（艺术生）高考数学一轮复习讲与练：考点30 数列前n项和与数列的通项 (含解析)

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考点三十 数列前n项和与数列的通项
知识梳理
1．数列{an}的前n项和Sn
Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an
2．数列的通项an与前n项和Sn的关系
an＝
3．已知数列的前n项和Sn，求an的方法
(1)第一步，令n=1,求出a1＝S1；
(2)第二步，当n≥2时，求an＝Sn－Sn－1；
(3)第三步，检验a1是否满足n≥2时得出的an，如果适合，则将an用一个式子表示；若不适合，将an用分段形式写出。
4．已知an与Sn的关系式，求an的方法
(1)第一步，令n=1,求出a1＝S1；
(2)第二步，当n≥2时，根据已有an与Sn的关系式，令n＝n＋1(或n＝n－1)，再写出一个an+1与Sn+1(或an－1与Sn－1)的关系式，然后两式相减，利用公式an＝Sn－Sn－1消去Sn，得出an与an+1(或an与an－1)的关系式，从而确定数列{an}是等差数列、等比数列或其他数列，然后求出通项公式。
5．根据an与an+1(或an与an－1)的递推关系求通项公式
当出现an＝an－1＋m时，构造等差数列；
当出现an＝xan－1＋y时，构造等比数列；
当出现an＝an－1＋f(n)时，用累加法求解；
当出现＝f(n)时，用累乘法求解．
典例剖析
题型一 已知数列的前n项和Sn求an
例1　已知下面数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n，求{an}的通项公式
解析 a1＝S1＝2－3＝－1，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5，
由于a1也适合此等式，∴an＝4n－5.
变式训练 已知数列{an}的前n项和Sn＝3n2－2n＋1，则其通项公式为________________．
答案　an＝
解析　当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2×1＋1＝2；
当n≥2时，
an＝Sn－Sn－1＝3n2－2n＋1－[3(n－1)2－2(n－1)＋1]
＝6n－5，显然当n＝1时，不满足上式．
故数列的通项公式为an＝
解题要点 数列的通项an与前n项和Sn的关系是an＝当n＝1时，a1若适合Sn－Sn－1，则n＝1的情况可并入n≥2时的通项an；当n＝1时，a1若不适合Sn－Sn－1，则用分段函数的形式表示．
题型二 已知an与Sn的关系式求an
例2　(2013·课标全国Ⅰ)若数列{an}的前n项和Sn＝an＋，则{an}的通项公式是an＝________.
答案　(－2)n－1
解析　当n＝1时，a1＝1；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝an－an－1，故＝－2，故an＝(－2)n－1.
当n＝1时，也符合an＝(－2)n－1.
综上，an＝(－2)n－1.
变式训练 已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＝2an＋1，求{an}的通项公式
解析　当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an＋1－2an，
∴＝，又由S1＝2a2，得a2＝，且＝ ≠
∴{an}是从第2项开始的等比数列，当n≥2时，an＝
∴an＝
解题要点 已知an与Sn的关系式求an时，需要分析所推出的递推式是对n∈N+成立，还是对n≥2时成立。对于求出的an也需进行检验，看a1是否符合n≥2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n＝1与n≥2两段来写．
题型三 利用递推式求an
例3　(1)设数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋n＋1，则通项an＝________.
(2)数列{an}中，a1＝1，an＋1＝3an＋2，则它的一个通项公式为an＝________.
答案　(1)＋1　(2)2×3n－1－1
解析　(1)由题意得，当n≥2时，
an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)
＝2＋(2＋3＋…＋n)＝2＋＝＋1.
又a1＝2＝＋1，符合上式，
因此an＝＋1.
(2)方法一　(待定系数法)
设an＋1＋＝3(an＋)，展开得an＋1＝3an＋2，
与an＋1＝3an＋2比较可知：2，
∴an＋1＋1＝3(an＋1)，即＝3，因为a1＝1，
所以数列{an＋1}为以a1＋1＝2为首项，3为公比的等比数列，
所以an＋1＋1＝2×3n，即an＋1＝2×3n－1(n≥1)，
所以an＝2×3n－1－1(n≥2)，
又a1＝1也满足上式，
故数列{an}的一个通项公式为an＝2×3n－1－1.
方法二　(迭代法)
an＋1＝3an＋2，
即an＋1＋1＝3(an＋1)＝32(an－1＋1)＝33(an－2＋1)＝…＝3n(a1＋1)＝2×3n(n≥1)，
所以an＝2×3n－1－1(n≥2)，
又a1＝1也满足上式，
故数列{an}的一个通项公式为an＝2×3n－1－1.
变式训练 已知数列{an}中，a1＝1，若an＝2an－1＋1(n≥2)，则a5的值是________.
答案　31
解析　由题意得a2＝2a1＋1＝3，a3＝2×3＋1＝7，a4＝2×7＋1＝15，a5＝2×15＋1＝31.
解题要点 形如an＋1＝pan＋q(p,q为常数)这类递推数列称为一阶线性递推数列，求解的基本策略是待定系数法，即假设an＋1＋＝p(an＋)，展开与原式an＋1＝pan＋q比较系数后求出参数，然后再转化为等差数列或等比数列求通项。

当堂练习
1．(2015湖南理)设Sn为等比数列{an}的前n项和，若a1＝1，且3S1，2S2，S3成等差数列，则an＝________.
答案　3n－1
解析　由3S1，2S2，S3成等差数列知，4S2＝3S1＋S3，可得a3＝3a2，∴公比q＝3，故等比数列通项an＝a1qn－1＝3n－1.
