(新高考)高考数学一轮复习素养练习 第6章 第2讲　平面向量基本定理及坐标表示 (含解析)

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第2讲　平面向量基本定理及坐标表示


一、知识梳理
1．平面向量基本定理
(1)定理：如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2．
(2)基底：不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
2．平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，
λa＝(λx1，λy1)，|a|＝．
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标；
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，
||＝．
3．平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a∥b⇔x1y2－x2y1＝0．
[提醒]　当且仅当x2y2≠0时，a∥b与＝等价．
即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例．
常用结论
1．共线向量定理应关注的两点
(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件不能表示成＝，因为x2，y2有可能等于0，应表示为x1y2－x2y1＝0.
(2)判断三点是否共线，先求每两点对应的向量，然后按两向量共线进行判定．
2．两个结论
(1)已知P为线段AB的中点，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则P点坐标为.
(2)已知△ABC的顶点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则△ABC的重心G的坐标为.
二、教材衍化
1．已知向量a＝(2，3)，b＝(－1，2)，若ma＋nb与a－2b共线，则＝(　　)
A．－ B．
C．－2 D．2
解析：选A．由向量a＝(2，3)，b＝(－1，2)，得ma＋nb＝(2m－n，3m＋2n)，a－2b＝(4，－1)．由ma＋nb与a－2b共线，得－(2m－n)＝4(3m＋2n)，所以＝－.故选A．
2．已知▱ABCD的顶点A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5，6)，则顶点D的坐标为________．
解析：设D(x，y)，则由＝，得(4，1)＝(5－x，6－y)，即解得
答案：(1，5)

一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．(　　)
(2)在△ABC中，向量，的夹角为∠ABC．(　　)
(3)同一向量在不同基底下的表示是相同的．(　　)
(4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件可表示成＝.(　　)
(5)若a，b不共线，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2 ，μ1＝μ2.(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√
二、易错纠偏
常见误区(1)利用平面向量基本定理的前提是基底不能共线；
(2)由点的坐标求向量坐标忽视起点与终点致误．
1．设O是平行四边形ABCD的两条对角线AC，BD的交点，则给出下列向量组：①与；②与；③与；④与.
其中可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的是(　　)
A．①② B．①③
C．①④ D．③④
解析：选B．平面内任意两个不共线的向量都可以作为基底，如图：

对于①，与不共线，可作为基底；
对于②，与为共线向量，不可作为基底；
对于③，与是两个不共线的向量，可作为基底；
对于④，与在同一条直线上，是共线向量，不可作为基底．
2．已知点A(0，1)，B(3，2)，向量＝(－4，－3)，则向量＝(　　)
A．(－7，－4) B．(7，4)
C．(－1，4) D．(1，4)
解析：选A．法一：设C(x，y)，
则＝(x，y－1)＝(－4，－3)，
所以
从而＝(－4，－2)－(3，2)＝(－7，－4)．故选A．
法二：＝(3，2)－(0，1)＝(3，1)，
＝－＝(－4，－3)－(3，1)＝(－7，－4)．
故选A．

考点一　平面向量基本定理的应用(基础型)
了解平面向量的基本定理及其意义．
核心素养：数学运算
(1)在△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且＝2，＝3，若＝a，＝b，则＝(　　)
A．a＋b　　　　　　　　 B．a－b
C．－a－b D．－a＋b
(2)(2020·郑州市第一次质量预测)如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为边AB，BC的中点，连接CE，DF，交于点G.若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则＝________．

【解析】　(1)＝＋
＝＋

＝(－)－
＝－－＝－a－b.
(2)由题图可设＝x(x＞0)，则＝x(＋)＝x＝＋x.因为＝λ＋μ，与不共线，所以λ＝，μ＝x，所以＝.
【答案】　(1)C　(2)

运算遵法则　基底定分解
(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．一般将向量“放入”相关的三角形中，利用三角形法则列出向量间的关系．
(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该组基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．注意同一个向量在不同基底下的分解是不同的，但在每组基底下的分解都是唯一的．

