(新高考)高考数学一轮复习素养练习 第3章 第8讲　函数与方程 (含解析)

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第8讲　函数与方程


一、知识梳理
1．函数的零点
(1)函数零点的定义：对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．
(2)三个等价关系：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．
2．函数零点的判定
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是f(x)＝0的根．我们把这一结论称为函数零点存在性定理．
3．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与零点的关系

Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0) 的图象



与x轴的交点
(x1，0)，(x2，0)
(x1，0)
无交点
零点个数
两个
一个
零个
常用结论
有关函数零点的三个结论
(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．
(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．
(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．
二、教材衍化
1．已知函数y＝f(x)的图象是连续不断的曲线，且有如下的对应值表：
x
1
2
3
4
5
6
y
124.4
33
－74
24.5
－36.7
－123.6
则函数y＝f(x)在区间[1，6]上的零点至少有(　　)
A．2个 B．3个
C．4个 D．5个
解析：选B．依题意，f(2)>0，f(3)<0，f(4)>0，f(5)<0，根据零点存在性定理可知，f(x)在区间(2，3)，(3，4)，(4，5)上均至少含有一个零点，故函数y＝f(x)在区间[1，6]上的零点至少有3个．
2．函数f(x)＝ln x－的零点所在的大致范围是(　　)
A．(1，2) B．(2，3)
C．和(3，4) D．(4，＋∞)
解析：选B．易知f(x)为增函数，由f(2)＝ln 2－1＜0，f(3)＝ln 3－＞0，得f(2)·f(3)＜0.故选B．
3．函数f(x)＝ex＋3x的零点个数是________．
解析；由已知得f′(x)＝ex＋3>0，所以f(x)在R上单调递增，又f(－1)＝－3<0，f(0)＝1>0，因此函数f(x)有且只有一个零点．
答案：1

一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．(　　)
(2)函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)·f(b)<0.(　　)
(3)只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值．　(　　)
(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0时没有零点．　(　　)
(5)若函数f(x)在(a，b)上连续单调且f(a)·f(b)<0，则函数f(x)在[a，b]上有且只有一个零点．(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)√
二、易错纠偏
(1)忽略限制条件致误；
(2)错用零点存在性定理致误．
1．函数f(x)＝(x－1)ln(x－2)的零点个数为(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选B．由x－2>0，得x>2，所以函数f(x)的定义域为(2，＋∞)，所以当f(x)＝0，即(x－1)ln(x－2)＝0时，解得x＝1(舍去)或x＝3.
2．已知函数f(x)＝2ax－a＋3，若∃x0∈(－1，1)，使得f(x0)＝0，则实数a的取值范围是________．
解析：依题意可得f(－1)·f(1)<0，即(－2a－a＋3)(2a－a＋3)<0，解得a<－3或a>1.
答案：(－∞，－3)∪(1，＋∞)

考点一　函数的零点(基础型)
复习指导结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性以及根的个数，了解函数的零点与方程根的联系．
核心素养：数学运算、直观想象
角度一　函数零点所在区间的判断
(一题多解)函数f(x)＝log3x＋x－2的零点所在的区间为(　　)
A．(0，1) B．(1，2)
C．(2，3) D．(3，4)
【解析】　法一(定理法)：函数f(x)＝log3x＋x－2的定义域为(0，＋∞)，并且f(x)在(0，＋∞)上单调递增，图象是一条连续曲线．由题意知f(1)＝－1<0，f(2)＝log32>0，f(3)＝2>0，根据零点存在性定理可知，函数f(x)＝log3x＋x－2有唯一零点，且零点在区间(1，2)内．
法二
(图象法)：函数f(x)的零点所在的区间转化为函数g(x)＝log3x，h(x)＝－x＋2图象交点的横坐标所在的范围．作出两个函数的图象如图所示，可知f(x)的零点所在的区间为(1，2)．故选B．

【答案】　B

判断函数零点所在区间的方法
方法
解读
适合题型
定理法
利用函数零点的存在性定理进行判断
能够容易判断区间端点值所对应函数值的正负
图象法
画出函数图象，通过观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断
容易画出函数的图象