2．已知数列满足a1＝1，an＋1＝2an＋3(n∈N*)，则a11等于________.
答案 212－3
解析 ∵an＋1＝2an＋3，∴an＋1＋3＝2(an＋3)，
∴是公比为2的等比数列，∴an＋3＝(a1＋3)·2n－1＝2n＋1，
∴an＝2n＋1－3，∴a11＝212－3.
3. 如果数列{an}的前n项和Sn＝an－3，那么这个数列的通项公式是________.
答案 an＝2·3n
4．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＝2an＋1，则Sn＝________.
答案　()n－1
解析　当n＝1时，S1＝2a2，又因S1＝a1＝1，
所以a2＝，S2＝1＋＝．
5．设数列{an}的前n项和Sn＝n2，则a8的值为________.
答案　15
解析　a1＝S1＝1，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1(n≥2)．a8＝2×8－1＝15．
课后作业
一、 填空题
1．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－2，则a2等于________.
答案 4
解析 ∵Sn＝2an－2，∴S1＝a1＝2a1－2.
即a1＝2，又S2＝a1＋a2＝2a2－2，∴a2＝4.
2．已知数列{an}中a1＝1，an＝an－1＋1(n≥2)，则an＝________.
答案　2－()n－1
解析　设an＋c＝(an－1＋c)，易得c＝－2，所以an－2＝(a1－2)()n－1＝－()n－1．
3．数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，an＋1＝3Sn(n≥1)，则a6＝________.
答案 3×44
解析 ∵an＋1＝Sn＋1－Sn，n∈N*，∴3Sn＝Sn＋1－Sn，则Sn＋1＝4Sn，又S1＝a1＝1，
∴数列{Sn}是公比为4的等比数列，∴Sn＝1·4n－1＝4n－1，从而a6＝S6－S5＝45－44＝3×44.
4．若数列{an}的前n项和为Sn＝an－3，则这个数列的通项公式an＝________.
答案　2·3n
解析　an＝Sn－Sn－1．
5．数列{an}满足a1＝2，an＝，其前n项积为Tn，则T2 014＝________.
答案 －6
解析 由an＝得an＋1＝，而a1＝2，所以a2＝－3，a3＝－，a4＝，a5＝2，则数列是以4为周期，且a1a2a3a4＝1，所以T2 014＝1503×2×(－3)＝－6．
6．在数列{an}中，a1＝1，当n≥2时，有an＝3an－1＋2，则an＝________.
答案　2·3n－1－1
解析　设an＋t＝3(an－1＋t)，则an＝3an－1＋2t.
∴t＝1，于是an＋1＝3(an－1＋1)．∴{an＋1}是以a1＋1＝2为首项，以3为公比的等比数列．
∴an＝2·3n－1－1.
7．若数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2nan，则数列{an}的通项公式an＝________.
答案　
解析　由于＝2n，故＝21，＝22，…，＝2n－1，将这n－1个等式叠乘，得
＝21＋2＋…＋(n－1)＝，故an＝.
8．已知{an}满足a1＝1，且an＋1＝(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为________．
答案　an＝
解析　由已知，可得当n≥1时，an＋1＝.
两边取倒数，得＝＝＋3.
即－＝3，所以{}是一个首项为＝1，公差为3的等差数列．
则其通项公式为＝＋(n－1)×d＝1＋(n－1)×3＝3n－2.
所以数列{an}的通项公式为an＝.
9．若数列{an}的前n项和Sn＝an＋，则{an}的通项公式是an＝________.
答案 (－2)n－1
解析 ∵Sn＝an＋，①∴当n≥2时，Sn－1＝an－1＋.②
①－②，得an＝an－an－1，即＝－2.
∵a1＝S1＝a1＋，∴a1＝1.
∴{an}是以1为首项，－2为公比的等比数列，an＝(－2)n－1.
10．在数列{an}中，a1＝1，an＋1－an＝2n＋1，则数列的通项an＝________.
答案 n2
解析 ∵an＋1－an＝2n＋1.
∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1)＋a1＝(2n－1)＋(2n－3)＋…＋5＋3＋1＝n2(n≥2)．当n＝1时，也适用an＝n2.
11．已知数列{an}中，a1＝，an＋1＝1－(n≥2)，则a16＝________.
答案
解析 由题意知a2＝1－＝－1，a3＝1－＝2，a4＝1－＝，∴此数列是以3为周期的周期数列，a16＝a3×5＋1＝a1＝.
二、解答题
12．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1(n∈N*)．
(1)求证：数列{an＋1}是等比数列，并写出数列{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}满足···…·＝(an＋1)n，求数列{bn}的前n项和Sn.
解析 (1)证明：∵an＋1＝2an＋1，
∴an＋1＋1＝2(an＋1)，又a1＝1，
∴a1＋1＝2≠0，an＋1≠0，
∴＝2，
∴数列{an＋1}是首项为2，公比为2的等比数列．
∴an＋1＝2n，可得an＝2n－1.
(2)解：∵···…·＝(an＋1)n，
∴，
∴2(b1＋b2＋b3＋…＋bn)－2n＝n2，
即2(b1＋b2＋b3＋…＋bn)＝n2＋2n，
∴Sn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝n2＋n.
13．设数列{an}的前n项和为Sn，其中an≠0，a1为常数，且－a1，Sn，an＋1成等差数列．求{an}的通项公式；
解析 依题意，得2Sn＝an＋1－a1.
当n≥2时，有两式相减，得an＋1＝3an(n≥2)．
又因为a2＝2S1＋a1＝3a1，an≠0，
所以数列{an}是首项为a1，公比为3的等比数列．
因此，an＝a1·3n－1(n∈N*)．