新高考数学二轮复习8+4+4选填小题精炼 (6) (含解析)

2021届新高考“8+4+4”小题狂练（6）

一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 设复数，则复数z在复平面内对应的点的坐标为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

由复数的乘法化简得到，然后利用复数的几何意义求解.

【详解】因为，

使用复数z在复平面内对应的点的坐标为.

故选：D

【点睛】本题主要考查复数的运算以及复数的几何意义，还考查了运算求解的能力，属于基础题.

2. 已知集合，，则（　　  ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

化简集合,再根据交集的概念进行运算可得.

【详解】因为函数的值域为所以,

又集合,所以.

故选:D

【点睛】本题考查了交集的运算,函数的值域,解一元二次不等式,属于基础题.

3. “直线与平面内的无数条直线垂直”是“直线与平面垂直”的（　　　　）

A. 充分条件 B. 必要条件 C. 充要条件 D. 既非充分条件又非必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】

利用平面几何知识可得一个平面内的一条直线可以垂直此平面内的无数条直线，可得不是充分条件；利用直线与平面垂直的定义可得应该是必要条件。

【详解】因为直线在平面内，也可以与平面内的无数条直线垂直，所以，“直线与平面内的无数条直线垂直”不是“直线与平面垂直”的充分条件；若直线与平面垂直，则直线与平面内的所有直线都垂直。所以，“直线与平面内的无数条直线垂直”是“直线与平面垂直”的必要条件。

【点睛】本题考查直线与平面垂直关系的判断，考查学生的空间想象能力，判断位置关系时，应寻找合适的模型即可；判断不对时，只需找到反例就行。

4. 函数在上的图象大致是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

由函数的奇偶性及特殊点的函数值，运用排除法得解．

【详解】解：∵

所以，∴是偶函数，函数图象关于轴对称，故排除B，D．∵，∴排除C．

故选：A．

【点睛】本题考查利用函数的性质确定函数图象，考查数形结合思想，属于基础题．

5. 在直角梯形中，，，，，是的中点，则（ ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

由数量积的几何意义可得，，又由数量积的运算律可得

，代入可得结果.

【详解】∵，

由数量积的几何意义可得：的值为与在方向投影的乘积，

又在方向的投影为=2，

∴，同理，

∴，

故选D.

【点睛】本题考查了向量数量积的运算律及数量积的几何意义的应用，属于中档题.

6. 宁波古圣王阳明的《传习录》专门讲过易经八卦图，下图是易经八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（“—”表示一根阳线，“——”表示一根阴线）．从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有四根阴线的概率为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

根据古典概型的概率求法，先得到从八卦中任取两卦基本事件的总数，再找出这两卦的六根线中恰有四根阴线的基本事件数，代入公式求解.

【详解】从八卦中任取两卦基本事件的总数种，

这两卦六根线中恰有四根阴线的基本事件数有6种，

分别是（巽，坤），（兑，坤），（离，坤），（震，艮），（震，坎），（坎，艮），

所以这两卦的六根线中恰有四根阴线的概率是.

故选：B

【点睛】本题主要考查古典概型的概率，还考查了运算求解的能力，属于基础题.

7. 已知抛物线的焦点为，点在上，.若直线与交于另一点，则的值是（   ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

本道题结合抛物线性质，分别计算A,B的坐标，结合两点距离公式，即可．

【详解】结合抛物线的性质可得，所以抛物线方程为，所以点A坐标为，所以直线AB的方程为，代入抛物线方程，计算B的坐标为，所以，故选C．

【点睛】本道题考查了抛物线性质以及两点距离公式，难度中等．

8. 三棱锥的所有顶点都在半径为2的球的球面上.若是等边三角形，平面平面，，则三棱锥体积的最大值为（   ）

A. 2 B. 3 C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

由题意求得，则且， 又由平面平面，可得平面，即三棱锥的高，在中，利用基本不等式求得面积的最大值，进而可得三棱锥体积的最大值，得到答案.

【详解】由题意知，三棱锥的所有顶点都在半径为2的球的球面上，若是等边三角形，

如图所示，可得，则且，

又由平面平面，所以平面，即三棱锥的高，

又由在中，，设，则,

所以，当且仅当时取等号，即的最大值为3，

所以三棱锥体积的最大值为，

故选B.

