新高考数学二轮复习8+4+4选填小题精炼 (13) (含解析)

2021届新高考“8+4+4”小题狂练（13）

―、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

先求出集合N，然后进行交集的运算即可.

【详解】由，

所以

故选：D

【点睛】考查描述法的定义，以及交集的运算，是基础题.

2.函数的零点所在的区间为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

直接利用零点存在定理计算得到答案.

【详解】，易知函数单调递增，

，，,故函数在上有唯一零点.

故选：C.

【点睛】本题考查了零点存在定理的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力.

3.已知命题p，，，则为（    ）

A. ， B. ，

C. ， D. ，

【答案】B

【解析】

【分析】

全称命题:，否定，是特称命题:，，结合已知中原命题，，可得到答案．

【详解】 原命题， ， 命题，的否定是:，．

故选:B．

【点睛】本题考查了命题的否定. ，的否定为， ；，的否定是，.求否定的易错点是和否命题进行混淆，属于基础题.

4.如图，在圆柱内有一个球O，该球与圆柱的上，下底面及母线均相切.若，则圆柱的表面积为（    ）

A. 4π B. 5π C. 6π D. 7π

【答案】C

【解析】

【分析】

根据图形可以得出，代入圆柱的表面积公式，即可求解.

【详解】由题意，可得，解得，

所以圆柱的表面积为.

故选：C.

【点睛】本题主要考查了圆柱的表面积的求法，其中解答中熟练应用组合体的结构特征，求得球的半径是解答的关键，意在考查空间想象能力，以及运算与求解能力.

5.“平均增长量”是指一段时间内某一数据指标增长量的平均值，其计算方法是将每一期增长量相加后，除以期数，即.国内生产总值（GDP）被公认为是衡量国家经济状况的最佳指标，下表是我国2015－2019年GDP数据：

根据表中数据，2015－2019年我国GDP的平均增长量为（    ）

A. 5.03万亿 B. 6.04万亿 C. 7.55万亿 D. 10.07万亿

【答案】C

【解析】

【分析】

依次将2015-2019年数据代入所给公式即可求解.

【详解】由题意得，2015－2019年我国GDP的平均增长量为：

==7.55万亿.

故选C.

【点睛】本题考查“平均增长量”的计算，考查学生分析，计算的能力，属基础题.

6.已知双曲线C的方程为，则下列说法错误的是（    ）

A. 双曲线C的实轴长为8 B. 双曲线C的渐近线方程为

C. 双曲线C的焦点到渐近线的距离为3 D. 双曲线C上的点到焦点距离的最小值为

【答案】D

【解析】

【分析】

由双曲线方程求出，根据双曲线的性质求出实轴长、渐近线方程和双曲线上的点到焦点距离最小值，然后利用点到直线距离公式求出焦点到渐近线的距离.

【详解】解：由双曲线C的方程为得：.双曲线C的实轴长为,故选项正确.双曲线C的渐近线方程为，故选项正确.取焦点，则焦点到渐近线的距离，故选项正确.双曲线C上的点到焦点距离的最小值为，故选项错误.

故选：.

【点睛】本题考查双曲线的标准方程及其性质、点到直线的距离公式应用，属于基础题.

7.已知水平直线上的某质点，每次等可能的向左或向右移动一个单位，则在第6次移动后，该质点恰好回到初始位置的概率是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

将问题转化为一个数为零，每次加或者减，经过6次后，结果还是零的问题.用古典概型的概率计算公式即可求得结果.

【详解】该问题等价于：一个数据为零，每次加或者减，经过6次后，结果还是零的问题.

则每次都有加1或者减1两种选择，共有种可能；

要使得结果还是零，则只需6次中出现3次加1，剩余3次为减1，

故满足题意的可能有：种可能.

故满足题意的概率.

故选：B.

【点睛】本题考查古典概型的概率求解，属基础题.

8.在中，，.当取最大值时，内切圆的半径为（    ）

A.  B.  C.  D. 2

【答案】A

【解析】

【分析】

先令，由，平方化简可得当时，有最大值，再由此求出所有边角，再设内切圆半径为，根据等面积法，求出.

【详解】令，，，

平方相加得，得，

显然，当时，有最大值，则，又，得，

则，设为的中点，如图所示：

则，，设内切圆的半径为，则

，解得.

故选：A

【点睛】本题考查了两角差的余弦公式，同角三角函数的基本关系式，解三角形，内切圆的特点，考查了学分分析观察能力，属于中档题.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.

9.已知复数（其中i为虚数单位）下列说法正确的是（    ）

A. 复数z在复平面上对应的点可能落在第二象限

B. z可能为实数

C.

D. 的实部为

【答案】BCD

【解析】

【分析】

由，得，得，可判断A选项；当虚部时，可判断B选项；由复数的模的计算和余弦的二倍角公式可判断C选项；由复数的除法运算得的实部是，可判断D选项；

【详解】因为，所以，所以，所以，所以A选项错误；

当时，复数z是实数，故B选项正确；

，故C选项正确；

，的实部是，故D选项正确；

故选：BCD.

【点睛】本题考查复数的概念，复数的模的计算，复数的运算，以及三角函数的恒等变换公式的应用，属于中档题.

10.台球运动已有五、六百年的历史，参与者用球杆在台上击球.若和光线一样，台球在球台上碰到障碍物后也遵从反射定律如图，有一张长方形球台ABCD，，现从角落A沿角的方向把球打出去，球经2次碰撞球台内沿后进入角落C的球袋中，则的值为（    ）

A.  B.  C. 1 D.

【答案】AD

【解析】

【分析】

根据题意，分两种情况作图：第一种情况：现从角落A沿角的方向把球打出去，球先接触边；第二种情况：现从角落A沿角的方向把球打出去，球先接触边；然后利用三角形全等即可求解.

