(新高考)高考数学一轮复习过关练考点14 正、余弦定理（含解析）

这是一份(新高考)高考数学一轮复习过关练考点14 正、余弦定理（含解析），共33页。

考点14 正、余弦定理
考纲要求



1. 理解正弦定理,能用正弦定理解三角形 .
2. 理解余弦定理,能用余弦定理解三角形 .
3. 能根据条件,灵活选用正弦定理、余弦定理解决三角形中的有关问题 . 公式选择得当,方法运用对路是简化问题的必要手段 .
4. 能综合运用正弦定理、余弦定理判断三角形的形状,证明三角形中边角关系的恒等式;能运用解斜三角形的有关知识,解决简单的实际问题 .
近三年高考情况分析



从近几年高考命题的形式看,本节知识是高考必考内容 .1. 内容上重点为正弦定理、余弦定理及三角形的面积公式,考题灵活多样 .
2. 题型方面:填空题以考查用正弦、余弦定理解三角形为主,难度不大,解答题有时与其他知识综合命题,最为常见的是与向量相结合 .

考点总结




正、余弦定理和三角形面积公式是本节的重点,利用三角形内角和、边、角之间的关系,三角函数的变形公式去判断三角形的形状,求解三角形,以及利用它们解决一些实际问题 . 特别要注意利用正、余弦定理解三角形时,要注意三角形内角和定理对角的范围的限制
三年高考真题





1、【2018年高考全国Ⅱ理数】在中，，，，则
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为
所以，故选A.
2、【2018年高考全国Ⅲ理数】的内角的对边分别为，，，若的面积为，则
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题可知，所以，
由余弦定理，得，因为，所以，故选C.
3、【2020年全国3卷】7.在△ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，则cosB=（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】在中，，，
根据余弦定理：

可得 ，即
由
故.
故选：A.
4、【2020年全国1卷】.如图，在三棱锥P–ABC的平面展开图中，AC=1，，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE=30°，则cos∠FCB=______________.


【答案】
【解析】，，，
由勾股定理得，
同理得，，
在中，，，，
由余弦定理得，
，
在中，，，，
由余弦定理得.
故答案为：.
5、【2019年高考全国Ⅱ卷理数】的内角的对边分别为.若，则的面积为_________．
【答案】
【解析】由余弦定理得，所以，即，
解得（舍去），
所以，
6、【2019年高考浙江卷】在中，，，，点在线段上，若，则___________，___________．
【答案】，
【解析】如图，在中，由正弦定理有：，而，
，，所以.
.

7、【2020年北京卷】17.在中，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，求：
（Ⅰ）a的值：
（Ⅱ）和的面积．
条件①：；
条件②：．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
【答案】选择条件①（Ⅰ）8（Ⅱ）, ；
选择条件②（Ⅰ）6（Ⅱ）, .
【解析】选择条件①（Ⅰ）


（Ⅱ）
由正弦定理得：

选择条件②（Ⅰ）

由正弦定理得：
（Ⅱ）

8、【2020年江苏卷】.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．

（1）求的值；
（2）在边BC上取一点D，使得，求的值．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）由余弦定理得，所以.
由正弦定理得.
（2）由于，，所以.
由于，所以，所以
所以
.
由于，所以.
所以.

9、【2020年全国2卷】.中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC.
（1）求A；
（2）若BC=3，求周长的最大值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）由正弦定理可得：，
，
，
（2）由余弦定理得：，
即.
（当且仅当时取等号），
，
解得：（当且仅当时取等号），
周长，周长的最大值为.
10、【2020年天津卷】.在中，角所对的边分别为．已知．
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）求的值；
（Ⅲ）求的值．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）.
【解析】（Ⅰ）在中，由及余弦定理得
，
又因为，所以；
（Ⅱ）在中，由，及正弦定理，可得；
（Ⅲ）由知角为锐角，由，可得，
进而，
所以.
11、【浙江卷】在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（I）求角B；
（II）求cosA+cosB+cosC的取值范围．
【答案】（I）；（II）
【解析】（I）由结合正弦定理可得：
△ABC为锐角三角形，故.
（II）结合(1)的结论有：


