新高考数学二轮复习8+4+4选填小题精炼 (4) (含解析)

2021届新高考“8+4+4”小题狂练（4）

一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 已知集合，，则（    ）.

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

首先求集合，再求.

【详解】，解得：

，

.

故选：A

【点睛】本题考查集合的运算，具体函数的定义域，属于基础题型.

2. 已知复数满足，则在复平面内对应的点满足（    ）.

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

由条件结合复数的除法可得，然后化简可得，根据选项可得出答案.

【详解】由，

可得

所以在复平面内对应的点为

由选项可得，点在直线上，

故选：C

【点睛】本题考查复数的模长运算和除法运算，复数在复平面内对应的点的坐标，属于基础题.

3. 已知角的终边经过点，则（    ）.

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

本题首先可以根据角的终边经过点得出，然后将化简为，最后代入即可得出结果.

【详解】因为角的终边经过点，

所以，

则

，

故选：B.

【点睛】本题考查根据角的终边求三角函数值以及二倍角公式，考查公式以及，考查计算能力，是简单题.

4. 已知，，，则，，的大小关系为（    ）.

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

利用对数函数的性质比较，借助1比较．

【详解】易知，，又，，而，∴　，∴．

故选：C．

【点睛】本题考查幂、对数的比较大小，掌握对数函数与指数函数性质是解题关键．对不同类型的数的大小比较还需借助中间值如0，1等比较．

5. 古希腊时期，人们把宽与长之比为矩形称为黄金矩形，把这个比值称为黄金分割比例.下图为希腊的一古建筑，其中图中的矩形，，，，，均为黄金矩形，若与间的距离超过，与间的距离小于，则该古建筑中与间的距离可能是（    ）.

（参考数据：，，，，，）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

根据黄金矩形的定义，先设出，逐步计算得到，再由已知条件得到关于的不等式组，求解即可.

【详解】解：设，，因为矩形，，，，，均为黄金矩形，所以有，，，，，.由题设得，解得：.

故选：.

【点睛】本题考查等比数列的应用，属于基础题.

6. 一个圆锥的轴截面是边长为4的等边三角形，在该圆锥中有一个内接圆柱（下底面在圆锥底面上，上底面的圆周在圆锥侧面上），则当该圆柱侧面积取最大值时，该圆柱的高为（    ）.

A. 1 B. 2 C. 3 D.

【答案】D

【解析】

【分析】

由题意可得圆锥的高，，设圆柱的高为，底面半径，则，从而可得，然后表示圆柱的侧面积，结合二次函数的性质可求．

【详解】解：由题意可得，，

故圆锥的高，，

设圆柱的高为，底面半径，则，

故，

所以，

圆柱侧面积，

当且仅当即时取得最大值．

故选：．

【点睛】本题主要考查圆柱的表面积的计算以及二次函数的性质的应用，属于中档题．

7. 已知数列的前项和为，且，，若，则称项为“和谐项”，则数列的所有“和谐项”的平方和为（    ）.

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

本题首先可根据得出，然后两式相减，得出，再然后根据得出以及，最后根据“和谐项”的定义得出，通过等比数列前项和公式求和即可得出结果.

【详解】因为，所以，

则，即，，，

因为，所以，

故，

因为，所以，

数列的所有“和谐项”的平方和为：

，

故选：A.

【点睛】本题考查数列的前项和的求法，考查等比数列的定义以及数列通项公式的求法，能否正确理解“和谐项”是解决本题的关键，考查计算能力，是中档题.

8. 已知函数，若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（    ）.

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

利用参变分离的方法，转化为，且，转化为求函数的最值.

【详解】当时，

当时，，则，

所以在单调递减，，

若关于的不等式在上恒成立，

则，且

，即且恒成立，所以，且 ，

（1）当时，函数，当时，函数取得最小值，

函数，所以当时，函数取得最大值，所以 ①；

（2）当时，，，函数在单调递增，所以，

，，令时，解得，令，解得：，故函数在单调递减，在递增，所以函数在处取得最小值，，所以 ②，

根据①②可知.

故选：B

【点睛】本题考查根据不等式恒成立求参数的取值范围，重点考查二次函数，导数研究函数的综合应用，转化与化归的思想，函数与方程思想，属于难题.

二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）

9. 下图是2010—2020年这11年我国考研人数统计图，则关于这11年考研人数下列说法错误的是（ ）.

A. 2010年以来我国考研报名人数逐年增多

B. 这11年来考研报名人数的极差超过260万人

C. 2015年是这11年来报考人数最少的一年

D. 2015年的报录比最低

【答案】ABC

【解析】

【分析】

根据人数统计图判断ABC，由报录比判断D．

【详解】由统计图表，2015年比2014年考研报名人数少，A错；

考研人数最大是330万，最小是145万左右，极差估计是185万，B错；

报考人数最少是2010年，C错；

从报录比图看2015年报录比最低，D正确．

故选：ABC．

【点睛】本题考查统计图表，正确认识统计图表是解题关键．

10. 关于双曲线与双曲线，下列说法正确的是（    ）.

A. 它们有相同的渐近线 B. 它们有相同的顶点

C. 它们的离心率不相等 D. 它们的焦距相等

【答案】CD

【解析】

【分析】

求解两个双曲线的顶点坐标，渐近线方程，离心率，焦距判断选项即可．

【详解】解：双曲线的顶点坐标，渐近线方程：，离心率为：，焦距为10．

双曲线，即：，它的顶点坐标，

渐近线方程：，离心率为：，焦距为10．

所以它们的离心率不相等，它们的焦距相等．

故选：．

【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．

11. 下列命题中正确的为（    ）.

