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    (艺术生)高考数学一轮复习讲与练:考点52 排列组合 (含解析)

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    (艺术生)高考数学一轮复习讲与练:考点52 排列组合 (含解析)

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    这是一份(艺术生)高考数学一轮复习讲与练:考点52 排列组合 (含解析),共8页。试卷主要包含了分类加法计数原理,分步乘法计数原理,两个计数原理的区别,排列与排列数,组合与组合数,排列与组合的区别等内容,欢迎下载使用。
    考点五十二  排列组合()知识梳理1分类加法计数原理完成一件事有n类不同的方案,在第一类方案中有m1种不同的方法,在第二类方案中有m2种不同的方法,……,在第n类方案中有mn种不同的方法,则完成这件事情,共有Nm1m2mn种不同的方法.2分步乘法计数原理完成一件事情需要分成n个不同的步骤,完成第一步有m1种不同的方法,完成第二步有m2种不同的方法,……,完成第n步有mn种不同的方法,那么完成这件事情共有Nm1×m2×…×mn种不同的方法.3两个计数原理的区别分类加法计数原理与分步乘法计数原理,都涉及完成一件事情的不同方法的种数.它们的区别在于:分类加法计数原理与分类有关,各种方法相互独立,用其中的任一种方法都可以完成这件事;分步乘法计数原理与分步有关,各个步骤相互依存,只有各个步骤都完成了,这件事才算完成.4排列与排列数(1) 排列的定义:从n个不同的元素中取出m(mn)个元素按照一定的顺序排成一列叫做从n个不同元素中取出m元素的一个排列.(2) 排列数的定义:从n个不同的元素中取出m(mn)个元素的所有排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数用符号A表示.(3) 排列数公式 mn排列称为选排列排列数为An(n1)(n2)(nm1) mn排列称为全排列排列数为An(n1)(n2)3·2·1上式右边是自然数1n的连乘积把它叫做n的阶乘并用n!表示于是An!.进一步规定0!=1于是An(n1)(n2)(nm1) A5组合与组合(1) 组合的定义:从n个不同的元素中取出m(mn)个元素并成一组叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.(2)  组合数的定义:从n个不同的元素中取出m(mn)个元素的所有组合的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数用符号C表示.(3) 组合数公式C     规定:C1(4) 组合数的两个性质:CCCCC6排列与组合的区别排列与组合的共同点就是都要n个不同元素中任取m个元素而不同点就是前者要顺序而后者却是并成一组”.因此有序无序是区别排列与组合的重要标志.典例剖析题型 排列与排列数1 3名男生4名女生按照不同的要求排队求不同的排队方案的方法种数.(1)选其中5人排成一排;(2)排成前后两排前排3后排4人;(3)全体站成一排男、女各站在一起;(4)全体站成一排男生不能站在一起;(5)全体站成一排甲不站排头也不站排尾.解析 (1)问题即为从7个元素中选出5个全排列A2 520()排法.(2)前排3后排4相当于排成一排共有A5 040()排法.(3)相邻问题(捆绑法):男生必须站在一起是男生的全排列A种排法;女生必须站在一起是女生的全排列A种排法;全体男生、女生各视为一个元素A种排法由分步乘法计数原理知共有NA·A·A288()(4)不相邻问题(插空法):先安排女生共有A种排法男生在4个女生隔成的五个空中安排共有A种排法NA·A1 440()(5)先安排甲从除去排头和排尾的5个位中安排甲A5()排法;再安排其他人A720()排法.所以共有A·A3 600()排法.变式训练  一名老师和两名男生两名女生站成一排照相,要求两名女生必须站在一起且老师不站在两端,则不同站法的种数为________答案 24解析 两名女生站一起有A种站法,她们与两个男生站一起共有AA种站法,老师站在他们的中间则共有AAC24()站法.解题要点  1.对于有限制条件的排列问题,分析问题时有位置分析法、元素分析法,在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则,即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置,对于分类过多的问题可以采用间接法.2.对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法.