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(艺术生)高考数学一轮复习讲与练:考点52 排列组合 (含解析)
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这是一份(艺术生)高考数学一轮复习讲与练:考点52 排列组合 (含解析),共8页。试卷主要包含了分类加法计数原理,分步乘法计数原理,两个计数原理的区别,排列与排列数,组合与组合数,排列与组合的区别等内容,欢迎下载使用。
考点五十二 排列组合(理)知识梳理1.分类加法计数原理完成一件事有n类不同的方案,在第一类方案中有m1种不同的方法,在第二类方案中有m2种不同的方法,……,在第n类方案中有mn种不同的方法,则完成这件事情,共有N=m1+m2+…+mn种不同的方法.2.分步乘法计数原理完成一件事情需要分成n个不同的步骤,完成第一步有m1种不同的方法,完成第二步有m2种不同的方法,……,完成第n步有mn种不同的方法,那么完成这件事情共有N=m1×m2×…×mn种不同的方法.3.两个计数原理的区别分类加法计数原理与分步乘法计数原理,都涉及完成一件事情的不同方法的种数.它们的区别在于:分类加法计数原理与分类有关,各种方法相互独立,用其中的任一种方法都可以完成这件事;分步乘法计数原理与分步有关,各个步骤相互依存,只有各个步骤都完成了,这件事才算完成.4.排列与排列数(1) 排列的定义:从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.(2) 排列数的定义:从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数,用符号A表示.(3) 排列数公式① 当m<n时,排列称为选排列,排列数为A=n(n-1)(n-2)…(n-m+1);② 当m=n时,排列称为全排列,排列数为A=n(n-1)(n-2)…3·2·1.上式右边是自然数1到n的连乘积,把它叫做n的阶乘,并用n!表示,于是A=n!.进一步规定0!=1,于是,A=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)= = ,即A=.5.组合与组合数(1) 组合的定义:从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素并成一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.(2) 组合数的定义:从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数,用符号C表示.(3) 组合数公式C= = = .规定:C=1.(4) 组合数的两个性质:①C=C;②C=C+C.6.排列与组合的区别排列与组合的共同点,就是都要“从n个不同元素中,任取m个元素”,而不同点就是前者要“顺序”,而后者却是“并成一组”.因此,“有序”与“无序”是区别排列与组合的重要标志.典例剖析题型一 排列与排列数例1 3名男生,4名女生,按照不同的要求排队,求不同的排队方案的方法种数.(1)选其中5人排成一排;(2)排成前后两排,前排3人,后排4人;(3)全体站成一排,男、女各站在一起;(4)全体站成一排,男生不能站在一起;(5)全体站成一排,甲不站排头也不站排尾.解析 (1)问题即为从7个元素中选出5个全排列,有A=2 520(种)排法.(2)前排3人,后排4人,相当于排成一排,共有A=5 040(种)排法.(3)相邻问题(捆绑法):男生必须站在一起,是男生的全排列,有A种排法;女生必须站在一起,是女生的全排列,有A种排法;全体男生、女生各视为一个元素,有A种排法,由分步乘法计数原理知,共有N=A·A·A=288(种).(4)不相邻问题(插空法):先安排女生共有A种排法,男生在4个女生隔成的五个空中安排共有A种排法,故N=A·A=1 440(种).(5)先安排甲,从除去排头和排尾的5个位中安排甲,有A=5(种)排法;再安排其他人,有A=720(种)排法.所以共有A·A=3 600(种)排法.变式训练 一名老师和两名男生两名女生站成一排照相,要求两名女生必须站在一起且老师不站在两端,则不同站法的种数为________.答案 24解析 两名女生站一起有A种站法,她们与两个男生站一起共有AA种站法,老师站在他们的中间则共有AAC=24(种)站法.解题要点 1.对于有限制条件的排列问题,分析问题时有位置分析法、元素分析法,在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则,即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置,对于分类过多的问题可以采用间接法.2.对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法.题型二 组合问题例2 将6名教师分到3所中学任教,一所1名,一所2名,一所3名,则有________种不同的分法.