(新高考)高考数学一轮复习过关练考点13 两角和与差的正弦、余弦、正切（含解析）

考点13  两角和与差的正弦、余弦、正切

1、了解用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程,能从两角差的余弦公式推导出两角和的余弦、两角和与差的正弦、两角和与差的正切公式。

2、体会化归思想的应用;掌握上述两角和与差的三角函数公式,能运用它们进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明 .

3、能从两角和公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式,体会化归思想的应用。

4、掌握二倍角公式(正弦、余弦、正切),能运用它们进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明。

“两角和(差)的正弦、余弦和正切”在全国各地区是考查的重点,课标要求是“两个周期函数的叠加仍然是一个周期函数”,其本质就是 a sin x +b cos x = A sin ( x + φ )的转化,根据高考考试说明只需对特殊角进行转化,不必涉及非特殊角的情形 . 此外,三角恒等式的证明未必会考(近 5 年江苏高考都没有考),但常利用三角恒等变换进行化简与变形来解决综合题,因为化简的正确性将直接关系到整道题目能否顺利、正确的解决,所以“两角和(差)的正弦、余弦和正切”务必要引起足够的重视·

注意此处的教学要求为必考内容,必须要引起足够的重视 . 首先,两角和(差)的正弦、余弦及正切是三角恒等变换的基础和核心,后续的二倍角等公式实际是两角和(差)的特例;其次,高考并不一定会考三角恒等式的证明(近五年的江苏省高考试卷就说明了这一点),在这里重要的是强化三角恒等变换的能力,弱化公式的机械记忆;最后,用三角变换研究较复杂函数的性质,更易体现“在知识的交汇点处命题”这一高考命题的基本思想,这样的题目更显得活泼、有生气,这一点在 2008~2020 年的各地高考试卷中均有相当明显的反映

1、【2020年北京卷】.若函数的最大值为2，则常数的一个取值为________．

【答案】（均可）

【解析】因为，

所以，解得，故可取.

故答案为：（均可）.

2、【江苏卷】8.已知 =，则的值是____.

【答案】

【解析】

故答案为：

3、【2020年全国3卷】已知2tanθ–tan(θ+)=7，则tanθ=（    ）

A. –2 B. –1 C. 1 D. 2

【答案】D

【解析】，，

令，则，整理得，解得，即.

故选：D.

4、【2020年全国2卷】2.若α为第四象限角，则（    ）

A. cos2α>0 B. cos2α<0 C. sin2α>0 D. sin2α<0

【答案】D

【解析】方法一：由α为第四象限角，可得，

所以

此时的终边落在第三、四象限及轴的非正半轴上，所以

故选：D.

方法二：当时，，选项B错误；

当时，，选项A错误；

由在第四象限可得：，则，选项C错误，选项D正确；

故选：D.

5、【2020年全国1卷】.已知，且，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】，得，

即，解得或（舍去），

又.
故选：A.

6、【2020年浙江卷】.已知，则________；______．

【答案】    (1).     (2).

【解析】，

，

故答案为：

7、【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知α∈(0，)，2sin2α=cos2α+1，则sinα=

A．           B．       

C．          D．

【答案】B

【解析】，，，又，，又，，故选B．

8、【2018年高考全国Ⅲ卷理数】若，则

A．         B．

C．         D．

【答案】B

【解析】.

故选B.

9、【2019年高考江苏卷】已知，则的值是  ▲   .

【答案】

【解析】由，得，

解得，或.

，

当时，上式

当时，上式=

综上，

10、【2018年高考全国Ⅰ理数】已知函数，则的最小值是_____________．

【答案】

【解析】，

所以当时函数单调递减，当时函数单调递增，从而得到函数的递减区间为，函数的递增区间为，

所以当时，函数取得最小值，此时，

所以，故答案是.

题型一  两角和与差的正弦、余弦和正切

1、（2020届山东省潍坊市高三上期中） （    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

因为.

故选：B.

2、（2020届北京市昌平区新学道临川学校高三上学期期中考试数学试题）

（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

.

故选：D.

3、（2020届山东实验中学高三上期中）已知，且，则的值为（   ）

A．-7 B．7 C．1 D．-1

【答案】B

【解析】

因为，

所以，即，

又 ，

则，

解得= 7，

故选B.

4、（2020·全国高三专题练习（文））已知，，则________.

【答案】

【解析】

因为，所以且，所以；

又，

所以.

故答案为：.

5、（江苏省南通市海安高级中学2019-2020学年高三阶段测试）在锐角三角形ABC中，，则的值为_________.

