（艺术生）高考数学一轮复习讲与练：考点21 不等关系与不等式 (含解析)

这是一份（艺术生）高考数学一轮复习讲与练：考点21 不等关系与不等式 (含解析)，共8页。试卷主要包含了不等式，同向不等式，实数比较大小的两大法则，不等式的基本性质，不等式的倒数性质，若a，b∈R，下列命题中，现给出三个不等式等内容，欢迎下载使用。

考点二十一 不等关系与不等式
知识梳理
1．不等式
在现实世界和日常生活中，既有相等关系，又存在着形形色色的不等关系，它们都是客观存在的基本数量关系，是数学研究的重要内容．在数学中，我们用不等式表示不等关系．
不等式的定义：用数学符号“≠”、“＞”、“＜”、“≥”、“≤”连接两个实数或代数式，以表示它们之间的不等关系．含有这些不等号的式子，叫做不等式．
注意：“a≥b”是指“a＞b或a=b”，等价说法是“a不小于b”，对于“a≥b”而言，只要a＞b 和a=b中有一个成立，a≥b就成立，例如：3≥2,2≥2等都是真命题．同理，“a≤b”是指“a＜b或a=b”，等价说法是“a不大于b”，只要a＜b和a=b中只要有一个成立，a≤b就成立．
2．同向不等式
我们把a＞b和c＞d(或a＜b和c＜d)这类不等号方向相同的不等式，叫做同向不等式．
3．实数比较大小的两大法则：作差比较和作商比较法
关系
法则
作差比较
作商比较
a＞b
a－b＞0
＞1(a，b＞0)或＜1(a，b＜0)
a＝b
a－b＝0
＝1(b≠0)
a＜b
a－b＜0
＜1(a，b＞0)或＞1(a，b＜0)
注意：作商比较时要分清所研究变两个变量的正负，然后根据“若＞1，b＞0，则a＞b；若＞1，b＜0则a＜b)”的原则进行判断．
4．不等式的基本性质
(1)对称性：a＞b⇔b＜a.
(2)传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c.
(3)可加性：a＞b⇒a＋c＞b＋c.
(4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc.
(5)加法法则：a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d.
(6)乘法法则：a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd.
(7)乘方法则：a＞b＞0⇒an＞bn(n∈N，n≥2)．
(8)开方法则：a＞b＞0⇒＞(n∈N，n≥2)．
5．不等式的倒数性质
(1)a＞b，ab＞0⇒＜.
(2)a＜0＜b⇒＜.
(3)a＞b＞0,0＜c＜d⇒＞.
注意：(1)在应用传递性时，注意等号是否传递下去，如果两个不等式中有一个带等号而另一个不带等号，那么等号是传递不过去的．如a≤b，b＜c⇒a＜c；
(2)在乘法法则中，要特别注意“乘数c的符号”，例如当c≠0时，有a＞b⇒ac2＞bc2；若无c≠0这个条件，a＞b⇒ac2＞bc2就是错误结论(当c＝0时，取“＝”)．
典例剖析
题型一 不等关系
例1　某汽车公司因发展需要需购进一批汽车，计划使用不超过1 000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的A型汽车和B型汽车，根据需要，A型汽车至少买5辆，B型汽车至少买6辆，写出满足上述所有不等关系的不等式．
解析 设购买A型汽车和B型汽车分别为x辆、y辆，
则即
变式训练 某校对高一美术生划定录取分数线，专业成绩x不低于95分，文化课总分y高于380分，体育成绩z超过45分，用不等式(组)表示就是__________．(填序号)
① 　② ③ ④
答案 ④
解析 ∵x不低于95分，∴ x≥95.
∵y是高于380分，∴y>380.
∵z超过45分．∴z>45.
解题要点 解题时关键是要弄懂“不超过”、“至少”、“不低于”、“超过”这些文字语言，它们与不等号的对应关系如下表：

文字语言
不超过，至多，小于等于
不低于，至少，大于等于
超过，大于，高于
少于，小于，低于
不等号
≤
≥
＞
＜
题型二 比较大小
例2　比较下列各组中两个代数式的大小：
(1)x2＋3与3x；
(2) 与.
解析　(1)(x2＋3)－3x＝x2－3x＋3＝(x－)2＋≥＞0，∴x2＋3＞3x.
(2) ∵－＝＝－ ≤0，
∴≤.