答案 360解析 将6名教师分组,分三步完成:第一步,在6名教师中任取1名作为一组,有C种取法;第二步,在余下的5名教师中任取2名作为一组,有C种取法;第三步,余下的3名教师作为一组,有C种取法.根据分步乘法计数原理,共有CCC=60种取法.再将这3组教师分配到3所中学,有A=6种分法.故共有60×6=360种不同的分法.变式训练 从4部甲型和5部乙型手机中任意取出3部,其中至少要有甲型与乙型手机各1部,则不同取法共有________答案 70种解析 选由题知不同取法有CC+CC=70种.解题要点 解决组合类问题的方法:(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型:“含”,则先将这些元素取出,再由另外元素补足;“不含”,则先将这些元素剔除,再从剩下的元素中去选取.(2)“至少”或“最多”含有几个元素的题型:解这类题必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义,谨防重复与漏解.用直接法和间接法都可以求解.通常用直接法分类复杂时,考虑逆向思维,用间接法处理.题型三 排列、组合的综合应用例3 某班班会准备从含甲、乙的7名学生中选取4人发言,要求甲、乙两人至少有一人参加,且若甲、乙同时参加,则他们发言时顺序不能相邻,那么不同的发言顺序种类为________.答案 600解析 分两类:第一类,甲、乙两人只有一人参加,则不同的发言顺序种类为CCA;第二类,甲、乙同时参加,则不同的发言顺序种类为CCAA.依加法原理,所求的不同的发言顺序种类为CCA+CCAA=600.变式训练 (2014·高考重庆卷)某次联欢会要安排3个歌舞类节目,2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序,则同类节目不相邻的排法种数是________答案 120解析 解决该问题分为两类:第一类分两步,先排歌舞类A,然后利用插空法将剩余3个节目排入左边或右边3个空,故不同排法有A·2A=72.第二类也分两步,先排歌舞类A,然后将剩余3个节目放入中间两空排法有CAA,故不同的排法有AAAC=48,故共有120种不同排法.解题要点 1.排列组合的综合应用问题,一般按先选再排,先分组再分配的处理原则.2.解受条件限制的排列、组合题,通常有直接法(合理分类)和间接法(排除法).分类时标准应统一,避免出现重复或遗漏.解组合应用题时,应注意“至少”、“至多”、“恰好”等词的含义.当堂练习1.(2014·四川)六个人从左至右排成一行,最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,则不同的排法共有________答案 216种解析 第一类:甲在最左端,有A=5×4×3×2×1=120(种)方法;第二类:乙在最左端,有4A=4×4×3×2×1=96(种)方法.所以共有120+96=216(种)方法.2.(2014·辽宁)6把椅子摆成一排,3人随机就座,任何两人不相邻的坐法种数为________答案 24解析 剩余的3个座位共有4个空隙供3人选择就座,因此任何两人不相邻的坐法种数为A=4×3×2=24.3. 现将2名医生和4名护士分配到2所学校给学生体检,每校分配1名医生和2名护士,则不同的分配方法共有________答案 12种解析 只需让第一所学校选取即可.先从2名医生中选取1名,不同的选法有C=2(种);再从4名护士中选取2名,不同的选法有C=6(种).由分步乘法计数原理可得,不同的分配方案有2×6=12(种).4.某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务,如果要求至少有1名女生,那么不同的选派方案有________种.答案 14解析 ①有1名女生:CC=8.②有2名女生:CC=6.∴不同的选派方案有8+6=14(种).5.(2015广东理) 某高三毕业班有40人,同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言,那么全班共写了________条毕业留言(用数字做答).答案 1 560解析 依题意两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从40人中任选两人的排列数,所以全班共写了A=40×39=1 560条毕业留言.课后作业一、 填空题1.(2015四川理)用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中比40 000大的偶数共有________答案 120个解析 由题意,首位数字只能是4,5,若万位是5,则有3×A=72个;若万位是4,则有2×A个=48个,故比40 000大的偶数共有72+48=120个.2.某台小型晚会由6个节目组成,演出顺序有如下要求:节目甲必须排在前两位,节目乙不能排在第一位,节目丙必须排在最后一位.该台晚会节目演出顺序的编排方案共有________答案 42种解析 分两类,第一类:甲排在第一位时,丙排在最后一位,中间4个节目无限制条件,有A种排法;第二类:甲排在第二位时,从甲、乙、丙之外的3个节目中选1个节目排在第一位有C种排法,其他3个节目有A种排法,故有CA种排法.