点与相对应的一元二次方程的根的联系·

2、了解二分法求方程近似解的过程·

3、会用函数的图像理解和研究函数的性质·

4、掌握数形结合的思想，以及能运用数形结合解决一些函数问题。

函数与方程的思想是数学的四大思想之一，也体现了数形结合的思想，是近几年高考的热点也是高考的重点，经常体现在填空题的后几天或者大题的压轴题。通过近几年高考不难发现高考对函数的方程即函数的零点以及函数的性质等是函数重点考查的内容，在复习中要重点关注。

在高考复习中要注意以下几点：

①要熟悉一次函数、二次函数、三次函数、指数函数、对数函数等基本函数的图像，会处理含义绝对值函数的图像，等根据函数的图像的变换处理一些较为复杂的函数的图像问题。

②解决函数零点问题要用到以下方法（1）直接法，即求方程的根·（2）定理法，利用函数零点存在性定理估计零点的范围。（3）数形结合，即与函数的图像结合找出函数的零点。

③正确掌握函数与方程的思想，能正确的对函数与图像进行转化。能借助于图像解决函数与方程的问题。

1、【2020年天津卷】已知函数若函数恰有4个零点，则的取值范围是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】注意到，所以要使恰有4个零点，只需方程恰有3个实根

即可，

令，即与的图象有个不同交点.

因为，

当时，此时，如图1，与有个不同交点，不满足题意；

当时，如图2，此时与恒有个不同交点，满足题意；

当时，如图3，当与相切时，联立方程得，

令得，解得（负值舍去），所以.

综上，的取值范围为.

故选：D.

2、【2019年江苏卷】设是定义在上的两个周期函数，的周期为4，的周期为2，且是奇函数.当时，，，其中.若在区间上，关于的方程有8个不同的实数根，则 的取值范围是_____.

【答案】.

【解析】当时，即

又为奇函数，其图象关于原点对称，其周期为，如图，函数与的图象，要使在上有个实根，只需二者图象有个交点即可.

当时，函数与的图象有个交点；

当时，的图象为恒过点的直线，只需函数与的图象有个交点.当与图象相切时，圆心到直线的距离为，即，得，函数与的图象有个交点；当过点时，函数与的图象有个交点，此时，得.

综上可知，满足在上有个实根的的取值范围为.

3、【2018全国卷Ⅰ理】已知函数f(x)＝g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是(　　)

A. [－1，0)　  B. [0，＋∞)　  C. [－1，＋∞)　  D. [1，＋∞)

【答案】 C　

【解析】令g(x)＝0，得f(x)＝－x－a，则问题转化为函数y＝f(x)的图像与直线y＝－x－a的图像有两个交点，由图易知需控制直线的纵截距－a≤1，即a≥－1.故选C.

4、【2020年全国3卷】设函数，曲线在点(，f())处的切线与y轴垂直．

（1）求b．

（2）若有一个绝对值不大于1的零点，证明：所有零点的绝对值都不大于1．

【解析】

（1）利用导数的几何意义得到，解方程即可；

（2）由（1）可得，易知在上单调递减，在，上单调递增，且，采用反证法，推出矛盾即可.

（1）因为，

由题意，，即

则；

（2）由（1）可得，

，

令，得或；令，得，

所以在上单调递减，在，上单调递增，

且，

若所有零点中存在一个绝对值大于1零点，则或，

即或.

当时，，

又，

由零点存在性定理知在上存在唯一一个零点，

即在上存在唯一一个零点，在上不存在零点，

此时不存在绝对值不大于1的零点，与题设矛盾；

当时，，

又，

由零点存在性定理知在上存在唯一一个零点，

即在上存在唯一一个零点，在上不存在零点，

此时不存在绝对值不大于1的零点，与题设矛盾；

综上，所有零点的绝对值都不大于1.

5、【2020年浙江卷】已知，函数，其中e=2.71828…为自然对数的底数．

（Ⅰ）证明：函数在上有唯一零点；

（Ⅱ）记x0为函数在上的零点，证明：

（ⅰ）；

（ⅱ）．

【答案】（I）证明见解析，（II）（i）证明见解析，（ii）证明见解析.

【解析】

（I）先利用导数研究函数单调性，再结合零点存在定理证明结论；

（II）（i）先根据零点化简不等式，转化求两个不等式恒成立，构造差函数，利用导数求其单调性，根据单调性确定最值，即可证得不等式；

（ii）先根据零点条件转化：，再根据放缩，转化为证明不等式，最后构造差函数，利用导数进行证明.

【详解】（I）在上单调递增，

，

所以由零点存在定理得在上有唯一零点；

（II）（i），

，

令

一方面： ，

在单调递增，，

，

另一方面：，

所以当时，成立，

因此只需证明当时，

因为

当时，，当时，，

所以，

在单调递减，，，

综上，.

（ii），

，，

，因为，所以，

，

只需证明，

即只需证明，

令，

则，

，即成立，

因此.

