新高考数学二轮复习8+4+4选填小题精炼 (8) (含解析)

2021届新高考“8+4+4”小题狂练（8）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.若集合，则 (　　)

A.  B.

C.  D. 或

【答案】B

【解析】

【分析】

先求出集合，再利用交集的定义得出答案.

【详解】因为可得，集合，

所以

故选B

【点睛】本题主要考查了交集的定义，属于基础题.

2.已知复数满足，则复平面内与复数对应的点在

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

【答案】D

【解析】

【分析】

把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案．

【详解】由得

，

∴复数z在复平面内对应的点的坐标为（，），在第四象限．

故选D．

【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．

3.某校拟从甲、乙两名同学中选一人参加疫情知识问答竞赛，于是抽取了甲、乙两人最近同时参加校内竞赛的十次成绩，将统计情况绘制成如图所示的折线图.根据该折线图，下面结论正确的是（    ）

A. 甲、乙成绩的中位数均为7

B. 乙的成绩的平均分为6.8

C. 甲从第四次到第六次成绩的下降速率要大于乙从第四次到第五次的下降速率

D. 甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差

【答案】D

【解析】

【分析】

在A中，将乙十次的成绩从小到大排列，求出中位数为7.5；在B中，求出乙的成绩的平均分为7；在C中，从折线图可以看出甲第6次所对应的点与乙第4次和第5次所对应的点均在同一条直线上，故下降速率相同；在D中，从折线图可以看出，乙的成绩比甲的成绩波动更大，甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差.

【详解】在A中，将乙十次的成绩从小到大排列，

为2，4，6，7，7，8，8，9，9，10，

∴中位数为，故A错误；

在B中，乙的成绩的平均分为：（2+4+6+7+7+8+8+9+9+10）＝7，故B错误；

在C中，从折线图可以看出甲第6次所对应点与乙第4次和第5次所对应的点均在同一条直线上，

故下降速率相同，故C错误；

在D中，从折线图可以看出，乙的成绩比甲的成绩波动更大，

∴甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差，故D正确.

故选：D.

【点睛】本题考查命题真假的判断，考查中位数、平均数、折线图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

4.已知某函数的图象如图所示，则下列解析式与此图象最为符合的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

对于A，为奇函数，图象显然不关于原点对称，不符合题意；

对于C，在上单调递减，不符合题意；

对于D，在上单调递减，不符合题意；

故选B

点睛：识图常用的方法

(1)定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决问题；

(2)定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题；

(3)函数模型法：由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题．

5.已知双曲线，直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N，O为坐标原点．若为直角三角形，则C的离心率为（）．

A.  B.  C. 2 D.

【答案】A

【解析】

【分析】

由双曲线的对称性可得渐近线方程，从而得到关系，进而求得关系，利用求得结果.

【详解】为直角三角形，结合对称性可知，双曲线的渐近线为：

即       

本题正确选项：

【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，关键是能够根据双曲线的对称性得到渐近线方程.

6.已知点在圆上，，，为中点，则的最大值为(   )

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

由圆的特征可确定为锐角，因此只需求出的正切值的最大值即可.

【详解】设，因为为中点，所以，所以，

因为点在圆上，则,不妨令，

则，

令，则

所以当且仅当时，取最大值，故.故选C.

【点睛】本题主要考查函数的综合，通常情况下，需要依题意表示出所求的量，通过求函数的值域来确定结果，属于中档试题.

7.已知函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，若函数为偶函数，则函数在区间上的值域是（    ）．

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

首先利用函数的图象和性质求出函数的关系式，进一步利用图象的平移变换求出的函数的关系式，进一步求出函数的值域．

【详解】由函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，得最小正周期．

又因为，所以，解得．

将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象．

因为函数为偶函数，所以，．

由，解得，

所以．

因为，所以，

所以函数在区间上的值域是．

故选：D．

【点睛】本题主要考查三角函数关系式恒等变换，函数的图象的平移变换和伸缩变换的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题．

8.已知函数，若且，则的最大值为（   ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

设点的横坐标为，过点作轴的垂线交函数于另一点，设点的横坐标为，并过点作直线的平行线，设点到直线的距离为，计算出直线的倾斜角为，可得出，于是当直线与曲线相切时，取最大值，从而取到最大值.

【详解】如下图所示：

设点的横坐标为，过点作轴的垂线交函数于另一点，设点的横坐标为，并过点作直线的平行线，设点到直线的距离为，，

由图形可知，当直线与曲线相切时，取最大值，

当时，，令，得，切点坐标为，

此时，，，故选B.

【点睛】本题考查函数零点差的最值问题，解题的关键将问题转化为两平行直线的距离，考查化归与转化思想以及数形结合思想，属于难题.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．

9.下列命题错误的是（    ）．

A. ， B. ，

C. ， D. ，

【答案】AC

【解析】

【分析】

根据指数函数和对数函数性质对各个选项进行判断．

【详解】由指数函数的性质可知，当时，，恒成立，A错误；

由对数函数的性质可知，当时，，，恒成立，B正确；

对于C，当时，，，则，C错误；

对于D，当时，，由对数函数与指数函数的性质可知，当时，恒成立，D正确．

故选：AC．

【点睛】本题考查全称命题和特称命题的的真假判断，掌握指数函数和对数函数的性质是解题关键．

10.已知偶函数满足，则下列说法正确的是（    ）．

A. 函数是以2为周期的周期函数 B. 函数是以4为周期的周期函数

C. 函数为奇函数 D. 函数为偶函数

【答案】BC

【解析】

【分析】

对于选项，分析得到函数是周期为4的周期函数，由此可知选项A错误，选项B正确；对于选项,证明函数为奇函数，所以选项C正确；对于选项,由题意不妨取满足条件的函数，则为奇函数，所以选项D错误．

【详解】对于选项,∵函数为偶函数，∴．

∵，

∴，

则，即，

∴，

故函数是周期为4的周期函数，由此可知选项A错误，选项B正确；

对于选项,令，则．

在中，将换为，得，

∴，∴，

则函数为奇函数，所以选项C正确．

对于选项,由题意不妨取满足条件的函数，

则为奇函数，

所以选项D错误．

故选：BC.