题型二  组合问题2 将6名教师分到3所中学任教一所1一所2一所3则有________种不同的分法.答案 360解析  6名教师分组分三步完成:第一步6名教师中任取1名作为一组C种取法;第二步在余下的5名教师中任取2名作为一组C种取法;第三步余下的3名教师作为一组C种取法.根据分步乘法计数原理共有CCC60种取法.再将这3组教师分配到3所中学A6种分法.故共有60×6360种不同的分法.变式训练  4部甲型和5部乙型手机中任意取出3其中至少要有甲型与乙型手机各1则不同取法共有________答案 70解析  选由题知不同取法有CCCC70种.解题要点  解决组合类问题的方法:(1)含有不含有某些元素的组合题型:则先将这些元素取出再由另外元素补足;不含则先将这些元素剔除再从剩下的元素中去选取.(2)至少最多含有几个元素的题型:解这类题必须十分重视至少最多这两个关键词的含义谨防重复与漏解.用直接法和间接法都可以求解.通常用直接法分类复杂时考虑逆向思维用间接法处理.题型  排列、组合的综合应用3 某班班会准备从含甲、乙的7名学生中选取4人发言要求甲、乙两人至少有一人参加且若甲、乙同时参加则他们发言时顺序不能相邻那么不同的发言顺序种类为________答案  600解析  分两类:第一类甲、乙两人只有一人参加则不同的发言顺序种类为CCA;第二类甲、乙同时参加则不同的发言顺序种类为CCAA.依加法原理所求的不同的发言顺序种类为CCACCAA600.变式训练  (2014·高考重庆卷)某次联欢会要安排3个歌舞类节目2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序则同类节目不相邻的排法种数是________答案  120解析 解决该问题分为两类:第一类分两步先排歌舞类A然后利用插空法将剩余3个节目排入左边或右边3个空故不同排法有A·2A72.第二类也分两步先排歌舞类A然后将剩余3个节目放入中间两空排法有CAA故不同的排法有AAAC48故共有120种不同排法.解题要点  1.排列组合的综合应用问题,一般按先选再排,先分组再分配的处理原则.2.解受条件限制的排列、组合题,通常有直接法(合理分类)和间接法(排除法).分类时标准应统一,避免出现重复或遗漏.解组合应用题时,应注意至少至多恰好等词的含义.当堂练习1(2014·四川)六个人从左至右排成一行,最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,则不同的排法共有________答案 216解析 第一类:甲在最左端,有A5×4×3×2×1120()方法;第二类:乙在最左端,有4A4×4×3×2×196()方法.所以共有12096216()方法.2(2014·辽宁)6把椅子摆成一排,3人随机就座,任何两人不相邻的坐法种数为________答案 24解析 剩余的3个座位共有4个空隙供3人选择就座,因此任何两人不相邻的坐法种数为A4×3×224.3. 现将2名医生和4名护士分配到2所学校给学生体检,每校分配1名医生和2名护士,则不同的分配方法共有________答案  12解析  只需让第一所学校选取即可.先从2名医生中选取1名,不同的选法有C2()再从4名护士中选取2名,不同的选法有C6()由分步乘法计数原理可得,不同的分配方案有2×612()4.某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务,如果要求至少有1名女生,那么不同的选派方案有________种.答案 14解析 1名女生:CC8.2名女生:CC6.不同的选派方案有8614().5(2015广东理) 某高三毕业班有40人,同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言,那么全班共写了________条毕业留言(用数字做答)答案 1 560解析 依题意两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从40人中任选两人的排列数,所以全班共写了A40×391 560条毕业留言.课后作业一、    填空12015四川理)用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中比40 000大的偶数共有________答案 120解析 由题意,首位数字只能是4,5,若万位是5,则有3×A72个;若万位是4,则有2×A个=48个,故比40 000大的偶数共有7248120.2某台小型晚会由6个节目组成,演出顺序有如下要求:节目甲必须排在前两位,节目乙不能排在第一位,节目丙必须排在最后一位.该台晚会节目演出顺序的编排方案共有________答案 42解析 分两类,第一类:甲排在第一位时,丙排在最后一位,中间4个节目无限制条件,有A种排法;第二类:甲排在第二位时,从甲、乙、丙之外的3个节目中选1个节目排在第一位有C种排法,其他3个节目有A种排法,故有CA种排法.