1．在△ABC中，P，Q分别是AB，BC的三等分点，且AP＝AB，BQ＝BC，若＝a，＝b，则＝(　　)
A．a＋b　　　　　　　 B．－a＋b
C．a－b D．－a－b
解析：选A．由题意知＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝a＋b，故选A．
2．已知点A，B为单位圆O上的两点，点P为单位圆O所在平面内的一点，且与不共线．
(1)在△OAB中，点P在AB上，且＝2，若＝r＋s，求r＋s的值；
(2)已知点P满足＝m＋(m为常数)，若四边形OABP为平行四边形，求m的值．
解：(1)因为＝2，所以＝，
所以＝(－)＝－，
又因为＝r＋s，
所以r＝，s＝－，所以r＋s＝0.
(2)因为四边形OABP为平行四边形，
所以＝＋，
又因为＝m＋，所以＝＋(m＋1)，
依题意，是非零向量且不共线，
所以m＋1＝0，解得m＝－1.
考点二　平面向量的坐标运算(基础型)
1.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．
2．会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算．
核心素养：数学运算
已知A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设＝a，＝b，＝c，且＝3c，＝－2b.
(1)求3a＋b－3c；
(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n的值；
(3)求M，N的坐标及向量的坐标．
【解】　由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1，8)．
(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1，8)
＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．
(2)因为mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，
所以解得
(3)设O为坐标原点，因为＝－＝3c，
所以＝3c＋＝(3，24)＋(－3，－4)＝(0，20)．
所以M(0，20)．又因为＝－＝－2b，
所以＝－2b＋＝(12，6)＋(－3，－4)＝(9，2)，
所以N(9，2)．所以＝(9，－18)．

向量坐标运算问题的一般思路
(1)向量问题坐标化：向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可以用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来，通过建立平面直角坐标系，使几何问题转化为数量运算．
(2)巧借方程思想求坐标：向量的坐标运算主要是利用加法、减法、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，求解过程中要注意方程思想的运用．

1．已知向量a＝(5，2)，b＝(－4，－3)，c＝(x，y)，若3a－2b＋c＝0，则c＝(　　)
A．(－23，－12) B．(23，12)
C．(7，0) D．(－7，0)
解析：选A．3a－2b＋c＝(23＋x，12＋y)＝0，故x＝－23，y＝－12，故选A．
2．已知O为坐标原点，点C是线段AB上一点，且A(1，1)，C(2，3)，||＝2||，则向量的坐标是________．
解析：由点C是线段AB上一点，||＝2||，得＝－2.设点B为(x，y)，则(2－x，3－y)＝－2(1，2)，即解得所以向量的坐标是(4，7)．
答案：(4，7)
3．如图所示，以e1，e2为基底，则a＝________．

解析：以e1的起点为原点建立平面直角坐标系，
则e1＝(1，0)，e2＝(－1，1)，a＝(－3，1)，令a＝xe1＋ye2，即(－3，1)＝x(1，0)＋y(－1，1)，则
所以即a＝－2e1＋e2.
答案：－2e1＋e2
考点三　平面向量共线的坐标表示(基础型)
理解用坐标表示的平面向量共线的条件．
核心素养：数学运算
角度一　利用向量共线求向量或点的坐标
已知梯形ABCD，其中AB∥CD，且DC＝2AB，三个顶点A(1，2)，B(2，1)，C(4，2)，则点D的坐标为________．
【解析】　因为在梯形ABCD中，AB∥CD，DC＝2AB，所以＝2.设点D的坐标为(x，y)，则＝(4，2)－(x，y)＝(4－x，2－y)，＝(2，1)－(1，2)＝(1，－1)，所以(4－x，2－y)＝2(1，－1)，即(4－x，2－y)＝(2，－2)，所以解得故点D的坐标为(2，4)．
【答案】　(2，4)
角度二　利用两向量共线求参数
已知向量＝(k，12)，＝(4，5)，＝(－k，10)，且A，B，C三点共线，则k的值是(　　)
A．－ B．
C． D．
【解析】　＝－＝(4－k，－7)，
＝－＝(－2k，－2)．
因为A，B，C三点共线，所以，共线，
所以－2×(4－k)＝－7×(－2k)，解得k＝－.
【答案】　A

(1)向量共线的两种表示形式
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，①a∥b⇒a＝λb(b≠0)；②a∥b⇔x1y2－x2y1＝0，至于使用哪种形式，应视题目的具体条件而定，一般情况涉及坐标的应用②.
(2)两向量共线的充要条件的作用
判断两向量是否共线(平行)，可解决三点共线的问题；另外，利用两向量共线的充要条件可以列出方程(组)，求出未知数的值．　

1．已知向量a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，c＝(－1，2)，若(a＋b)∥c，则m＝________．
解析：因为a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，
所以a＋b＝(1，m－1)．
因为(a＋b)∥c，c＝(－1，2)，
所以2－(－1)·(m－1)＝0.
所以m＝－1.
答案：－1
2．已知a＝(1，0)，b＝(2，1)．
(1)当k为何值时，ka－b与a＋2b共线？
(2)若＝2a＋3b，＝a＋mb且A，B，C三点共线，求m的值．
解：(1)ka－b＝k(1，0)－(2，1)＝(k－2，－1)，
a＋2b＝(1，0)＋2(2，1)＝(5，2)．
因为ka－b与a＋2b共线，所以2(k－2)－(－1)×5＝0，
即2k－4＋5＝0，得k＝－.
(2)法一：因为A，B，C三点共线，
所以＝λ，即2a＋3b＝λ(a＋mb)，
所以，解得m＝.
法二：＝2a＋3b＝2(1，0)＋3(2，1)＝(8，3)，
＝a＋mb＝(1，0)＋m(2，1)＝(2m＋1，m)．
因为A、B、C三点共线，
所以∥.所以8m－3(2m＋1)＝0，
即2m－3＝0，所以m＝.