1．若a＜b＜c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间(　　)
A．(a，b)和(b，c)内
B．(－∞，a)和(a，b)内
C．(b，c)和(c，＋∞)内
D．(－∞，a)和(c，＋∞)内
解析：选A．因为a＜b＜c，所以f(a)＝(a－b)(a－c)＞0，f(b)＝(b－c)(b－a)＜0，f(c)＝(c－a)(c－b)＞0，由函数零点存在性定理可知，在区间(a，b)，(b，c)内分别存在零点，又函数f(x)是二次函数，最多有两个零点．因此函数f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)，(b，c)内，故选A．
2．设f(x)＝3x－x2，则在下列区间中，使函数f(x)有零点的区间是(　　)
A．[0，1] B．[1，2]
C．[－2，－1] D．[－1，0]
解析：选D．因为f(x)＝3x－x2，所以f(－1)＝3－1－1＝－<0，f(0)＝30－0＝1>0，所以f(－1)·f(0)<0.
角度二　函数零点个数的判断
(一题多解)函数f(x)＝的零点个数为(　　)
A．3 B．2
C．1 D．0
【解析】　法一(方程法)：由f(x)＝0，
得或
解得x＝－2或x＝e.
因此函数f(x)共有2个零点．
法二(图形法)：函数f(x)的图象如图所示，

由图象知函数f(x)共有2个零点．
【答案】　B

判断函数零点个数的3种方法
(1)方程法：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
(2)定理法：利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点．
(3)图形法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．

1．已知函数f(x)＝则f(x)的零点个数为(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选C．当x>1时，令f(x)＝ln(x－1)＝0，得x＝2；当x≤1时，令f(x)＝2x－1－1＝0，得x＝1.故选C．
2．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝ex＋x－3，则f(x)的零点个数为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选C．因为函数f(x)是定义域为R的奇函数，所以f(0)＝0，所以0是函数f(x)的一个零点．当x＞0时，令f(x)＝ex＋x－3＝0.则ex＝－x＋3.

分别画出函数y＝ex和y＝－x＋3的图象，如图所示，有一个交点，所以函数f(x)在(0，＋∞)上有一个零点．
又根据对称性知，当x＜0时函数f(x)也有一个零点．
综上所述，f(x)的零点个数为3.
考点二　函数零点的应用(综合型)
复习指导求与零点有关的参数的取值范围问题综合性比较强，解决此类问题的一般思路就是通过分离参数简化问题求解，即先分离参数．
(1)函数f(x)＝x2－ax＋1在区间上有零点，则实数a的取值范围是(　　)
A．(2，＋∞) B．[2，＋∞)
C． D．
(2)已知函数f(x)＝，g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是______．
【解析】　(1)由题意知方程ax＝x2＋1在上有解，即a＝x＋在上有解，设t＝x＋，x∈，则t的取值范围是.所以实数a的取值范围是.
(2)函数g(x)＝f(x)＋x＋a存在2个零点，即关于x的方程f(x)＝－x－a有2个不同的实根，即函数f(x)的图象与直线y＝－x－a有2个交点，作出直线y＝－x－a与函数f(x)的图象，如图所示，由图可知，－a≤1，解得a≥－1.

【答案】　(1)D　(2)[－1，＋∞)

1．函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1，2)内，则实数a的取值范围是(　　)
A．(1，3) B．(1，2)
C．(0，3) D．(0，2)
解析：选C．由题意，知函数f(x)在(1，2)上单调递增，又函数一个零点在区间(1，2)内，
所以即
解得0 2．已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，则实数m的取值范围是________．

解析：画出函数f(x)＝的图象，如图所示．
由于函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，结合图象得0 答案：(0，1)
3．若函数f(x)＝4x－2x－a，x∈[－1，1]有零点，则实数a的取值范围是________．
解析：因为函数f(x)＝4x－2x－a，x∈[－1，1]有零点，所以方程4x－2x－a＝0在[－1，1]上有解，即方程a＝4x－2x在[－1，1]上有解．
方程a＝4x－2x可变形为a＝－，
因为x∈[－1，1]，所以2x∈，所以－∈.
所以实数a的取值范围是.
答案：

