(新高考)高考数学一轮复习过关练考点11 不等关系及一元二次不等式（含解析）

考点11  不等关系及一元二次不等式

1、掌握基本不等关系

2、掌握一元二次不等式的解法

3、了解一元二次不等式与相应函数、方程的关系

1、不等关系在各地的高考中经常考查，考查的重点就是通过选择题的形式判断所给的不等关系式是否正确。

2、一元二次不等式在高中数学中是一个工具，是必考的知识点，但是直接考查的不多，往往与其它知识点结合考查，多以简单的题目为主，它多与导数、函数、解析几何等相关知识结合。体现函数方程的思想。

1、对于给出的不等关系式，常用的方法就是特殊化。

2、掌握解一元二次不等式的方法和技巧。

3、 解不等式恒成立问题的技巧:1. 对于一元二次不等式恒成立问①掌握 三个“一元二次”的关系，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方,恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方.另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值.2. 解恒成立问题一定要搞清谁是主元,谁是参数,一般地,知道谁的范围,谁就是主元,求谁的范围,谁就是参数.

1、【2020年全国1卷文】1.已知集合则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】由解得，

所以，

又因为，所以，

故选：D.

2、【2020年山东卷】若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】因为定义在上的奇函数在上单调递减，且，

所以在上也是单调递减，且，，

所以当时，，当时，，

所以由可得：

或或

解得或，

所以满足的的取值范围是，

故选：D.

3、【2020年天津卷】设，则“”是“”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】求解二次不等式可得：或，

据此可知：是的充分不必要条件.

故选：A.

4、【2020年全国2卷】.若，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】由得：，

令，

为上的增函数，为上的减函数，为上的增函数，

，

，，，则A正确，B错误；

与的大小不确定，故CD无法确定.

故选：A.

5、【2020年全国2卷】.在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（    ）

A. 10名 B. 18名 C. 24名 D. 32名

【答案】B

【解析】由题意，第二天新增订单数为，设需要志愿者x名，

，,故需要志愿者名.

故选：B

6、【2020年北京卷】已知函数，则不等式的解集是（    ）．

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】因为，所以等价于，

在同一直角坐标系中作出和的图象如图：

两函数图象的交点坐标为，

不等式的解为或.

所以不等式的解集为：.

故选：D.

7、【2020年天津卷】设，则的大小关系为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】因为，

，

，

所以.

故选：D.

8、【2020年天津卷】设，则的大小关系为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】因为，

，

，

所以.

故选：D.

9、【2019年高考全国II卷理数】若a>b，则

A．ln(a−b)>0 B．3a<3b

C．a3−b3>0 D．│a│>│b│

【答案】C

【解析】取，满足，，知A错，排除A；因为，知B错，排除B；取，满足，，知D错，排除D，因为幂函数是增函数，，所以，故选C．

10、【2019年高考天津卷理数】设，则“”是“”的

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】化简不等式，可知 推不出，

由能推出，

故“”是“”的必要不充分条件，

故选B.

11、【2018年高考天津卷理数】设，则“”是“”的  

A．充分而不必要条件  B．必要而不充分条件

C．充要条件  D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】绝对值不等式 ，

由 .

据此可知是的充分而不必要条件.

故选A.

12、【2019年高考北京卷理数】李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．

①当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；

②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为__________．

【答案】①130 ；②15.

【解析】（1）,顾客一次购买草莓和西瓜各一盒,需要支付元.

（2）设顾客一次购买水果的促销前总价为元,

元时,李明得到的金额为,符合要求.

元时,有恒成立,即,即元.

所以的最大值为.

