(新高考)高考数学一轮复习过关练考点09 导数的综合应用（含解析）

这是一份(新高考)高考数学一轮复习过关练考点09 导数的综合应用（含解析），共32页。试卷主要包含了通过导数研究函数的零点等内容，欢迎下载使用。

考点09 导数的综合应用
考纲要求



1、 运用导数研究函数的零点问题
2、 运用导数研究函数的恒成立问题
3、 运用导数研究实际应用题
4、 运用导数研究定义型问题

近三年高考情况分析



近几年各地对导数的考查逐步增加，选择、填空以及大题均有考查，难度也逐步增加，对于压轴题重点考查1、通过导数研究函数的零点、恒成立问题等问题。
2、利用导数研究函数的最值是函数模型的一个重要模块，导数是求函数的一种重要工具，对函数的解析式没有特殊的要求，无论解析式是复杂或者简单，与三角函数还是与其他模块的结合都可以运用导数求解，常考的知识点可以与立体几何、三角函数、解析几何等模块结合，这是近几年江苏高考命题的趋势


考点总结




在高考复习中要注意以下几点：
1、 注意函数零点的判断，以及函数恒成立问题的解题策略。
2、 导数的实际应用关键是构建函数模型。第一步：弄清问题，选取自变量，确立函数的取值范围；第二步：构建函数，将实际问题转化为数学问题；第三步：解决构建数学问题；第四步：将解出的结果回归实际问题，对结果进行取舍。在建立函数模型时，要注意函数的定义域，要积累常见函数模型如分式函数、三次函数、三角函数等知识点模块的结合。
三年高考真题





1、【2019年高考天津理数】已知，设函数若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】当时，恒成立；
当时，恒成立，
令，
则
，
当，即时取等号，
∴，则.
当时，，即恒成立，
令，则，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
则时，取得最小值，
∴，
综上可知，的取值范围是.
故选C.
2、【2019年高考浙江】已知，函数．若函数恰有3个零点，则
A．a<–1，b<0 B．a<–1，b>0
C．a>–1，b<0 D．a>–1，b>0
【答案】C
【解析】当x＜0时，y＝f（x）﹣ax﹣b＝x﹣ax﹣b＝（1﹣a）x﹣b＝0，得x，
则y＝f（x）﹣ax﹣b最多有一个零点；
当x≥0时，y＝f（x）﹣ax﹣bx3（a+1）x2+ax﹣ax﹣bx3（a+1）x2﹣b，
，
当a+1≤0，即a≤﹣1时，y′≥0，y＝f（x）﹣ax﹣b在[0，+∞）上单调递增，
则y＝f（x）﹣ax﹣b最多有一个零点，不合题意；
当a+1＞0，即a>﹣1时，令y′＞0得x∈(a+1，+∞），此时函数单调递增，
令y′＜0得x∈[0，a+1），此时函数单调递减，则函数最多有2个零点.
根据题意，函数y＝f（x）﹣ax﹣b恰有3个零点⇔函数y＝f（x）﹣ax﹣b在（﹣∞，0）上有一个零点，在[0，+∞）上有2个零点，
如图：

∴0且，
解得b＜0，1﹣a＞0，b（a+1）3，
则a>–1，b<0.
故选C．
3、【2020年江苏卷】某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O在水平线MN上、桥AB与MN平行，为铅垂线(在AB上).经测量，左侧曲线AO上任一点D到MN的距离(米)与D到的距离a(米)之间满足关系式；右侧曲线BO上任一点F到MN的距离(米)与F到的距离b(米)之间满足关系式.已知点B到的距离为40米.

（1）求桥AB的长度；
（2）计划在谷底两侧建造平行于的桥墩CD和EF，且CE为80米，其中C，E在AB上(不包括端点).桥墩EF每米造价k(万元)、桥墩CD每米造价(万元)(k>0).问为多少米时，桥墩CD与EF的总造价最低?
【答案】（1）120米（2）米
【解析】（1）由题意得
米
（2）设总造价为万元，，设，

