(新高考)高考数学一轮复习素养练习 第6章 第2讲　高效演练分层突破 (含解析)

[基础题组练]

1．在平面直角坐标系中，已知向量a＝(1，2)，a－b＝(3，1)，c＝(x，3)，若(2a＋b)∥c，则x＝(　　)

A．－2  B．－4

C．－3  D．－1

解析：选D．因为a－b＝(3，1)，所以a－(3，1)＝b，则b＝(－4，2)．所以2a＋b＝(－2，6)．又(2a＋b)∥c，所以－6＝6x，x＝－1.故选D．

2．(2020·河南新乡三模)设向量e1，e2是平面内的一组基底，若向量a＝－3e1－e2与b＝e1－λe2共线，则λ＝(　　)

A．  B．－

C．－3  D．3

解析：选B．法一：因为a与b共线，所以存在μ∈R，使得a＝μb，即－3e1－e2＝μ(e1－λe2)．

故μ＝－3，－λμ＝－1，解得λ＝－.

故选B．

法二：因为向量e1，e2是平面内的一组基底，

故由a与b共线可得，＝，解得λ＝－.

故选B．

3．已知OB是平行四边形OABC的一条对角线，O为坐标原点，＝(2，4)，＝(1，3)，若点E满足＝3，则点E的坐标为(　　)

A．  B．  C．  D．

解析：选A．易知＝－＝(－1，－1)，则C(－1，－1)，设E(x，y)，则3＝3(－1－x，－1－y)＝(－3－3x，－3－3y)，由＝3知

所以所以E.

4．(2020·河北豫水中学质检)已知在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝1，AC＝2，D是△ABC内一点，且∠DAB＝60°，设＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则＝(　　)

A．   B．

C．3  D．2

解析：选A．如图，以A为原点，AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则B点的坐标为(1，0)，C点的坐标为(0，2)，

因为∠DAB＝60°，所以设D点的坐标为(m，m)(m≠0)．

＝(m，m)＝λ＋μ＝λ(1，0)＋μ(0，2)＝(λ，2μ)，则λ＝m，且μ＝m，

所以＝.

5．(多选)(2021·预测)已知等边三角形ABC内接于⊙O，D为线段OA的中点，则＝(　　)

A．＋   B．－

C．＋   D．＋

解析：选AC．如图所示，设BC的中点为E，则＝＋＝＋＝＋(＋)＝－＋×＝＋.故选AC．

6．(2020·湖北荆门阶段检测)在△AOB中，＝，D为OB的中点，若＝λ＋μ，则λμ的值为________．

解析：因为＝，所以＝(－)，因为D为OB的中点，所以＝，

所以＝＋＝－＋(＋)＝－＋＋(－)＝－，所以λ＝，μ＝－，则λμ的值为－.

答案：－

7．已知O为坐标原点，向量＝(1，2)，＝(－2，－1)，若2＝，则||＝________.

解析：设P点坐标为(x，y)，＝－＝(－2，－1)－(1，2)＝(－3，－3)，＝(x－1，y－2)，由2＝得，2(x－1，y－2)＝(－3，－3)，所以解得故||＝＝.

答案：

8．已知A(－3，0)，B(0，)，O为坐标原点，C在第二象限，且∠AOC＝30°，＝λ＋，则实数λ的值为________．

解析：由题意知＝(－3，0)，＝(0，)，

则＝(－3λ，)，

由∠AOC＝30°知，以x轴的非负半轴为始边，OC为终边的一个角为150°，所以tan 150°＝，

即－＝－，所以λ＝1.

答案：1

9．已知点O为坐标原点，A(0，2)，B(4，6)，＝t1＋t2.

(1)求点M在第二或第三象限的充要条件；

(2)求证：当t1＝1时，不论t2为何实数，A，B，M三点共线．

解：(1)＝t1＋t2＝t1(0，2)＋t2(4，4)＝(4t2，2t1＋4t2)．

点M在第二或第三象限⇔

解得t2＜0且t1＋2t2≠0.

故所求的充要条件为t2＜0且t1＋2t2≠0.

(2)证明：当t1＝1时，由(1)知＝(4t2，4t2＋2)．

因为＝－＝(4，4)，

＝－＝(4t2，4t2)＝t2(4，4)＝t2，

所以A，B，M三点共线．

10．如图，在△OBC中，点A是线段BC的中点，点D是线段OB上一个靠近点B的三等分点，设＝a，＝b.