.
由可得：，，
则，.
即的取值范围是.
12、【2020年山东卷】.在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在，它的内角的对边分别为，且，，________?
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】详见解析
【解析】】解法一：
由可得：，
不妨设，
则：，即.
选择条件①的解析：
据此可得：，，此时.
选择条件②的解析：
据此可得：，
则：，此时：，则：.
选择条件③的解析：
可得，，
与条件矛盾，则问题中的三角形不存在.
解法二：∵,
∴,
，
∴,∴,∴,∴,
若选①，,∵,∴,∴c=1;
若选②，,则,;
若选③,与条件矛盾.
13、【2019年高考全国Ⅰ卷理数】的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设．
（1）求A；
（2）若，求sinC．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）由已知得，
故由正弦定理得．
由余弦定理得．
因为，所以．
（2）由（1）知，
由题设及正弦定理得，
即，可得．
由于，所以，故


．
14、【2019年高考全国Ⅲ卷理数】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求B；
（2）若△ABC为锐角三角形，且c=1，求△ABC面积的取值范围．
【答案】（1）B=60°；（2）.
【解析】（1）由题设及正弦定理得．
因为sinA0，所以．
由，可得，故．
因为，故，
因此B=60°．
（2）由题设及（1）知△ABC的面积．
由正弦定理得．
由于△ABC为锐角三角形，故0° 由（1）知A+C=120°，所以30° 从而．
因此，△ABC面积的取值范围是．
【名师点睛】这道题考查了三角函数的基础知识，以及正弦定理的使用（此题也可以用余弦定理求解），最后考查是锐角三角形这个条件的利用，考查的很全面，是一道很好的考题.
15、【2019年高考北京卷理数】在△ABC中，a=3，b−c=2，cosB=．
（1）求b，c的值；
（2）求sin（B–C）的值．
【答案】（1），；（2）.
【解析】（1）由余弦定理，得
.
因为，
所以.
解得.
所以.
（2）由得.
由正弦定理得.
在中，∠B是钝角，
所以∠C为锐角.
所以.
所以.
16、【2019年高考天津卷理数】在中，内角所对的边分别为．已知，．
（1）求的值；
（2）求的值．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）在中，由正弦定理，得，
又由，得，即．
又因为，得到，．
由余弦定理可得．
（2）由（1）可得，
从而，，故
．