(0舍去)
当时，；当时，，因此当时，取最小值，
答：当米时，桥墩CD与EF的总造价最低.
4、【2020年江苏卷】.已知关于x的函数与在区间D上恒有．
（1）若，求h(x)的表达式；
（2）若，求k的取值范围；
（3）若求证：．
【解析】（1）由题设有对任意的恒成立.
令，则，所以.
因此即对任意的恒成立，
所以，因此.
故.
（2）令，.
又.
若，则在上递增，在上递减，则，即，不符合题意.
当时，，符合题意.
当时， 在上递减，在上递增，则，
即，符合题意.
综上所述，.
由
当，即时，在为增函数，
因为，
故存在，使，不符合题意.
当，即时，，符合题意.
当，即时，则需，解得.
综上所述，的取值范围是.
（3）因为对任意恒成立，
对任意恒成立，
等价于对任意恒成立.
故对任意恒成立
令，
当，，
此时，
当，，
但对任意的恒成立.
等价于对任意的恒成立.
的两根为，
则，
所以.
令，则.
构造函数，，
所以时，，递减，.
所以，即.
5、【2020年全国3卷】设函数，曲线在点(，f())处的切线与y轴垂直．
（1）求b．
（2）若有一个绝对值不大于1的零点，证明：所有零点的绝对值都不大于1．
【解析】（1）因为，
由题意，，即
则；
（2）由（1）可得，
，
令，得或；令，得，
所以在上单调递减，在，上单调递增，
且，
若所有零点中存在一个绝对值大于1零点，则或，
即或.
当时，，
又，
由零点存在性定理知在上存在唯一一个零点，
即在上存在唯一一个零点，在上不存在零点，
此时不存在绝对值不大于1的零点，与题设矛盾；
当时，，
又，
由零点存在性定理知在上存在唯一一个零点，
即在上存在唯一一个零点，在上不存在零点，
此时不存在绝对值不大于1的零点，与题设矛盾；
综上，所有零点的绝对值都不大于1.
6、【2020年天津卷】.已知函数，为的导函数．
（Ⅰ）当时，
（i）求曲线在点处的切线方程；
（ii）求函数的单调区间和极值；
（Ⅱ）当时，求证：对任意的，且，有．
【解析】(Ⅰ) (i) 当k=6时，，.可得，，
所以曲线在点处的切线方程为，即.
(ii) 依题意，.
从而可得，
整理可得：，
令，解得.
当x变化时，的变化情况如下表：









单调递减
极小值
单调递增


所以，函数g(x)的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，+∞)；
g(x)的极小值为g(1)=1，无极大值.
（Ⅱ）证明：由，得.
对任意的，且，令，则



. ①
令.
当x>1时，，
由此可得在单调递增，所以当t>1时，，即.
因为，，，
所以
. ②
由(Ⅰ)(ii)可知，当时，，即，
故 ③
由①②③可得.
所以，当时，任意的，且，有
.
7、【2020年浙江卷】.已知，函数，其中e=2.71828…为自然对数的底数．
（Ⅰ）证明：函数在上有唯一零点；
（Ⅱ）记x0为函数在上的零点，证明：
（ⅰ）；
（ⅱ）．
【解析】（I）在上单调递增，
，
所以由零点存在定理得在上有唯一零点；
（II）（i），
，
令
一方面： ，
在单调递增，，
，
另一方面：，
所以当时，成立，
因此只需证明当时，
因为
当时，，当时，，
所以，
在单调递减，，，
综上，.
（ii），
，，
，因为，所以，
，
只需证明，
即只需证明，
令，
则，
，即成立，
因此.
8、【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知函数，为的导数．证明：
（1）在区间存在唯一极大值点；
（2）有且仅有2个零点．
【解析】（1）设，则，.
当时，单调递减，而，可得在有唯一零点，
设为.
则当时，；当时，.
所以在单调递增，在单调递减，故在存在唯一极大值点，即在存在唯一极大值点.
（2）的定义域为.
（i）当时，由（1）知，在单调递增，而，所以当时，，故在单调递减，又，从而是在的唯一零点.
（ii）当时，由（1）知，在单调递增，在单调递减，而，，所以存在，使得，且当时，；当时，.故在单调递增，在单调递减.
又，，所以当时，.从而，在没有零点.
（iii）当时，，所以在单调递减.而，，所以在有唯一零点.
（iv）当时，，所以<0，从而在没有零点.
综上，有且仅有2个零点.
9、【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知函数.
（1）讨论f(x)的单调性，并证明f(x)有且仅有两个零点；
（2）设x0是f(x)的一个零点，证明曲线y=lnx在点A(x0，lnx0)处的切线也是曲线的切线.
【解析】（1）f（x）的定义域为（0，1）（1，+∞）．
因为，所以在（0，1），（1，+∞）单调递增．
因为f（e）=，，所以f（x）在（1，+∞）有唯一零点x1，即f（x1）=0．又，，故f（x）在（0，1）有唯一零点．
综上，f（x）有且仅有两个零点．
（2）因为，故点B（–lnx0，）在曲线y=ex上．
由题设知，即，故直线AB的斜率．
曲线y=ex在点处切线的斜率是，曲线在点处切线的斜率也是，
所以曲线在点处的切线也是曲线y=ex的切线．
10、【2019年高考天津理数】设函数为的导函数．
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）当时，证明；
（Ⅲ）设为函数在区间内的零点，其中，证明．
【解析】（Ⅰ）由已知，有．因此，当时，有，得，则单调递减；当时，有，得，则单调递增．
所以，的单调递增区间为的单调递减区间为．
（Ⅱ）证明：记．依题意及（Ⅰ），有，从而．当时，，故
．
因此，在区间上单调递减，进而．
所以，当时，．
（Ⅲ）证明：依题意，，即．记，则，且．
由及（Ⅰ），得．由（Ⅱ）知，当时，，所以在上为减函数，因此．又由（Ⅱ）知，，故
．
所以，．
11、【2018年高考全国Ⅰ卷理数】已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若存在两个极值点，证明：．
【解析】（1）的定义域为，.
（i）若，则，当且仅当，时，所以在单调递减.
（ii）若，令得，或.
当时，；
当时，.
所以在单调递减，在单调递增.
（2）由（1）知，存在两个极值点当且仅当.
由于的两个极值点满足，所以，不妨设，则.
由于，
所以等价于.
设函数，由（1）知，在单调递减，又，从而当时，.
所以，即.