变式训练 已知x<1，试比较x3－1与2x2－2x的大小．
解析　(x3－1)－(2x2－2x)
＝(x－1)(x2＋x＋1)－2x(x－1)
＝(x－1)(x2－x＋1)＝(x－1)[(x－)2＋]，
∵x<1，∴x－1<0.又(x－)2＋>0，
∴(x－1)[(x－)2＋]<0，∴x3－1<2x2－2x.
解题要点 “作差比较法”的一般步骤为:
(1)作差：对要比较大小的两个式子作差；
(2)变形：对差式通过通分、因式分解、配方等手段进行变形；
(3)判断符号：对变形后的结果结合题设条件判断出差的符号；
(4)作出结论．
题型三 不等式的性质
例3　(2014·四川)若a>b>0，c ① > ②< ③> ④<
答案　④
解析　方法一：令a＝3，b＝2，c＝－3，d＝－2，则＝－1，＝－1，
所以①，②错误；＝－，＝－，所以<，所以③错误．故选④.
方法二：因为c－d>0，所以>>0.
又a>b>0，所以>，所以<.故选④.
变式训练 设a，b是非零实数，若a ① a2 答案　③
解析　当a<0时，a2 因为ab2－a2b＝ab(b－a)，b－a>0，ab符号不确定，
所以ab2与a2b的大小不能确定，故②错．
因为－＝<0，
所以<，故③正确．
④项中与的大小不能确定．
解题要点 在利用不等式的性质比较不等式时，如果可以赋值，就用赋值法，这样可使问题快速得解；如果赋值不能排除，则应通过推理判断，结合不等式的性质作出判断.
题型三 不等式的性质的应用
例4　设α∈，β∈，那么2α－的取值范围是__________．
答案　
解析 由题设得0＜2α＜π，0≤≤，∴－≤－≤0，∴－＜2α－＜π.
变式训练 若α，β满足则α＋3β的取值范围为________．
答案　 [1，7]
解析 设α＋3β＝x(α＋β)＋y(α＋2β)＝(x＋y)α＋(x＋2y)β.
则解得
∵－1≤－(α＋β)≤1，2≤2(α＋2β)≤6，
两式相加，得1≤α＋3β≤7.
∴α＋3β的取值范围是[1，7]．
解题要点 在利用同向不等式相加求解表达式范围时，一般可用待定系数法.注意，如果多次利用不等式有可能扩大变量取值范围．
当堂练习
1．若a、b为实数，则“0 答案 既不充分也不必要
解析 若0，反之，若b<，当a<0时，ab>1.故为既不充分也不必要条件.
2．已知a<0，－1 ① a>ab>ab2　　　② ab2>ab>a ③ ab>a>ab2　　　④ ab>ab2>a
答案 ④
解析 ∵a<0，－10，ab－ab2＝ab(1－b)>0.
∴ab>ab2>a.
也可利用特殊值法，取a＝－2，b＝－，则ab2＝－，ab＝1，从而ab>ab2>a.
故应选④.
3. 设a，b，c∈R，且a＞b，则__________．(填序号)
① ac＞bc　　　　② ＜ ③ a2＞b2 ④ a3＞b3
答案 ④
解析 ①项中，若c小于等于0则不成立；②项中，若a为正数b为负数则不成立；③项中，若a，b均为负数则不成立．故选④.
4．若角α，β满足－<α<β<π，则α－β的取值范围是__________．
答案 (－，0)
解析 ∵－<α<β<π，
∴－<α<π，－π<－β<，
∴－<α－β<，
又α－β<0，
∴－<α－β<0.
5．若a、b∈R，则下列不等式：
①a2＋3＞2a；②a2＋b2≥2(a－b－1)；③a5＋b5＞a3b2＋a2b3；④a＋≥2中一定成立的是__________．(填序号)
答案 ①②
解析 ①a2－2a＋3＝(a－1)2＋2＞0；
②a2＋b2－2a＋2b＋2＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0；
③a5－a3b2＋b5－a2b3＝a3(a2－b2)＋b3(b2－a2)＝(a2－b2)(a3－b3)＝(a＋b)(a－b)2(a2＋ab＋b2)，
若a＝b，则上式＝0，不成立；
④若a＜0，则a＋＜0.
∴①②一定成立.
课后作业
一、 填空题
1．设a，b∈R，若b－|a|>0，则下列不等式中正确的是__________．(填序号)
①a－b>0　 　　② a＋b>0 ③ a2－b2>0　 　④ a3＋b3<0
答案 ②
解析 由b>|a|，可得－b0，所以选项②正确．由b>|a|，两边平方得b2>a2，则a2－b2<0，所以选项③错误，由－b0，所以选项④错误.
