新高考数学二轮复习8+4+4选填小题精炼 (2) (含解析)

2021届新高考“8+4+4”小题狂练（2）

一、单项选择题．

1.已知集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

根据题意，先得到，再求交集，即可得出结果.

【详解】因为，

所以，

因此.

故选：D.

【点睛】本题主要考查集合交集运算，熟记交集的概念即可，属于基础题型.

2.已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（    ）

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

【答案】A

【解析】

【分析】

首先化简复数和，再根据复数的几何意义判断对应的点所在的象限.

【详解】

，复数在复平面内对应的点是，在第一象限.

故选：A

【点睛】本题考查复数的运算，复数的几何意义，属于基础题型.

3.已知向量，，，则向量与向量的夹角为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

根据题中条件，求出，再由向量夹角公式，即可求出结果.

【详解】因为向量，，，

所以，即，即，

因此，所以.

故选：B.

【点睛】本题主要考查求向量的夹角，熟记向量夹角公式，以及向量数量积的运算法则即可，属于基础题型.

4.在某技能测试中，甲乙两人的成绩（单位：分）记录在如下的茎叶图中，其中甲的某次成绩不清晰，用字母代替．已知甲乙成绩的平均数相等，那么甲乙成绩的中位数分别为（    ）

A. 20    20 B. 21    20 C. 20    21 D. 21    21

【答案】B

【解析】

【分析】

先由题中数据，根据题意，求出，将甲乙的成绩都从小到大排序，即可得出中位数.

【详解】由题中数据可得：甲的平均数为，

乙的平均数为，

因为甲乙成绩的平均数相等，所以，解得：，

所以甲的成绩为：，其中位数为，

乙的成绩为：，其中位数为.

故选：B.

【点睛】本题主要考查由茎叶图计算中位数，属于基础题型.

5.函数的图像大致是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

根据函数解析式，分别判断，，的正负，即可得出结果.

【详解】当时，，，所以，排除AB选项；

当时，，，所以，排除D选项.

故选：C.

【点睛】本题考查函数图像的识别，根据排除法，即可得出结果.

6.最早的测雨器记载见于南宋数学家秦九韶所著的《数书九章》（1247年）．该书第二章为“天时类”，收录了有关降水量计算的四个例子，分别是“天池测雨”、“圆罂测雨”、“峻积验雪”和“竹器验雪”．其中“天池测雨”法是下雨时用一个圆台形的天池盆收集雨水．已知天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．当盆中积水深九寸（注：1尺=10寸）时，平地降雨量是（    ）

A. 9寸 B. 7寸 C. 8寸 D. 3寸

【答案】D

【解析】

【分析】

由题意求得盆中水的体积，再除以盆口面积即得．

【详解】由已知天池盆上底面半径是14寸，下底面半径上6寸，高为18寸，由积水深9寸知水面半径为寸，

则盆中水体积为（立方寸）

所以平地降雨量为（寸），

故选：D．

【点睛】本题考查圆台的体积计算公式，正确理解　题意是解题关键．本题属于基础题．

7.某部队在演习过程中，用悬挂的彩旗来表达行动信号，每个信号都由从左到右排列的4面彩旗组成，有红、黄、蓝三种颜色的彩旗．若从所有表达的信号中任选一种，则这种信号中恰有2面红色旗子的概率为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

首先求彩旗表达信号的所有方法种数，以及信号中恰有2面红色旗子的方法种数，再根据古典概型计算.

【详解】由条件可知悬挂的彩旗表达行动信号，共有种，若恰有2面红色旗子，则有种，所以这种信号中恰有2面红色旗子的概率.

故选：A

【点睛】本题考查古典概型，属于基础题型，本题的关键是正确理解题意，并能转化为数学问题.

8.已知线段是圆的一条动弦，且，若点为直线上的任意一点，则的最小值为（    ）

A  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

取中点为，连接，，根据题意，求出，再由，，得到取最小值，即是取最小值，所以只需取最小，根据点到直线距离公式，求出的最小值，即可得出结果.