二年模拟试题




题型一 正、余弦定理的简单运用
1、（2020届山东实验中学高三上期中）在中，若 ，则=（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解析】
余弦定理将各值代入
得
解得或(舍去)选A.
2、（北京市北京师范大学附属实验中学2019-2020学年高三上学期12月月考）在中，分别为的对边，如果成等差数列，，的面积为，那么（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由余弦定理得，又面积
，因为成等差数列，所以，代入上式可得，整理得，解得，故选B．
3、（北京市第171中学2019-2020学年高三10月月考数学试题）在中，，，，则的面积为（）
A． B．4 C． D．
【答案】C
【解析】由余弦定理可得：，
化为：，解得，
∴的面积，
故选C．
4、（北京市东城区第五中学2019-2020学年高三上学期12月月考）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinA－bsinB=4csinC，cosA=－，则=
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】A
【解析】由已知及正弦定理可得，由余弦定理推论可得
，故选A．
5、（2020届山东实验中学高三上期中）在中，分别为内角的对边，若，且，则__________．
【答案】4
【解析】已知等式，利用正弦定理化简得：，可得，，可解得，余弦定理可得，，可解得，故答案为.
6、（2020届山东省泰安市高三上期末）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为，若，，则______．
【答案】4
【解析】
∵，
∴由正弦定理得，
∴，
又，
∴由余弦定理得，
∴，
∵为的内角，
∴，
∴，
∴，
故答案为：4．
7、(2019苏州期初调查） 已知△ABC的三边上高的长度分别为2，3，4，则△ABC最大内角的余弦值等于________．
【答案】 －　
【解析】因为高分别为2，3，4，由面积法可知，三边边长之比为∶∶＝6∶4∶3，不妨设三边长为6，4，3，所以最大内角的余弦值为＝－.
8、（2020届浙江省嘉兴市3月模拟）在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则________，的面积是________．
【答案】
【解析】
（1）在中，有，
（2）则，故．
故答案为：(1).；(2).
9、（2020届浙江省杭州市第二中学高三3月月考）在中，内角所对的边分别是若， ，A=60°，则__________， 的面积S=__________．
【答案】 1或2 或
【解析】由余弦定理得，即，即，解得或2， 时， ，同理时， ．
10、（2020届浙江省杭州市高三3月模拟）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且b=1，则B=____；△ABC的面积为____.
【答案】
【解析】
依题意，由正弦定理得，解得，而，而，所以，则，所以，所以.
故答案为：（1）；（2）
11、(2019通州、海门、启东期末） 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若acosB＝3bcosA，B＝A－，则B＝________．
【答案】 　
【解析】因为acosB＝3bcosA，所以，由正弦定理＝得sinAcosB＝3sinBcosA，故tanA＝3tanB，又B＝A－，故tanB＝＝，解得tanB＝，因为B∈，所以B＝.
12、(2019苏州三市、苏北四市二调）在△ABC中，已知C＝120°，sinB＝2sinA，且△ABC的面积为2，则AB的长为________．
【答案】. 2　
【解析】设角A，B，C的对边分别为a，b，c.因为sinB ＝2 sinA，由正弦定理得b＝2a，因为△ABC的面积为2，所以S＝absin120°＝a2＝2，解得a＝2，所以b＝4，则AB＝c＝＝＝2.
13、(2019南京学情调研）已知△ABC的面积为3，且AC－AB＝2，cosA＝－，则BC的长为________．
【答案】 8　
【解析】在△ABC中，cosA＝－，所以sinA＝＝，由S△ABC＝bcsinA＝bc×＝3得bc＝24，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA＝(b－c)2＋2bc－2bccosA＝22＋48＋12＝64，即a＝8.
14、（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）的内角A，B，C的对边分别为，已知.
（I）求B；
（II）若的周长为的面积.
【答案】（Ⅰ） (Ⅱ)
【解析】
（Ⅰ）,
，
,
，
.
,
.
(Ⅱ)由余弦定理得，
，
，
，
.
15、（2020届山东省潍坊市高三上期中）在中，内角，，所对的边分别为，，．已知，，．
（1）求，的值：
（2）求的值．
【答案】（1），；（2）.
【解析】（1）由，得，
因为在中，，得，
由余弦定理，得，
因为，所以，
解得，所以.
（2）由，得
由正弦定理得.
题型二 正余弦定理的综合运用
1、（2020届山东省潍坊市高三上学期统考）已知△的内角的对边分别为，若，，则△面积的最大值是
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
由题意知，由余弦定理，，故，有，故.
故选：B
2、（2020届山东师范大学附中高三月考）泉城广场上矗立着的“泉标”，成为泉城济南的标志和象征．为了测量“泉标”高度，某同学在“泉标”的正西方向的点A处测得“泉标”顶端的仰角为，沿点A向北偏东前进100 m到达点B，在点B处测得“泉标”顶端的仰角为，则“泉标”的高度为（ ）
A．50 m B．100 m C．120 m D．150 m
【答案】A
【解析】
如图,为“泉标”高度,设高为米，由题意,平面,米,，
．
在中,,在中,,
在中,，,，,
由余弦定理可得，
解得或 (舍去),
故选：B.
3、（2020届山东省潍坊市高三上学期统考）在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，依次成等差数列，则下列结论中不一定成立的是（ ）
A．，，依次成等差数列
B．，，依次成等差数列
C．，，依次成等差数列
D．，，依次成等差数列
【答案】ABD
【解析】中，内角所对的边分别为，若，，依次成等差数列，
则：，
利用，
整理得：，
利用正弦和余弦定理得：，
整理得：，
即：依次成等差数列.
此时对等差数列的每一项取相同的运算得到数列，，或，，或，，，这些数列一般都不可能是等差数列，除非，但题目没有说是等边三角形，
故选：ABD.
4、(2019苏锡常镇调研（一）） 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知5a＝8b，A＝2B，则sin＝________．
【答案】 　
【解析】：因为5a＝8b，所以由正弦定理可得5sinA＝8sinB，即sinA＝sinB，因为A＝2B，所以sinA＝sin2B＝2sinBcosB，则sinB＝2sinBcosB，因为sinB>0，所以cosB＝，则sinB＝＝，故sinA＝，因为A＝2B，所以cosA＝cos2B＝2cos2B－1＝，所以sin＝sinAcos－cosAsin＝.
5、（2020·浙江镇海中学高三3月模拟）在中，，为的平分线，，则___________．
【答案】
【解析】
原题图形如图所示：

则：
设，则，又

解得：

本题正确结果：
6、（2020届浙江省高中发展共同体高三上期末）在中，，的平分线交边于.若.，则___________.
【答案】
【解析】中，由正弦定理可得，，所以，
为的平分线即，
.
故答案为：.