依分类加法计数原理,知共有ACA42()编排方案.3如图所示,使电路接通,开关不同的开闭方式有________答案  21解析  左边两个开关的开闭方式有闭合2个、1个即有123(),右边三个开关的开闭方式有闭合1个、2个、3个,即有3317(),故使电路接通的情况有3×721().410名同学合影,站成了前排3人,后排7人.现摄影师要从后排7人中抽2人站前排,其他人的相对顺序不变,则不同调整方法的种数为________答案 CA解析 从后排抽2人的方法种数是C;前排的排列方法种数是A.由分步乘法计数原理知不同调整方法种数是CA.5用数字12345组成的无重复数字的四位偶数的个数为________答案 48解析 末位数字排法有A种,其他位置排法有A种,共有AA48()6.将2名教师,4名学生分成2个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动,每个小组由1名教师和2名学生组成,不同的安排方案共有________答案  12解析  法一 先分组后分配,不同的安排方案共有AA12().法二 由位置选元素,先安排甲地,其余去乙地,不同的安排方案共有CC·CC12()7.我国第一艘航母辽宁舰在某次舰载机起降飞行训练中,有5架舰载机准备着舰.如果甲、乙两机必须相邻着舰,而丙、丁不能相邻着舰,那么不同的着舰方法有________答案 24解析 丙、丁不能相邻着舰,则将剩余3机先排列,再将丙、丁进行插空”.由于甲、乙捆绑视作一整体,剩余3机实际排列方法共2×24种.有三个供丙、丁选择,即A6种.由分步乘法计数原理,共有4×624种着舰方法.810件产品中有7件正品,3件次品,从中任取4件,则恰好取到1件次品的情形有____答案  105解析  完成这件事,分两步进行,第一步,从7件正品中取3件,有C种不同的方法,第二步,从3件次品中任取1件,有C种不同的方法,由乘法原理可知共有CC105种不同的方法.9.某人从甲地到乙地,可以乘火车,也可以坐轮船,在这一天的不同时间里,火车有4趟,轮船有3次,问此人的走法可有________种.答案  7解析  因为某人从甲地到乙地,乘火车的走法有4种,坐轮船的走法有3种,每一种方法都能从甲地到乙地,根据分类加法计数原理,可得此人的走法可有437()10(2014·浙江)8张奖券中有一、二、三等奖各1张,其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人,每人2张,不同的获奖情况有________(用数字作答)答案 60解析 8张奖券分4组有两种分法,一种是分(一等奖,无奖)(二等奖,无奖)(三等奖,无奖)(无奖,无奖)四组,分给4人有A种分法;另一种是一组两个奖,一组只有一个奖,另两组无奖,共有C种分法,再分给4人有A种分法,所以不同获奖情况种数为ACA243660.11.某商店要求甲、乙、丙、丁、戊五种不同的商品在货架上排成一排,其中甲、乙两种必须排在一起,而丙、丁两种不能排在一起,不同的排法共有________种.答案 24解析 甲、乙排在一起,用捆绑法,丙、丁不排在一起,用插空法,不同的排法共有2A·A24()二、解答题12.男运动员6名,女运动员4名,其中男女队长各1名,选派5人外出比赛,在下列情形中各有多少种选派方法?(1)男运动员3名,女运动员2名;(2)至少有1名女运动员;(3)既要有队长,又要有女运动员.解析  (1)任选3名男运动员,方法数为C,再选2名女运动员,方法数为C,共有C·C120()方法.(2)法一 至少有1名女运动员包括以下几种情况:14男,23男,32男,41男,由分类加法计数原理可得总选法数为CCCCCCCC246.法二 至少有1名女运动员的反面是全是男运动员,因此用间接法求解,不同选法有CC246()(3)当有女队长时,其他人任意选,共有C种选法.不选女队长时,必选男队长,其他人任意选,共有C种选法,其中不含女运动员的选法有C种,所以不选女队长时的选法共有(CC)种选法.所以既有队长又有女运动员的选法共有CCC191()13.某外语组有9人,每人至少会英语和日语中的一门,其中7人会英语,3人会日语,从中选出会英语和日语的各一人,有多少种不同的选法?解析  由题意得有1人既会英语又会日语,6人只会英语,2人只会日语.第一类:从只会英语的6人中选1人说英语,共有6种方法,则说日语的有213(),此时共有6×318()第二类:不从只会英语的6人中选1人说英语,则只有1种方法,则选会日语的有2种,此时共有1×22()所以根据分类加法计数原理知共有18220()选法.

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