【点睛】本题主要考查了有关球的内接组合体的性质，以及三棱锥的体积的计算问题，其中解答中充分认识组合体的结构特征，合理计算三棱锥的高和底面面积的最大值是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的0分．

9. 已知等比数列的公比为，前4项的和为，且，，成等差数列，则的值可能为（    ）

A.  B. 1 C. 2 D. 3

【答案】AC

【解析】

【分析】

运用等差数列的中项性质和等比数列的通项公式，解方程可得公比的值．

【详解】解：因为，，成等差数列，

所以，

因此，，

故．

又是公比为的等比数列，

所以由，

得，即，

解得或．

故选：AC．

【点睛】本题考查等差数列的中项性质和等比数列的通项公式和性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．

10. 某学校为了了解本校学生的上学方式，在全校范围内随机抽查部分学生，了解到上学方式主要有：____结伴步行，—自行乘车，___家人接送，—其他方式．并将收集的数据整理绘制成如下两幅不完整的统计图．根据图中信息，下列说法正确的是（    ）

A. 扇形统计图中的占比最小

B. 条形统计图中和一样高

C. 无法计算扇形统计图中的占比

D. 估计该校一半的学生选择结伴步行或家人接送

【答案】ABD

【解析】

【分析】

利用条形统计图和扇形统计图的性质直接判断求解．

【详解】解：由条形统计图知，___自行乘车上学的有42人，___家人接送上学的有30人，___其他方式上学的有18人，采用，，三种方式上学的共90人，设___结伴步行上学的有人，由扇形统计图知，___结伴步行上学与___自行乘车上学的学生占60%，所以，解得，故条形图中， 一样高，扇形图中类占比与一样都为25%，和共占约50%，故D也正确．D的占比最小，A正确．

故选：ABD

【点睛】本题考查命题真假的判断，考查条形统计图和扇形统计图的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．

11. 若将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则下列说法正确的是（    ）

A. 的最小正周期为 B. 在区间上单调递减

C. 不是函数图象的对称轴 D. 在上的最小值为

【答案】ACD

【解析】

分析】

由函数图像的变换可得，结合余弦函数的周期性、单调性、对称轴等即可判断选项，得出答案.

【详解】．

的最小正周期为，选项A正确；

当 时， 时，故在上有增有减，选项B错误；，故不是图象的一条对称轴，选项C正确；

当时，，且当，即时，取最小值，D正确．

故选：ACD

【点睛】本题考查了三角函数图像的变换、余弦函数的周期性、单调性和对称轴等基本知识，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，属于一般题目.

12. 已知，．若有唯一的零点，则的值可能为（    ）

A. 2 B. 3 C.  D.

【答案】ACD

【解析】

【分析】

通过只有一个零点，化为只有一个实数根．

令，利用函数的导数，判断函数的单调性，结合函数的图象，通过①当时，②当时，③当时，④当时，验证函数的零点个数，推出结果即可．

【详解】解：，．

只有一个零点，

只有一个实数根，

即只有一个实数根．

令，则，

函数在上单调递减，且时，，

函数的大致图象如图所示，

所以只需关于的方程有且只有一个正实根．

①当时，方程为，解得，符合题意；

②当时，方程为，解得或，不符合题意；

③当时，方程为，得，只有，符合题意．

④当时，方程为，得，只有，符合题意．

故选：ACD．

【点睛】本题考查函数的导数的应用，函数的零点以及数形结合，构造法的应用，考查转化思想以及计算能力，属于难题．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 已知则________．

【答案】14

【解析】

【分析】

直接根据分段函数解析式计算可得；

【详解】解：因为

所以，

则．

故答案为：14

【点睛】本题考查分段函数求函数值，属于基础题.

14. 已知，则的最小值等于________．

【答案】

【解析】

【分析】

由，代入变形，利用基本不等式即可得出．

【详解】解：由题意得，当且仅当时等号成立，所以的最小值为．

故答案：

【点睛】本题考查了基本不等式的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

15. 已知的展开式的所有项系数之和为27，则实数______，展开式中含的项的系数是______.

【答案】    (1). 2    (2). 23；

【解析】

【分析】

将x=1代入表达式可得到各项系数之和，按照展开式的系数的公式得到的系数之和.

【详解】已知的展开式的所有项系数之和为27,将x=1代入表达式得到

展开式中含的项的系数是

故答案为(1). 2；(2). 23.

【点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略：(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可;(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出其参数.

16. 已知圆，点，从坐标原点向圆作两条切线，，切点分别为，，若切线，的斜率分别为，，，则的取值范围为________．

【答案】

【解析】

【分析】

先根据题意得到直线，的方程，再根据直线与圆的位置关系得到，结合，即可求得圆心的轨迹方程，最后数形结合可得的取值范围．

【详解】由题意可知，直线，，

因为直线，与圆相切，

所以，，

两边同时平方整理可得，

，

所以，是方程的两个不相等的实数根，

所以．又，

所以，即．又，

所以，

即．

故答案为：

【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式，还考查了数形结合思想和运算求解能力，属于中档题.