新高考数学二轮复习8+4+4选填小题精炼 (22) (含解析)

2021届新高考“8+4+4”小题狂练（22）

一、单项选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知复数，为虚数单位，则（    ）

A.  B.

C.  D. 的虚部为

【答案】B

【解析】

【分析】

计算化简出复数，即可得出虚部，再依次求出模长，共轭复数，平方即可选出选项

【详解】由题：，

所以：，，，的虚部为.

故选：B

【点睛】此题考查复数的基本运算和基本概念的辨析，对基础知识考查比较全面，易错点在于虚数单位的平方运算和虚部的辨析.

2. 已知集合，，若，则实数的取值范围为（   ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

分别求出集合A集合B范围，根据得到A是B子集，根据范围大小得到答案.

【详解】

所以

故答案选A

【点睛】本题考查了集合的包含关系求取值范围，属于简单题.

3. 已知，且，则的值为（）

A. -7 B. 7 C. 1 D. -1

【答案】B

【解析】

【分析】

由了诱导公式得，由同角三角函数的关系可得，

再由两角和的正切公式，将代入运算即可.

【详解】解：因为，

所以，即，

又 ，

则，

解得= 7，

故选B.

【点睛】本题考查了诱导公式及两角和的正切公式，重点考查了运算能力，属中档题.

4. “”是“”的(    )

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】

根据对数不等式的性质解得，利用充分条件和必要条件的定义进行判断.

【详解】∵ln（x+1）＜00＜x+1＜1﹣1＜x＜0，

∴﹣1＜x＜0，但时，不一定有﹣1＜x＜0，如x=-3，

故“”是“”的必要不充分条件，

故选B.

【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，考查对数不等式的性质，属于基础题．

5. “总把新桃换旧符”（王安石）、“灯前小草写桃符”（陆游），春节是中华民族的传统节日，在宋代人们用写“桃符”的方式来祈福避祸，而现代人们通过贴“福”字、贴春联、挂灯笼等方式来表达对新年的美好祝愿，某商家在春节前开展商品促销活动，顾客凡购物金额满50元，则可以从“福”字、春联和灯笼这三类礼品中任意免费领取一件，若有4名顾客都领取一件礼品，则他们中有且仅有2人领取的礼品种类相同的概率是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

有4名顾客都领取一件礼品，基本事件总数n＝34＝81，他们中有且仅有2人领取的礼品种类相同包含的基本事件个数m36，则可得他们中有且仅有2人领取的礼品种类相同的概率．

【详解】从“福”字、春联和灯笼这三类礼品中任意免费领取一件，

有4名顾客都领取一件礼品，基本事件总数n＝34＝81，

他们中有且仅有2人领取的礼品种类相同包含的基本事件个数m36，

则他们中有且仅有2人领取的礼品种类相同的概率是p．

故选：B．

【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合中的分组分配等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

6. 已知、、、，从这四个数中任取一个数，使函数有极值点的概率为（    ）

A.  B.  C.  D. 1

【答案】B

【解析】

【分析】

求出函数的导数，根据函数的极值点的个数求出m的范围，通过判断a，b，c，d的范围，得到满足条件的概率值即可．

【详解】f′（x）＝x2+2mx+1，

若函数f（x）有极值点，

则f′（x）有2个不相等的实数根，

故△＝4m2﹣4＞0，解得：m＞1或m＜﹣1，

而a＝log0.55＜﹣2，0＜b＝log32＜1、c＝20.3＞1，0＜d＝（）2＜1，

满足条件的有2个，分别是a，c，

故满足条件的概率p，

故选：B．

【点睛】本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及对数、指数的性质，是一道中档题．

7. 已知定义在上奇函数，满足时，，则的值为（    ）

A. -15 B. -7 C. 3 D. 15

【答案】A

【解析】

【分析】

根据奇函数定义域关于原点中心对称,可求得的值.根据奇函数性质,即可求得的值.

【详解】因为奇函数的定义域关于原点中心对称

则,解得

因为奇函数当时,

则

故选:A

【点睛】本题考查了奇函数的定义域关于原点对称,奇函数的性质应用,属于基础题.