2．设a ①> ②> ③|a|>－b ④>
答案 ②
解析 由题设得a不成立．
3．若a＞b＞0，则下列不等式中一定成立的是__________．(填序号)
①a＋＞b＋ ②＞ ③a－＞b－ ④＞
答案 ①
解析 ∵a＞b＞0，∴＞＞0，∴a＋＞b＋，选①项．
4．设a，b∈R，则“(a－b)·a2<0”是“a 答案 充分而不必要
解析 若(a－b)·a2<0，则a≠0，且a 5．若a、b、c为实数，则下列命题正确的是__________．(填序号)
①若a＞b，c＞d，则ac＞bd ②若a＜b＜0，则a2＞ab＞b2
③若a＜b＜0，则＜ ④若a＜b＜0，则＞
答案 ②
解析 对于①，只有当a＞b＞0，c＞d＞0时，不等式才成立；③中由a＜b＜0，得＞，故③不正确，又－＝＝，又a＜b＜0，∴＜0，∴＜，故④不正确；对于②，∵a＜b＜0，∴a2＞ab＞b2，故选②.
6．若a，b∈R，下列命题中
①若|a|＞b，则a2＞b2； ②若a2＞b2，则|a|＞b；
③若a＞|b|，则a2＞b2； ④若a2＞b2，则a＞|b|.
其中正确的是__________．(填序号)
答案　②和③
解析　条件|a|＞b，不能保证b是正数，条件a＞|b|可保证a是正数，
故①不正确，③正确．
a2＞b2⇒|a|＞|b|≥b，故②正确，④不正确．
7．已知a，b，c满足c＜b＜a且ac＜0，则下列选项中不一定能成立的是__________．(填序号)
①＜ ②＞0 ③＜ ④＜0
答案 ③
解析 ∵c＜b＜a，且ac＜0，∴c＜0，a＞0，∴＜，＞0，＜0，但b2与a2的关系不确定，故＜不一定成立．选③项．
8．若a，b，c∈R，a>b，则下列不等式成立的是__________．(填序号)
①a2>b2　 　 ②a|c|>b|c| ③< ④>
答案　④
解析　方法一：(特殊值法)
令a＝1，b＝－2，c＝0，代入①，②，③，④中，可知①，②，③均错，故选④.
方法二：(直接法)
∵a>b，c2＋1>0，∴>，故选④.
9．若a>b>c，则与的大小关系为________．
答案 <
解析 ∵a>b>c，∴a－c>b－c>0，∴<.
10．现给出三个不等式：①a2＋1>2a；②a2＋b2>2a－b－；③＋>＋.其中恒成立的不等式共有________个．
答案 2
解析 ①∵a2＋1－2a＝(a－1)2≥0，故①不恒成立；
②a2＋b2－2a＋2b＋3＝(a－1)2＋(b＋1)2＋1>0，
∴a2＋b2>2a－b－恒成立;
③∵(＋)2＝17＋2，(＋)2＝17＋2，
又∵>，
∴17＋2>17＋2，
∴＋>＋，成立．
11．若x＞y，a＞b，则在 ①a－x＞b－y，②a＋x＞b＋y，③ax＞by，④x－b＞y－a，⑤＞这五个式子中，恒成立的不等式的序号是__________．(写出所有恒成立的不等式的序号)．
答案 ②④
解析 令x＝－2，y＝－3，a＝3，b＝2，
符合题设条件x＞y，a＞b，
∵a－x＝3－(－2)＝5，b－y＝2－(－3)＝5，
∴a－x＝b－y，因此①不成立．
又∵ax＝－6，by＝－6，
∴ax＝by，因此③也不正确．
又∵＝＝－1，＝＝－1，
∴＝，因此⑤不正确．
由不等式的性质可推 出②④成立．
二、解答题
12．已知某学生共有10元钱，打算购买单价分别为0.6元和 0.7元的铅笔和练习本，根据需要，铅笔至少买7枝，练习本至少买6本．写出满足条件的不等式．
解析 设铅笔买x枝，练习本买y本(x，y∈N*)，总钱数为
0.6x＋0.7y，且不大于10，∴
13．设x＝(a＋3)(a－5)，y＝(a＋2)(a－4)，试比较x与y的大小．
解析 ∵x－y＝a2＋3a－5a－15－a2－2a＋4a＋8＝－7<0，∴x