题型一： 判断函数零点个数问题

1、(2019苏州三市、苏北四市二调）定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)，且在区间[2，4)上则函数的零点的个数为       

【答案】：. 5　

【解析】：因为f(x＋4)＝f(x)，可得f(x)是周期为4的奇函数，先画出函数f(x)在区间[2，4)上的图像，根据奇函数和周期为4，可以画出f(x)在R上的图像，由y＝f(x)－log5| x|＝0，得f(x)＝log5| x|，分别画出y＝f(x)和y＝log5|x|的图像，如下图，由f(5)＝f(1)＝1，而log55＝1，f(－3)＝f(1)＝1，log5|－3|<1，而f(－7)＝f(1)＝1，而log5|－7|＝log57>1，可以得到两个图像有5个交点，所以零点的个数为5.

 本题考查了函数的零点问题，以及函数的奇偶性和周期性，考查了转化与化归、数形结合的思想，函数的零数问题，常转化为函数的图像的交点个数来处理，其中能根据函数的性质作出函数的图像并能灵活地运用图像，找到临界点是解题的关键也是难点．

2、(2017南通期末） 已知函数f(x)是定义在[1，＋∞)上的函数，且f(x)＝则函数y＝2xf(x)－3在区间(1,2 015)上的零点个数为________．

【答案】11　

【解析】

解法1 由题意得当1≤x<2时，f(x)＝设x∈[2n－1,2n)(n∈N*)，则∈[1,2)，又f(x)＝f，

①当∈时，则x∈[2n－1,3·2n－2]，所以f(x)＝f＝，所以2xf(x)－3＝2x·－3＝0，整理得x2－2·2n－2x－3·22n－4＝0.解得x＝3·2n－2或x＝－2n－2.由于x∈[2n－1,3·2n－2]，所以x＝3·2n－2；

②当∈时，则x∈(3·2n－2,2n)，所以f(x)＝f＝，所以2xf(x)－3＝2x·－3＝0，整理得x2－4·2n－2x＋3·22n－4＝0.解得x＝3·2n－2或x＝2n－2.由于x∈(3·2n－2,2n)，所以无解．

综上所述，x＝3·2n－2.由x＝3·2n－2∈(1,2 015)，得n≤11，所以函数y＝2xf(x)－3在区间(1,2 015)上零点的个数是11.

解法2 由题意得当x∈[2n－1,2n)时，因为f(x)＝·f，所以f(x)max＝f＝.令g(x)＝.当x＝·2n－1时，g(x)＝g＝，所以当x∈[2n－1,2n)时，x＝·2n－1为y＝2xf(x)－3的一个零点．

下面证明：当x∈[2n－1,2n)时，y＝2xf(x)－3只有一个零点．

当x∈[2n－1,3·2n－2]时，y＝f(x)单调递增，y＝g(x)单调递减，f(3·2n－2)＝g(3·2n－2)，所以x∈[2n－1,3·2n－2]时，有一零点x＝3·2n－2；当x∈(3·2n－2,2n)时，y＝f(x)＝－，k1＝f′(x)＝－，g(x)＝，k2＝g′(x)＝－∈，所以k1<k2.又因为f(3·2n－2)＝g(3·2n－2)，所以当x∈[2n－1,2n)时，y＝2xf(x)－3只有一个零点．由x＝3·2n－2∈(1,2 015)，得n≤11，所以函数y＝2xf(x)－3在区间(1,2 015)上零点的个数是11.

解法3 分别作出函数y＝f(x)与y＝的图像，如图，交点在x1＝，x2＝3，x3＝6，…，xn＝3·2n－2处取得．由x＝3·2n－2∈(1,2 015)，得n≤11，所以函数y＝2xf(x)－3在区间(1,2 015)上零点的个数是11.

3、（2019·山东师范大学附中高三月考）函数的零点所在区间为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

，，

，，

，由.

故选：C

题型二：根据函数零点确定参数问题

1、（2020届山东实验中学高三上期中）已知函数，若方程有四个不同的解，则的取值范围是（        ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

先作图象，由图象可得

因此为，

从而，选A.

2、（2020·浙江学军中学高三3月月考）已知函数，若函数有9个零点，则实数k的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】

由题意，函数有9个零点，可转化为与有9个

不同交点.因当有，所以在上是周期函数，又当

时，有，，所以在上的图象如图所示

要使与有9个不同交点，则只需夹在与之间即可，

所以，解得或.

故选：A.

3、（2020届浙江省杭州市第二中学高三3月月考）已知函数，若函数在上只有两个零点，则实数的值不可能为

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】

函数的零点为函数与图象的交点，在同一直角坐标下作出函数与的图象，如图所示，

当函数的图象经过点（2，0）时满足条件，此时 ，当函数的图象经过点（4，0）时满足条件，此时 ，当函数的图象与相切时也满足题意，此时 ，解得， 综上所述，或或．

4、（2020·全国高三专题练习（文））函数，若方程有且只有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是 （    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

令,画出与的图象,

平移直线,当直线经过时只有一个交点,此时,向右平移,不再符合条件,故

故选：A

5、（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）已知若函数恰有一个零点，则实数k的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

时，，，所以函数在时有一个零点，从而在时无零点，即无解．

而当时，，，它是减函数，值域为，

要使无解．则．

故选：B.