【点睛】本题主要考查函数的周期的判定，考查函数的奇偶性的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

11.已知正项数列满足：，是的前n项和，则下列四个命题中错误的是（      ）

A.  B.

C.  D. 是递增数列

【答案】D

【解析】

【分析】

由条件逐一分析选项，A,;利用不等式迭代得到选项；B.由条件可知 ，，……，得到，再证明；C. 由条件对不等式进行放缩得到，再求和证明；D.设数列是公比为4的等比数列，说明结论.

【详解】A.，根据已知可知，

，故A正确；

B.，

，

由A可知 ，，……,

，

，故B正确；

C.由A可知……,，

，

由A可知 ，

，

，故C成立；

D.若数列是正项等比数列，并且公比，则，此时是常数列，不是递增数列，故D不正确.

故选：D

【点睛】本题考查数列，不等式，证明的综合问题，意在考查推理证明，数列的综合应用，属于难题，本题的关键是根据条件进行迭代，从而根据不等式进行证明.

12.设，是抛物线上的两个不同的点，是坐标原点．若直线与的斜率之积为，则（    ）．

A.  B. 以为直径的圆的面积大于

C. 直线过定点 D. 点到直线的距离不大于2

【答案】CD

【解析】

【分析】

通过轴时的特殊情况，判断A、B选项不正确；当直线与轴不垂直时，设直线方程，通过推理论证，得出直线过定点，进而得出点到直线的距离最大值即为O、Q两点间的距离，进而得出CD正确.

【详解】不妨设为第一象限内的点，

①当直线轴时，，由，

得，，

所以直线，的方程分别为：和．

与抛物线方程联立，得，，

所以直线的方程为，此时，

以为直径的圆的面积，故A、B不正确．

②当直线与轴不垂直时，设直线方程为，

与抛物线方程联立消去，得，则．

设，，则．

因为，所以，

则，则，

所以，即，

所以直线的方程为，即．

综上可知，直线为恒过定点的动直线，故C正确；

易知当时，原点到直线的距离最大，最大距离为2，

即原点到直线的距离不大于2．故D正确．

故选：CD

【点睛】本题考查了直线与抛物线的关系，考查了运算求解能力，逻辑推理能力，分类讨论和数形结合思想，属于难题.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13.在一次200千米的汽车拉力赛中，50名参赛选手的成绩全部频率组距介于13分钟到18分钟之间．现将比赛成绩分为五组：第一组，第二组，…，第五组，其频率分布直方图如图所示，若成绩在之间的选手可获奖，则这50名参赛选手中获奖的人数为________．

【答案】11

【解析】

【分析】

由频率分布直方图的性质，求得成绩在之间的频率，进而求得这50名参赛选手中获奖的人数，得到答案.

【详解】由频率分布直方图的性质，可得成绩在之间的频率为

，

所以这50名参赛选手中获奖的人数为．

故答案为：.

【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的性质及其应用，其中解答中根据频率分布直方图的性质求得相应的概率是解答的关键，着重考查运算与求解能力.

14.在中，，，，为边上的高．若，则________．

【答案】

【解析】

【分析】

根据题意画出图象，根据条件求出，从而可得出，根据向量加法的几何意义并进行向量的数乘运算得出，从而根据平面向量基本定理求出，的值，即可求得答案．

【详解】根据题意画出图象，如图

为边上的高

，

，，

则，

，

．

又，

，，

故．

故答案为：．

【点睛】本题解题关键是掌握向量的线性表示，根据系数相等求参数的方法，考查了分析能力和计算能力，属于基础题．

15.在实数集中定义一种运算“*”，具有性质：

（1）对任意，，；

（2）对任意，；

（3）对任意，，.

则函数的最小值为_______.

【答案】3

【解析】

【分析】

根据题中给出的对应法则,可得,利用基本不等式求最值可得

,当且仅当时等号成立,由此可得函数的最小值为.

【详解】解:对任意,,,

令.代入得,

由可得,

由可得,

所以,因为,

由均值不等式可得（当且仅当,即时,等号成立）.

所以（）的最小值为3.

故答案为:3

【点睛】本题给出新定义,求函数的最小值.着重考查了利用基本不等式求最值、函数的解析式求法和简单的合情推理等知识属于中档题.

16.在三棱锥中，平面，，，，是上的一动点，且直线与平面所成角的最大值为，则________，三棱锥的外接球的表面积为________．

【答案】    (1). 6    (2).

【解析】

【分析】

（1）设直线与平面所成的角为，先求出的最小值为，的最小值是，即点到的距离为，再利用余弦定理求出的值；

（2）取的外接圆的圆心为，则圆的半径，连接，作于点，即得，即得解.

【详解】设直线与平面所成的角为，三棱锥外接球的球心为，半径为，

如图所示，则，

所以，则的最小值为，的最小值是，即点到的距离为，所以．

因为，

所以，

所以，

所以，

所以．

取的外接圆的圆心为，则圆的半径．

连接，作于点，

则点为的中点，所以，

故三棱锥的外接球的表面积．

故答案为：6；.

【点睛】本题主要考查空间角的计算，考查几何体外接球的问题的处理，考查球的表面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.