(1)用向量a与b表示向量，；

(2)若＝，判断C，D，E三点是否共线，并说明理由．

解：(1)因为点A是线段BC的中点，点D是线段OB上一个靠近点B的三等分点，所以＝－，＝2，＝.因为＝a，＝b，所以＝＋＝－－＝－a－b，＝＋＝2＋＝2＋(＋)＝＋＝a＋b.

(2)C，D，E三点不共线．

因为＝，

所以＝＋＝＋＝－－＝a＋b－b＝a＋b，

由(1)知＝a＋b，

所以不存在实数λ，使得＝λ.

所以C，D，E三点不共线．

[综合题组练]

1．(多选)已知向量＝(1，－3)，＝(2，－1)，＝(m＋1，m－2)，若点A，B，C能构成三角形，则实数m可以是(　　)

A．－2   B．

C．1  D．－1

解析：选ABD．各选项代入验证，若A，B，C三点不共线即可构成三角形．因为＝－＝(2，－1)－(1，－3)＝(1，2)，＝－＝(m＋1，m－2)－(1，－3)＝(m，m＋1)．假设A，B，C三点共线，则1×(m＋1)－2m＝0，即m＝1.所以只要m≠1，则A，B，C三点即可构成三角形，故选ABD．

2.给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为90°，如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上运动，若＝x＋y，其中x，y∈R，则x＋y的最大值是(　　)

A．1   B． 

C．  D．2

解析：选B．因为点C在以O为圆心的圆弧上，所以||2＝|x＋y|2＝x2＋y2＋2xy·＝x2＋y2，

所以x2＋y2＝1，则2xy≤x2＋y2＝1.

又(x＋y)2＝x2＋y2＋2xy≤2，

故x＋y的最大值为.

3．(创新型)若α，β是一组基底，向量γ＝xα＋yβ(x，y∈R)，则称(x，y)为向量γ在基底α，β下的坐标，现已知向量a在基底p＝(1，－1)，q＝(2，1)下的坐标为(－2，2)，则a在另一组基底m＝(－1，1)，n＝(1，2)下的坐标为________．

解析：因为a在基底p，q下的坐标为(－2，2)，

即a＝－2p＋2q＝(2，4)，

令a＝xm＋yn＝(－x＋y，x＋2y)，

所以即

所以a在基底m，n下的坐标为(0，2)．

答案：(0，2)

4．已知非零不共线向量，，若2＝x＋y，且＝λ(λ∈R)，则点P(x，y)的轨迹方程是________．

解析：由＝λ，得－＝λ(－)，

即＝(1＋λ)－λ.

又2＝x＋y，

所以消去λ得x＋y－2＝0.

答案：x＋y－2＝0

5．(一题多解)如图，在同一个平面内，向量，，的模分别为1，1，，与的夹角为α，且tan α＝7，与的夹角为45°.若＝m＋n(m，n∈R)，求m＋n的值．

解：法一：以O为坐标原点，OA所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则A(1，0)，由tan α＝7，α∈，得sin α＝，cos α＝，设C(xC，yC)，B(xB，yB)，则xC＝||cos α＝×＝，yC＝||sin α＝×＝，

即C.又cos(α＋45°)＝×－×＝－，sin (α＋45°)＝×＋×＝，则xB＝||cos(α＋45°)＝－，yB＝||sin (α＋45°)＝，即B，由＝m ＋n ，可得

解得所以m＋n＝＋＝3.

法二：由tan α＝7，α∈，得sin α＝，cos α＝，则cos(α＋45°)＝×－×＝－，·＝1××＝1，·＝1××＝，·＝1×1×＝－，由＝m ＋n ，得·＝m 2＋n ·，即＝m－n　①，同理可得·＝m ·＋n 2，即1＝－m＋n　②，联立①②，解得所以m＋n＝＋＝3.

6.已知△ABC中，AB＝2，AC＝1，∠BAC＝120°，AD为角平分线．

(1)求AD的长度；

(2)过点D作直线交AB，AC的延长线于不同两点E，F，且满足＝x，＝y，求＋的值，并说明理由．

解：(1)根据角平分线定理：＝＝2，所以＝，

所以＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，

所以2＝2＋·＋2＝－＋＝，所以AD＝.

(2)因为＝x，＝y，所以＝＋＝＋，

因为E，D，F三点共线，所以＋＝1，所以＋＝3.