二年模拟试题




题型一、零点问题

1、（北京市昌平区2019年高三月考）已知函数是定义在上的偶函数，且满足，若函数有6个零点，则实数的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】函数有6个零点，
等价于函数与有6个交点，
当时，，
当时，，，
当时，递增，当时，递减，
的极大值为：，
作出函数的图象如下图，

与的图象有6个交点，须，表示为区间形式即.
故选C.
2、（北京市门头沟区2019年高三年级月考 ）函数，函数，（其中为自然对数的底数，）若函数有两个零点，则实数取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由得，
令，则,
所以当时，,
当时，,
因此当时，函数有两个零点，选C.
3、（2020届浙江省台州市温岭中学3月模拟）已知函数在区间上有零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】不妨设，为函数的两个零点，其中，，
则，.
则，
由，，所以
，
可令，，
当，恒成立，所以.
则的最大值为，此时，
还应满足，显然，时，，.
故选：B.
4、（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）已知函数（e为自然对数的底），若且有四个零点，则实数m的取值可以为（ ）
A．1 B．e C．2e D．3e
【答案】CD
【解析】因为，可得，即为偶函数，
由题意可得时，有两个零点，
当时，，
即时，，
由，可得，
由相切，设切点为，

的导数为，可得切线的斜率为，
可得切线的方程为，
由切线经过点，可得，
解得：或（舍去），即有切线的斜率为，
故，
故选：CD.

