(新高考)高考数学一轮复习过关练考点26 椭圆的基本量（含解析）

考点26  椭圆的基本量

1. 掌握椭圆定义和几何图形 .

2. 掌握椭圆的标准方程,会求椭圆的标准方程 .

3. 掌握椭圆的简单几何性质,能运用椭圆的标准方程和几何性质处理一些简单的实际问题 . 了解运用曲线的方程研究曲线的几何性质的思想方法 .

4. 会运用统一定义转化到椭圆上的点到焦点距离和到相应准线距离 .

高考在椭圆部分的考查主要体现在椭圆的标准方程与几何性质，主要考点椭圆的标准方程、几何意义，特别是离心率的问题，考查的形式有填空题、选择题和解答题的第一问。

椭圆的试题,在填空题中主要考查椭圆的离心率、椭圆的定义及统一定义的应用,在解答题中,主要考查直线与椭圆的综合问题,这类问题的解法是:由直线方程与椭圆的方程联立成方程组,求出交点后,再来进一步地研究问题,这类问题主要围绕着椭圆的方程、椭圆的几何性质以及直线与椭圆相交时产生的弦长等研究来展开,一般来说,难度都不大,属于中档题 .在复习中也要提别注意求椭圆的离心率等性质。

1、【2019年高考北京卷理数】已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，则

A．a2=2b2  B．3a2=4b2

C．a=2b  D．3a=4b

【答案】B

【解析】椭圆的离心率，化简得，

故选B.

2、【2017年高考浙江卷】椭圆的离心率是

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】椭圆的离心率，故选B．

3、【2018年高考全国Ⅱ理数】已知，是椭圆的左、右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】因为为等腰三角形，，所以，

由的斜率为可得，

所以，，

由正弦定理得，

所以，

所以，，故选D．

4、【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知椭圆C的焦点为，过F2的直线与C交于A，B两点．若，，则C的方程为

A．  B．

C．  D．

【答案】B

【解析】法一：如图，由已知可设，则，

由椭圆的定义有．

在中，由余弦定理推论得．

在中，由余弦定理得，解得．

所求椭圆方程为，故选B．

法二：由已知可设，则，

由椭圆的定义有．

在和中，由余弦定理得，

又互补，，两式消去，得，解得．所求椭圆方程为，故选B．

5、【2020年山东卷】.已知曲线.（    ）

A. 若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上

B. 若m=n>0，则C是圆，其半径为

C. 若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为

D. 若m=0，n>0，则C是两条直线

【答案】ACD

【解析】对于A，若，则可化为，

因为，所以，即曲线表示焦点在轴上的椭圆，故A正确；

对于B，若，则可化为，

此时曲线表示圆心在原点，半径为的圆，故B不正确；

对于C，若，则可化为，

此时曲线表示双曲线，由可得，故C正确；

对于D，若，则可化为，

，此时曲线表示平行于轴的两条直线，故D正确；

故选：ACD.

6、【2019年高考浙江卷】已知椭圆的左焦点为，点在椭圆上且在轴的上方，若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则直线的斜率是___________．

【答案】

【解析】方法1：如图，设F1为椭圆右焦点.由题意可知，

由中位线定理可得，设，可得，

与方程联立，可解得（舍），

又点在椭圆上且在轴的上方，求得，所以.

方法2：（焦半径公式应用）由题意可知，

由中位线定理可得，即，

从而可求得，所以.

7、【2019年高考全国Ⅲ卷理数】设为椭圆C:的两个焦点，M为C上一点且在第一象限.若为等腰三角形，则M的坐标为___________.

【答案】

【解析】由已知可得，

，∴．

设点的坐标为，则，

又，解得，

，解得（舍去），

的坐标为．

8、【2020年全国3卷】.已知椭圆的离心率为，，分别为的左、右顶点．

（1）求的方程；

（2）若点在上，点在直线上，且，，求的面积．

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1），，

根据离心率，

解得或(舍)，

的方程为：，即；

（2）不妨设,在x轴上方

点在上，点在直线上，且，，

过点作轴垂线，交点为，设与轴交点为

根据题意画出图形，如图

，，，

又，，

，根据三角形全等条件“”，

可得：，，

，，

设点为，可得点纵坐标为，将其代入，

可得：，

解得：或，点为或，

①当点为时，

故，，，

可得：点为，

画出图象，如图

,，

可求得直线的直线方程为：，

根据点到直线距离公式可得到直线的距离为：，

根据两点间距离公式可得：，

面积为：；

②当点为时，故，

，，可得：点为，

画出图象，如图

,，

可求得直线的直线方程为：，

根据点到直线距离公式可得到直线的距离为：，

根据两点间距离公式可得：，

面积为：，

综上所述，面积为：.

题型一  椭圆的方程与离心率

1、（北京师范大学附属实验中学2019-2020学年高三第一学期12月月考）△ABC的两个顶点坐标A（-4，0），B（4，0），它的周长是18，则顶点C的轨迹方程是 (     )

A． B．（y≠0）

C． D．（y≠0）

【答案】D

【解析】

所以定点的轨迹为以A,B为焦点的椭圆，去掉A,B,C共线的情况，即 ，选D.

