（艺术生）高考数学一轮复习讲与练：考点34 空间直线、平面平行的判定及其性质 (含解析)

考点三十四  空间直线、平面平行的判定及其性质

知识梳理

1．直线与平面平行的定义

直线与平面没有公共点，叫做直线与平面平行．

2．平面与平面平行的定义

如果两个平面没有公共点，叫做两个平面平行．

3．直线与平面平行

判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行．简称：线线平行，则线面平行．

符号语言：错误！未指定书签。⇒a∥α.

性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行．简称：线面平行，则线线平行．

符号语言：错误！未指定书签。⇒a∥b.

4．平面与平面平行

判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行．简称：线面平行，则面面平行．

符号语言：⇒α∥β.

性质定理：自然语言：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．简称：面面平行，则线线平行．

符号语言：⇒ a∥b.

5．平行问题的转化关系

典例剖析

题型一  平行关系命题判定问题

例1　空间中，下列命题正确的是________(填序号)

①     若a∥α，b∥a，则b∥α

②     若a∥α，b∥α，a⊂β，b⊂β，则β∥α

③     若α∥β，b∥α，则b∥β

④     若α∥β，a⊂α，则a∥β

答案　④

解析　对于①，b可以在α内，①错；对于②，当a，b相交时才能有β∥α，②错；对于③，b可能在β内，③错；由面面平行的性质知，④正确．

变式训练  对于平面α和共面的直线m，n，下列命题是真命题的是________(填序号)

①                                                                                                                                                       若m，n与α所成的角相等，则m∥n

②                                                                                                                                                       若m∥α，n∥α，则m∥n

③                                                                                                                                                       若m⊥α，m⊥n，则n∥α

④                                                                                                                                                       若m⊂α，n∥α，则m∥n

答案  ④

解析  由m⊂α，n∥α可知m与n不相交，又m与n共面，故m∥n.

解题要点  解决这类命题判定问题，一是对平行的判定定理、性质定理准确记忆并理解，二是可以借助图形分析．在作图时，一般是先作出平面，然后借助平面来考察其他的位置关系．

题型二  线面平行的判定和性质

例2　如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，E、F分别为PC、BD的中点．

求证：EF∥平面PAD.

解析　证明：连接AC，AC∩BD＝F.

∵ABCD为正方形，F为AC中点，E为PC中点，

∴在△CPA中，EF∥PA.

而PA⊂平面PAD，EF⊄平面PAD.

∴EF∥平面PAD.

变式训练  在空间四边形ABCD中，E、F分别为AB、AD上的点，且AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4，又H、G分别为BC、CD的中点，则________(填序号)

①                                                                                                                                                       BD∥平面EFG，且四边形EFGH是平行四边形

②                                                                                                                                                       EF∥平面BCD，且四边形EFGH是梯形

③                                                                                                                                                       HG∥平面ABD，且四边形EFGH是平行四边形

④                                                                                                                                                       EH∥平面ADC，且四边形EFGH是梯形

答案　②

解析　如图，由题意，EF∥BD，且EF＝BD.HG∥BD，且HG＝BD.

∴EF∥HG，且EF≠HG.∴四边形EFGH是梯形．

又EF∥平面BCD，而EH与平面ADC不平行．故选②.

解题要点  对平行问题，应善于根据题意进行转化，要证线面平行，则一般需寻找线线平行。判断或证明线面平行的常用方法：(1)利用线面平行的定义(无公共点)；(2)利用线面平行的判定定理(a⊂α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)；(3)利用面面平行的性质定理(α∥β，a⊂α⇒a∥β)；(4)利用面面平行的性质(α∥β，a⊂β，a∥α⇒a∥β)．

题型三  面面平行的判定和性质

例3　如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E、F、G分别是BC、DC、SC的中点，求证：

 (1)直线EG∥平面BDD1B1；

(2)平面EFG∥平面BDD1B1.

证明　(1)如图，连接SB，∵E、G分别是BC、SC的中点，∴EG∥SB.

又∵SB平面BDD1B1，EG平面BDD1B1，∴直线EG∥平面BDD1B1.

(2)连接SD，

∵F、G分别是DC、SC的中点，∴FG∥SD.

又∵SD平面BDD1B1，FG⊂平面BDD1B1，

∴FG∥平面BDD1B1，由(1)知，

EG∥平面BDD1B1，且EG平面EFG，

FG平面EFG，EG∩FG＝G，

∴平面EFG∥平面BDD1B1.

变式训练  如图所示，在直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，底面是正方形，E，F，G分别是棱B1B，D1D，DA的中点．求证：平面AD1E∥平面BGF.

解析　∵E，F分别是B1B和D1D的中点，∴D1F綊BE，

∴四边形BED1F是平行四边形，∴D1E∥BF.

又∵D1E⊄平面BGF，BF⊂平面BGF，∴D1E∥平面BGF.

∵FG是△DAD1的中位线，∴FG∥AD1.

又AD1⊄平面BGF，FG⊂平面BGF，∴AD1∥平面BGF.

又∵AD1∩D1E＝D1，∴平面AD1E∥平面BGF.

解题要点  证明面面平行同样需要在“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”间相互转化．一般来说，证明面面平行的常见方法是：①面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；②利用垂直于同一条直线的两个平面平行；③两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行．