【答案】79

【解析】∵在锐角三角形中，
，
，
，
，

故答案为：79．

6、（江苏省南通市如皋市2019-2020学年高三下学期期初考）已知为锐角，且，则__________．

【答案】

【解析】因为为锐角，，

则，

所以，

         .

故答案为： .

7、(2019无锡期末）已知θ是第四象限角，且 cosθ＝，那么的值为________．

【答案】 　

因为θ是第四象限角，所以sinθ<0，

则sinθ＝－＝－，

所以＝＝＝＝＝.

   本题考查了同角三角函数关系，诱导公式，两角和的正弦公式以及二倍角的余弦公式的应用，应注意正确选择二倍角的余弦公式进行化简．

8、(2019扬州期末）设a，b是非零实数，且满足＝tan，则＝________．

【答案】 　

解法1(方程法)　因为a，b是非零实数，由＝tan，得＝tan，解得＝，即＝tan＝tan＝.

解法2(系数比较法)　tan＝tan＝＝，tan＝＝，所以＝.

题型二  二倍角的正弦、余弦和正切

1、（2020届山东师范大学附中高三月考）已知，则的值为________．

【答案】

【解析】

原式,又∵，

∴原式，

故答案为：.

2、（2020·浙江高三）若，，则cosα＝_____，tan2α＝_____．

【答案】    ﹣2   

【解析】

∵，，

∴cosα，tanα，

∴tan2α2．

故答案为：，﹣2．

3、（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）已知，为第二象限角，则______.

【答案】

【解析】

由于，为第二象限角，所以.所以.

故答案为：

4、（2020届河北省衡水中学高三年级上学期五调）已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由三角函数的诱导公式，可得，即，

又由.

5、（2020届北京西城区第四中学高三期中）已知角的顶点在坐标原点，始边与轴正半轴重合，终边经过点，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】因为角的顶点在坐标原点，始边与轴正半轴重合，终边经过点，

所以，

因此.

故选B

6、（2020届江苏省南通市如皋市高三上学期教学质量调研(二)）已知，则______．

【答案】

【解析】，

可得，

解得：，（负值舍去），

，即，

解得：，

．

故答案为：．

7、(2019镇江期末） 若2cos2α＝sin，α∈，则sin2α＝________．

【答案】  －　

解法1　设－α＝β，则α＝－β.由2cos2α＝sin，得2cos＝2sin2β＝4sinβcosβ＝sinβ，而sinβ≠0，故cosβ＝.所以sin2α＝sin＝cos2β＝2cos2β－1＝－.

解法2　由2cos2α＝sin得2(cosα＋sinα)(cosα－sinα)＝(cosα－sinα)．又α∈，则cosα－sinα≠0，故cosα＋sinα＝.两边平方得sin2α＝－.

8、（2020届浙江省台州市温岭中学3月模拟）已知函数.

若，，求得值；

在中，角，，的对边分别为，，且满足，求的取值范围.

【答案】；.

【解析】

解：

，

由，，

可得，

所以，，

所以.

因为，

由正弦定理可得，，

从而可得，，

即，

因为，

所以，，

所以，

所以.

9、(2019通州、海门、启东期末）设α∈，已知向量a＝(sinα，)，b＝，且a⊥b.

(1) 求tan的值；

(2) 求cos的值．

解析：(1) 因为a＝(sina，)，b＝，且a⊥b.

所以sina＋cosα＝，所以sin＝.2分

因为α∈，所以α＋∈，(4分)

所以cos＝，

故sin＝＝

所以tan＝.(6分)

(2) 由(1)得cos＝2cos2－1＝2×－1＝.(8分)

因为α∈，所以2α＋∈，

所以sin＝.(10分)

所以cos＝cos]

＝coscos－sinsin(12分)

＝.(14分)

考点三、公式的综合运用

1、（河北省衡水市衡水中学2019-2020学年高三上学期期中（文)）已知角满足，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】，

．

故选D．

2、（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）若，则（    ）．

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

．

故选．

3、（2020届浙江省之江教育评价联盟高三第二次联考）已知函数.

（1）求的最小正周期；

（2）当时，求的最大值和最小值.

【答案】（1）（2）最大值为1，最小值为

【解析】

已知函数.

，

＝

＝

＝，

（1）的最小正周期为.

（2）当时，

，，

，

当时，即时，取得最大值为1，

当时，即时，取得最小值为.

4、（2020届浙江省温丽联盟高三第一次联考）已知函数的最大值为1.

（Ⅰ）求常数的值；

（Ⅱ）求出成立的的取值集合.

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）

，

由的最大值为1可知，，

∴；

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，

由，得，

∴，

即，，

故解集为．