江苏省连云港市2022-2023高二下学期期末数学试卷+答案
展开2022~2023学年第二学期期末调研考试
高二数学试题
注意事项:
1.考试时间120分钟,试卷满分150分.
2.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
3.请用2B铅笔和0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上指定区域内作答.
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.抛掷一颗质地均匀的骰子,样本空间,事件,事件,则( )
A. B. C. D.
2.设随机变量,且,则( )
A.1 B.2 C.3 D.4
3.某杂交水稻研究小组先培育出第一代杂交水稻,再由第一代培育出第二代,第二代培育出第三代,以此类推,且亲代与子代的每穗总粒数之间的关系如下表所示:
代数代码 | 1 | 2 | 3 | 4 |
总粒数 | 197 | 193 | 201 | 209 |
通过上面四组数据得到了与之间的线性回归方程是,预测第十代杂交水稻每穗的总粒数为( )
A.233 B.234 C.235 D.236
4.若一个正棱台,其上、下底面分别是边长为和的正方形,高为,则该正棱台的外接球的表面积为( )
A. B. C. D.
5.若4名学生报名参加数学、物理、计算机、航模兴趣小组,每人限报1项,则恰好航模小组没人报的方式有( )
A.18种 B.36种 C.72种 D.144种
6.已知为异面直线,平面平面,若直线,则( )
A. B.
C.与的交线与平行 D.与的交线与垂直
7.被5除所得的余数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
8.在Rt中,为斜边上异于的动点,若将沿折痕翻折,使点折至处,且二面角的大小为,则的最小值为( )
A.4 B. C. D.
二、多选题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9.已知,则( )
A.
B.
C.
D.
10.从0,1,2,3,4,5,6这7个数字中取出4个数字,则( )
A.可以组成720个无重复数字的四位数
B.可以组成300个无重复数字且为奇数的四位数
C.可以组成270个无重复数字且比3400大的四位数
D.可以组成36个无重复数字且能被25整除的四位数
11.袋内有除颜色外其它属性都相同的3个黑球和2个白球,则下列选项正确的是( )
A.有放回摸球3次,每次摸1球,则第3次摸到白球的概率是
B.有放回摸球3次,每次摸1球,则第3次才摸到白球的概率是
C.不放回摸球3次,每次摸1球,则第3次摸到白球的概率是
D.不放回摸球3次,每次摸1球,则第3次才摸到白球的概率是
12.在棱长为2的正方体中,为的中点,点在正方体的面内(含边界)移动,点为线段上的动点,设,则( )
A.当时,平面
B.为定值
C.的最小值为
D.当直线平面时,点的轨迹被以为球心,为半径的球截得长度为1
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.某厂用甲、乙两台机器生产相同的零件,它们的产量各占,而各自的产品中废品率分别为,则该厂这种零件的废品率为__________.
14.为考查某种流感疫苗的效果,某实验室随机抽取100只健康小鼠进行试验,得到如下列联表:
| 感染 | 未感染 |
注射 | 10 | 40 |
未注射 | 20 | 30 |
0.05 | 0.025 | 0.010 | |
3.841 | 5.024 | 6.635 |
则在犯错误的概率最多不超过__________的前提下,可认为“注射疫苗”与“感染流感”有关系.
参考公式:.
15.将边长为1的正方形绕旋转一周形成圆柱,如图,长为长为与在平面的同侧,则异面直线与所成角的正切值为__________.
16.如图,在杨辉三角中,斜线上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列:,记这个数列的前项和为,则的值为__________.
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)
在中,内角所对的边分别为.已知.
(1)求;
(2)若,且的面积为,求的周长.
18.(12分)
李平放学回家途经3个有红绿灯的路口,交通法规定:若在路口遇到红灯,需停车等待;若在路口没遇到红灯,则直接通过.经长期观察发现:他在第一个路口遇到红灯的概率为,在第二、第三个路口遇到红灯的概率依次增加,在三个路口都没遇到红灯的概率为,在三个路口都遇到红灯的概率为,且他在各路口是否遇到红灯相互独立.
(1)求李平放学回家途中在第三个路口首次遇到红灯的概率;
(2)记为李平放学回家途中遇到红灯的路口个数,求数学期望.
19.(12分)
已知数列的前项和为.
(1)证明:数列是等差数列;
(2)设,求数列的前项和.
20.(12分)
如图,在三棱锥中,,平面平面.
(1)求异面直线与间的距离;
(2)若点在棱上,且二面角为,求与平面所成角的正弦值.
21.(12分)
已知椭圆的离心率为,且点在椭圆上.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)斜率为正数且不过原点的直线交椭圆于两点,线段的中点为,射线交椭圆及直线分别于点和点,且.证明:直线过定点.
22.(12分)
已知函数.
(1)当为何值时,轴为曲线的切线;
(2)用表示中的最大值,设函数,试讨论函数零点的个数.
高二数学参考答案
2023.06
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求.公众号:高中试卷君
1.Β 2.D 3.A 4.A 5.B 6.C 7.C 8.A
二、多选题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9.AC 10.ABD 11.BCD 12.ABD
三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.0.0255 14.0.05 15.1 16.454
四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.解:(1)由,得
在中,在中,
(2)
由余弦定理得
的周长为.
18.解:(1)设第二、三个路口遇到红灯的概率分别为,
依题意解得或(舍去),
所以小明放学回家途中在第三个路口首次遇到红灯的概率;
(2)的可能值为,
,
,
,
,
分布列为
0 | 1 | 2 | 3 | |
.
19.解:(1)
,即
,即
是1为首项,1为公差的等差数列.
(2)由(1)知,,
所以,
由错位相减得:,
所以.
20.解:(1)法一:取中点,连接,由知,
又平面平面,平面平面,故平面
连接,则,
又因为为中点,故
面,故面
在面中,作,则由知为异面直线与间的距离
由,知
即异面直线与间的距离为.
法二:以为坐标原点,所在直线分别为轴,轴,轴,
则,
设,且,
则,令,则
又,则异面直线与间的距离为
(2)由(1)知平面,可得平面平面.
如图,在平面内作,垂足为,则平面.
在平面内作,垂足为,联结,则,
故为二面角的平面角,即.
设,则,在Rt中,.
在Rt中,由知,得.
法一:设点到平面的距离为,由,得,即,
又,
解得,则与平面所成角的正弦值为.
法二:以为坐标原点,所在直线分别为轴,轴,轴,建系如图,
则,
,
设平面的法向量为,则由,
知,令,则,
则与所成角的余弦值为,
则与平面所成角的正弦值.
21.解:(1)由,解得:椭圆.
(2)由,得,设
则,
,
由,得;由,得,
由,得,即,解得,
直线恒过定点.
22.解:(1)设曲线与轴相切于点,则,
即,解得.
(2)当时,在无零点.
当时,若,则,故是的零点;
若,则,
故不是的零点.
当时,,所以只需考虑在的零点个数.
(i)若或,则在无零点,故在单调,而,
所以当时,在有一个零点;当时,在无零点.
(ii)若,则在单调递增,在单调递减,故当时,取的最大值,最大值为.
①若,即在无零点.
②若,即,则在有唯一零点;
③若,即,由于,
所以当时,在有两个零点;
当时,在有一个零点.
综上,当或时,有一个零点;
当或时,有两个零点;
当时,有三个零点.
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