新高考数学二轮复习8+4+4选填小题精炼 (10) (含解析)

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2021届新高考“8+4+4”小题狂练（10） 一､选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合，，则（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】分别解出集合A,集合B以及集合B的补集，然后对集合A和集合B的补集取并集即可.【详解】集合，或，，则故选：B【点睛】本题考查集合的并集补集运算，考查对数不等式和一元二次不等式的解法，属于基础题.2. 已知复数，为的共轭复数，则（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】求出，直接由复数的代数形式的乘除运算化简复数.详解】.故选：D【点睛】本题考查复数的代数形式的四则运算，共轭复数，属于基础题目.3. 马林·梅森(MarinMersenne，1588-1648)是17世纪法国著名的数学家和修道士，也是当时欧洲科学界一位独特的中心人物.梅森在欧几里得､费马等人研究的基础上对作了大量的计算､验证工作，人们为纪念梅森在数论方面的这一贡献，将形如(其中是素数)的素数，称为梅森素数.在不超过40的素数中，随机选取两个不同的数，至少有一个为梅森素数的概率是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】可知不超过40的素数有12个，梅森素数有3个，求出随机取两个数的种数，求出至少有一个为梅森素数的种数，即可得出概率.【详解】可知不超过40的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37共12个，其中梅森素数有3，7，37共3个，则在不超过40的素数中，随机选取两个不同的数共有种，其中至少有一个为梅森素数有种，所以至少有一个为梅森素数的概率是.故选：A.【点睛】本题考查古典概型概率的求解，属于基础题.4. 已知参加2020年某省夏季高考的53万名考生的成绩近似地服从正态分布，估计这些考生成绩落在的人数约为（    ）(附：，则，)A. 36014 B. 72027 C. 108041 D. 168222【答案】B【解析】【分析】由题可求出，，即可由此求出，进而求出成绩落在的人数.【详解】，，，，，这些考生成绩落在的人数约为.故选：B.【点睛】本题考查正态分布的相关概率计算，属于基础题.5. “中国剩余定理”又称“孙子定理”.1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于问余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”.此定理讲的是关于整除的问题，现将1到1009这1009个数中，能被2除余1且被5除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则该数列共有（    ）A. 100项 B. 101项 C. 102项 D. 103项【答案】B【解析】【分析】先求出数列的通项公式，然后根据通项公式进行求解项数.【详解】因为能被2除余1且被5除余1的数就能被10整除余1，所以按从小到大的顺序排成一列可得，由，得，故此数列的项数为101.故选：B.【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式，熟记公式是求解的关键，属于容易题，侧重考查数学运算的核心素养.6. 已知中，，，，动点自点出发沿线段运动，到达点时停止，动点自点出发沿线段运动，到达点时停止，且动点的速度是动点的2倍.若二者同时出发，且一个点停止运动时，另一个点也停止，则该过程中的最大值是（    ）A.  B. 4 C.  D. 23【答案】C【解析】【分析】由题意，，故，展开可得关于的一元二次函数，配方，即可求得的最大值.【详解】中，，，，.由题意，,当时， 取得最大值，最大值为.故选：C.【点睛】本题考查平面向量的数量积，属于基础题.7. 已知直线恒在函数的图象的上方，则的取值范围是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】由题意构造新函数，然后利用导函数讨论函数的单调性，由函数的最值讨论计算即可确定的取值范围.【详解】很明显，否则时，函数单调递减，且时，而当时，不合题意，时函数为常函数，而当时，不合题意，当时，构造函数，由题意可知恒成立，注意到：，据此可得，函数在区间上的单调递减，在区间上单调递增，则：，故，，构造函数，则，还是在处取得极值，结合题意可知：，即的取值范围是.故选：A.【点睛】本题主要考查导数研究函数的最值，导数研究函数的单调性，等价转化的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8. 已知，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的取值范围是（    ）A.  B. C.  D. 【答案】D【解析】【分析】动直线过定点，动直线过定点，且此两条直线垂直，因此点P在以AB为直径的圆上，设∠ABP＝θ，则，θ∈[0，]，代入中利用正弦函数的性质可得结果.【详解】动直线过定点，动直线即过定点，且此两条直线垂直．∴点P在以AB为直径的圆上，，设∠ABP＝θ，则，θ∈[0，]，∵θ∈[0，]，∴θ+∈[，]，∴sin（θ+）∈[，1]，∴∈[，2]，故选：D．【点睛】本题考查直线过定点、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查正弦函数的性质，考查推理能力与计算能力，属于中档题．二､选择题：在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9. 若，，且，则下列不等式恒成立的是（    ）A.  