5、．（2020届山东实验中学高三上期中）设定义在上的函数满足，且当时，.己知存在，且为函数(为自然对数的底数)的一个零点，则实数的取值可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【解析】令函数，因为，
，
为奇函数，
当时，，
在上单调递减，
在上单调递减．
存在，
得，，即，
；，
为函数的一个零点；
当时，，
函数在时单调递减，
由选项知，取，
又，
要使在时有一个零点，
只需使，
解得，
的取值范围为，
故选：．
6、（2020·山东省淄博实验中学高三上期末）关于函数，下列判断正确的是（ ）
A．是的极大值点
B．函数有且只有1个零点
C．存在正实数，使得成立
D．对任意两个正实数，，且，若，则.
【答案】BD
【解析】A.函数的 的定义域为（0，+∞），
函数的导数f′（x），∴（0，2）上，f′（x）＜0，函数单调递减，（2，+∞）上，f′（x）＞0，函数单调递增，
∴x＝2是f（x）的极小值点，即A错误；
B.y＝f（x）﹣xlnx﹣x，∴y′10，
函数在（0，+∞）上单调递减，且f（1）﹣1ln1﹣1=1>0，f（2）﹣2ln2﹣2= ln2﹣1<0，∴函数y＝f（x）﹣x有且只有1个零点，即B正确；
C.若f（x）＞kx，可得k，令g（x），则g′（x），
令h（x）＝﹣4+x﹣xlnx，则h′（x）＝﹣lnx，
∴在x∈（0，1）上，函数h（x）单调递增，x∈（1，+∞）上函数h（x）单调递减，
∴h（x）⩽h（1）＜0，∴g′（x）＜0，
∴g（x）在（0，+∞）上函数单调递减，函数无最小值，
∴不存在正实数k，使得f（x）＞kx恒成立，即C不正确；
D.令t∈（0，2），则2﹣t∈（0，2），2+t＞2，
令g（t）＝f（2+t）﹣f（2﹣t）ln（2+t）ln（2﹣t）ln，
则g′（t）0，
∴g（t）在（0，2）上单调递减，
则g（t）＜g（0）＝0，
令x1＝2﹣t，
由f（x1）＝f（x2），得x2＞2+t，
则x1+x2＞2﹣t+2+t＝4，
当x2≥4时，x1+x2＞4显然成立，
∴对任意两个正实数x1，x2，且x2＞x1，若f（x1）＝f（x2），则x1+x2＞4，故D正确
故正确的是BD，
故选：BD．
7、（2020届浙江省嘉兴市3月模拟）已知函数，，若存在实数使在上有2个零点，则的取值范围为________．
【答案】．
【解析】
已知实数使在上有2个零点，等价于与的函数图象在上有2个交点，
显然与x轴的交点为，的图象关于对称，
当时，若要有2个交点，由数形结合知m一定小于e，即；

当时，若要有2个交点，须存在a使得在有两解，所以，
因为，即，显然存在这样的a使上述不等式成立；
由数形结合知m须大于在处的切线与x轴交点的横坐标，即
综上所述，m的范围为．

故答案为：
8、（2020届江苏省南通市海门中学高三上学期10月检测）若函数，存在零点，则实数a的取值范围为____
【答案】
【解析】因为函数，存在零点，
等价于，在上有解，
即在上有解，
即函数与在上有交点，
令
当时，，，即在上单调递增，所以；
当时，，，
令，解得，即在上单调递增，在上单调递减，所以；
故在上的值域为，
所以
故答案为：

9、（2020·山东省淄博实验中学高三上期末）已知函数.若函数在上无零点，则的最小值为________.
【答案】
【解析】
因为在区间上恒成立不可能，故要使函数在上无零点，只要对任意的，恒成立，即对任意的，恒成立.
令，，则，
再令，，则，
故在上为减函数，于是，
从而，于是在上为增函数，所以，
故要使恒成立，只要，
综上，若函数在上无零点，则的最小值为.
故答案为：
10、（2020届山东省烟台市高三上期末）已知函数，其中.
（1）求函数的单调区间；
（2）讨论函数零点的个数；
（3）若存在两个不同的零点，求证：.
【解析】（1）函数的定义域为,

,
令,得或,
因为,当或时,,单调递增；
当时,,单调递减,
所以的增区间为,；减区间为
（2）取,则当时,,,
所以；
又因为,由（1）可知在上单调递增,因此,当,恒成立,即在上无零点.；
下面讨论的情况：
①当时,因为在单调递减,单调递增,且,,,
根据零点存在定理,有两个不同的零点；
②当时,由在单调递减,单调递增,且，
此时有唯一零点；
③若,由在单调递减,单调递增,,
此时无零点；
综上,若,有两个不同的零点；若,有唯一零点；若,无零点
（3）证明：由（2）知,,且,
构造函数,,
则,
令,,
因为当时,,,
所以
又,所以恒成立,即在单调递增,
于是当时,,即 ,
因为,所,
又,所以,
因为,,且在单调递增,
所以由,可得,即
题型二 恒成立问题
1、（2020届山东省泰安市高三上期末）设函数在定义域(0，+∞)上是单调函数，，若不等式对恒成立，则实数a的取值范围是______．
【答案】
【解析】
由题意可设，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
由得，
∴对恒成立，
令，，则，
由得，
∴在上单调递减，在单调递增，
∴，
∴，
故答案为：．
2、（2020·山东省淄博实验中学高三上期末）设函数，.
（1）若，，求函数的单调区间；
（2）若曲线在点处的切线与直线平行.
①求，的值；
②求实数的取值范围，使得对恒成立.
【解析】（1）当，时，，
则.当时，；
当时，；
所以的单调增区间为，单调减区间为.
（2）①因为，
所以，依题设有，即.
解得.
②，.
对恒成立，即对恒成立.
令，则有.
当时，当时，，
所以在上单调递增.
所以，即当时，；
当时，当时，，所以在上单调递减，故当时，，即当时，不恒成立.
综上，.
3、（2020·浙江温州中学3月高考模拟）已知.
（1）求的单调区间；
（2）当时，求证：对于，恒成立；
（3）若存在，使得当时，恒有成立，试求的取值范围.
【解析】
（1）
，
当时，.
解得．
当时，解得．
所以单调减区间为，
单调增区间为．
（2）设
，
当时，由题意，当时，
恒成立．
，
∴当时，恒成立，单调递减．
又，
∴当时，恒成立，即．
∴对于，恒成立．
（3）因为．
由（2）知，当时，恒成立，
即对于，，
不存在满足条件的；
当时，对于，，
此时．
∴，
即恒成立，不存在满足条件的；
当时，令，
可知与符号相同，
当时，，，
单调递减．
∴当时，，
即恒成立．
综上，的取值范围为．
题型三 实际应用问题