[基础题组练]
1．(2020·河南商丘九校联考)函数f(x)＝(x2－1)·的零点个数是(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选B．要使函数有意义，则x2－4≥0，解得x≥2或x≤－2.由f(x)＝0得x2－4＝0或x2－1＝0(不成立舍去)，即x＝2或x＝－2.所以函数的零点个数为2.故选B．
2．函数y＝x－4·的零点所在的区间是(　　)
A．(0，1) B．(1，2)
C．(2，3) D．(3，4)
解析：选B．因为y＝f(x)＝x－4＝x－是R上的连续递增的函数，且f(1)＝1－2<0，f(2)＝2－1>0，所以f(1)·f(2)<0，故函数y＝x－4·的零点所在的区间为(1，2)．故选B．
3．(一题多解)函数f(x)＝2x－零点的个数为(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选B．法一：当x<0时，f(x)＝2x－>0恒成立，无零点；又易知f(x)＝2x－在(0，＋∞)上单调递增，最多有一个零点．又f＝－2<0，f(1)＝2－1>0，所以有一个零点．故选B．
法二：在同一平面直角坐标系中，作出函数y＝2x和y＝的图象，如图所示．

函数f(x)＝2x－的零点等价于2x＝的根等价于函数y＝2x和y＝的交点．
由图可知，有一个交点，所以有一个零点．故选B．
4．(2020·内蒙古月考)已知函数f(x)＝x2－2|x|－m的零点有两个，则实数m的取值范围为(　　)
A．(－1，0) B．{－1}∪(0，＋∞)
C．[－1，0)∪(0，＋∞) D．(0，1)
解析：选B．在同一平面直角坐标系内作出函数y＝x2－2|x|的图象和直线y＝m，可知当m>0或m＝－1时，直线y＝m与函数y＝x2－2|x|的图象有两个交点，即函数f(x)＝x2－2|x|－m有两个零点．故选B．

5．(多选)给出以下四个方程，其中有唯一解的是(　　)
A．ln x＝1－x B．ex＝
C．2－x2＝lg |x| D．cos x＝|x|＋1
解析：选ABD．对于A，设f(x)＝ln x＋x－1，易知y＝f(x)为增函数，又f(1)＝0，故ln x＝1－x有唯一解，符合题意；对于B，设g(x)＝ex－，易知y＝g(x)为增函数，又g＝－2＜0，g(1)＝e－1＞0，由函数零点存在定理可得ex＝有唯一解，符合题意；对于C，设h(x)＝x2＋lg x－2，易知y＝h(x)为增函数，由h(1)＝1－2＜0，h(2)＝2＋lg 2＞0，由函数零点存在定理可得h(x)＝x2＋lg x－2有唯一零点，又h(x)＝2－x2－lg|x|为偶函数，则2－x2＝lg|x|有两个解，不符合题意；对于D，因为cos x∈[－1，1]，|x|＋1≥1，当且仅当x＝0时，cos x＝x＋1，即cos x＝|x|＋1有唯一解，符合题意．
6．已知函数f(x)＝＋a的零点为1，则实数a的值为________．
解析：由已知得f(1)＝0，即＋a＝0，解得a＝－.
答案：－
7．(2020·新疆第一次适应性检测)设a∈Z，函数f(x)＝ex＋x－a，若x∈(－1，1)时，函数有零点，则a的取值个数为________．
解析：根据函数解析式得到函数f(x)是单调递增的．由零点存在性定理知若x∈(－1，1)时，函数有零点，需要满足⇒－1 答案：4
8．已知f(x)＝x2＋(a2－1)x＋(a－2)的一个零点比1大，一个零点比1小，则实数a的取值范围是________．
解析：法一：设方程x2＋(a2－1)x＋(a－2)＝0的两根分别为x1，x2(x1 由根与系数的关系，得(a－2)＋(a2－1)＋1<0，
即a2＋a－2<0，所以－2 故实数a的取值范围为(－2，1)．
法二：函数f(x)的图象大致如图，
则有f(1)<0，即1＋(a2－1)＋a－2<0，得a2＋a－2<0，所以－2
故实数a的取值范围是(－2，1)．
答案：(－2，1)
9．设函数f(x)＝ax2＋bx＋b－1(a≠0)．
(1)当a＝1，b＝－2时，求函数f(x)的零点；
(2)若对任意b∈R，函数f(x)恒有两个不同的零点，求实数a的取值范围．
解：(1)当a＝1，b＝－2时，f(x)＝x2－2x－3，令f(x)＝0，得x＝3或x＝－1.
所以函数f(x)的零点为3或－1.
(2)依题意，f(x)＝ax2＋bx＋b－1＝0有两个不同的实根，所以b2－4a(b－1)>0恒成立，即对于任意b∈R，b2－4ab＋4a>0恒成立，所以有(－4a)2－4×(4a)<0⇒a2－a<0，解得0 10．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，满足f(0)＝2，f(x＋1)－f(x)＝2x－1.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若函数g(x)＝f(x)－mx的两个零点分别在区间(－1，2)和(2，4)内，求m的取值范围．
解：(1)由f(0)＝2得c＝2，又f(x＋1)－f(x)＝2x－1，得2ax＋a＋b＝2x－1，故解得a＝1，b＝－2，所以f(x)＝x2－2x＋2.
(2)g(x)＝x2－(2＋m)x＋2，若g(x)的两个零点分别在区间(－1，2)和(2，4)内，则满足⇒解得1 [综合题组练]
1．已知函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝log3x＋x，h(x)＝x－的零点依次为a，b，c，则(　　)
A．a C．c 解析：选A．在同一直角坐标系下分别画出函数y＝2x，y＝log3x，y＝－的图象，如图，观察它们与y＝－x的交点可知a
2．(多选)(综合型)已知函数f(x)＝|x2－2ax＋b|(x∈R)，给出下列命题，其中是真命题的是(　　)
A．若a2－b≤0，则f(x)在区间[a，＋∞)上是增函数
B．存在a∈R，使得f(x)为偶函数
C．若f(0)＝f(2)，则f(x)的图象关于x＝1对称
D．若a2－b－2＞0，则函数h(x)＝f(x)－2有2个零点
解析：选AB．对于选项A，若a2－b≤0，则f(x)＝|(x－a)2＋b－a2|＝(x－a)2＋b－a2在区间[a，＋∞)上是增函数，故A正确；对于选项B，当a＝0时，f(x)＝|x2＋b|显然是偶函数，故B正确；对于选项C，取a＝0，b＝－2，函数f(x)＝|x2－2ax＋b|化为f(x)＝|x2－2|，满足f(0)＝f(2)，但f(x)的图象关于x＝1不对称，故C错误；对于选项D，如图，a2－b－2＞0，即为b－a2＜－2，即a2－b＞2，则h(x)＝|(x－a)2＋b－a2|－2有4个零点，故D错误．

