（艺术生）高考数学一轮复习讲与练：考点38 两条直线的位置关系 (含解析)

这是一份（艺术生）高考数学一轮复习讲与练：考点38 两条直线的位置关系 (含解析)，共7页。试卷主要包含了两直线平行、垂直与斜率的关系等内容，欢迎下载使用。
考点三十八  两条直线的位置关系知识梳理1．两直线平行、垂直与斜率的关系条件两直线位置关系斜率的关系两条不重合的直线l1，l2，斜率分别为k1， k2平行k1＝k2k1与k2都不存在垂直k1k2＝－1k1与k2一个为零、另一个不存在说明：利用斜率判定平行应先判定两直线的斜率是否存在，若存在，可先化成斜截式，若k1＝k2，且b1≠b2，则两直线平行；若斜率都不存在，还要判定是否重合．2．利用一般式方程系数判断平行与垂直设直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1≠0.l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.3．利用平行的直线系和垂直的直线系解题设直线Ax＋By＋C＝0，则与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程可设为Ax＋By＋m＝0；与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋n＝0.典例剖析题型一  两直线平行与垂直的判定例1　“a＝2”是“直线(a2－a)x＋y＝0和直线2x＋y＋1＝0互相平行”的________条件答案　充分不必要解析  当a＝2时，两直线平行；但两直线平行时，a＝2或者a＝－1.故“a＝2”是“直线(a2－a)x＋y＝0和直线2x＋y＋1＝0互相平行”的充分不必要条件．变式训练  已知直线l1：x＋(a－2)y－2＝0，l2：(a－2)x＋ay－1＝0，则“a＝－1”是“l1⊥l2”的________条件答案  充分不必要解析  若a＝－1，则l1：x－3y－2＝0，l2：－3x－y－1＝0，显然两条直线垂直；若l1⊥l2，则(a－2)＋a(a－2)＝0，∴a＝－1或a＝2，因此，“a＝－1”是“l1⊥l2”的充分不必要条件.解题要点  两直线平行、垂直的判定方法(1)已知两直线的斜率存在①两直线平行⇔两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不等；②两直线垂直⇔两直线的斜率之积等于－1.注意　当直线斜率不确定时，要注意斜率不存在的情况．(2)已知两直线的一般方程两直线方程l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0中系数A1，B1，C1，A2，B2，C2与垂直、平行的关系：A1A2＋B1B2＝0⇔l1⊥l2；A1B2－A2B1＝0且A1C2－A2C1≠0⇔l1∥l2.题型二  根据平行与垂直求直线方程例2　(1)求与直线3x＋4y＋1＝0平行且过点(1,2)的直线l的方程．(2) 求经过A(2,1)，且与直线2x＋y－10＝0垂直的直线l的方程．解析　(1)依题意，设所求直线方程为3x＋4y＋c＝0 (c≠1)，又因为直线过点(1,2)，所以3×1＋4×2＋c＝0，解得c＝－11.因此，所求直线方程为3x＋4y－11＝0.(2) 因为所求直线与直线2x＋y－10＝0垂直，所以设该直线方程为x－2y＋C1＝0，又直线过点(2,1)，所以有2－2×1＋C1＝0，解得C1＝0，即所求直线方程为x－2y＝0.变式训练  过点(1,0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是________．答案　x－2y－1＝0解析　∵所求直线与直线x－2y－2＝0平行，∴所求直线的斜率为，又直线过(1,0)点，则直线方程为x－2y－1＝0.解题要点  1.与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程为Ax＋By＋C1＝0 (C1≠C)，再由其他条件求C1.2. 与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程为Bx－Ay＋C1＝0，再由其他条件求出C1.题型三  根据平行或垂直求参数例3　(1)已知直线l1：x＋2y－1＝0与直线l2：mx－y＝0平行，则实数m的取值为________． (2) 若直线l1：ax＋2y＋6＝0与直线l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0垂直，则实数a＝________．答案　(1) －    (2) 解析  (1)因为直线l1：x＋2y－1＝0与直线l2：mx－y＝0平行，所以＝≠0，解得m＝－.(2) 由a×1＋(a－1)×2＝0，∴a＝.变式训练  若直线y＝2x与kx＋y＋1＝0垂直，则实数k＝________．答案  解析  直线kx＋y＋1＝0斜率为－k，直线y＝2x斜率为2，由题两直线垂直，则－k·2＝－1，k＝．解题要点  已知平行与垂直求参数时，具体选择斜率还是选择利用一般式方程的系数因题而异．一般来说，若直线的斜率较易得出，则利用斜率关系：l1∥l2则k1＝k2，若l1⊥l2，则k1k2＝－1．需注意的是，由一般式方程Ax＋By＋C＝0求斜率时，k＝－．若已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1，C1，A2，B2，C2为常数)，则l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1≠0；l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.当堂练习1．下列命题①如果两条不重合的直线斜率相等，则它们平行；②如果两直线平行，则它们的斜率相等；③如果两直线的斜率之积为－1，则它们垂直；④如果两直线垂直，则它们的斜率之积为－1．