2、（2020届浙江省嘉兴市3月模拟）已知椭圆的左、右焦点分别是，，点是椭圆上位于轴上方的一点，若直线的斜率为，且，则椭圆的离心率为________．

【答案】．

【解析】设，由直线的斜率为，知，且，即得，

由及椭圆定义知，

由余弦定理即可得，，即，化简得，

故或3（舍）

即．

故答案为：

3、（2020·浙江高三）如图，过椭圆的左、右焦点F1，F2分别作斜率为的直线交椭圆C上半部分于A，B两点，记△AOF1，△BOF2的面积分别为S1，S2，若S1：S2＝7：5，则椭圆C离心率为_____．

【答案】

【解析】作点B关于原点的对称点B1，可得S，则有，

所以．

将直线AB1方程，代入椭圆方程后，，

整理可得：（b2+8a2）y2﹣4b2cy+8b4＝0，

由韦达定理解得，，

三式联立，可解得离心率．

故答案为：．

.4、（江苏省南通市通州区2019-2020学年高三第一次调研抽测）设A，B分别为椭圆C：(a＞b＞0)的右顶点和上顶点，已知椭圆C过点P(2，1)，当线段AB长最小时椭圆C的离心率为_______.

【答案】

【解析】因为A，B分别为椭圆C：(a＞b＞0)的右顶点和上顶点，

所以，，

又椭圆C过点，

所以，

所以，

当且仅当，即时，取等号，

此时，所以离心率为.

故答案为

5、（2020年 1月北京中学生标准学术能力诊断性测试）已知F是椭圆的一个焦点，P是C上的任意一点，则称为椭圆C的焦半径.设C的左顶点与上顶点分别为A，B，若存在以A为圆心，为半径长的圆经过点B，则椭圆C的离心率的最小值为________.

【答案】

【解析】根据题意，存在以A为圆心，为半径长的圆经过点B，即的最大值应该不小于线段的长，可得，化简得，即，且，解得，所以椭圆C的离心率的最小值为．

6、（2020届浙江省高中发展共同体高三上期末）已知椭圆的内接的顶点为短轴的一个端点，右焦点，线段中点为，且，则椭圆离心率的取值范围是___________.

【答案】

【解析】由题意可设，，线段中点为，且，

可得为的重心，设，，

由重心坐标公式可得，，，

即有的中点，可得，，

由题意可得点在椭圆内，可得，

由，可得，即有.

故答案为：.

7、（2020届浙江省杭州市建人高复高三4月模拟）已知方程，若该方程表示椭圆方程，则的取值范围是_______；

【答案】或

【解析】

因为方程，

所以，

所以有即或

故答案为：或

8、（2020·浙江温州中学3月高考模拟）已知直线与椭圆恰有一个公共点，与圆相交于两点.

（I）求与的关系式；

（II）点与点关于坐标原点对称.若当时，的面积取到最大值，求椭圆的离心率.

【答案】（Ⅰ）（II）

【解析】

（I）由，得，

则

化简整理，得；

（Ⅱ）因点与点关于坐标原点对称，故的面积是的面积的两倍.

所以当时，的面积取到最大值，此时，

从而原点到直线的距离，

又，故.

再由（I），得，则. 

又，故，即，

从而，即.

题型二、椭圆中的点坐标

1、（2020届浙江省杭州市高三3月模拟）设是椭圆的两个焦点，是C上一点，且满足的面积为则的取值范围是____.

【答案】

【解析】

依题意，，所以，则，而，所以.由于，，根据二次函数的性质可知：，所以，所以，解得.

故答案为：

2、(2019泰州期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左顶点为A，点B是椭圆C上异于左、右顶点的任一点，P是AB的中点，过点B且与AB垂直的直线与直线OP交于点Q.已知椭圆C的离心率为，点A到右准线的距离为6.

(1) 求椭圆C的标准方程；

(2) 设点Q的横坐标为x0，求x0的取值范围．

    (1)根据题意，建立关于a，c的方程组，求出a，c的值，进而确定b的值，得到椭圆的s标准方程．

(2)设出点B的坐标为(m，n)，用m，n表示x0，然后再减元转化为关于m的一元函数求求其值域．也可以设出直线AB的方程，并与椭圆方程联立，结合根与系数的关系，得到点B和P的坐标，进而求得直线BQ和PQ的方程，由两直线方程联立求得交点Q的横坐标x0，根据函数的值域求得x0的取值范围．

规范解答 (1) 由题意得＝，＋a＝6，解得a＝2，c＝1，所以b＝＝，所以椭圆C的标准方程为＋＝1.(4分)

(2) 解法1设B(m，n)，则＋＝1.