7、（2020届浙江省十校联盟高三下学期开学）如图，在中，内角，，的对边分别为，，，若，，，则______，点为边上一点，且，则的面积为______.

【答案】 10
【解析】
因为，，，
由正弦定理可得：，
所以，
则；，
，
由余弦定理可得：，
解可得（舍或，
所以，
．
故答案为：，10．
8、（2020·浙江学军中学高三3月月考）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若的面积是，，则___；___.
【答案】3
【解析】
由已知，，得，所以，解得，由余弦定理得
；
.
故答案为：（1）3 ；（2）
9、（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知.
（1）求角B的大小；
（2）若，且的面积为，求的周长.
【答案】（1）；（2）.
【解析】

∵
∴


∵，∴
∴，
解法2：∵，
所以

∵，∴，∴
∴，∵，∴，∴
（2）由（1）知，所以的面积为，∴
因为，由正弦定理可得，
由余弦定理
∴，∴
所以的周长为
10、（2020·蒙阴县实验中学高三期末）在非直角中，，，分别是，，的对边.已知，，求：
（1）的值；
（2）边上的中线的长.
【答案】(1) (2)
【解析】
（1）

.
（2）由余弦定理，即：，∴.
法一：设的长为.则在中，由余弦定理得：，
在中，由余弦定理得：，
∴，
得，即：.
法二：，
∴，
即：.
题型三 与正余弦定理有关的开放型问题

1、（2020届山东省临沂市高三上期末）在①，，②，，③，三个条件中任选一个补充在下面问题中，并加以解答.
已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，______，求的面积S.
【答案】答案不唯一，具体见解析
【解析】
选①
∵，，
∴，，
∴
，
由正弦定理得，
∴.
选②
∵，
∴由正弦定理得.
∵，∴.
又∵，
∴，
∴，
∴.
选③
∵ ，，
∴ 由余弦定理得，即，
解得或（舍去）.
，
∴的面积.
故答案为：选①为；选②为；选③为.
2、（2020届山东省烟台市高三上期末）在条件①，②，③中任选一个，补充到下面问题中，并给出问题解答.
在中，角的对边分别为，，， .
求的面积.
【答案】见解析
【解析】若选①：
由正弦定理得，
即，
所以，
因为，所以.
又，
，，所以，
所以.
若选②：
由正弦定理得.
因为，所以，，
化简得，
即，因为，所以.
又因为，
所以，即，
所以.
若选③：
由正弦定理得，
因为，所以，
所以，又因为，
所以，
因为，，所以，
，，所以.
又，
，，所以，
所以.

3、（2020届山东省日照市高三上期末联考）在①面积，②这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，求.
如图，在平面四边形中，，，______，，求.

【答案】见解析
【解析】
选择①：

所以；
由余弦定理可得


所以
选择②
设，则，，
在中，即
所以
在中，，即
所以.
所以，解得，
又，所以，
所以.

4、（2020届山东省德州市高三上期末）已知，，分别为内角，，的对边，若同时满足下列四个条件中的三个：①；②；③；④.
（1）满足有解三角形的序号组合有哪些？
（2）在（1）所有组合中任选一组，并求对应的面积.
（若所选条件出现多种可能，则按计算的第一种可能计分）
【答案】（1）①，③，④或②，③，④；（2）.
【解析】
（1）由①得，，
所以，
由②得，，
解得或（舍），所以，
因为，且，所以，所以，矛盾.
所以不能同时满足①，②.
故满足①，③，④或②，③，④；
（2）若满足①，③，④，
因为，所以，即.
解得.
所以的面积.
若满足②，③，④由正弦定理，即，解得，
所以，所以的面积.
5、（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）在①；②；③ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答相应的问题.
在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足________________，，求的面积.
【答案】横线处任填一个都可以，面积为．
【解析】
由正弦定理，得.
由，
得.
由，得.
所以.
又（若，则这与矛盾），
所以.
又，得.
由余弦定理及，
得，
即.将代入，解得.
所以.
在横线上填写“”.
解：由及正弦定理，得
.
又，
所以有.
因为，所以.
从而有.又，
所以
由余弦定理及，
得
即.将代入，
解得.
所以.
在横线上填写“”
解：由正弦定理，得.
由，得，
所以
由二倍角公式，得.
由，得，所以.
所以，即.
由余弦定理及，
得.
即.将代入，
解得.
所以.