其中正确的为________．答案  ①③解析　当两直线l1，l2的斜率k1，k2都存在且不重合时，l1∥l2⇔k1＝k2，l1⊥l2⇔k1k2＝－1，故①③正确；当两直线都与x轴垂直时，其斜率不存在，但它们也平行，故②错；当两直线中一条直线与x轴平行(或重合)，另一条直线与x轴垂直时，它们垂直，但一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在，故④错．2．经过两点A(2，3)，B(－1，x)的直线l1与斜率为－1的直线l2平行，则实数x的值为________．答案  6解析  直线l1的斜率k1＝＝，由题意可知＝－1，∴x＝6．3. 以A(－1，1)，B(2，－1)，C(1，4)为顶点的三角形是________．答案  以A点为直角顶点的直角三角形解析  kAB＝＝－，kAC＝＝，∴kAB·kAC＝－1，∴AB⊥AC，∠A为直角，∴△ABC为以A点为直角顶点的直角三角形．4．已知A(2，0)，B(3，)，直线l∥AB，则直线l的倾斜角为________．答案  60°解析  ∵l∥AB，∴kl＝kAB＝＝，∴直线l的倾斜角为60°.5．经过点M(m，3)和N(2，m)的直线l与斜率为－4的直线互相垂直，则m的值是________．答案  解析  由题意知，直线MN的斜率存在，∵MN⊥l，∴kMN＝＝，解得m＝．课后作业一、    填空题1．下列说法正确的有________．①若两直线斜率相等，则两直线平行；②若l1∥l2，则k1＝k2；③若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则两直线相交；④若两直线斜率都不存在，则两直线平行．答案  1个解析  当k1＝k2时，l1与l2平行或重合，①不成立；②中斜率不存在时，不正确；④同①也不正确．只有③正确．2．若直线l1，l2的倾斜角分别为α1，α2，且l1⊥l2，则|α1－α2|＝________．答案  |α1－α2|＝90°解析  如图所示．由图(1)可知α1＝α2＋90°，由图(2)可知α2＝α1＋90°，∴|α1－α2|＝90°．3．过点(，)，(0，3)的直线与过点(，)，(2， 0)的直线的位置关系为________．答案  垂直解析  过点(，)，(0，3)的直线的斜率k1＝＝－；过点(，)，(2，0)的直线的斜率k2＝＝＋．因为k1·k2＝－1，所以两条直线垂直．4．“λ＝3”是“直线λx＋2y＋3λ＝0与直线3x＋(λ－1)y＝λ－7平行”的________条件答案  充要解析  当λ＝3时，两直线平行．若直线λx＋2y＋3λ＝0与直线3x＋(λ－1)y＝λ－7平行，则λ(λ－1)＝6，且－λ(λ－7)≠3×3λ，解得λ＝3.5．已知直线l的倾斜角为，直线l1经过点A(3,2)、B(a，－1)，且l1与l垂直，直线l2：2x＋by＋1＝0与直线l1平行，则a＋b等于________．答案  －2解析  l的斜率为－1，则l1的斜率为1，kAB＝＝1，a＝0.由l1∥l2，－＝1，b＝－2，所以a＋b＝－2. 6．若l1：x＋(1＋m)y＋(m－2)＝0，l2：mx＋2y＋6＝0平行，则实数m的值是________．答案  m＝1或m＝－2解析  由1×2＝(1＋m)m，得m＝－2或m＝1.当m＝－2时，l1：x－y－4＝0，l2：－2x＋2y＋6＝0，平行．当m＝1时，l1：x＋2y－1＝0，l2：x＋2y＋6＝0，平行．7．若直线mx＋4y－2＝0与直线2x－5y＋n＝0垂直，垂足为(1，p)，则实数n的值为________．答案  －12解析  由2m－20＝0，得m＝10.由垂足(1，p)在直线mx＋4y－2＝0上，得10＋4p－2＝0.∴p＝－2.又垂足(1，－2)在直线2x－5y＋n＝0上，则解得n＝－12.8．已知直线l的倾斜角为，直线l1经过点A(3,2)，B(a，－1)，且l1与l垂直，直线l2：2x＋by＋1＝0与直线l1平行，则a＋b＝________．答案  －2解析  l的斜率为－1，则l1的斜率为1，kAB＝＝1，∴a＝0.由l1∥l2，得－＝1，b＝－2.∴a＋b＝－2.9．经过点P(－2，－1)和点Q(3，a)的直线与倾斜角是45°的直线平行，则a＝________．答案  4解析  由题意，得tan45°＝，解得a＝4．10．若A(－4，2)，B(6，－4)，C(12，6)，D(2，12)，则下面四个结论：①AB∥CD；②AB⊥CD；③AC∥BD；④AC⊥BD．其中正确的序号是________．答案  ①④解析  ∵kAB＝－，kCD＝－，kAC＝，kBD＝－4，∴kAB＝kCD，kAC·kBD＝－1，∴AB∥CD，AC⊥BD．11．经过点(3，2)和(m，n)的直线l，(1)若l与x轴平行，则m、n的取值情况是________；(2)若l与x轴垂直，则m、n的取值情况是________．答案  (1)m∈R且m≠3，n＝2    (2)m＝3，n∈R且n≠2解析  (1)l与x轴平行，则两点的纵坐标相等．(2)l与y轴平行，则两点的横坐标相等．二、解答题12．求过点(－1,2)且与直线2x－3y＋4＝0平行的直线方程．解析  ∵2x－3y＋4＝0的斜率为k＝，∴所求的直线方程为y－2＝(x＋1)，即2x－3y＋8＝0.13．已知直线l的方程为3x＋4y－12＝0，求满足下列条件的直线l′的方程．(1)l′与l平行且过点(－1,3)；(2)l′与l垂直且l′与两坐标轴围成的三角形面积为4．解析  (1)直线l：3x＋4y－12＝0，kl＝－.又∵l′∥l，∴kl′＝kl＝－.∴直线l′为y＝－(x＋1)＋3，即3x＋4y－9＝0.(2)∵l′⊥l，∴kl′＝.设l′与x轴截距为b，则l′与y轴截距为－b，由题意可知，S＝|b|·＝4，∴b＝±.∴直线l′为y＝(x＋)或y＝(x－)．