【详解】第一种情况：现从角落A沿角的方向把球打出去，球先接触边，反射情况如下：

此时，根据反射的性质，，，所以，,为中点，取，则，设，则，所以，可得，，，

第二种情况：现从角落A沿角的方向把球打出去，球先接触边，反射情况如下：

此时，根据反射的性质，，，，所以，,为中点，取，则，设，则，所以，可得，，，

故答案选：AD

【点睛】本题考查分类讨论的数学思想，难点在于作图，属于难题.

11.如图，在棱长为1的正方体中，P为线段上的动点，下列说法正确的是（    ）

A. 对任意点P，平面

B. 三棱锥的体积为

C. 线段DP长度的最小值为

D. 存在点P，使得DP与平面所成角的大小为

【答案】ABC

【解析】

【分析】

对四个选项逐一分析，

对于A：平面平面，可得平面；

对于B：三棱锥的高均为1，底面的面积为，根据锥体体积公式计算即可作出判断；

对于C：当点P为的中点时，DP最小，此时，在中利用勾股定理进行计算可得出DP的最小值；

对于D：设点P在平面上的投影为点Q，为DP与平面所成的角，，，而，所以DP与平面所成角的正弦值的取值范围是，而，从而作出判断.

【详解】由题可知，正方体的面对角线长度为，

对于A：分别连接、、、、，易得平面平面，平面，故对任意点P，平面，故正确；

对于B：分别连接、，无论点P在哪个位置，三棱锥的高均为1，底面的面积为，所以三棱锥的体积为，故正确；

对于C：线段DP在中，当点P为的中点时，DP最小，此时，在中，，

故DP的最小值为，故正确；

对于D：点P在平面上的投影在线段上，设点P的投影为点Q，则为DP与平面所成的角，，，

而，所以DP与平面所成角的正弦值的取值范围是，而，

所以不存在点P，使得DP与平面所成角的大小为，故错误.

故选：ABC.

【点睛】本题考查线面平行，考查棱锥体积，考查线面所成的角，考查空间想象能力和运算求解能力，属于常考题.

12.设是无穷数列，若存在正整数k，使得对任意，均有，则称是间隔递增数列，k是的间隔数，下列说法正确的是（    ）

A. 公比大于1的等比数列一定是间隔递增数列

B. 已知，则是间隔递增数列

C. 已知，则是间隔递增数列且最小间隔数是2

D. 已知，若是间隔递增数列且最小间隔数是3，则

【答案】BCD

【解析】

【分析】

根据间隔递增数列的定义求解.

【详解】A. ，因为，所以当时，，故错误；

B. ，令，t在单调递增，则，解得，故正确；

C. ，当为奇数时，，存在成立，当为偶数时，，存在成立，综上：是间隔递增数列且最小间隔数是2，故正确；

D. 若是间隔递增数列且最小间隔数是3，

则，成立，

则，对于成立，且，对于成立

即，对于成立，且，对于成立

所以，且

解得，故正确.

故选：BCD

【点睛】本题主要考查数列的新定义，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知向量，，若，则k的值为___________.

【答案】

【解析】

【分析】

根据向量的坐标运算，求得，再结合向量的数量积的坐标运算公式，列出方程，即可求解.

【详解】由题意，向量，，则，

因为，所以，解得.

故答案为：.

【点睛】本题主要考查了向量的坐标表示，以及平面向量的数量积的坐标运算，其中解答熟记平面向量的数量积的运算公式是解答的关键，着重考查运算与求解能力.

14.若，则的值为__________.

【答案】5

【解析】

【分析】

将二项式等价变形为，根据变形后的二项式展开式的通项公式，求得的值.

【详解】，其通项公式为，故，所以.

故答案为：5

【点睛】本小题主要考查二项式展开式的通项公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.

15.已知，分别是椭圆的左、右焦点，A，B是椭圆上关于轴对称的两点，的中点P恰好落在轴上，若，则椭圆C的离心率的值为__________.

【答案】

【解析】

【分析】

由已知条件先判断出过左焦点且，然后求出两点坐标，再表示出点坐标，根据，利用向量数量积坐标形式得到关于的方程，结合及即可求出.

【详解】解：由于的中点P恰好落在轴上，又A，B是椭圆上关于轴对称的两点，所以过左焦点且，

则.因为是的中点，则.又，

则.因为，则，即.又，

则，即，解得：或（舍去）.

故答案为：.

【点睛】本题考查椭圆的简单性质离心率，考查运算能力，属于基础题.

16.已知函数，，若直线与函数，的图象均相切，则a的值为__________；若总存在直线与函数，图象均相切，则a的取值范围是__________.

【答案】    (1).     (2).

【解析】

【分析】

先求导数，根据导数几何意义确定切点坐标，代入得，与联立，利用判别式为零解得a的值.

先求导数，设切点坐标，根据导数几何意义确定切线斜率，利用点斜式得切线方程，再与联立，利用判别式为零得方程，利用分离法转化为求对应函数值域，结合导数求函数值域即得a的取值范围.

【详解】,设切点为，则切点为，直线代入得，

由上面可知切线方程为：，代入得，

令，则

当时单调递增，当时单调递减，

因此

所以

故答案为：，

点睛】本题考查导数几何意义、两函数公切线、利用导数研究方程有解问题，考查综合分析求解能力，属较难题.