新高考数学二轮复习8+4+4选填小题精炼 (14) (含解析)

2021届新高考“8+4+4”小题狂练（14）

一、单选题（每小题5分，共40分）

1. 已知集合，，则的子集共有（    ）

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

【答案】B

【解析】

【分析】

先由已知条件求出集合，再求的子集即可知子集个数.

【详解】因为或

且，所以

所以的子集共有个.

【点睛】本题主要考查了集合的交集运算以及集合子集的个数，涉及求函数的定义域，属于基础题.

2. 已知为虚数单位，复数满足，则在复平面内对应的点所在的象限为（    ）

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

【答案】A

【解析】

【分析】

由复数的几何意义可得，复数在复平面内对应的点在以（2，3）为圆心，1为半径的圆上，根据图像即可得答案.

【详解】设复数，则，所以，即，则复数在复平面内对应的点在以（2,3）为圆心，1为半径的圆上， 所以在复平面内对应的点在第一象限. 故选A.

【点睛】本题考查复数的几何意义，需熟练掌握复数的加减及求模运算法则，属基础题.

3. 已知向量，，若，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

先根据已知条件计算，再根据向量数量积的坐标运算求解即可得答案.

【详解】解：根据题意得：，

所以，解得.

故选：B.

【点睛】本题考查向量的减法坐标运算，数量积的坐标运算，考查运算能力，是基础题.

4. 已知函数对任意，都有，且，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

根据题意，由赋值法，先求出；，；记，得到数列是以为首项，以为公比的等比数列，求出通项，再由等比数列的求和公式，即可得出结果.

【详解】因为函数对任意，都有，且，

令，，则，所以；

令，，，则，所以，；

记，则，

即数列是以为首项，以为公比的等比数列，所以，；

所以

.

故选：D.

【点睛】本题主要考查求等比数列的前项和，涉及赋值法求函数值，属于跨章节综合题.

5. 设为第二象限角，若，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

将展开可得的值，再由同角三角函数基本关系结合为第二象限角，可的值，即可得答案.

【详解】,

即

可得：，解得：

由可得：

所以.

故选：A

【点睛】本题主要考查了两角和的正切公式，以及同角三角函数基本关系，属于基础题

6. 已知函数，若正实数满足，则的最小值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

由函数，知是奇函数，又因为正实数，满足，所以，利用基本不等式求得结果．

【详解】解：由函数，设，知，

所以是奇函数，则，又因为正实数，满足，

，所以，

，当且仅当，时取到等号．

故选：C．

【点睛】本题考查了函数的奇偶性，基本不等式应用，属于简单题．

7. 已知函数，，若恰有个零点，则实数的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

恰有个零点，即函数的 图像与的图像有三个交点，先求出与函数相切时的值，然后数形结合得出答案.

【详解】由恰有个零点，即方程恰有个实数根.

即函数的 图像与的图像有三个交点，如图.

与函数的 图像恒有一个交点，即函数与有两个交点.

设与函数相切于点，由

所以，得，所以切点为，此时，切线方程为

将向下平移可得与恒有两个交点，

所以

故选：D

【点睛】本题考查根据函数零点个数求参数范围，考查数形结合的思想应用，属于中档题.

8. “干支纪年法”是我国历法的一种传统纪年法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”；子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”.地支又与十二生肖“鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪”依次对应，“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为甲子、乙丑、丙寅……癸酉；甲戌、乙亥、丙子……癸未；甲申、乙酉、丙戌……癸巳；……，共得到60个组合，称六十甲子，周而复始，无穷无尽.2020年是“干支纪年法”中的庚子年，那么2086年出生的孩子属相为（    ）

A. 猴 B. 马 C. 羊 D. 鸡

【答案】B

【解析】

【分析】

根据六十甲子，周而复始，无穷无尽，即周期是60，则2086年与2026年一样，再根据2020年是“干支纪年法”中的庚子年推理结果.

【详解】六十甲子，周而复始，无穷无尽，即周期是60，

2086年与2026年一样，2020年是庚子年，2021年是辛丑年，2022年是壬寅年，2023年是癸卯年，2024年是甲辰年，2025年是乙巳年，2026年是丙午年，午对应属相为马

则2086年出生的孩子属相为马.

故选：B

【点睛】本题主要考查合情推理与演绎推理，还考查了逻辑推理的能力，属于基础题.

二、多项选择题（每小题5分，共20分）

9. 下列命题正确的是（    ）

A. 若角（），则

B. 任意的向量，若，则

C. 已知数列的前项和（为常数），则为等差数列的充要条件是

D. 函数的定义域为，若对任意，都有，则函数的图像关于直线对称

【答案】BC

【解析】

【分析】

对于A选项：当时，，当时，代入可判断A；对于B选项：设的夹角为，则，由向量的数量积的定义可判断B；对于C：验证必要性和充分性两个方面，可判断C；对于D选项：取函数，满足，求得函数的对称轴，可判断D.

【详解】对于A选项：当时，，当时，，不满足，故A不正确；

对于B选项：设的夹角为，则，所以，所以或，所以，故B正确；

对于C：验证必要性：当n=1时，；当n≥2时，；

由于，所以当n≥2时，是公差为2a等差数列.

要使是等差数列，则，解得c= 0.即{an }是等差数列的必要条件是：c= 0.

验证充分性：当c=0时，.

当n=1时，；当n≥2时，，显然当n=1时也满足上式，

所以，进而可得，所以等差数列.

所以为等差数列的充要条件是成立，故C正确；

对于D选项：设函数，满足其定义域为，且对任意，都有

，满足，

而，则函数的图像关于直线对称，故D不正确，

故选：BC.