[基础题组练]
1．在平面直角坐标系中，已知向量a＝(1，2)，a－b＝(3，1)，c＝(x，3)，若(2a＋b)∥c，则x＝(　　)
A．－2 B．－4
C．－3 D．－1
解析：选D．因为a－b＝(3，1)，所以a－(3，1)＝b，则b＝(－4，2)．所以2a＋b＝(－2，6)．又(2a＋b)∥c，所以－6＝6x，x＝－1.故选D．
2．(2020·河南新乡三模)设向量e1，e2是平面内的一组基底，若向量a＝－3e1－e2与b＝e1－λe2共线，则λ＝(　　)
A． B．－
C．－3 D．3
解析：选B．法一：因为a与b共线，所以存在μ∈R，使得a＝μb，即－3e1－e2＝μ(e1－λe2)．
故μ＝－3，－λμ＝－1，解得λ＝－.
故选B．
法二：因为向量e1，e2是平面内的一组基底，
故由a与b共线可得，＝，解得λ＝－.
故选B．
3．已知OB是平行四边形OABC的一条对角线，O为坐标原点，＝(2，4)，＝(1，3)，若点E满足＝3，则点E的坐标为(　　)
A． B． C． D．
解析：选A．易知＝－＝(－1，－1)，则C(－1，－1)，设E(x，y)，则3＝3(－1－x，－1－y)＝(－3－3x，－3－3y)，由＝3知
所以所以E.
4．(2020·河北豫水中学质检)已知在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝1，AC＝2，D是△ABC内一点，且∠DAB＝60°，设＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则＝(　　)
A． B．
C．3 D．2
解析：选A．如图，以A为原点，AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则B点的坐标为(1，0)，C点的坐标为(0，2)，
因为∠DAB＝60°，所以设D点的坐标为(m，m)(m≠0)．

＝(m，m)＝λ＋μ＝λ(1，0)＋μ(0，2)＝(λ，2μ)，则λ＝m，且μ＝m，
所以＝.
5．(多选)(2021·预测)已知等边三角形ABC内接于⊙O，D为线段OA的中点，则＝(　　)
A．＋ B．－
C．＋ D．＋
解析：选AC．如图所示，设BC的中点为E，则＝＋＝＋＝＋(＋)＝－＋×＝＋.故选AC．

6．(2020·湖北荆门阶段检测)在△AOB中，＝，D为OB的中点，若＝λ＋μ，则λμ的值为________．
解析：因为＝，所以＝(－)，因为D为OB的中点，所以＝，
所以＝＋＝－＋(＋)＝－＋＋(－)＝－，所以λ＝，μ＝－，则λμ的值为－.
答案：－
7．已知O为坐标原点，向量＝(1，2)，＝(－2，－1)，若2＝，则||＝________.
解析：设P点坐标为(x，y)，＝－＝(－2，－1)－(1，2)＝(－3，－3)，＝(x－1，y－2)，由2＝得，2(x－1，y－2)＝(－3，－3)，所以解得故||＝＝.
答案：
8．已知A(－3，0)，B(0，)，O为坐标原点，C在第二象限，且∠AOC＝30°，＝λ＋，则实数λ的值为________．
解析：由题意知＝(－3，0)，＝(0，)，
则＝(－3λ，)，
由∠AOC＝30°知，以x轴的非负半轴为始边，OC为终边的一个角为150°，所以tan 150°＝，
即－＝－，所以λ＝1.
答案：1
9．已知点O为坐标原点，A(0，2)，B(4，6)，＝t1＋t2.
(1)求点M在第二或第三象限的充要条件；
(2)求证：当t1＝1时，不论t2为何实数，A，B，M三点共线．
解：(1)＝t1＋t2＝t1(0，2)＋t2(4，4)＝(4t2，2t1＋4t2)．
点M在第二或第三象限⇔
解得t2＜0且t1＋2t2≠0.
故所求的充要条件为t2＜0且t1＋2t2≠0.
(2)证明：当t1＝1时，由(1)知＝(4t2，4t2＋2)．
因为＝－＝(4，4)，
＝－＝(4t2，4t2)＝t2(4，4)＝t2，
所以A，B，M三点共线．

