（艺术生）高考数学一轮复习讲与练：考点7 指数与指数函数 (含解析)

这是一份（艺术生）高考数学一轮复习讲与练：考点7 指数与指数函数 (含解析)，共7页。试卷主要包含了根式，分数指数幂，无理数指数幂，指数函数的图象与性质等内容，欢迎下载使用。
考点七  指数与指数函数知识梳理1．根式如果a＝xn，那么x叫做a的n次实数方根(n>1且n∈N*)，当n为奇数时，正数的n次实数方根是一个正数，负数的n次实数方根是一个负数，记为：；当n为偶数时，正数的n次实数方根有两个，它们互为相反数，记为：±.式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数.(1)两个重要公式① ＝② ()n＝a(注意a必须使有意义)．(2)0的任何次方根都是0．(3)负数没有偶次方根．2．分数指数幂(1)分数指数幂的概念：①正分数指数幂：a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)．②负分数指数幂：a＝＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)．③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．(2)有理数指数幂的性质：①aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)；②(ar)s＝ar s(a>0，r，s∈Q)；③(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．3．无理数指数幂一般地，无理数指数幂ar(a>0，r是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．4．指数函数的图象与性质y＝axa>10<a<1图象定义域R值域(0，＋∞)性质过点(0,1)，即x＝0时y＝1当x>0时，y>1；当x<0时，0<y<1当x>0时，0<y<1；当x<0时，y>1是R上的增函数是R上的减函数典例剖析题型一  指数幂的化简与求值例1　 的值是　    　．答案  －3解析  　.变式训练  下列各式正确的是　    　．(填序号)①     　　 ②              ④a0＝1答案  解析　根据根式的性质可知正确．，a＝1条件为(a≠0)，故①、②、④错．例2  化简或求值(1)(2) 解析　(1)原式=  =.  (2)原式＝＝a·b＝.解题要点  指数幂运算的一般原则(1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算．(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．(3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数．(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．题型二  指数函数的图象和性质例3　函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是　   ．(填序号)①     a>1，b<0    ② a>1，b>0    ③ 0<a<1，b>0      ④ 0<a<1，b<0答案　④解析  由f(x)＝ax－b的图象可以观察出函数f(x)＝ax－b在定义域上单调递减，所以0<a<1.函数f(x)＝ax－b的图象是在f(x)＝ax的基础上向左平移得到的，所以b<0.变式训练  指数函数y=恒过的定点为　     　．答案　(，2)解析  由函数y=ax恒过(0，1)点,可得当3x－2=0，即时，y=2恒成立,故函数恒过点(，2).故答案为：(，2)． 题型三  指数值的大小比较例4　设，则y1、y2、y3 的大小关系是　    　．答案　y1＞y3＞y2解析  ．因为函数y=2x在定义域上为单调递增函数，所以y1＞y3＞y2．变式训练  若，则x的取值范围是　    　．答案　(－∞，－3)解析  原不等式可化为，而指数函数y=是定义在R上的减函数,所以x＜－3.解题要点  比较大小时，首先要观察有无同底或是同指数的，①若指数相同，底数不同，则利用幂函数的单调性；②若底数相同，指数不同，则利用指数函数的单调性；③若底数不同，指数也不同，应寻找中间值(常用0，1)进行比较.当堂练习1．的大小关系是________．答案　解析　函数是减函数，由，知；又，由函数的性质，知，故；所以.2．函数y＝ax－3＋3恒过定点________．答案  (3，4)解析  当x＝3时，f(3)＝a3－3＋3＝4，所以f(x)必过定点(3，4)．3. 已知f(x)＝3x－b(2≤x≤4，b为常数)的图象经过点(2,1)，则f(x)的值域　    　．答案  [1,9]解析  由f(x)过定点(2,1)可知b＝2，因f(x)＝3x－2在[2,4]上是增函数，f(x)min＝f(2)＝1，f(x)max＝f(4)＝9.4．化简的结果是　    　．答案  解析  5．若指数函数y=(a－2)x在(－∞，+∞)上是减函数，那么解得　    　．答案  A解析  ∵指数函数y=(a－2)x在(－∞，+∞)上是减函数，∴0＜a－2＜1，解得2＜a＜3．课后作业一、    填空题1.设集合A＝{x||x－1|＜2}，B＝{y|y＝2x，x∈[0，2]}，则A∩B＝　    　．答案　[1，3)解析　由|x－1|<2，解得－1<x<3，由y＝2x，x∈[0,2]，解得1≤y≤4，∴A∩B＝(－1,3)∩[1,4]＝[1,3)．2．若a＝，b＝，c＝，则a、b、c的大小关系是　   　    　．答案  c<b<a解析  由y＝x在R上单调递减，知<，而<1<，所以<<.即c<b<a.3．的值为　    　．答案  0解析  .4．的值是　    　    　．答案　0或2(a－b)解析  当a－b≥0时，原式＝a－b＋a－b＝2(a－b)；当a－b<0时，原式＝b－a＋a－b＝0.5．设a＝40.7，b＝0.30.5，c＝log23，则a、b、c的大小关系是　   　    　．答案  b<c<a解析  a＝40.7>4＝2,0<b＝0.30.5<1,1<c＝log23<2，所以b<c<a .6．函数f(x)＝＋的定义域为　    　．答案  (－3,0]解析  若使函数有意义，则，解得－3<x≤0.7．已知f(x)＝2x＋2－x，若f(a)＝3，则f(2a)等于　    　．答案  7解析  由f(a)＝3得2a＋2－a＝3，两边平方得22a＋2－2a＋2＝9，即22a＋2－2a＝7， f(2a)＝7.8．如果指数函数y=(a2)x在x∈R上是减函数，则a的取值范围是　    　．答案  (2，3)解析  因为指数函数y=(a2)x在x∈R上是减函数，所以有0＜a2＜1，解得2＜a＜3，即a的取值范围为(2，3)．9．函数y=ax－1+1过定点　    　．答案  (1，2)解析  ∵函数f(x)=ax过定点(0，1)，∴当x－1=0时，x=1，∴此时y=ax－1+1=1+1=2，故y=ax－1+1过定点(1，2)．故答案为：(1，2)．10．函数的定义域是________．答案  (－∞，0]解析  由题意得()x－1≥0，即()x≥1，x≤0.11．计算：2××＝________.答案  6解析  原式＝2×3×()×12＝2×3×3×2×3×2＝2×3×2＝6.二、解答题12．计算下列各式的值(1)×＋80.25×＋(×)6－；(2) .解析  (1) 原式＝×1＋×＋(×)6－＝2＋4×27＝110；(2)原式                                               .13．函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大，求a的值．解析  当a>1时，f(x)＝ax为增函数，在x∈[1,2]上，f(x)最大＝f(2)＝a2，f(x)最小＝f(1)＝a.∴a2－a＝.即a(2a－3)＝0.∴a＝0(舍)或a＝>1.∴a＝.当0<a<1时，f(x)＝ax为减函数，在x∈[1,2]上，f(x)最大＝f(1)＝a，f(x)最小＝f(2)＝a2.∴a－a2＝.∴a(2a－1)＝0，∴a＝0(舍)或a＝.∴a＝.综上可知，a＝或a＝.