6、（2020届浙江省“山水联盟”高三下学期开学）已知，函数，若函数恰有3个零点，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

令，则条件等价为方程有3个实数根．

当时，．

对A选项分析：当，时，在，，，图象如

图所示：

此时方程最多只有1个实数根，所以A选项错误．

对B选项分析：当，时，在，，，图象如图所示：

故方程可能会出现3个实数根，所以B选项正确．

对C选项分析：当，时，在，图象如图所示：

此时方程最多只有2个实数根，所以C选项错误．

对D选项分析：当，时，在，图象如图所示：

此时方程最多只有2个实数根，所以D选项错误．

故选：.

7、（2020届山东实验中学高三上期中）设定义在上的函数满足，且当时，.己知存在，且为函数(为自然对数的底数)的一个零点，则实数的取值可能是（    ）

A． B． C． D．

【答案】BCD

【解析】

令函数，因为，

，

为奇函数，

当时，，

在上单调递减，

在上单调递减．

存在，

得，，即，

；，

为函数的一个零点；

当时，，

函数在时单调递减，

由选项知，取，

又，

要使在时有一个零点，

只需使，

解得，

的取值范围为，

故选：．

8、（江苏省南通市2019-2020学年高三上学期期初）已知是定义在上且周期为的周期函数，当时，．若函数()在上恰有个互不相同的零点，则实数的值__．

【答案】

【解析】当时，得，

且是定义在上且周期为的周期函数，

函数(a＞1)在(0，)上恰有4个互不相同的零点，

函数与(a＞1)在(0，)上恰有4个不同的交点，

分别画出两函数图象如图所示，由图可知，当x＝时，有＝1，所以.

故答案为

9、（江苏省如皋市2019-2020学年高三上学期10月调研）若函数在上有三个零点，则实数的取值范围_______________.

【答案】

【解析】因为函数在上有三个零点,

所以,即在上有三个根,

所以函数的图象与函数的图象在上恰有3个交点,

如图:

由图可知:与的图象在上必须恰有一个交点,

所以,所以,

由图可知:与的图象在上必须有两个交点,

当的图象与的图象相切时,只有一个交点,此时设切点为,

因为,所以根据导数的几何意义得切线的斜率为:,所以,

解得:,所以切点为,将其代入到得,所以,

所以由图可知当时, 函数的图象与函数的图象在上恰有3个交点,

所以当时,函数在上有三个零点.

故答案为

10、（江苏省南通巿2019-2020学年第一次教学质量调研）若函数在上有三个零点，则实数的取值范围_______________.

【答案】

【解析】因为函数在上有三个零点,

所以,即在上有三个根,

所以函数的图象与函数的图象在上恰有3个交点,

如图:

由图可知:与的图象在上必须恰有一个交点,

所以,所以,

由图可知:与的图象在上必须有两个交点,

当的图象与的图象相切时,只有一个交点,此时设切点为,

因为,所以根据导数的几何意义得切线的斜率为:,所以,

解得:,所以切点为,将其代入到得,所以,

所以由图可知当时, 函数的图象与函数的图象在上恰有3个交点,

所以当时,函数在上有三个零点.

故答案为

11、（江苏省南通市通州区2019-2020学年高三第一次调研抽测）函数有两个零点，则k的取值范围是_______.

【答案】

【解析】令，

因为函数有两个零点，

所以的图像与直线有两个交点，

作出函数的图像如下：

因为，

由图像可得：

或.

故答案为

12、（2020届山东省九校高三上学期联考）已知表示不超过的最大整数，如，，.令，，则下列说法正确的是__________.

①是偶函数       

②是周期函数

③方程有4个根   

④的值域为

【答案】②③

【解析】

，

显然，所以不是偶函数，所以①错误；

，所以是周期为1的周期函数，

所以②正确；

作出函数的图象和的图象：

根据已推导是周期为1的周期函数，只需作出在的图象即可，当时，根据周期性即可得到其余区间函数图象，如图所示：

可得值域为，函数的图象和的图象一共4个交点，即方程有4个根，

所以③正确，④错误；

故答案为：②③

13、（2020届山东师范大学附中高三月考）已知函数，若方程有三个不同的实根，则实数a的取值范围是________．

【答案】

【解析】

函数的图象如下图所示，
作出直线l：，平移直线l至与之间时，方程有三个不同的实根，

而由得，当时，即（舍去）时，得直线，

当直线l：，过点时，得直线，此时，

所以要使方程有三个不同的实根，则实数a的取值范围是：，

故答案为：.