B. C.  D. 【答案】CD【解析】【分析】根据均值不等式及不等式的性质分析即可求解.【详解】A选项由知，因为，所以，当且仅当时等号成立，故A选项错误；B选项，因为，当且仅当时等号成立，故B选项错误；C选项，，当且仅当时等号成立，故C正确；D选项，由，当且仅当时等号成立，所以正确，故选：CD【点睛】本题主要考查了均值不等式，重要不等式的应用，考查了不等式等号成立的条件，属于中档题.10. 将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，且，则下列说法正确的是（    ）A. 为奇函数B. C. 当时，在上有4个极值点D. 若在上单调递增，则的最大值为5【答案】BCD【解析】【分析】利用题目已知条件，求出，再结合三角函数的性质即可得出答案.【详解】∵∴，且，∴，即为奇数，∴为偶函数，故A错.由上得：为奇数，∴，故B对.由上得，当时，，,由图像可知在上有4个极值点,故C对，∵在上单调，所以,解得：，又∵，∴的最大值为5，故D对故选：BCD.【点睛】本题考查了三角函数的平移变换，奇偶性，极值点，单调区间,属于难题.11. 已知双曲线，过其右焦点的直线与双曲线交于两点、，则（    ）A. 若、同在双曲线的右支，则的斜率大于B. 若在双曲线的右支，则最短长度为C. 的最短长度为D. 满足的直线有4条【答案】BD【解析】【分析】设直线的方程为，设点、，将直线的方程与双曲线的方程联立，利用判别式、韦达定理、弦长公式可判断各选项的正误.【详解】易知双曲线的右焦点为，设点、，设直线的方程为，当时，直线的斜率为，联立，消去并整理得.则，解得.对于A选项，当时，直线轴，则、两点都在双曲线的右支上，此时直线的斜率不存在，A选项错误；对于B选项，，B选项正确；对于C选项，当直线与轴重合时，，C选项错误；对于D选项，当直线与轴重合时，；当直线与轴不重合时，由韦达定理得，，由弦长公式可得，解得或.故满足的直线有条，D选项正确.故选：BD.【点睛】本题考查直线与双曲线的综合问题，考查了直线与双曲线的交点个数，弦长的计算，考查了韦达定理设而不求法的应用，考查计算能力，属于中等题.12. 如图，在直三棱柱中，，，，点，分别是线段，上的动点(不含端点)，且，则下列说法正确的是（    ）A. 平面B. 四面体的体积是定值C. 异面直线与所成角的正切值为D. 二面角的余弦值为【答案】ACD【解析】【分析】说明四边形是矩形，然后证明∥∥，推出平面，判断A；设，然后求解四面体的体积可判断B；说明异面直线与所成角为，然后求解三角形，判断C；利用空间向量求解二面角的余弦值【详解】解：对于A，在直三棱柱中，四边形是矩形，因为，所以∥∥，所以平面，所以A正确；对于B，设，因为，，，所以，因为∥，所以，所以，所以，所以，四面体的体积为，所以四面体的体积不是定值，所以B错误；对于C，因为∥，所以异面直线与所成角为，在中，，所以，所以C正确；对于D，如图，以为坐标原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则，所以，设平面的一个法向量为，则，令，则，所以，同理可求得平面的一个法向量为，所以二面角的余弦值为，所以D正确，故选：ACD【点睛】此题考查立体几何中的关每次和计算，二面角的平面角的求法，异面直线所成角的求法，属于中档题三､填空题：13. 高三一班周一上午有四节课，分别安排语文､数学､英语和体育.其中语文不安排在第一节，数学不安排在第二节，英语不安排在第三节，体育不安排在第四节，则不同的课表安排方法共有______种.【答案】9【解析】【分析】分三类考虑，语文安排在第二节, 语文安排在第三节，语文安排在第四节，分别求出各类的安排方法，相加即可.【详解】第一类：语文安排在第二节,
若数学安排在第一节,则英语安排在第四节,体育安排在第三节;
若数学安排在第三节，则英语安排在第四节,体育安排在第一节;
若数学安排在第四节,则英语安排在第一节,体育安排在第三节;
第二类：语文安排在第三节，
若英语安排在第一节,则数学安排在第四节,体育安排在第二节;
若英语安排在第二节，则数学安排在第四节，体育安排在第一节;
若英语安排在第四节,则数学安排在第一节,体育安排在第二节;
第三类：语文安排在第四节，
若体育安排在第一节,则英语安排在第二节,数学安排在第三节;
若体育安排在第二节，则英语安排在第一节，数学安排在第三节;
若体育安排在第三节，则英语安排在第二节，数学安排在第一节;
所以共有9种方案.
故答案为：9.【点睛】本题考查有限制的元素排列问题，属于基础题.14. 已知四面体中，，，，则其外接球的体积为______.【答案】【解析】【分析】由题意可采用割补法，构造长宽高分别x，y，z的长方体，其面对角线分别为解出x，y，z,求长方体的体对角线即可.【详解】如图，构造长方体，其面对角线长分别为，则四面体的外接球即为此长方体的外接球，设长方体的长宽高分别x，y，z，外接球半径为R则，所以,则，解得，所以.故答案为：【点睛】本题主要考查了球的内接四面体的性质，考查了构造法求球的半径，球的体积公式，属于中档题.15. 已知数列满足，的前项的和记为，则______.【答案】【解析】【分析】利用两角差的正弦公式化简得出，可求得，进而可计算得出的值.【详解】，，因此，.故答案为：.【点睛】本题考查裂项相消法求和，同时也考查了利用两角差的正弦公式化简求值，考查计算能力，属于中等题.16. 某中学开设了剪纸艺术社团，该社团学生在庆中秋剪纸活动中剪出了三个互相外切的圆，其半径分别为，，(单位：)，则三个圆之间空隙部分的面积为______.【答案】【解析】【分析】由已知可得,,,得到，，求出，中的小扇形的面积，中的小扇形的面积，中的小扇形的面积，然后用三角形的面积减去三个扇形的面积即可得到答案.【详解】如图，的半径为cm, 的半径为cm, 的半径为cm,,,, ,又,可得,，中的小扇形的面积为，中的小扇形的面积为，中的小扇形的面积为，则三个圆之间空隙部分的面积为故答案为：【点睛】本题考查圆与圆相切的性质，考查扇形面积公式的应用，考查计算能力，属于中档题.