依分类加法计数原理,知共有A+CA=42(种)编排方案.3.如图所示,使电路接通,开关不同的开闭方式有________答案 21种解析 左边两个开关的开闭方式有闭合2个、1个即有1+2=3(种),右边三个开关的开闭方式有闭合1个、2个、3个,即有3+3+1=7(种),故使电路接通的情况有3×7=21(种).4.10名同学合影,站成了前排3人,后排7人.现摄影师要从后排7人中抽2人站前排,其他人的相对顺序不变,则不同调整方法的种数为________答案 CA解析 从后排抽2人的方法种数是C;前排的排列方法种数是A.由分步乘法计数原理知不同调整方法种数是CA.5.用数字1、2、3、4、5组成的无重复数字的四位偶数的个数为________答案 48解析 末位数字排法有A种,其他位置排法有A种,共有AA=48(种).6.将2名教师,4名学生分成2个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动,每个小组由1名教师和2名学生组成,不同的安排方案共有________答案 12种解析 法一 先分组后分配,不同的安排方案共有AA=12(种).法二 由位置选元素,先安排甲地,其余去乙地,不同的安排方案共有CC·CC=12(种).7.我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中,有5架舰载机准备着舰.如果甲、乙两机必须相邻着舰,而丙、丁不能相邻着舰,那么不同的着舰方法有________答案 24种解析 丙、丁不能相邻着舰,则将剩余3机先排列,再将丙、丁进行“插空”.由于甲、乙“捆绑”视作一整体,剩余3机实际排列方法共2×2=4种.有三个“空”供丙、丁选择,即A=6种.由分步乘法计数原理,共有4×6=24种着舰方法.8.10件产品中有7件正品,3件次品,从中任取4件,则恰好取到1件次品的情形有____种答案 105解析 完成这件事,分两步进行,第一步,从7件正品中取3件,有C种不同的方法,第二步,从3件次品中任取1件,有C种不同的方法,由乘法原理可知共有CC=105种不同的方法.9.某人从甲地到乙地,可以乘火车,也可以坐轮船,在这一天的不同时间里,火车有4趟,轮船有3次,问此人的走法可有________种.答案 7解析 因为某人从甲地到乙地,乘火车的走法有4种,坐轮船的走法有3种,每一种方法都能从甲地到乙地,根据分类加法计数原理,可得此人的走法可有4+3=7(种).10. (2014·浙江)在8张奖券中有一、二、三等奖各1张,其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人,每人2张,不同的获奖情况有________种(用数字作答).答案 60解析 把8张奖券分4组有两种分法,一种是分(一等奖,无奖)、(二等奖,无奖)、(三等奖,无奖)、(无奖,无奖)四组,分给4人有A种分法;另一种是一组两个奖,一组只有一个奖,另两组无奖,共有C种分法,再分给4人有A种分法,所以不同获奖情况种数为A+CA=24+36=60.11.某商店要求甲、乙、丙、丁、戊五种不同的商品在货架上排成一排,其中甲、乙两种必须排在一起,而丙、丁两种不能排在一起,不同的排法共有________种.答案 24解析 甲、乙排在一起,用捆绑法,丙、丁不排在一起,用插空法,不同的排法共有2A·A=24(种).二、解答题12.男运动员6名,女运动员4名,其中男女队长各1名,选派5人外出比赛,在下列情形中各有多少种选派方法?(1)男运动员3名,女运动员2名;(2)至少有1名女运动员;(3)既要有队长,又要有女运动员.解析 (1)任选3名男运动员,方法数为C,再选2名女运动员,方法数为C,共有C·C=120(种)方法.(2)法一 至少有1名女运动员包括以下几种情况:1女4男,2女3男,3女2男,4女1男,由分类加法计数原理可得总选法数为CC+CC+CC+CC=246.法二 “至少有1名女运动员”的反面是“全是男运动员”,因此用间接法求解,不同选法有C-C=246(种).(3)当有女队长时,其他人任意选,共有C种选法.不选女队长时,必选男队长,其他人任意选,共有C种选法,其中不含女运动员的选法有C种,所以不选女队长时的选法共有(C-C)种选法.所以既有队长又有女运动员的选法共有C+C-C=191(种).13.某外语组有9人,每人至少会英语和日语中的一门,其中7人会英语,3人会日语,从中选出会英语和日语的各一人,有多少种不同的选法?解析 由题意得有1人既会英语又会日语,6人只会英语,2人只会日语.第一类:从只会英语的6人中选1人说英语,共有6种方法,则说日语的有2+1=3(种),此时共有6×3=18(种);第二类:不从只会英语的6人中选1人说英语,则只有1种方法,则选会日语的有2种,此时共有1×2=2(种);所以根据分类加法计数原理知共有18+2=20(种)选法.
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