【详解】取中点为，连接，，

因为是圆的一条动弦，且，

所以，

又，，即

因此，取最小值，即是取最小值，所以只需取最小，

又点为直线上的任意一点，

所以点到直线的距离，即是，

即，

因此，

即.

故选：C.

【点睛】本题主要考查求向量模的最值问题，将其转化为直线上任意一点与圆心距离的最值问题，是解决本题的关键，属于常考题型.

二、多项选择题．

9.下列命题正确的是（    ）

A. 在独立性检验中，随机变量的观测值越大，“认为两个分类变量有关”这种判断犯错误的概率越小

B. 已知，当不变时，越大，的正态密度曲线越矮胖

C. 若在平面内存在不共线的三点到平面的距离相等，则平面平面

D. 若平面平面，直线，，则

【答案】AB

【解析】

【分析】

对选项A，根据独立性检验的原理即可判断，对选项B，根据正态曲线的几何特征即可判断，对选项C，D，利用面面和线面的位置关系即可判断.

【详解】对选项A，因为随机变量的观测值越大，说明两个变量有关系的可能性越大，

即犯错误的概率越小，故A正确.

对选项B，根据正态曲线的几何特征，即可判断B正确.

对选项C，当平面与平面相交时，在平面内存在不共线的三点

到平面的距离相等，故C错误.

对选项D，若平面平面，直线，，

则直线有可能在平面内，故D错误.

故选：AB

【点睛】本题主要考查了独立性检验和正态分布，同时考查了线面和面面的位置关系，属于简单题.

10.已知函数（    ）

A. 为的周期

B. 对于任意，函数都满足

C. 函数在上单调递减

D. 的最小值为

【答案】ABC

【解析】

【分析】

A.由函数周期定义判断是否满足；B根据诱导公式判断是否满足；C.根据定义域，化简函数，并判断函数的单调性；D.在一个周期内，分和两种情况讨论函数，并判断函数的最小值.

【详解】A.，即，所以为的周期，故A正确；

B.，，所以，故B正确；

C.当时，，此时，而 ，故C正确；

D.由A可知函数的周期是，所以只需考查一个周期函数的值域，设，

当时，，，

，即，

当时，，，

，即，所以时，的最小值为-1，故D不正确.

故选：ABC

【点睛】本题考查三角函数的性质，重点考查诱导公式，周期性，函数的单调性和最值，属于中档题型.

11.关于函数，下列判断正确的是（    ）

A. 函数的图像在点处的切线方程为

B. 是函数的一个极值点

C. 当时，

D. 当时，不等式的解集为

【答案】ACD

【解析】

【分析】

先对函数求导，得到，求出函数的图像在点处的切线方程，即判断A；根据时，恒成立，得到函数单调，无极值点，可判断B；根据导数的方法求出时，的最小值，即可判断C；根据导数的方法判断时函数的单调性，根据单调性列出不等式组求解，即可得出结果.

【详解】因为，所以，，

所以，

因此函数的图像在点处的切线方程为，

即，故A正确；

当时，在上恒成立，即函数在定义域内单调递减，无极值点；故B错；

当时，，由得；由得，

所以函数在上单调递减，在上单调递增；

因此，即；故C正确；

当时，上恒成立，

所以函数在上单调递减；

由可得，解得：，故D正确；

故选：ACD.

【点睛】本题主要考查求曲线在某一点处的切线方程，以及导数的方法研究函数的单调性、极值最值等，属于常考题型.