A. 在中，若，则

B. 在空间中，若直线、、满足：，，则

C. 的图像的对称中心为

D. 已知过抛物线的焦点的直线交抛物线于、两点，则

【答案】AC

【解析】

【分析】

本题首先可通过正弦函数性质判断出A正确；在空间中根据、无法证明判断出B错误；再然后在函数上任取一点，求出点关于点的对称点为，通过判断点也在函数上得出C正确；最后通过取直线与轴平行这种情况即可判断出D错误.

【详解】A项：因为，，，

所以，故A正确；

B项：在空间中，若、无法证明，故B错误；

C项：在函数上任取一点，

则点关于点的对称点为，

因为点也在函数上，

所以函数的图像的对称中心为，故C正确；

D项：抛物线的焦点的坐标为，

若直线与轴平行，则直线方程为，

此时交点坐标为、，，故D错误，

故选：AC.

【点睛】本题考查正弦函数性质以及线线平行的证明，考查函数对称中心的判断以及抛物线与直线相交的相关问题的求解，考查推理能力，体现了基础性与综合性，是中档题.

12. 如图，已知函数（其中，，）的图象与轴交于点，，与轴交于点，，，，.则下列说法正确的有（    ）.

A. 的最小正周期为12 B.

C. 的最大值为 D. 在区间上单调递增

【答案】ACD

【解析】

【分析】

由题意可得：，，可得，，，的坐标，根据，可得方程，进而解出，，．判断出结论．

【详解】解：由题意可得：，

，，

，，，．

，，

，，

把代入上式可得：，．

解得，

，可得周期．

，，解得．可知：不对．

，，解得．

函数，

可知正确．

时，，，

可得：函数在单调递增．

综上可得：ACD正确．

故选：ACD．

【点睛】本题考查了三角函数方程的解法、三角函数求值、三角函数的图象与性质，考查了推理能力与计算能力，属于较难题．

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13. 已知向量，，则向量在方向上的投影为________.

【答案】

【解析】

【分析】

首先可以根据题意写出，然后求出以及的值，再然后设向量与的夹角为，最后根据即可得出结果.

【详解】因为，，

所以，

，

，

设向量与的夹角为，

则向量在方向上的投影，

故答案为：.

【点睛】本题考查向量在另一向量上的投影的相关计算，考查向量乘法的坐标表示，考查向量的模的相关计算，考查根据向量的数量积公式求向量在另一向量上的投影，考查计算能力，是中档题.

14. 的展开式中，所有项的系数和为________，项的系数为________.

【答案】    (1). 1    (2).

【解析】

【分析】

令可得所有项的系数和，把多项式化为二项式，然后由二项式定理可得的系数．

【详解】令，则展开式中所有项的系数和为，

，展开式通项公式为，令，，∴的系数为．

故答案为：1；－20．

【点睛】本题考查二项式定理，考查赋值法求二项展开式中各项系数和，掌握二项展开式通项公式是解题基础．

15. 2020年春，新型冠状病毒引发的疫情牵动着亿万人的心，八方驰援战疫情，众志成城克时难，社会各界纷纷支援湖北，共抗新型冠状病毒肺炎.某医院派出了5名医生和3名护士共8人前往武汉参加救治工作.现将这8人分成两组分配到两所医院去，若要求每组至多5人，且护士所在组必须有医生，则不同的分配方案共有________种（用数字作答）.

【答案】180

【解析】

【分析】

对所分配的医生和护士分为5种情况，根据分类分步计数原理可得到结果．

【详解】由已知条件得将5名医生和3名护士分配到两所医院的情况如下：

①1所医院4名医生，另1所医院1名医生，3名护士，有种分配方案；

②1所医院3名医生，1名护士，另1所医院2名医生，2名护士，有种分配方案；

③1所医院4名医生，1名护士，另1所医院1名医生，2名护士，有种分配方案；

④1所医院3名医生，2名护士，另1所医院2名医生，1名护士，有种分配方案；

⑤1所医院3名医生，另1所医院2名医生，3名护士，有种分配方案；

 所以共有种分配方案，

故答案为：180.

【点睛】本题考查排列组合知识，考查学生分析解决问题的能力，进行合适的分类是本题的关键，属于中档题．

16. 我国古代数学名著《九章算术》中记载，斜解立方为“堑堵”，即底面是直角三角形的直三棱柱（直三棱柱为侧棱垂直于底面的三棱柱）.如图，棱柱为一个“堑堵”，底面的三边中的最长边与最短边分别为，，且，，点在棱上，且，则当的面积取最小值时，异面直线与所成的角的余弦值为________.

【答案】

【解析】

【分析】

设直三棱柱高为，，则,由,可得，再证明平面，从而得到，可得，将代入，利用均值不等式可求得当的面积取最小值时，，由,所以(或其补角)为异面直线与所成的角，从而可求得答案.

【详解】设直三棱柱的高为，，则，

因为直角三角形，且，则.

所以，

，

由，则,

即，整理得

由棱柱为一个“堑堵”，则侧棱垂直于底面，且底面是直角三角形.

所以平面,又平面，则

又底面是直角三角形，且最长边为，则

又,所以平面

平面,所以,且，

所以平面,平面,所以

当且仅当,即时，取得等号.

由,所以(或其补角)为异面直线与所成的角.

,

所以

故答案为：

【点睛】本题考查异面直线成角问题，考查线面垂直的证明，考查利用均值不等式求最值，属于较难题.