【点睛】本题综合考查正弦函数与余弦函数的性质，向量的数量积的定义，等差数列的定义，抽象函数的对称性，属于中档题.

10. （多选题）函数（，）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（    ）

A.

B. 若把函数的图像向左平移个单位，则所得函数是奇函数

C. 若把的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到的函数在上是增函数

D. ，若恒成立，则的最小值为

【答案】ABD

【解析】

【分析】

根据函数图像可得，进而求出，再利用最值与特殊值可求出解析式，即可判断A；利用图像的平移伸缩变换可判断B；通过函数的平移伸缩变换求出变换后的解析式，根据正弦函数的单调区间整体代入即可判断C；不等式化为，利用三角函数的性质求出即可判断D.

【详解】如图所示：，所以，

，

，，即，

（），（），

，，，故A正确；

把的图像向左平移个单位，

则所得函数，是奇函数，故B正确；

把的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，

得到的函数，，，

在上不单调递增，故C错误；

由可得，恒成立，

令，，则，

 ，，

，，

的最小值为，故D正确.

故选：ABD.

【点睛】本题考查了由三角函数的图像求解析式、三角函数的平移伸缩变换、三角函数的性质，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题.

11. 若，为正实数，则的充要条件为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】BD

【解析】

【分析】

根据充要条件的定义，寻求所给不等式的等价条件，满足与等价的即可.

【详解】因为，故A选项错误；

因为，为正实数，所以，故B选项正确；

取，则，，即不成立，故C选项错误；

因为，当时，，所以在上单调递增，

即，故D正确.

故选：BD

【点睛】本题主要考查了充要条件，不等式的性质，函数的单调性，属于中档题.

12. （多选题）已知函数，函数，下列选项正确的是（    ）

A. 点是函数的零点

B. ，使

C. 函数的值域为

D. 若关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是

【答案】BC

【解析】

【分析】

根据零点的定义可判断A；利用导数判断出函数在、上的单调性性，求出各段上的值域即可判断B；利用导数求出函数的最值即可判断C；利用导数求出函数的最值即可判断D.

【详解】对于选项A，0是函数的零点，零点不是一个点，所以A错误.

对于选项B，当时，，可得，

当时，单调递减；

当时，单调递增；

所以，当时， ，

当时，，

当时，单调递减；

当时，单调递增；

图像  

所以，当时， ，综上可得，选项B正确；

对于选项C，，选项C正确.

对于选项D，关于的方程有两个不相等的实数根

关于的方程有两个不相等的实数根

关于的方程有一个非零的实数根

函数与有一个交点，且，

当时，，当变化时，，变化情况如下：

极大值，极小值，当时，

当变化时，，的变化情况如下：

极小值，

                图像

综上可得，或，

的取值范围是，D不正确.

故选：BC

【点睛】本题考查了利用导数求函数的最值，利用导数研究方程的根，考查了转化与化归的思想，属于难题.

三、填空题（每小题5分，共20分）

13. 在等差数列中，若，，则_________.

【答案】

【解析】

【分析】

根据等差数列的性质可得的值.

【详解】因为，故，

故答案为：8.

【点睛】本题考查等差数列的性质，关于等差数列的处理方法，一般有两类方法：（1）基本量法，即把问题归结为首项和公差的问题；（2）利用等差数列的性质来处理，本题属于基础题.

14. 化简：  ________.

【答案】－1

【解析】

原式)(

.故答案为

【点睛】本题的关键点有：

先切化弦，再通分；

利用辅助角公式化简；

同角互化.

15. 2020年是全面建成小康社会目标实现之年，是脱贫攻坚收官之年根据中央对“精准扶贫”的要求，某市决定派5名党员和3名医护人员到三个不同的扶贫村进行调研，要求每个扶贫村至少派党员和医护人员各1名，则所有不同的分派方案种数为________________.（用数字作答）．

【答案】900

【解析】

【分析】

由题意分两步完成：第一步：将5名党员分派到三个不同的扶贫村，按照先分组后排列最后得到150种不同分派方式，第二步，将3名医护人员分派到三个不同的扶贫村得到6种不同分派方式.最后按照分步乘法计数原理得到答案.

【详解】解：由题意分两步完成：第一步：将5名党员分派到三个不同的扶贫村，第二步，将3名医护人员分派到三个不同的扶贫村.

第一步：因为党员有5人，先分成3个组进行分派，分组情况有两种，第一种按人数是1，1，3分组有种不同情况，第二种按人数是2，2，1分组有种不同情况，再将分好的组分派到不同的扶贫村共有种不同分派方式；

第二步：将3名医护人员分派到3个不同扶贫村，共有种不同情况.

所以所有的不同分派方案有种.

故答案为：900.

【点睛】本题考查排列组合的综合应用、分步乘法计数原理、部分平均分组问题，是中档题.

16. 已知函数有两个不同的极值点，，则的取值范围是_____；若不等式有解，则的取值范围是______.

【答案】    (1).     (2).

【解析】

【分析】

根据有两个不同极值点，可得两个不相等的正实数根，根据二次函数的性质即可求解；将不等式转化为，代入方程，化简整理，即可得结果.

【详解】由题可得（），因为函数有两个不同的极值点，，所以方程有两个不相等的正实数根，

于是有解得.

若不等式有解，所以

因为

.

设，

，故在上单调递增，故，

所以，所以的取值范围是.

【点睛】本题考查导函数的实际应用，重点在于将题干中“两个不同的极值点”转化为导函数等于0时，有两个不相等的实数根，然后进行求解，计算难度偏大，属中档题.