12.已知双曲线的左、右焦点分别为、，过的直线与双曲线的右支交于、两点，若，则（    ）

A

B. 双曲线的离心率

C. 双曲线的渐近线方程为

D. 原点在以为圆心，为半径的圆上

【答案】ABC

【解析】

【分析】

根据双曲线的定义求出焦点弦长与实半轴长的关系，然后计算离心率，求渐近线方程，同时在假设D正确的情况下，出现矛盾的结论，最终得出正确选项．

【详解】如图，设，则，所以，，，所以，

∴，A正确；

，，

在中，，

在中，，

即，，所以，B正确；

由得，，渐近线方程为，C正确；

若原点在以为圆心，为半径的圆上，则，，与B矛盾，不成立，D错．

故选：ABC．

【点睛】本题考查双曲线的焦点弦有关问题，解题关键是利用双曲线的定义把焦点弦焦半径用表示．从而寻找到的选题关系可求得离心率和渐近线方程．

三、填空题．

13.已知数列中，，，则______．

【答案】16

【解析】

【分析】

直接由递推式逐一计算得出．

【详解】由题意，，，，．

故答案为：16．

【点睛】本题考查数列的递推公式，由递推公式求数列的项，如果项数较小，可直接利用递推公式逐一计算，如果项数较大，则需要从递推式寻找到规律，或求出通项公式，再去求某一项．

14.四张卡片上分别写有数字3、4、5、6，甲、乙、丙、丁四名同学各取走一张，若甲、乙两名同学卡片上的数字都是偶数，甲、丙两名同学卡片上的数字之和大于9，则______同学卡片上的数字最小．

【答案】丁

【解析】

【分析】

根据题意，先得到甲的卡片数字只能是6，从而可分别得出其他同学的卡片数字，进而可得出结果.

【详解】由题意，因为甲、乙两名同学卡片上的数字都是偶数，所以甲的是4、乙的是6，或乙的是4、甲的是6；

又甲、丙两名同学卡片上的数字之和大于9，则甲的卡片数字只能是6，所以乙的是4，丙的是5，故丁的是3.

即丁同学卡片上的数字最小.

故答案为：丁.

【点睛】本题主要考查合情推理，根据题中条件合理推断即可，属于基础题型.

15.已知，其中，则______．

【答案】3

【解析】

【分析】

是的系数，由多项式乘法结合二项式定理可得．

【详解】由题意展开式中的系数为，解得．

故答案为：3．

【点睛】本题考查二项式定理，掌握二项展开式通项公式是解题关键．对两个多项式相乘，注意乘法法则的应用．

16.在棱长为2的正方体中，，，分别为棱，，的中点，点为棱上的动点，则的最大值为______，若点为棱的中点，三棱锥的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为______．

【答案】    (1).     (2).

【解析】

【分析】

连接交于点，根据正方体的特征，得到，为的中点，点到直线的距离最大为，由题中数据，求出，得到当点与点重合时，的面积最大；再由，即可求出的最大值；若点为棱的中点，连接交于点，连接，则点为右侧面的中心，取左侧面的中心为点，连接，记的中点为，则为正方体的中心，连接，则，得到的外接圆圆心为点，根据球的结构特征，得到三棱锥外接球的球心在直线上，记作点，连接，，设三棱锥外接球的半径为，根据题中条件，列出方程求解，即可得出，从而可求出球的表面积.

【详解】连接交于点，

因为四边形是正方形，，分别为棱，的中点，

所以易得，，为的中点，且正方形中，点到直线的距离最大为，

又正方体的棱长为，所以，，

因此，所以，

所以，

又点为棱上的动点，所以当点与点重合时，的面积最大，为；

因为正方体中，平面，所以平面，

又，所以；

若点为棱的中点，连接交于点，连接，则点为右侧面的中心，

取左侧面中心为点，连接，记的中点为，则为正方体的中心，连接，则，

因为为棱的中点，所以，

所以，因此，

所以的外接圆圆心为点；

又球心与截面圆圆心的连线垂直于截面，，平面，

所以平面，因此三棱锥外接球的球心在直线上，记作点，

连接，，设三棱锥外接球的半径为，

则，

又，且，，所以四边形为矩形，

因此，所以，

因为，所以，

又，

所以，解得：，

所以该球的表面积为.

故答案为：；.

【点睛】本题主要考查求三棱锥体积的最值，以及求三棱锥外接球的表面积，熟记简单几何体的结果特征，以及棱锥体积公式、球的表面积公式即可，属于常考题型，难度较大.