3．(2020·湖南娄底二模)若x1是方程xex＝1的解，x2是方程xln x＝1的解，则x1x2等于________．
解析：考虑到x1，x2是函数y＝ex、函数y＝ln x与函数y＝的图象的交点A，B的横坐标，而A，B两点关于y＝x对称，因此x1x2＝1.
答案：1
4．设函数f(x)＝
(1)若a＝1，则f(x)的最小值为________；
(2)若f(x)恰有2个零点，则实数a的取值范围是________．
解析：(1)若a＝1，则f(x)＝

作出函数f(x)的图象如图所示．由图可得f(x)的最小值为－1.
(2)当a≥1时，要使f(x)恰有2个零点，需满足21－a≤0，即a≥2，所以a≥2；当a<1时，要使f(x)恰有2个零点，需满足解得≤a<1.
综上，实数a的取值范围为∪[2，＋∞)．
答案：(1)－1　(2)∪[2，＋∞)
5．设函数f(x)＝(x>0)．
(1)作出函数f(x)的图象；
(2)当0 (3)若方程f(x)＝m有两个不相等的正根，求m的取值范围．
解：(1)如图所示．

(2)因为f(x)＝
＝
故f(x)在(0，1]上是减函数，而在(1，＋∞)上是增函数，
由0 且－1＝1－，所以＋＝2.
(3)由(1)中函数f(x)的图象可知，当0 6．(综合型)已知函数f(x)＝－x2－2x，
g(x)＝
(1)求g[f(1)]的值；
(2)若方程g[f(x)]－a＝0有4个实数根，求实数a的取值范围．
解：(1)利用解析式直接求解得g[f(1)]＝g(－3)＝－3＋1＝－2.

(2)令f(x)＝t，则原方程化为g(t)＝a，易知方程f(x)＝t在t∈(－∞，1)上有2个不同的解，
则原方程有4个解等价于函数y＝g(t)(t<1)与y＝a的图象有2个不同的交点，作出函数y＝g(t)(t<1)的图象，如图，由图象可知，当1≤a<时，函数y＝g(t)(t<1)与y＝a有2个不同的交点，即所求a的取值范围是.