因为A(－2，0)，AB⊥BQ，所以直线BQ的方程为y＝－(x－m)＋n，因为P是AB的中点，所以P(，)，所以直线OP的方程为y＝x，联立直线BQ，OP的方程得－(x－m)＋n＝x，(8分)

解得x0＝，

由＋＝1得n2＝－(m2－4)，代入上式化简得x0＝m＋6，(14分)

因为－2<m<2，所以4<x0<8.(16分)

解法2　 设直线AB的方程为y＝k(x＋2)，k≠0.

将y＝k(x＋2)代入椭圆方程＋＝1得(4k2＋3)x2＋16k2x＋16k2－12＝0，

解得xB＝，所以yB＝k＝，

则直线BQ的方程为y－＝－(x－)，

因为P是AB的中点，则xP＝＝＝，yP＝yB＝，

所以直线OP的斜率为＝－，则直线OP的方程为y＝－x，(8分)

联立直OP，BQ的方程得x0＝＝4＋，(14分)

因为4k2＋3>3，所以0<<4，4<4＋<8，即4<x0<8.(16分)

 直线和椭圆相交求范围(最值)问题，第(2)问解法1设出关键点B的坐标(m，n)，建立关于点中参数m，n的目标函数，进一步转化为函数法或不等式法来解决；解法2通常设出直线的方程，并与椭圆方程联立，进而转化关于x或y的一元二次方程，通过根与系数关系，运用设而不求的思想，得到点的坐标，建立关于线中参数m的目标函数，进一步转化为函数法或不等式法来解决. 这两种解法都较常见. 解法1参量多一点，但运用得当，也很方便，这里解法1在建立目标函数后就显得很简单，解法2参量少目标集中．

3、(2019苏州期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知焦点在x轴上，离心率为的椭圆E的左顶点为A，点A到右准线的距离为6.

(1) 求椭圆E的标准方程；

(2) 过点A且斜率为的直线与椭圆E交于点B，过点B与右焦点F的直线交椭圆E于M点，求M点的坐标．

解：(1)设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，半焦距为c，

因为椭圆的离心率为，所以＝，即a＝2c，

又因为A到右准线的距离为6，所以a＋＝3a＝6，(2分)

解得a＝2，c＝1，(4分)

所以b2＝a2－c2＝3，所以椭圆E的标准方程为＋＝1.(6分)

(2) 直线AB的方程为y＝(x＋2)，

由得x2＋3x＋2＝0，解得x＝－2或x＝－1.

则B点的坐标为.(9分)

由题意，右焦点F(1，0)，所以直线BF方程为y＝－(x－1)，(11分)

由得7x2－6x－13＝0，解得x＝－1或x＝，(13分)

所以，点M坐标为.(14分)

4、(2016徐州、连云港、宿迁三检）在平面直角坐标系xOy中，已知点P在椭圆C：＋＝1(a>b>0)上，P到椭圆C的两个焦点的距离之和为4.

(1) 求椭圆C的方程；

(2) 若点M，N是椭圆C上的两点，且四边形POMN是平行四边形，求点M，N的坐标．

. 规范解答 (1)由题意知，＋＝1,2a＝4. (2分)

解得a2＝4，b2＝3，所以椭圆的方程为＋＝1. (4分)

(2) 解法1 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则ON的中点坐标为，PM的中点坐标为.

因为四边形POMN是平行四边形，所以即(6分)

由点M，N是椭圆C上的两点，

所以(8分)

解得或 (12分)

由得由得

所以点M，点N(2,0)；或点M(－2,0)，

点N.(14分)

解法2 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，因为四边形POMN是平行四边形，所以＝＋，

所以(x2，y2)＝＋(x1，y1)，即(6分)

由点M，N是椭圆C上的两点，

    所以(8分)

用②－①得x1＋2y1＋2＝0，即x1＝－2－2y1，

代入(1)中得3(－2－2y1)2＋4y＝12，整理得2y＋3y1＝0，所以y1＝0或y1＝－，于是或(12分)

由得由得

所以点M，点N(2,0)；或点M(－2,0)，

点N.(14分)

解法3 因为四边形POMN是平行四边形，所以＝，

因为点P，所以|MN|＝|OP|＝＝，且kMN＝kOP＝，(6分)

设直线MN方程为y＝x＋m(m≠0)，

联立得3x2＋3mx＋m2－3＝0，(*)

所以Δ＝(3m)2－4×3(m2－3)>0，即m2－12<0，从而m∈(－2，0)∪(0,2)，

设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝－m，x1x2＝，(8分)

且|MN|＝|x1－x2|＝·＝·＝·，

又知|MN|＝，所以·＝，

整理得m2－9＝0，所以m＝3或m＝－3.(12分)

当m＝3时，(*)可化为3x2＋9x＋6＝0，即x2＋3x＋2＝0，故x＝－1或x＝－2，

代入直线MN：y＝x＋3得两交点M(－2,0)，N；

当m＝－3时，(*)可化为3x2－9x＋6＝0，即x2－3x＋2＝0，故x＝1或x＝2，

代入直线MN：y＝x－3得两交点M，N(2,0)，

所以点M，点N(2,0)；或点M(－2,0)，

点N.(14分)