1、(2019南京、盐城一模）盐城市政府响应习总书记在十九大报告中提出的“绿水青山就是金山银山”，对环境进行了大力整治，目前盐城市的空气质量位列全国前十，吸引了大量的外地游客．某旅行社组织了一个旅游团于近期来到了黄海国家森林公园，数据显示，近期公园中每天空气质量指数近似满足函数f(x)＝mlnx－x＋－6(4≤x≤22，m∈R)，其中x为每天的时刻，若凌晨6点时，测得空气质量指数为29.6.
(1) 求实数m的值；
(2) 求近期每天时段空气质量指数最高的时刻．(参考数值：ln6＝1.8)
解析： (1)由f(6)＝29.6，代入f(x)＝mlnx－x＋－6(4≤x≤22，m∈R)，解得m＝12.(5分)
(2)由已知函数求导，得f′(x)＝＋600＝(12－x)]．
令f′(x)＝0，得x＝12.(9分)
列表得

x
[4，12)
12
(12，22]
f′(x)
＋
0
－
f(x)

极大值


所以函数在x＝12时取极大值也是最大值，即每天时段空气质量指数最高的时刻为12时. (12分)
答：(1)实数m的值为12；(2)空气质量指数最高的时刻为12时．(14分)

2、(2019苏州三市、苏北四市二调）图①是一栋新农村别墅，它由上部屋顶和下部主体两部分组成．如图②，屋顶由四坡屋面构成，其中前后两坡屋面ABFE和CDEF是全等的等腰梯形，左右两坡屋面EAD和FBC是全等的三角形．点F在平面ABCD和BC上的射影分别为H，M.已知HM＝5 m，BC＝10 m，梯形ABFE的面积是△FBC面积的2.2倍．设∠FMH＝θ.
(1) 求屋顶面积S关于θ的函数关系式；
(2) 已知上部屋顶造价与屋顶面积成正比，比例系数为k(k为正的常数)，下部主体造价与其高度成正比，比例系数为16k.现欲造一栋上、下总高度为6 m的别墅，试问：当θ为何值时，总造价最低？
　,②)

(1)先通过线面垂直得到FH⊥HM，放在Rt△FHM中，求出FM，根据三角形的面积公式求出△FBC的面积，根据已知条件就可以得到所求S关于θ的函数关系式．
(2)先求出主体高度，进而建立出别墅总造价y关于θ的函数关系式，再通过导数法求函数的最小值．
(1)规范解答 由题意FH⊥平面ABCD，FM⊥BC，又因为HM⊂平面ABCD，得FH⊥HM.(2分)
在Rt△FHM中，HM＝5，∠FMH＝θ，
所以FM＝.(4分)
因此△FBC的面积为×10×＝.
从而屋顶面积S＝2S△FBC＋2S梯形ABFE＝2×＋2××2.2＝.
所以S关于θ的函数关系式为S＝.(6分)
(2)在Rt△FHM中，FH＝5tanθ，所以主体高度为h＝6－5tanθ.(8分)
所以别墅总造价为y＝S·k＋h·16k＝k－k＋96k＝80k·＋96k.(10分)
记f(θ)＝，0<θ<，所以f′(θ)＝，
令f′(θ)＝0，得sinθ＝，又0<θ<，所以θ＝.(12分)
列表：

θ



f′(θ)
－
0
＋
f(θ)



　　所以当θ＝时，f(θ)有最小值．
答：当θ为时，该别墅总造价最低．(14分)