题型一  不等关系的判断

1、（2020届山东省泰安市高三上期末）已知均为实数，则下列命题正确的是（    ）

A．若，则

B．若，则

C．若则

D．若则

【答案】BC

【解析】

若，，则，故A错；

若，，则，化简得，故B对；

若，则，又，则，故C对；

若，，，，则，，，故D错；

故选：BC．

2、（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）设，，则下列不等式中恒成立的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】CD

【解析】

当，满足条件．但不成立，故A错误，
当时，，故B错误，
，，则，故C正确，
，，故D正确.
故选：CD．

3、（2020届浙江省十校联盟高三下学期开学）已知，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

，

因为，

所以，

故后者能推出前者，

反之，比如，，推不出后者，

故为必要不充分条件，

故选：B.

4、（2020届浙江省十校联盟高三下学期开学）已知，给出下列命题：

①若，则；    ②若，则；

③若，则；    ④若，则.

其中真命题的个数是（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【解析】

①若，

则，

所以，

所以，即①错误；

若，

则，

即，

因为，

所以，

所以，

所以，即，所以②正确；

若，

则，

因为，所以，

所以，即③正确；

④取，，满足，

但，所以④错误；

所以真命题有②③，

故选：B．

5、（2020届北京市顺义区高三上学期期末数学试题）若，则下列不等式一定正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】因为：

对于A：当,所以,故A错误；

对于B：因为,所以,故B错误；

对于C：因为,所以,故C错误；

对于D：因为,所以,

又因为,则,故不取等,即,故D正确；

故选：D

6、(2019苏北四市、苏中三市三调） 已知函数 则不等式的解集为  ▲  ．

【答案】

    【解析】：：若，则，

由得：

    ，故.

 若，则，

由得：

   ，故.

综上，不等式的解集为.

题型二  一元二次不等式的解法

1、（2020届北京昌平区新学道临川学校高三上学期第三次月考）已知一元二次不等式的解集为或，则的解集为（    ）.

A．或 B．

C． D．

【答案】D

【解析】一元二次不等式的解集为或，

则的解集为，

则可化为；

解得，

所以所求不等式的解集为．

故选：．

2、（2020届北京市陈经纶学校高三上学期开学）已知集合，集合，则（   ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由解得，故，故选B.

3、（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）不等式的解集为，则不等式的解集为（   ）

A．或 B． C． D．或

【答案】A

【解析】

不等式的解集为,

 的两根为，，且，

即,解得

则不等式可化为

解得

故选

4、（2020届北京市昌平区新学道临川学校高三上学期期中考试数学试题）已知关于x的不等式的解集是，则关于x的不等式的解集是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】由关于x的不等式的解集是，

得且，

则关于x的不等式可化为，

即，

解得：或，

所求不等式的解集为：.

故选：A.

5、、(2019苏北四市、苏中三市三调） 已知函数 则不等式的解集为  ▲  ．

【答案】

    【解析】：：若，则，

由得：

    ，故.

 若，则，

由得：

   ，故.

综上，不等式的解集为.

题型三 一元二次不等式中含参问题

1、（2020年1月北京市中学生标准学术能力诊断性测试）已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】时，不等式可化为；

当时，不等式为，满足题意；

当时，不等式化为，则，当且仅当时取等号，

所以，即；

当时，恒成立；

综上所述，实数的取值范围是

答案选A

2、（2020届山东省潍坊市高三上期中）“，” 为假命题，则实数的最大值为__________．

【答案】

【解析】

由“，”为假命题，可知，“，”为真命题，

恒成立，由二次函数的性质可知，，

则实数，即的最大值为．

故答案为：.

3、（江苏省如皋市2019-2020学年高三上学期10月调研）不等式的解集为，则实数的取值范围为________.

【答案】

【解析】当时，不等式显然恒成立，即，满足条件。

当时，为二次函数，要恒大于零只有开口向上，。

所以，，即

综上所述：

4、（江苏省南通市2019-2020学年高三上学期期初）已知函数.

（1）若不等式的解集为，则实数，的值分别为     ；

（2）若对任意，恒有，则实数的取值范围为      .

【答案】（1），；（2）

【解析】（1），即，

根据题意：，解得.

（2）恒成立，

当时，或，故，解得；

当时，易知成立；

当时，或，故，解得.

综上所述：.