8. 抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线的焦点为，一条平行于轴的光线从点射出，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上的另一点射出，则的周长为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

抛物线方程中：令可得，即，

结合抛物线的光学性质，AB经过焦点F，设执行AB的方程为，

与抛物线方程联立可得：，

据此可得：，

且：，

将代入可得，故，

故,

故△ABM的周长为,

本题选择D选项.

二、多项选择题：本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.

9. 下列判断正确的是（    ）

A. 若随机变量服从正态分布，，则；

B. 已知直线平面，直线平面，则“”是“”的充分不必要条件；

C. 若随机变量服从二项分布：,则；

D. 是的充分不必要条件.

【答案】ABCD

【解析】

【分析】

由随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），则曲线关于x＝1对称，即可判断A；结合面面平行性质定理，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．可判断B；

运用二项分布的期望公式Eξ＝np，即可判断C；可根据充分必要条件的定义，注意m＝0，即可判断D．

【详解】A．已知随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），P（ξ≤4）＝0.79，则曲线关于x＝1对称，可得P（ξ＞4）＝1﹣0.79＝0.21，P（ξ≤﹣2）＝P（ξ＞4）＝0.21，故A正确；

B．若α∥β，∵直线l⊥平面α，∴直线l⊥β，∵m∥β，∴l⊥m成立．

若l⊥m，当m∥β时，则l与β的位置关系不确定，∴无法得到α∥β．

∴“α∥β”是“l⊥m”的充分不必要条件．故B对；

C．由于随机变量ξ服从二项分布：ξ～B（4，），则Eξ＝4×0.25＝1，故C对；

D．“am2>bm2”可推出“a>b”，但“a>b”推不出“am2>bm2”，比如m＝0，故D对；

故选：ABCD．

【点睛】本题考查了充分必要条件的判断，考查随机变量的二项分布的期望公式及正态分布的对称性，属于基础题．

10. 由我国引领的5G时代已经到来，5G的发展将直接带动包括运营、制造、服务在内的通信行业整体的快速发展，进而对GDP增长产生直接贡献，并通过产业间的关联效应和波及效应，间接带动国民经济各行业的发展，创造岀更多的经济增加值．如图是某单位结合近年数据，对今后几年的5G经济产出所做的预测．结合图，下列说法不正确的是（    ）

A. 5G的发展带动今后几年的总经济产出逐年增加

B. 设备制造商的经济产出前期增长较快，后期放缓

C. 设备制造商在各年的总经济产出中一直处于领先地位

D. 信息服务商与运营商的经济产出的差距有逐步拉大的趋势

【答案】C

【解析】

【分析】

由柱状图观察信息服务商逐年增长并后续2029年开始超过设备制造商GDP.

【详解】由图可知设备制造商在各年的总经济产出中在前期处于领先地位，而后期是信息服务商处于领先地位，故C项表达错误．

故选：C

【点睛】本题考查观察柱状图得出相关信息，属于基础题.

11. 关于函数，下列判断正确的是（    ）

A. 是的极大值点

B. 函数有且只有1个零点

C. 存在正实数，使得成立

D. 对任意两个正实数，且，若，则.

【答案】BD

【解析】

【分析】

根据导数解决函数的的极值，零点，不等式等问题依次讨论选项即可得答案.

【详解】解：对于A选项，函数的的定义域为，函数的导数 ，

∴时，，函数单调递减，

时，，函数单调递增，

∴是的极小值点，故A错误；

对于B选项，，

∴，

∴ 函数在上单调递减，

又∵ ，，

∴ 函数有且只有1个零点，故B正确；

对于C选项，若，可得，

令，则，

令，则，

∴在上，，函数单调递增，

上，，函数单调递减，

∴，

∴，

∴在上函数单调递减，函数无最小值，

∴不存在正实数，使得成立，故C错误；

对于D选项，由，可知，

要证，即证，且，

由函数在是单调递增函数，

所以有，

由于，所以

即证明，

令，

则，所以在是单调递减函数，

所以，即成立，

故成立，所以D正确.

综上，故正确的是BD.

故选：BD．

【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值点，零点，不等式等问题，考查数学运算能力与分析解决问题的能力，是难题.