10．如图，在△OBC中，点A是线段BC的中点，点D是线段OB上一个靠近点B的三等分点，设＝a，＝b.
(1)用向量a与b表示向量，；
(2)若＝，判断C，D，E三点是否共线，并说明理由．
解：(1)因为点A是线段BC的中点，点D是线段OB上一个靠近点B的三等分点，所以＝－，＝2，＝.因为＝a，＝b，所以＝＋＝－－＝－a－b，＝＋＝2＋＝2＋(＋)＝＋＝a＋b.
(2)C，D，E三点不共线．
因为＝，
所以＝＋＝＋＝－－＝a＋b－b＝a＋b，
由(1)知＝a＋b，
所以不存在实数λ，使得＝λ.
所以C，D，E三点不共线．
[综合题组练]
1．(多选)已知向量＝(1，－3)，＝(2，－1)，＝(m＋1，m－2)，若点A，B，C能构成三角形，则实数m可以是(　　)
A．－2 B．
C．1 D．－1
解析：选ABD．各选项代入验证，若A，B，C三点不共线即可构成三角形．因为＝－＝(2，－1)－(1，－3)＝(1，2)，＝－＝(m＋1，m－2)－(1，－3)＝(m，m＋1)．假设A，B，C三点共线，则1×(m＋1)－2m＝0，即m＝1.所以只要m≠1，则A，B，C三点即可构成三角形，故选ABD．
2.给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为90°，如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上运动，若＝x＋y，其中x，y∈R，则x＋y的最大值是(　　)

A．1 B．
C． D．2
解析：选B．因为点C在以O为圆心的圆弧上，所以||2＝|x＋y|2＝x2＋y2＋2xy·＝x2＋y2，
所以x2＋y2＝1，则2xy≤x2＋y2＝1.
又(x＋y)2＝x2＋y2＋2xy≤2，
故x＋y的最大值为.
3．(创新型)若α，β是一组基底，向量γ＝xα＋yβ(x，y∈R)，则称(x，y)为向量γ在基底α，β下的坐标，现已知向量a在基底p＝(1，－1)，q＝(2，1)下的坐标为(－2，2)，则a在另一组基底m＝(－1，1)，n＝(1，2)下的坐标为________．
解析：因为a在基底p，q下的坐标为(－2，2)，
即a＝－2p＋2q＝(2，4)，
令a＝xm＋yn＝(－x＋y，x＋2y)，
所以即
所以a在基底m，n下的坐标为(0，2)．
答案：(0，2)
4．已知非零不共线向量，，若2＝x＋y，且＝λ(λ∈R)，则点P(x，y)的轨迹方程是________．
解析：由＝λ，得－＝λ(－)，
即＝(1＋λ)－λ.
又2＝x＋y，
所以消去λ得x＋y－2＝0.
答案：x＋y－2＝0
5．(一题多解)如图，在同一个平面内，向量，，的模分别为1，1，，与的夹角为α，且tan α＝7，与的夹角为45°.若＝m＋n(m，n∈R)，求m＋n的值．

解：法一：以O为坐标原点，OA所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则A(1，0)，由tan α＝7，α∈，得sin α＝，cos α＝，设C(xC，yC)，B(xB，yB)，则xC＝||cos α＝×＝，yC＝||sin α＝×＝，
即C.又cos(α＋45°)＝×－×＝－，sin (α＋45°)＝×＋×＝，则xB＝||cos(α＋45°)＝－，yB＝||sin (α＋45°)＝，即B，由＝m ＋n ，可得
解得所以m＋n＝＋＝3.
法二：由tan α＝7，α∈，得sin α＝，cos α＝，则cos(α＋45°)＝×－×＝－，·＝1××＝1，·＝1××＝，·＝1×1×＝－，由＝m ＋n ，得·＝m 2＋n ·，即＝m－n　①，同理可得·＝m ·＋n 2，即1＝－m＋n　②，联立①②，解得所以m＋n＝＋＝3.
6.已知△ABC中，AB＝2，AC＝1，∠BAC＝120°，AD为角平分线．

(1)求AD的长度；
(2)过点D作直线交AB，AC的延长线于不同两点E，F，且满足＝x，＝y，求＋的值，并说明理由．
解：(1)根据角平分线定理：＝＝2，所以＝，
所以＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，
所以2＝2＋·＋2＝－＋＝，所以AD＝.
(2)因为＝x，＝y，所以＝＋＝＋，
因为E，D，F三点共线，所以＋＝1，所以＋＝3.