12. 已知函数，是的导函数，则下列结论中正确的是（    ）

A. 函数的值域与的值域不相同

B. 把函数的图象向右平移个单位长度，就可以得到函数的图象

C. 函数和在区间 上都增函数

D. 若为是函数的极值点，则是函数的零点

【答案】CD

【解析】

【分析】

求导得解析式，利用辅助角公式化简整理成形式，利用函数求值域、单调性逐一判断选项即可.

【详解】，

函数的值域与的值域均为，故A错误；

函数的图象向右平移个单位长度，得，不是的图像，故B错误；

时，是单调递增函数，，是单调递增函数，故C正确；

为是函数的极值点，则，即是函数的零点，故D正确.

故选：CD.

【点睛】本题考查了三角函数的性质，属于常考题.

三、填空题：本题共4小题.

13. 若非零向量、,满足,,则与的夹角为___________.

【答案】

【解析】

【分析】

设与的夹角为，由题意得，由此求得的值，即可得到与的夹角的大小.

【详解】设与的夹角为，由题意,,，

可得，所以，

再由可得，，

故答案是.

【点睛】该题考查的是有关向量夹角的求解问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有向量垂直的条件为向量的数量积等于零，向量数量积的运算公式，向量夹角余弦公式，特殊角的是哪家函数值，正确应用公式是解题的关键.

14. 双曲线：的左、右焦点分别为、，是右支上的一点，与轴交于点，的内切圆在边上的切点为，若，则的离心率为____.

【答案】

【解析】

【分析】

根据切线长定理求出MF1﹣MF2，即可得出a，从而得出双曲线的离心率．

【详解】设△MPF2的内切圆与MF1，MF2的切点分别为A，B，

由切线长定理可知MA＝MB，PA＝PQ，BF2＝QF2，

又PF1＝PF2，

∴MF1﹣MF2＝（MA+AP+PF1）﹣（MB+BF2）＝PQ+PF2﹣QF2＝2PQ，

由双曲线的定义可知MF1﹣MF2＝2a，

故而a＝PQ，又c＝2，

∴双曲线的离心率为e．

故答案为：．

【点睛】本题主要考查双曲线的离心率，考查三角形内切圆的性质，考查切线长定理，考查学生的计算能力，利用双曲线的定义进行转化是解决本题的关键．

15. 设．

（1）当时，f（x）的最小值是_____；

（2）若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围是_____．

【答案】    (1).     (2). [0，]

【解析】

【分析】

（1）先求出分段函数的每一段的最小值，再求函数的最小值；（2）对分两种情况讨论，若a＜0，不满足条件．若a≥0，f（0）＝a2≤2，即0≤a，即得解.

【详解】（1）当时，当x≤0时，f（x）＝（x）2≥（）2，

当x＞0时，f（x）＝x22，当且仅当x＝1时取等号，

则函数的最小值为，

（2）由（1）知，当x＞0时，函数f（x）≥2，此时的最小值为2，

若a＜0，则当x＝a时，函数f（x）的最小值为f（a）＝0，此时f（0）不是最小值，不满足条件．

若a≥0，则当x≤0时，函数f（x）＝（x﹣a）2为减函数，

则当x≤0时，函数f（x）的最小值为f（0）＝a2，

要使f（0）是f（x）的最小值，则f（0）＝a2≤2，即0≤a，

即实数a的取值范围是[0，]

【点睛】本题主要考查分段函数的最值的求法，考查分段函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

16. 已知函数.若函数在上无零点，则的最小值为________.

【答案】

【解析】

【分析】

因为f（x）＜0在区间（0，）上恒成立不可能，故要使函数f（x）在（0，）上无零点，只要对任意的x∈（0，），f（x）＞0恒成立，然后利用参变量分离，利用导数研究不等式另一侧的最值即可求出a的最小值．

【详解】因为在区间上恒成立不可能，故要使函数在上无零点，只要对任意的，恒成立，即对任意的，恒成立.

令，，则，

再令，，则，

故在上为减函数，于是，

从而，于是在上为增函数，所以，

故要使恒成立，只要，

综上，若函数在上无零点，则的最小值为.

故答案为：

【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及利用导数研究函数的极值，同时考查了转化的思想和参变量分离的方法以及运算求解的能力，属于中档题．